第07讲乘法公式（1）完全平方公式（寒假预习讲义）（2大知识点+8大题型+过关检测）七年级数学新教材苏科版

第07讲乘法公式（1）完全平方公式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点2：完全平方公式的推导 （1）两数和的完全平方公式： （2）两数差的完全平方公式： 【题型1】完全平方公式 【例1】（2024七年级下·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江西南昌·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）利用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（2024七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型2】利用完全平方公式进行简便计算 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【变式训练】 5．（23-24七年级下·山西晋中·期中）利用乘法公式计算，下列方法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式简便计算：（1）；（2） 7．（22-23七年级下·四川成都·月考）用简便方法计算． (1) (2)； 【题型3】求完全平方式中的字母系数 【例3】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． （2）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． 【变式训练】 8．（23-24七年级下·四川成都·期中）若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为 ． 9．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（ ） A． B． C．16 D． 10．（23-24七年级下·全国·月考）若关于a的多项式（k和n表示常数）可以写成另一多项式的平方，则这组常数k和n的值可能是 ． 【题型4】 利用完全平方公式求代数式的值 【例4】（七年级下·江苏宿迁·期末）按要求完成下列各题： (1)已知实数a，b满足，求的值； (2)已知，求的值． 【变式训练】 11．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，则的值为（   ） A．16 B．9 C．3 D．1 12．（24-25七年级下·甘肃张掖·期末）已知，，则（　　） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·广东深圳·月考）若满足，求的值为（   ） A．24 B． C．12 D． 14．（15-16七年级下·江苏·期末）已知：，．求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【题型5】 完全平方公式在几何图形中的应用 【例5】（23-24七年级下·全国·月考）如图1，将一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，用等式表示出，和的数量关系． (2)若，且，求图2中的空白正方形的面积． (3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，若，两正方形的面积，求的面积． 【变式训练】 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将四个长为a、宽为b的小长方形纸片拼成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级下·广东深圳·期中）我校“快乐农场”开辟出一块边长为的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜．为了兼顾美观，在菜地中设计两个长和宽分别为a，b的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为，每个长方形的面积为．如图，计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积是（    ）． A．53 B．35 C．47 D．68 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，B是线段CG上一点．若在阴影部分铺上防滑瓷砖，防滑瓷砖的面积为4，则 ． 18．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知长方形，将图沿虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成图中的“回形”正方形． (1)观察图，请你写出、、之间的等量关系是_____． (2)根据（）中的结论，若，求的值； (3)拓展应用：如图，点，分别是，的中点，点在上，，以为边作正方形，点在上，交于点，长方形的面积为，若，求的值． 【题型6】完全平方公式的规律探究问题 【例6】（七年级下·广西百色·期中）观察下面的规律： …… 写出第n行的式子，并证明你的结论． 【变式训练】 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）观察下列算式： ， ， ，          说明当n为自然数时，的正确性． 【题型7】利用完全平方公式的非负性求值 【例7】（24-25七年级下·吉林长春·月考）【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________=（x- ）2； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 【变式训练】 20．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 21．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知的展开式中不含的二次项，，求： (1)的值； (2)的值． 22．（24-25七年级下·全国·专题练习）先学习下面内容，再解决问题． 例题：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴且， ∴． 问题： (1)若，求的值． (2)若a，b，c是等腰的三边长，其中a，b满足，求的周长． 23．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在求代数式最值问题中有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ，，的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为______； (2)用配方法求代数式的最小值，并求出此时的值． (3)若实数，满足，求的最小值． 【题型8】有关完全平方公式的新定义问题 【例8】（24-25七年级下·山东菏泽·月考）若一个整数能表示成两个正整数m，n的平方和的形式，即，则称这个数是“完美数”．例如：因为，所以20是“完美数”；再比如：（是正整数），所以也是“完美数”． (1)判断58是否是“完美数”，并说明理由； (2)已知（a，b是正整数，k是常数），要使W为“完美数”，试求出k的值； (3)已知 ，求的值． 【变式训练】 24．（25-26七年级下·北京·期中）阅读理解： 定义：如果一个数的平方等于，记为，则这个数i叫做虚数单位，形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．复数的加、减、乘法、乘方运算可以延用整式的运算法则． 例如：； ； ． (1)填空：______，______； (2)计算：； (3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等．完成下列问题：已知，x，y为实数，求． 25．（18-19七年级下·江苏南通·期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”. （1）试分析28是否为“神秘数”； （2）2019是“神秘数”吗？为什么？ （3）说明两个连续偶数2k＋2和2k(其中k取非负整数)构造的“神秘数”是4的倍数． （4）设两个连续奇数为2k+1和2k－1，两个连续奇数的平方差（k取正整数）是“神秘数”吗？为什么？ 26．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：，例如：． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）下面的多项式中，适用于完全平方公式的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）下列各式中，与相等的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）代数式的所有值中，最小的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 5．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）若，，则M与N的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）若，，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，四边形、均为正方形，其中，，，正方形与正方形重叠部分的面积为28，则图中阴影部分的面积为（   ） A．116 B．88 C．90 D．92 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知，则代数式的值（ ） A．4 B．8 C． D． 二、填空题 9．（24-25七年级下·江苏徐州·月考） ． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）化简 ． 11．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若，则 ． 12．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若，则的值为 ． 13．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）已知，，则 ． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若．则 ． 15．（24-25七年级下·江苏南京·期末）若，，则 （用含有m，n的式子表示，结果需化简） 16．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则 ． 三、解答题 17．（25-26七年级下·全国·课后作业）用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）用完全平方公式计算： (1)； (2)． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，则 (1)xy的值为 ． (2)的值为 ． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称整式A是完全平方式．例如：，，所以，都是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，，则________． (2)如果是一个完全平方式，求t的值． (3)若m满足，求的值． 21．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）【情境重现】如图1，课本第75页情境通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，探索计算的方法，并用此方法解答下列问题： (1)若，，直接写出的值______； (2)填空：①若，则______； ②若，则______； (3)如图2，将两个大小不等的正方形按如图所示的方式放置（点B、C、E在一条直线上），连接、、．若，阴影部分面积为36，求的面积． 22．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    23．（23-24七年级下·全国·单元测试）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为，．若，，请直接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由个正方体和个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知 ，，利用中的恒等式求的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲乘法公式（1）完全平方公式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点2：完全平方公式的推导 （1）两数和的完全平方公式： （2）两数差的完全平方公式： 【题型1】完全平方公式 【例1】（2024七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可； （3）运用完全平方公式进行计算即可； （4）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式，牢记并灵活运用完全平方公式是解答本题的关键． 直接运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 2．（24-25七年级下·江西南昌·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“完全平方式的定义”，熟练掌握完全平方式的形式是解题关键． 根据完全平方式的定义，两个因式需完全一致或其中一个式子是另一个式子的因式，才能应用完全平方式，根据定义判断即可． 【详解】 A选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； B选项：，两项都相等，符合完全平方公式； C选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； D选项： 中，两项无共同点，不满足定义，不能用完全平方公式； 故选：B． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）利用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用完全平方公式展开求解即可； （2）变形后利用完全平方公式进行计算求解即可； （3）把变为利用完全平方公式进行计算求解即可； （4）把变形为利用完全平方公式进行计算求解即可． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 【点睛】此题考查了利用完全平方公式进行计算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 4．（2024七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】此题考查了完全平方公式和单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用完全平方公式展开即可得到结果； （2）利用完全平方公式展开即可得到结果； （3）利用完全平方公式展开即可得到结果； （4）利用完全平方公式展开即可得到结果； （5）利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可得到结果； （6）利用完全平方公式展开，再合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【题型2】利用完全平方公式进行简便计算 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟记公式是解题的关键． （1）将改为，再利用完全平方公式即可计算； （2）将改为，再利用完全平方公式即可计算； （3）将改为，再利用完全平方公式即可计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式训练】 5．（23-24七年级下·山西晋中·期中）利用乘法公式计算，下列方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将整理为，然后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：． 故选：B． 6．（2024七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式简便计算：（1）；（2） 【分析】原式变形后，利用完全平方公式计算即可得到结果； 【详解】（1）解：原式 ， ， ； （2）原式 ， ， ； 7．（22-23七年级下·四川成都·月考）用简便方法计算． (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先变形，再利用完全平方公式展开计算； （2）根据完全平方公式将原式化为即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； 【题型3】求完全平方式中的字母系数 【例3】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． （2）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． 【答案】 36 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可得解． 【详解】解：（1）∵多项式是一个完全平方式， ∴， （2）∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴， 【变式训练】 8．（23-24七年级下·四川成都·期中）若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为 ． 【答案】15或 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方式是解题的关键；根据完全平方公式的结构特征即可求解． 【详解】解：由于二次三项式 是完全平方式，且二次项系数为4，常数项为9，则根据完全平方公式可知：； 当时，解得；当时，解得； 故答案为：15或． 9．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（ ） A． B． C．16 D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特点是解题的关键； 根据完全平方式得出，即可求解． 【详解】解：∵ 是一个完全平方式， ∴可设为 ， ∴， 解得：． 故选：D． 10．（23-24七年级下·全国·月考）若关于a的多项式（k和n表示常数）可以写成另一多项式的平方，则这组常数k和n的值可能是 ． 【答案】，或， 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．由于多项式可以写成另一多项式的平方，因此它必须是一个完全平方式，根据完全平方公式的结构特征，分两种情况求解即可． 【详解】解：由题意可知，多项式是完全平方式， 若和是平方项，则， ， ，； 若和是平方项，则， ， ，， ，； 故答案为：，或，． 【题型4】 利用完全平方公式求代数式的值 【例4】（七年级下·江苏宿迁·期末）按要求完成下列各题： (1)已知实数a，b满足，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值．熟练掌握完全平方公式，并能灵活运用是解决问题的关键． （1）先由已知条件展开完全平方式求出ab的值，再将转化为完全平方式和的形式，即可求值； （2）设，，得出，，则根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，． ∴． ∴，则， ∴． （2）解：设，， ∴． ∵， ∴． ∴ ． 【变式训练】 11．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，则的值为（   ） A．16 B．9 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式．根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C 12．（24-25七年级下·甘肃张掖·期末）已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式，解题的关键是掌握完全平方式的结构特征． 根据进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 13．（24-25七年级下·广东深圳·月考）若满足，求的值为（   ） A．24 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，设，则，根据完全平方公式变形求出，即可解答． 【详解】解：∵， 设， 则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故选：D． 14．（15-16七年级下·江苏·期末）已知：，．求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1)17 (2)21 (3)5或 【分析】本题主要考查了运用完全平方公式进行运算， （1）将整理为，然后将，代入求值即可； （2）将整理为，然后将，代入求值即可； （3）首先将整理为，将，代入求得的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵，， ∴， ∴或． 【题型5】 完全平方公式在几何图形中的应用 【例5】（23-24七年级下·全国·月考）如图1，将一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，用等式表示出，和的数量关系． (2)若，且，求图2中的空白正方形的面积． (3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，若，两正方形的面积，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的变形是解决问题的关键． （1）由拼图，矩形和正方形的面积公式可得出答案； （2）将已知数据代入（1）中所推等式里即可得解； （3）设，则，代入所推等式求出，进而即可求解． 【详解】（1）解：由拼图可得，阴影部分是4个长为，宽为b的小长方形的面积和，中间空白部分的面积为边长为的正方形的面积，整个图2的面积为边长为的正方形的面积， ∴， ∴； （2）解：由 (1)得，， ∵，且， ∴， ∴， ∴图2中的空白正方形的面积为； （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：的面积为． 【变式训练】 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将四个长为a、宽为b的小长方形纸片拼成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘法公式的几何意义，熟练掌握乘法公式的几何意义是解题的关键； 根据面积公式分别用加法和减法表示即可列出等式. 【详解】解：， 即． 故选：D. 16．（24-25七年级下·广东深圳·期中）我校“快乐农场”开辟出一块边长为的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜．为了兼顾美观，在菜地中设计两个长和宽分别为a，b的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为，每个长方形的面积为．如图，计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积是（    ）． A．53 B．35 C．47 D．68 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式与几何面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由题意先得出，再运用，得出，结合图形，得阴影部分面积，进行化简，再代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵在菜地中设计两个长和宽分别为、的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为2米，每个长方形的面积为35平方米， ∴， 则． （负值已舍去）， 阴影部分面积 （平方米）． 故选：A 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，B是线段CG上一点．若在阴影部分铺上防滑瓷砖，防滑瓷砖的面积为4，则 ． 【答案】6 【分析】先设两个正方形的边长，利用阴影部分的面积得到边长的乘积，结合两个正方形的面积和，通过完全平方公式的变形求出边长的和，即CG的长度． 【详解】解：设，． ∵防滑瓷砖的面积为， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴（负值舍去），即． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了正方形的面积公式、三角形的面积公式与完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 18．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知长方形，将图沿虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成图中的“回形”正方形． (1)观察图，请你写出、、之间的等量关系是_____． (2)根据（）中的结论，若，求的值； (3)拓展应用：如图，点，分别是，的中点，点在上，，以为边作正方形，点在上，交于点，长方形的面积为，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据图（）分别表示出大正方形、阴影部分和个空白长方形的面积和，再根据面积关系写出等量关系即可； （）利用（）的等量关系解答即可求解； （）由题意可得正方形的边长为，，进而由可得，又由长方形的面积为可得，即得到，最后代入计算即可求解； 本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式的应用，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：图中，大正方形的边长为，面积为，阴影部分是边长为，面积为，个空白长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）解：由（）得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意可知，正方形的边长为，， ∵，， ∴， 即， ∵长方形的面积为，即， ∴， 把代入得，， 整理得，， ∴． 【题型6】完全平方公式的规律探究问题 【例6】（七年级下·广西百色·期中）观察下面的规律： …… 写出第n行的式子，并证明你的结论． 【答案】等式成立. 【分析】仔细观察各式的结构特征，不难发现式子的左侧是连续两整数及它们乘积的平方和，右侧是它们的乘积与1的和的平方．然后，证明结论． 【详解】解:第 n行的式子为： 左式=     =     = = 右式= = =… ∴左式=右式     ∴等式成立. 【点睛】完全平方公式． 【变式训练】 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）观察下列算式： ， ， ，          说明当n为自然数时，的正确性． 【答案】见解析 【分析】本题考查了整式的乘法． 通过代数变换，将左边表达式展开并化简，验证是否等于右边表达式． 【详解】证明：∵，， ∴． 令， 则左边表达式为， ∵， 又， ∴左边表达式右边． 因此，等式成立． 【题型7】利用完全平方公式的非负性求值 【例7】（24-25七年级下·吉林长春·月考）【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________=（x- ）2； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】【应用】（1）36，6；（2），最小值【探究】，见解析 【分析】本题考查配方及其应用，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键． （1）根据完全平方公式的特征求解． （2）先配方，再求最小值． 探究：作差后配方比较大小． 【详解】应用：（1）∵ 故答案为：36，6． （2） ∵， ∴当时，原式有最小值． 【探究】因为，， ； 因为， 所以， 所以， 即． 【变式训练】 20．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，模仿题意的解题过程，进行变形作答即可． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴所以的最小值为， 故选：B． 21．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知的展开式中不含的二次项，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式、完全平方式及代数式的值，熟练掌握多项式乘以多项式、完全平方式及代数式的值是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据“不含二次项”可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解： ； ∵的展开式中不含的二次项， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 22．（24-25七年级下·全国·专题练习）先学习下面内容，再解决问题． 例题：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴且， ∴． 问题： (1)若，求的值． (2)若a，b，c是等腰的三边长，其中a，b满足，求的周长． 【答案】(1)4 (2)13或14 【分析】（1）根据完全平方公式把已知条件变形得到，再根据非负数的性质求出，然后把的值代入计算即可； （2）先根据完全平方公式配方，然后根据非负数的性质列式求出的值，再根据等腰三角形的定义分两种情况讨论即可求解． 本题考查了等腰三角形的定义，完全平方公式的应用，三边关系的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴或4， 分两种情况： 当时，，的周长为， 当时，，的周长为， 23．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在求代数式最值问题中有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ，，的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为______； (2)用配方法求代数式的最小值，并求出此时的值． (3)若实数，满足，求的最小值． 【答案】(1)或 (2)最小值为， (3)4 【分析】本题考查了完全平方式以及配方法的应用，在配方法中，通过加上或减去适当的常数，可将代数式凑成完全平方式，在配方时加减的常数为解决本题的关键． （1）根据完全平方式的定义求解即可． （2）由配方法的定义，可将配方成，将配方成，再配平常数，根据完全平方式非负即可求解最值，再由幂的运算法则即可计算． （3）先将转化为，再将配方为，将看做一个整体，根据完全平方式非负即可整体求解的最小值． 【详解】（1）解：根据完全平方式的定义，即， 可知代数式中，， 则， 当时，，解得； 当时，，解得； 所以或． （2）解： ， ，， 当，时，有最小值，最小值为， 此时，，解得：，． 所以． （3）解：， ，， ，，的最小值为4． 【题型8】有关完全平方公式的新定义问题 【例8】（24-25七年级下·山东菏泽·月考）若一个整数能表示成两个正整数m，n的平方和的形式，即，则称这个数是“完美数”．例如：因为，所以20是“完美数”；再比如：（是正整数），所以也是“完美数”． (1)判断58是否是“完美数”，并说明理由； (2)已知（a，b是正整数，k是常数），要使W为“完美数”，试求出k的值； (3)已知 ，求的值． 【答案】(1)58是“完美数”，理由见解析 (2) (3)2 【分析】本题考查了新定义，完全平方式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）整理得，结合“完美数”的定义，进行作答即可． （2）先整理得，因为要使W为“完美数”，所以需要是完全平方式，即可作答． （3）因为，得出，得，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，58是“完美数”，理由如下： 依题意，， ∴58是“完美数”， （2）解： ∵要使W为“完美数”， ∴需要是完全平方式， 即， ∴． （3）解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 24．（25-26七年级下·北京·期中）阅读理解： 定义：如果一个数的平方等于，记为，则这个数i叫做虚数单位，形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．复数的加、减、乘法、乘方运算可以延用整式的运算法则． 例如：； ； ． (1)填空：______，______； (2)计算：； (3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等．完成下列问题：已知，x，y为实数，求． 【答案】(1)i； 5 (2) (3) 【分析】本题考查整式的运算、解二元一次方程组、代数式求值，理解题中虚数定义和复数的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似并灵活运用是解答的关键． （1）根据题中虚数定义和整式中的同底数幂的乘法运算法则以及整式的平方差公式求解即可； （2）利用整式的完全平方公式和题中虚数定义求解即可； （3）根据复数相等列二元一次方程组求得x、y值，再代值求解即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：i；5 （2）解：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． 25．（18-19七年级下·江苏南通·期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”. （1）试分析28是否为“神秘数”； （2）2019是“神秘数”吗？为什么？ （3）说明两个连续偶数2k＋2和2k(其中k取非负整数)构造的“神秘数”是4的倍数． （4）设两个连续奇数为2k+1和2k－1，两个连续奇数的平方差（k取正整数）是“神秘数”吗？为什么？ 【答案】（1）28是“神秘数”；（2）2019不是“神秘数”；（3）由2k＋2和2k构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍；（4）不是“神秘数”. 【分析】本题主要考查完全平方公式和平方差公式，能熟练利用完全平方公式和平方差公式进行计算； 【解题方法提示】分析题意，对于（1）（2），结合神秘数的定义，看是否可以将28与2092写成两个连续偶数的平方差，即可得出答案； 对于（3），两个连续偶数构造的神秘数为(2k+2)2-(2k)2，化简看是否是4的倍数； 对于（4），设这两个连续奇数分别为2k+1和2k-1，所以有(2k+1)2-(2k-1)2=8k，判断8k是否是神秘数就可得出答案． 【详解】（1）28=82-62是“神秘数” （2）2019不是“神秘数” 设2 019是由y和y－2两数的平方差得到的， 则y2－(y－2)2＝2 019，解得：y＝505.75，不是偶数， ∴2 019不是“神秘数”.     （3） (2k＋2)2－(2k)2＝(2k＋2－2k)(2k＋2＋2k)＝4(2k＋1)， ∴由2k＋2和2k构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍. （4）(2k＋1)2－(2k－1)2＝8k，是8的倍数，但不是4的倍数，根据定义得出结论，不是“神秘数”. 【点睛】平方差公式，完全平方公式． 26．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：，例如：． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义运算法则，完全平方公式，理解新定义及熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据新定义把式子化简，再利用完全平方式的系数特征列式计算即可； （2）用新定义把式子化简为，再根据完全平方公式将所求式子展开，最后将，整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：， 即， ， ； （2）， 即， 整理得， 又， ． 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用完全平方公式，合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，则A不符合题意， B、，则B不符合题意， C、，则C符合题意， D、，则D不符合题意， 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）下面的多项式中，适用于完全平方公式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用完全平方公式进行判断即可得出答案． 【详解】解：， 适用于完全平方公式． 故选：D． 3．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）下列各式中，与相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，牢记完全平方公式成为解题的关键． 利用完全平方公式对原式进行变形，再逐项判断即可解答． 【详解】解：原式为，根据完全平方公式，可变形为，对应选项C符合题意． 故选C． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）代数式的所有值中，最小的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解决问题的关键．根据完全平方公式将变形，再根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：， ， ， ∴原式最小值为1． 故选：C． 5．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）若，，则M与N的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减及完全平方公式的应用，求出M与N的差，根据完全平方的非负性即可解决． 【详解】解： ， ∵， ∴，即． 故选：A． 6．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）若，，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键， 利用完全平方公式展开已知等式，联立相加直接求解． 【详解】∴ 和 ， ∴，， 将两式相加：， ， 两边同时除以2，得： 故选：B． 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，四边形、均为正方形，其中，，，正方形与正方形重叠部分的面积为28，则图中阴影部分的面积为（   ） A．116 B．88 C．90 D．92 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式与几何图形面积的应用，设，根据正方形的性质表示出，进而求出，即可求出，由正方形与正方形重叠部分的面积为28，可得，再根据正方形的面积为，即可得出答案． 【详解】解：设， ∵四边形、均为正方形，且，， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∵正方形与正方形重叠部分的面积为28， ∴， ∴正方形的面积为， ∴图中阴影部分的面积为． 故选：B． 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知，则代数式的值（ ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方差公式、代数式求值、完全平方公式，对原式的左边进行变形是解题的关键．先对原式的左边进行变形，进而得出答案． 【详解】解： ， ， 则， 故选：C． 二、填空题 9．（24-25七年级下·江苏徐州·月考） ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解答的关键．根据完全平方公式求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）化简 ． 【答案】 【分析】利用平方差公式，再利用完全平方公式进行化简即可．本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握平方差公式及完全平方公式的结构特征是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式． 直接根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式将已知条件展开后计算可得，然后将展开后代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则， ∵ 故将代入，可得． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）已知，，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了利用完全平方公式运算，把两式相减，再利用完全平方公式把等号左边展开化简即可求解，熟记完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若．则 ． 【答案】 【分析】本题给出两个关于、与的等式，要求的值．解题思路是将两个等式相加，然后通过因式分解的方法，将式子转化为含有的形式，进而求出的值．本题主要考查了因式分解以及平方根的概念，熟练掌握完全平方公式以及平方根的求解方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·江苏南京·期末）若，，则 （用含有m，n的式子表示，结果需化简） 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键．将，两边分别乘方并利用完全平方公式展开，然后将两式相减求得的值即可． 【详解】解：，， ，， ①，②， ①-②得：， 则， 故答案为： 16．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，可得，设，则，即得，，进而得到，再利用可求得，据此即可求解，掌握完全平方公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17．（25-26七年级下·全国·课后作业）用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了完全平方公式， ，熟悉完全平方公式是解题关键. （1）根据完全平方公式求解即可； （2）根据完全平方公式求解即可； （3）根据完全平方公式求解即可； （4）根据完全平方公式求解即可； （5）根据完全平方公式求解即可； （6）根据完全平方公式求解即可. 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式. 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)40401 (2)806404 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式． （1）将201拆分为，根据完全平方公式计算即可； （2）将898拆分为，根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，则 (1)xy的值为 ． (2)的值为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据的值即可知道值，根据即可求得的值； （2）根据以及第一问中的值即可求得的值. 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：． （2）解：； 故答案为：． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称整式A是完全平方式．例如：，，所以，都是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，，则________． (2)如果是一个完全平方式，求t的值． (3)若m满足，求的值． 【答案】(1)2 (2)t的值为7或-9 (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，要熟练掌握、、间的关系． （1）根据公式进行变形即可求得答案； （2）利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值； （3）根据公式进行变形，将和看作整体代入即可求得答案． 【详解】（1）解：， ． ， ， 解得：． 故答案为：． （2）解：是一个完全平方式， 即是一个完全平方式， 或， 解得或， 即的值为或． （3）解：， 而， ， ， ． 21．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）【情境重现】如图1，课本第75页情境通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，探索计算的方法，并用此方法解答下列问题： (1)若，，直接写出的值______； (2)填空：①若，则______； ②若，则______； (3)如图2，将两个大小不等的正方形按如图所示的方式放置（点B、C、E在一条直线上），连接、、．若，阴影部分面积为36，求的面积． 【答案】(1)13 (2)①10；②22 (3)12 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景和应用，熟练掌握数形结合是解题的关键． （1）根据即可求解； （2）①根据即可求解； ②根据即可求解； （3）设大正方形边长为a，小正方形边长为b，根据，阴影部分面积为36，得出，，即可求出，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 故答案为：13． （2）①已知 ∴ ∴ 故答案为：10． ②已知 ∴ ∴ 故答案为：22． （3）设大正方形边长为a，小正方形边长为b， ∵，阴影部分面积为36， ∴， 则 ∵ ∴ 即． 22．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【答案】(1)11 (2)； (3)①2；② 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得，化简后代入，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 若是完全平方式，则； （3）解：①∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知： ， 将，代入可得，原式． 23．（23-24七年级下·全国·单元测试）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为，．若，，请直接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由个正方体和个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知 ，，利用中的恒等式求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查完全平方公式和立方公式，熟练掌握数形结合是解题的关键； （1）根据图形的面积即可求解； （2）根据四边形和都是正方形，设，，根据，即可求解； （3）根据题意可得，正方形体积表示为或，即可求解； （4）根据，，结合即可求解； 【详解】（1）由图可知，大正方形面积为或， ， ， （2）由图可知，∵四边形和都是正方形， ， ， ，又， ， ， ， ， 即阴影部分的面积为 （3）由图得，正方形体积表示为， 也可以表示为， ， 即 （4），， 由得， ， 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $