第09讲平移（寒假预习讲义）（3大知识点+7大题型+过关检测）七年级数学新教材苏科版

第09讲 平移（3大知识点+7大题型+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：平移 1.平移的概念：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移 2.平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离 3.平移的特点： (1)图形是整体移动的：(2)沿某一直线方向移动：(3)移动前后图形的形状、大小完全相同 4.要点提示：(1)图形的平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小： (2)确定一个图形平移的方向和距离，只跨确定其上一个点平移的方向和距离即可， 知识点2：平移的性质 (1)平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同；对应边平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等 (2)连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 知识点3：平移作图 利用平移作图的一般步骤 (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出图形的关键点； (3)作：过这些关键点作与平移方向平行的线段， 使这些平行线段的长度都等于平移的距离： (4)连：按原图形顺序连接关键点的对应点. 【题型1】生活中的平移现象 【例1】（23-24七年级下·全国·课后作业）有下列现象：①在游乐场荡秋千；②转动的电扇叶片；③正在上升的电梯；④行驶的自行车后轮；⑤水平传送带上的物体；⑥飞机在跑道上滑行，直至停止．其中，可以看作平移的是 （填序号）． 【变式训练】 1．（25-26七年级·上海宝山·月考）下列生活现象中是平移的是（   ） A．钟摆的运动 B．汽车雨刷的运动 C．过安检时传送带上行李箱的运动 D．骑自行车时前后轮的转动 2．（24-25七年级下·甘肃平凉·月考）下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是 ． （1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）投篮时运动的篮球；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个用火柴摆成的“田”字图案，至少平移其中的 根火柴，可以变成一个“品”字图案． 【题型2】图形的平移 【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，把上面涂色部分的方格块先向右平移 格，再向下平移 格即可与下面涂色部分的方格块合成一个涂色长方形． 【变式训练】 4．（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形”平移得到的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·青海西宁·二模）如图，经过怎样的平移得到（   ） A．把向左平移个单位，再向下平移个单位 B．把向右平移个单位，再向下平移个单位 C．把向右平移个单位，再向上平移个单位 D．把向左平移个单位，再向上平移个单位 6．（2025九年级·江西·专题练习）图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，把图①放置在如图②所示的的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形．不同的放置方法共有（    ） A．4种 B．6种 C．8种 D．12种 【题型3】 平移的性质 【例3】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）如图，在中，，，将沿射线方向平移2个单位后，得到，连接．若，则的周长为 ． 【变式训练】 7．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，将三角形沿方向平移得到对应的三角形．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·广西柳州·期中）如图，将沿方向平移得到，已知的周长为，则四边形的周长为(   ) A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，中，，，将沿向右平移至，点在上，若，则四边形的周长为 ． 【题型4】利用平移的性质解决面积问题 【例4】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为 ． 【变式训练】 10．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）如图，长方形中，，，弧是以点A为圆心以2为半径的圆弧，将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中空白部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，．将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移6 cm，得到三角形．已知，，则阴影部分的面积为 ． 12．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·月考）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移的距离为，则阴影部分的面积为 ． 【题型5】平移的有关计算问题 【例5】（24-25七年级下·河北石家庄·月考）如图，将三角形沿射线方向平移得到三角形，点的对应点分别是点． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离； (3)在（2）的条件下，若三角形的周长为25，求四边形的周长． 【变式训练】 13．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在四边形中，，与互余，将，分别平移到和的位置，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 14．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，将沿直线向右平移a个单位到的位置． (1)连接，当的周长为16，时，求四边形的周长； (2)已知的面积为12，．当所扫过的面积为18时，求a的值． 15．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图1中补全图形，并证明：； (2)过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系． 【题型6】有关平移作图问题 【例6】 （24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将平移得到，连接，． (1)根据题意，补全图形； (2)线段与线段之间的位置关系和数量关系是______； (3)在上画出一点P，使得． 【变式训练】 16．（24-25七年级下·江苏常州·月考）如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点、、都在格点上． (1)将向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，请作出； (2)连结，，则线段和线段的关系为______； (3)在整个平移的过程中，求线段扫过的面积． 17．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）正方形网格中的每个小正方形的边长均为个单位长度，各顶点的位置如图所示．将平移，使点移到点，点分别是的对应点． (1)画出平移后的； (2)在整个平移的过程中，扫过的面积是______． 18．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（三个顶点都在格点上）．经过平移后得到，点恰好落在点处， (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是 ； (3)△的面积为 ． 【题型7】平移与实际应用问题 【例7】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如图，山西某小区准备在一个长为米，宽为米的矩形草坪上修建两条宽为a米的小道，其余部分用来种植花草． (1)求种植花草的面积； (2)当时，求种植花草的面积． 【变式训练】 19．（22-23七年级下·山东临沂·期末）如图所示，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条笔直的小路和一条弯曲的小路，笔直的小路宽度为，弯曲的小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为（    ）    A． B． C． D． 20．（22-23七年级下·河南许昌·期末）如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米．为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，则小明沿着小路的中间，从入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为（    ） A．140米 B．136米 C．124米 D．100米 21．（24-25七年级下·广东江门·月考）如图，在一块长为7米，宽为4米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1米就是它的右边线．求这块草地（阴影部分）的面积． 22．（25-26七年级·广西崇左·月考）某小区准备开发一块长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线． ①若长方形的长为，宽为，则这条小路的面积为 ； ②若原长方形的长为，宽为，草坪面积为 ，当，时，草坪面积为 ． 23．（2025七年级下·全国·专题练习）某公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图①，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积． (2)如图②，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，所走的路线（图中虚线）长． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某公司徽标图案．在下列选项中，能由此徽标通过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，将周长为7的沿方向平移1个单位得到，则四边形的周长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．（22-23七年级下·广西梧州·期末）如图，将三角形沿着方向平移一定的距离得到三角形，则下列结论：①；②；③；④，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图的边的长为将向上平移得到，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江西南昌·月考）如图，这是人民公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．62米 B．82米 C．88米 D．102米 6．（25-26七年级·黑龙江绥化·期中）如图，在三角形中，，，，.将三角形沿直线向右平移2个单位长度得到三角形，连接．给出下列结论：①，；②；③四边形的周长是16；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，锐角三角形ABC中，，将三角形ABC沿着射线BC方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（ ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级·上海普陀·期中）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，且与相交于点G，连接．下列结论：①；②阴影部分的周长为；③如果，那么三角形的周长比四边形的周长少；④如果三角形的面积比三角形的面积小，那么；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）如图，沿射线方向平移到，若，则平移的距离为 ． 10．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知11．则图中阴影部分的面积为 ． 11．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知将平移到，顶点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，，，，．上述结论中一定成立的是 ．（填序号） 12．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，将沿平移个单位长度得到，交于点，若，则四边形的面积是 ． 13．（22-23七年级下·浙江温州·期末）如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ． 14．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，在中，，将沿着的方向平移到的位置，则 cm， cm，的度数为 ． 15．（24-25七年级下·江苏南通·月考）如图，将长为、宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则图中阴影部分的面积为 ． 16．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，平移的距离为4，则阴影部分为 ． 三、解答题 17．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，将面积为5的沿方向平移至的位置，平移的距离是边长的3倍． (1)那么图中线段与的关系是_____________， (2)求四边形的面积． 18．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点A与点D重合．点E，F分别是点B，C的对应点． (1)请画出平移后的； (2)连接，，则这两条线段之间的关系是_______； (3)若在网格中存在格点P，且，则符合条件的点P有_______个． 19．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如图，中，，点F在边上． (1)画出沿射线方向平移后的，其中A，B，C对应点分别为D，E，F． (2)在（1）的条件下，与交于点M，若，四边形的面积为18，求平移的距离． 20．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，直线上有两个大小相同的直角三角形，它们中较大锐角的度数为将沿直线向左平移到的位置，使点落在上的点处，为与的交点． (1)求的度数； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 21．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，，将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图中补全图形，并证明：； (2)过点作直线，在直线上取点，使．当时，在备用图中画出图形，并求出与之间的数量关系． 22．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）对于平面内的两个三角形，若将其中一个三角形沿着某个方向一次平移后，它的一个顶点落在它的对边上，则称平移后的三角形叫做原三角形的“平移三角形”，叫做“平移距离”．如图1，沿直线平移到，顶点的对应点在它的对边上，则称是的“平移三角形”，的长度叫做“平移距离”． (1)如图2，正六边形，对角线、、将其分成六个能重合的正三角形，其中是的“平移三角形”的有______________________； (2)如图3，在中，，，，． ①将图3的沿直线平移，得到它的“平移三角形”，连接．则平移距离__________，四边形的面积为____________________； ②图3中的平移距离的最大值为___________，最小值为__________． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 平移（3大知识点+7大题型+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：平移 1.平移的概念：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移 2.平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离 3.平移的特点： (1)图形是整体移动的：(2)沿某一直线方向移动：(3)移动前后图形的形状、大小完全相同 4.要点提示：(1)图形的平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小： (2)确定一个图形平移的方向和距离，只跨确定其上一个点平移的方向和距离即可， 知识点2：平移的性质 (1)平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同；对应边平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等 (2)连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 知识点3：平移作图 利用平移作图的一般步骤 (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出图形的关键点； (3)作：过这些关键点作与平移方向平行的线段， 使这些平行线段的长度都等于平移的距离： (4)连：按原图形顺序连接关键点的对应点. 【题型1】生活中的平移现象 【例1】（23-24七年级下·全国·课后作业）有下列现象：①在游乐场荡秋千；②转动的电扇叶片；③正在上升的电梯；④行驶的自行车后轮；⑤水平传送带上的物体；⑥飞机在跑道上滑行，直至停止．其中，可以看作平移的是 （填序号）． 【答案】③⑤⑥ 【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的定义，进行判断即可．熟练掌握平移的定义是解题的关键． 【详解】解：①在游乐场荡秋千是旋转，不是平移； ②转动的电扇叶片是旋转，不是平移； ③正在上升的电梯是平移； ④行驶的自行车后轮是旋转，不是平移； ⑤水平传送带上的物体是平移； ⑥飞机在跑道上滑行，直至停止是平移； 故答案为：③⑤⑥ 【变式训练】 1．（25-26七年级·上海宝山·月考）下列生活现象中是平移的是（   ） A．钟摆的运动 B．汽车雨刷的运动 C．过安检时传送带上行李箱的运动 D．骑自行车时前后轮的转动 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的定义， 平移是物体沿直线移动且方向不变的运动． 【详解】解：∵A钟摆运动是旋转，B汽车雨刷运动是旋转，D车轮转动是旋转，均不是平移；C传送带上行李箱运动是沿直线移动且方向不变，∴是平移. 故选：C． 2．（24-25七年级下·甘肃平凉·月考）下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是 ． （1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）投篮时运动的篮球；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）． 【答案】（2）（6） 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小，据此求解即可． 【详解】解：由平移的定义可得只有（2）（6）是平移，（1）（3）（4）（5）都不是平移， 故答案为：（2）（6）． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个用火柴摆成的“田”字图案，至少平移其中的 根火柴，可以变成一个“品”字图案． 【答案】 【分析】本题考查图形的平移，保持“田”字的“十”字不变，再移动3根变成“品”字图案即可． 【详解】解：如图：相同数字表示移动前后位置， 由图形可得“田”字图案，至少平移其中的3根火柴，可以变成一个“品”字图案， 故答案为：． 【题型2】图形的平移 【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，把上面涂色部分的方格块先向右平移 格，再向下平移 格即可与下面涂色部分的方格块合成一个涂色长方形． 【答案】 2 4 【分析】本题考查作图平移变换，利用平移的性质判断即可．解题的关键是理解平移变换的性质． 【详解】解：如图，把上面涂色部分的方格块先向右平移2格，再向下平移4格即可与下面涂色部分的方格块合成一个长方形的整体． 故答案为：2，4． 【变式训练】 4．（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形”平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的概念与性质，根据平移的概念即可判断． 【详解】解：选项B中的“比”字形状一样，因此可以看作是由一个“基本图形”平移得到； 故选：B． 5．（2025·青海西宁·二模）如图，经过怎样的平移得到（   ） A．把向左平移个单位，再向下平移个单位 B．把向右平移个单位，再向下平移个单位 C．把向右平移个单位，再向上平移个单位 D．把向左平移个单位，再向上平移个单位 【答案】A 【分析】本题考查了平移变换的性质以及网格图形，准确识别图形是解题的关键．根据网格图形的特点，结合图形找出对应点的平移变换规律，然后即可选择答案． 【详解】解：由图可知，向左平移个单位，再向下平移个单位，即可得到， 故选：A． 6．（2025九年级·江西·专题练习）图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，把图①放置在如图②所示的的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形．不同的放置方法共有（    ） A．4种 B．6种 C．8种 D．12种 【答案】C 【分析】此题考查了图形的变化，探寻规律要认真观察，仔细思考，善用联想解决此类问题． 先找出图形的变化部分，以及变化规律，再运用找出的规律解答问题即可． 【详解】解：如图，共有8种不同的放置方法． 故选：C． 【题型3】 平移的性质 【例3】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）如图，在中，，，将沿射线方向平移2个单位后，得到，连接．若，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了平移的性质，熟知图形平移后新图形与原图形的形状和大小完全相同是解题的关键．根据平移的性质，求出的三条边，进而求得其周长． 【详解】解：由题意知，， ∴， 由平移的性质可知：， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：12． 【变式训练】 7．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，将三角形沿方向平移得到对应的三角形．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段的长度相等是解题的关键． 根据平移的性质确定平移线段的长度，再将拆分为三段，通过相加计算出的长度． 【详解】解：将三角形沿方向平移得到对应的三角形， ． ， ． 故选：C． 8．（24-25七年级下·广西柳州·期中）如图，将沿方向平移得到，已知的周长为，则四边形的周长为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得出是解题关键．根据平移的性质得出，，进而得出答案． 【详解】解：是由沿方向平移得到的，的周长为， ，，则四边形的周长为．     故选：A． 9．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，中，，，将沿向右平移至，点在上，若，则四边形的周长为 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得，，又因为，故设，则，得出，故，，再把数值代入进行计算即可． 【详解】解：∵平移 ∴， 设，则 ∵ ∴ 解得 则 ∴ ∴ 则周长， 故答案为：25 【题型4】利用平移的性质解决面积问题 【例4】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是进行面积的转换； 由平移可把阴影部分的面积转换成四边形的面积即可． 【详解】解：四边形沿方向平移得到四边形，， ∴，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 10．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）如图，长方形中，，，弧是以点A为圆心以2为半径的圆弧，将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中空白部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积．将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中阴影部分的面积等于长方形的面积，再用长方形的面积减去阴影部分的面积即可得图中空白部分的面积． 【详解】解：根据题意可得：，扇形的面积扇形的面积， 又扇形的面积阴影部分的面积扇形的面积长方形的面积， 故阴影部分的面积长方形的面积， 所以图中空白部分的面积为． 故选：C． 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，．将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移6 cm，得到三角形．已知，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】18 【分析】先根据平移的性质确定对应线段的长度与平行关系，得到直角条件，再求出梯形的上下底边长，最后利用梯形面积公式计算阴影部分的面积． 【详解】解：直角三角形沿射线方向平移得到 ，且 阴影部分是梯形，以为上下底，为高 故答案为：18． 【点睛】本题考查平移的性质与梯形面积公式，掌握平移后对应线段平行且相等、梯形面积是解题的关键． 12．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·月考）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移的距离为，则阴影部分的面积为 ． 【答案】21 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质可得，，进而可得，即阴影部分的面积等于梯形的面积，由此可解． 【详解】解：由题意得，，， ， ， 即阴影部分的面积为21． 故答案为：21． 【题型5】平移的有关计算问题 【例5】（24-25七年级下·河北石家庄·月考）如图，将三角形沿射线方向平移得到三角形，点的对应点分别是点． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离； (3)在（2）的条件下，若三角形的周长为25，求四边形的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的不变性是解题的关键． （1）根据平移的性质结合平行线的性质即可求解； （2）由平移的性质结合得到； （3）由平移的性质可得，四边形的周长，即可化为，即可求解． 【详解】（1）解：由平移的性质可得， ∴， ∴； （2）解：由平移的性质可得， 又∵， ∴， ∴平移的距离为5； （3）解：由平移的性质可得， ∴四边形的周长． 【变式训练】 13．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在四边形中，，与互余，将，分别平移到和的位置，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了平移的性质，掌握相关知识是是解决问题的关键．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． （1）根据平移的性质和平行的性质得到，然后利用互余计算出的度数； （2）根据平移的性质得到，，所以，然后利用可计算出的长． 【详解】（1）解：平移到的位置， ∴ ， 与互余， ； （2）解：，分别平移到和的位置，且 ，， ， ， ， 即， ． 14．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，将沿直线向右平移a个单位到的位置． (1)连接，当的周长为16，时，求四边形的周长； (2)已知的面积为12，．当所扫过的面积为18时，求a的值． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查的是平移的性质，熟记平移的性质是解本题的关键； （1）如图，连接，根据平移的性质可得，，再进一步求解即可； （2）如图，作于H，先求解，再结合所扫过面积即梯形的面积，进一步计算即可. 【详解】（1）解：如图，连接， 根据平移的性质可知，， ∵的周长为16， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． （2）解：如图，作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴所扫过面积即梯形的面积， 则， 解得：． 答：a的值为． 15．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图1中补全图形，并证明：； (2)过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了平行线的性质、平移的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据题意补全图形即可，根据平移的性质可知，，过点作，则，由平行线的性质可得，，由此即可得证； （2）分两种情况：当在的外部时；当在的内部时；分别求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： 证明：根据平移的性质可知，，             如图，过点作， 则， ，， ， ； （2）解：如图，当在的外部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当在的内部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，与之间的数量关系为或． 【题型6】有关平移作图问题 【例6】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将平移得到，连接，． (1)根据题意，补全图形； (2)线段与线段之间的位置关系和数量关系是______； (3)在上画出一点P，使得． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了平移（作图），平移的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据的位置，确定平移规则，据此画出，再连接，即可； （2）根据平移的性质即可作答； （3）根据网格特点，过点 作，交于点P，则点P即为所求作． 【详解】（1）解：如图，，，即为所求作； （2）解：由平移的性质可知：， 故答案为：； （3）解：如图，根据网格特点，过点作，交于点P，则点P即为所求作， 理由如下： ∵， ∴， 由平移的性质可知：， ∴． 【变式训练】 16．（24-25七年级下·江苏常州·月考）如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点、、都在格点上． (1)将向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，请作出； (2)连结，，则线段和线段的关系为______； (3)在整个平移的过程中，求线段扫过的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)平行且相等 (3)线段扫过的面积是 【分析】本题考查平移变换和线段之间的位置关系，熟练掌握网格中图形平移的方法是解题的关键， （1）根据题中的平移方法平移即可得到； （2）连结，由图可得线段和线段的关系为平行且相等； （3）线段扫过的面积，据此求出结论即可． 【详解】（1）解：由题可得：就是所要求作的三角形，如下图： （2）解：连结，，如下图所示： 由图可得：线段和线段的关系为平行且相等． （3）解：线段扫过的面积． 17．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）正方形网格中的每个小正方形的边长均为个单位长度，各顶点的位置如图所示．将平移，使点移到点，点分别是的对应点． (1)画出平移后的； (2)在整个平移的过程中，扫过的面积是______． 【答案】(1)画图见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了平移作图，掌握平移的性质是解题的关键． （）根据点和点的位置判断出平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，据此确定的位置，然后顺次连接即可； （）利用长方形面积减去四个直角三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，点和点的位置判断出平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，据此确定的位置，然后顺次连接； ∴即为所求； （2）解：如图，连接， 扫过的面积是 ， 故答案为：． 18．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（三个顶点都在格点上）．经过平移后得到，点恰好落在点处， (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是 ； (3)△的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)平行 (3) 【分析】本题考查了平移作图，利用平移的性质求解，解题关键是正确作出图形． （1）根据平移的方向与距离，作出平移后的图形即可； （2）根据平移的性质求解； （3）利用网格求出三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）∵的对应点是，的对应点是， ∴与平行， 故答案为：平行； （3）∵经过平移后得到， ∴与的面积相等， ∴ ， 故答案为：． 【题型7】平移与实际应用问题 【例7】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如图，山西某小区准备在一个长为米，宽为米的矩形草坪上修建两条宽为a米的小道，其余部分用来种植花草． (1)求种植花草的面积； (2)当时，求种植花草的面积． 【答案】(1)平方米 (2)18平方米 【分析】本题考查多项式与多项式相乘，解题的关键是学会用平移的思想求面积，熟练掌握多项式的乘法运算法则． （1）利用平移思想结合长方形的面积公式进行求解即可； （2）把a，b的值代入进而求出答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 平方米． 答：种植花草的面积为平方米； （2）解：当时， 原式（平方米）． 答：种植花草的面积为18平方米． 【变式训练】 19．（22-23七年级下·山东临沂·期末）如图所示，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条笔直的小路和一条弯曲的小路，笔直的小路宽度为，弯曲的小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移，可知弯曲的小路面积与长为宽为1的长方形的面积相等，根据长方形的面积，可得答案． 【详解】解：根据弯曲的小路的左边线向右平移就是它的右边线， 可知路的宽度是1米，面积与长为宽为1的长方形的面积相等， 则这块草地的绿地面积为． 故选：C． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，先由平移得出路的宽度，再求出绿地的面积． 20．（22-23七年级下·河南许昌·期末）如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米．为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，则小明沿着小路的中间，从入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为（    ） A．140米 B．136米 C．124米 D．100米 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，根据图形可得所走路线长为，进行计算即可． 【详解】解：由图可知，横向距离等于的长，纵向距离等于的2倍， ∴入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为米； 故选B． 21．（24-25七年级下·广东江门·月考）如图，在一块长为7米，宽为4米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1米就是它的右边线．求这块草地（阴影部分）的面积． 【答案】这块草地的面积为24平方米． 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可得，阴影部分的面积相当于一个长为6米，宽为4米的长方形面积，据此计算求解即可． 【详解】解：根据平移的性质可得，阴影部分的面积相当于一个长为米，宽为4米的长方形面积，即平方米， 答：这块草地的面积为24平方米． 22．（25-26七年级·广西崇左·月考）某小区准备开发一块长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线． ①若长方形的长为，宽为，则这条小路的面积为 ； ②若原长方形的长为，宽为，草坪面积为 ，当，时，草坪面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移性质的应用，列代数式，代数式求值，理解题意，草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，是解题的关键． ①草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，计算面积即可； ②同①计算面积，再将，代入代数式计算即可． 【详解】①解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变， ∴草坪的面积， ②解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变， ∴草坪的面积； 当，时，． 故答案为：，，． 23．（2025七年级下·全国·专题练习）某公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图①，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积． (2)如图②，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，所走的路线（图中虚线）长． 【答案】(1)平方米 (2)108米 【分析】本题结合图形的平移考查有关面积的问题，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变． （1）结合图形，利用平移的性质求解； （2）结合图形，利用平移的性质求解． 【详解】（1）解：小路往边平移，直到小路与草地的边重合， 则草地的面积为：（平方米）； （2）解：将小路往边平移，直到小路与草地的边重合， 则所走的路线（图中虚线）长为：（米）． 故答案为：108米． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某公司徽标图案．在下列选项中，能由此徽标通过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质，掌握平移后图形的形状、大小、方向均不改变，仅位置变化是解题的关键． 本题根据平移的性质，逐个判断选项中的图形是否与原徽标保持一致的形状、大小和方向． 【详解】解： A、图形方向与原徽标不同，不符合平移的性质，不符合题意； B、图形方向与原徽标不同，不符合平移的性质，不符合题意； C、图形方向与原徽标不同，不符合平移的性质，不符合题意； D、图形的形状、大小、方向均与原徽标一致，仅位置改变，符合平移的性质，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，将周长为7的沿方向平移1个单位得到，则四边形的周长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的基本性质，平移的基本性质为：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行（或重合）且相等，对应角相等，熟练掌握平移的基本性质是解题的关键． 由平移的基本性质可得，，再根据四边形的周长为进行计算即可得到答案． 【详解】解：将周长为7的沿方向平移1个单位得到， ，，，， ， 的周长为7， ， 四边形的周长为： ． 故选：B． 3．（22-23七年级下·广西梧州·期末）如图，将三角形沿着方向平移一定的距离得到三角形，则下列结论：①；②；③；④，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查的是平移的性质：平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质判断即可． 【详解】解：由平移的性质可知，， 则结论①②③④正确， 故选：D． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图的边的长为将向上平移得到，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形平移的性质以及面积的计算，解题的关键是利用平移后图形面积不变的性质，通过面积的等量代换求出阴影部分的面积． 根据平移的性质可知与面积相等；结合题目给出的阴影部分面积计算方法，通过等量代换得出阴影部分面积等于矩形的面积；再根据矩形面积公式计算即可． 【详解】∵向上平移 得到， ∴的面积的面积(平移不改变图形的面积)． 由题意可知，阴影部分的面积的面积矩形的面积的面积． ∴阴影部分的面积=矩形的面积． ∵，，且， ∴矩形的面积． 即阴影部分的面积为． 故选：A． 5．（24-25七年级下·江西南昌·月考）如图，这是人民公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．62米 B．82米 C．88米 D．102米 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移现象，根据平移的性质得出所走路程为即可． 【详解】解：∵是长方形， ∴米， 由平移的性质可知，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（米）， 故选：B． 6．（25-26七年级·黑龙江绥化·期中）如图，在三角形中，，，，.将三角形沿直线向右平移2个单位长度得到三角形，连接．给出下列结论：①，；②；③四边形的周长是16；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】此题考查了平移的性质，先求解，再根据平移的性质得到相关结论，逐项判断即可． 【详解】解：∵， 将三角形沿直线向右平移2个单位得到三角形， ∴，，，， ∴，， ∴，故①和②正确； ∵四边形的周长， ∴四边形的周长，故③正确； ∵， ∴，故④正确， 故选：A． 7．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，锐角三角形ABC中，，将三角形ABC沿着射线BC方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质，熟练掌握平移前后对应线段互相平行以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 根据的平移过程，分点E在BC上和点E在BC外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在BC上时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ， ②当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， 故选： 8．（25-26七年级·上海普陀·期中）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，且与相交于点G，连接．下列结论：①；②阴影部分的周长为；③如果，那么三角形的周长比四边形的周长少；④如果三角形的面积比三角形的面积小，那么；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，平移的性质，由平移性质可得，，可判断①；推出阴影部分的周长为三角形的周长可判断②；计算四边形的周长为，的周长为，作差可判断③；过A点作于H，利用面积法求出，根据列方程可解得，从而可判断④． 【详解】解：由平移性质可得，，故①不正确； 阴影部分的周长为，故②正确； 时，四边形的周长为， 的周长为：， 四边形的周长比三角形的周长多，故③不正确； 过A点作于H，如图， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 解得，故④正确， 故选：B． 二、填空题 9．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）如图，沿射线方向平移到，若，则平移的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查图形的平移，根据平移的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵沿射线方向平移到，， ∴， 即：平移距离为4； 故答案为4． 10．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知11．则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】51 【分析】此题考查平移的性质，根据平移的性质得到，进而推出，代入数值计算即可． 【详解】解：根据平移的性质， ② ， 故答案为51． 11．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知将平移到，顶点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，，，，．上述结论中一定成立的是 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质，平移前后对应边相等，对应角相等，对应点的连线段的长度为平移的距离．根据平移的性质进行解答即可，平移前后对应边相等，对应角相等，对应点的连线为平移的距离． 【详解】解∶平移到，顶点A，B，C的对应点分别为点D，E，F， ，，的长为平移距离，． 当A、B、D、E在同一直线上时，不成立， 故一定成立的是∶ ． 故答案为∶ ． 12．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，将沿平移个单位长度得到，交于点，若，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练运用平移的性质解决问题是本题的关键．根据平移的性质得出即可得到结论． 【详解】解：∵将沿平移个单位长度得到， ∴， ， ∵， ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 13．（22-23七年级下·浙江温州·期末）如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ． 【答案】3 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离及平移的性质，根据数轴上平移前后对应点的位置即可得出结果，理解掌握平移的性质是解题关键． 【详解】解：∵长方形平移到长方形的位置，且对应点B到的距离为：， ∴平移的距离是3， 故答案为：3． 14．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，在中，，将沿着的方向平移到的位置，则 cm， cm，的度数为 ． 【答案】 2 4 /20度 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键．根据图形平移的性质解答即可． 【详解】解：∵，将沿着的方向平移到的位置， ∴． 故答案为：2，4，． 15．（24-25七年级下·江苏南通·月考）如图，将长为、宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，由平移的性质可得，，即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵将长为、宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形， ∴，， ∴，， ∴图中阴影部分的面积， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，平移的距离为4，则阴影部分为 ． 【答案】34 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 利用平移的性质得到，，则，，再利用梯形面积公式解答即可． 【详解】解：沿着点到点的方向平移到三角形的位置，平移的距离为4， ，，， ， ， ∵， ∴． 故答案为：34． （24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，将面积为5的沿方向平移至的位置，平移的距离是边长的3倍． (1)那么图中线段与的关系是_____________， (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是关键． （1）根据平移的性质进行解答即可； （2）设点A到的距离为h，根据平移的性质可得，然后求出，，再根据梯形的面积公式列式计算即可得到四边形的面积，根据四边形的面积即可求出答案． 【详解】（1）解：根据平移的性质得到； 故答案为： （2）解：设点A到的距离为h， 则， ∵沿方向平移的距离是边长的3倍， ∴，， ∴， ∴四边形的面积 ． ∴四边形的面积． 18．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点A与点D重合．点E，F分别是点B，C的对应点． (1)请画出平移后的； (2)连接，，则这两条线段之间的关系是_______； (3)若在网格中存在格点P，且，则符合条件的点P有_______个． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)4 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握“平移后，各组对应点的线段互相平行且相等”是解题关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质即可得，； （3）利用平行线间的距离处处相等结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，为所求； （2）解：如图， 由平移的性质可得：，． 故答案为：，； （3）解：如图， ． 符合条件的点P有4个． 故答案为：4． 19．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如图，中，，点F在边上． (1)画出沿射线方向平移后的，其中A，B，C对应点分别为D，E，F． (2)在（1）的条件下，与交于点M，若，四边形的面积为18，求平移的距离． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，熟知平移的相关知识是解题的关键． （1）根据平移图形的作图方法作图即可； （2）根据平移的性质可得，，且平移距离为的长，根据图形面积之间的关系可证明，据此根据梯形面积计算公式建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由平移的性质可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为4． 20．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，直线上有两个大小相同的直角三角形，它们中较大锐角的度数为将沿直线向左平移到的位置，使点落在上的点处，为与的交点． (1)求的度数； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质．需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变． （1）由平移的性质知，，利用两直线平行，同位角相等得，故可求出， （2）由平移的性质知，，，利用两直线平行，同位角相等得，故可求出，故． 【详解】（1）解：由平移的性质知，， ∴； （2），理由如下： 由平移的性质知，，， ∴， ∴， ∴． 21．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，，将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图中补全图形，并证明：； (2)过点作直线，在直线上取点，使．当时，在备用图中画出图形，并求出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，或 【分析】作，根据平移的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，，求得； 分两种情况：点在直线的上方时，如图所示：当点在直线的下方时，如图，根据平移的性质和平行线的性质即可得到结论． 本题考查了作图平移变换，平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：补全图形如图所示， 证明：作， 将线段沿平移得到线段， ， ， ，, ， 即； （2）解：点在直线的上方时，如图所示： 由平移的性质得：，， ， ， ， ， 整理，得； 当点在直线的下方时，如图， ， ， 整理，得； 综上所述，与之间的数量关系为或． 22．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）对于平面内的两个三角形，若将其中一个三角形沿着某个方向一次平移后，它的一个顶点落在它的对边上，则称平移后的三角形叫做原三角形的“平移三角形”，叫做“平移距离”．如图1，沿直线平移到，顶点的对应点在它的对边上，则称是的“平移三角形”，的长度叫做“平移距离”． (1)如图2，正六边形，对角线、、将其分成六个能重合的正三角形，其中是的“平移三角形”的有______________________； (2)如图3，在中，，，，． ①将图3的沿直线平移，得到它的“平移三角形”，连接．则平移距离__________，四边形的面积为____________________； ②图3中的平移距离的最大值为___________，最小值为__________． 【答案】(1)， (2)5，12；5， 【分析】本题考查平移的性质以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． （1）根据平移的性质和“平移三角形”的定义求解即可； （2） ①根据平移得到平移距离；，，，，然后利用四边形的面积为，代数求解即可； ②根据题意得到如图3，当点A和点B重合时，的平移距离最大，最大值为；过点C作交于点D，将延向下平移得到，使点C和点D重合，此时的平移距离最小，然后利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴沿方向平移到，点A和点O重合，即点A平移到对边上， ∴是的“平移三角形”； ∴沿方向平移到，点B和点O重合，即点B平移到对边上， ∴是的“平移三角形”； 综上所述，的“平移三角形”的有，； 故答案为：，； （2）解： ①∵沿直线平移，得到它的“平移三角形”， ∴平移距离； ∴，，，， ∴， ∴四边形的面积为： ； 故答案为：5；12； ②如图3，当点A和点B重合时，的平移距离最大，最大值为； 如图所示，过点C作交于点D，将沿向下平移得到，使点C和点D重合，此时的平移距离最小 ∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴的平移距离的最小值为． 故答案为：5，． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $