湖北省部分学校2025-2026学年高三上学期模拟1数学试卷

2026年普通高等学校招生全国统一考试（模拟1） 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，请将试卷、答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，，则 A. 　　　　 B. 　　 C. 　　 D. 2. 已知事件，相互独立，，，则 A. 　　　　 B. 　　　　 C. 　　　　 D. 3. 已知向量与的夹角为，，，则 A. 　　　　 B. 　　　　 C. 　　　　 D. 4. 已知等比数列满足：，。设，记数列的前项和为，则 A. 　　　　 B. 　　　　 C. 　　　　 D. 5. 小明体检后，遵照医嘱：在疗程内每天需要饮水（）。若小明用的水杯近似为正四棱台，其上口边长为，底部边长为，高为。若水杯厚度忽略不计，则小明在疗程内每天需要饮水的杯数至少是 A. 　　　　 B. 　　　　 C. 　　　　 D. 6. 平面直角坐标系中，为定圆上一动点，为平面内一定点，，为非零常数，若点满足，则的轨迹为 A. 　　　　 B. 　　　　 C. 　　　　 D. 7. 已知，则下列不等式一定成立的是 A. B. C. D. 8. 已知函数的图像关于对称，则其最小值为 A. -15 B. -16 C. -17 D. -18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 已知复数（i是虚数单位），则 A. B. C. D. 10. 已知是定义在的偶函数，且当时，，则 A. B. 当时， C. 是的极小值点 D. 存在实数k，使得直线与的图象恰有1个公共点 11. 我们把半径相等的圆称为等圆.在平面上过同一点P有个等圆，其中任何两个圆都有两个不同的交点，但任何三个圆除点P外无其它公共点，记这n个等圆共有个交点，则下列结论正确的是 A. B. C. 存在，使得 D. 任意且，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为________. 13. 已知，则___. 14. 已知正的边长3，E，F分别为边AB，AC的中点， 将沿直线EF翻折到，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球O的表面积为________，此时分别过C，E作球O的两个相切的平面，，设，相交所成的二面角大小为，则________.（第一空3分，第二空2分） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤。 15.（13分） 记的内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若的角平分线交边于点，，，求的周长. 16.（15分） 已知四面体，在面上的射影为，为的外心，，. （1）证明：； （2）若为中点，，求平面与平面夹角的余弦值. 17.（15分） 袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机地逐个取出，并将第次取出的球放入如图所示的编号为的抽屉里. 1 2 3 4 5 6 7 （1）求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率； （2）记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为，求的分布列和数学期望； （3）记“从左往右数，任意前个抽屉中，白球总数均不少于黑球总数”为事件，求事件的概率. 18.（17分） 已知椭圆的离心率为，短轴长为，正的三边分别与相切于，，三点，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率不存在，求的中心坐标； （3）证明：点不是的中心. 19.（17分） 设函数，且，. （1）证明：在上不单调； （2）若有且仅有一个零点. （i）证明：； （ii）当时，求. 2026年普通高等学校招生全国统一考试（模拟1） 数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A B C A D B ABC AC 题号 11 答案 ABD 12. < 13. < 14. <； 15.（13分） （1）由及正弦定理，得， ∵，∴， ∵，，∴，∴，∴或. ∵，∴，∴，即. （2）如图： ∵， ∴， ∴①， 又在中，由余弦定理可得，即②， 将①代入②得，∴或（舍）， ∴. ∴的周长为. 16.（15分） （1） 连接并延长交于，连接，， 因为恰好为的外心，所以， 又，，所以， 所以，即是的角平分线， 又，所以由等腰三角形三线合一可得， 因为在面上的投影为，所以面， 又面，所以， 又，，面，所以面， 又面，所以。 （2） 解法一：在中，由（1）与等腰三角形三线合 一可知是的中点， 由（1）知，面， 取中点，连接，因为，，面， 作垂直交于点，连接，即为平面与平面夹角的平面角。 由题可得，，， ，， 即平面与平面夹角的余弦值为。 解法二：由（1）知，面，过作轴平行于，则轴垂直于面，如图建立空间直角坐标系， 在中，由（1）与等腰三角形三线合一可知是的中点，又，，则， 设，则，又，所以，解得，故， 则，，，，， 故，， 设为平面的一个法向量，则， 取，则，，故， 易得是平面的一个法向量，设平面与平面夹角的平面角为， ，， 所以平面与平面夹角的余弦值为。 17.（15分） （1）设“编号为2的抽屉里放的是黑球”，则。 （2）的可能取值为1，2，3，4， ，， ，， 用表格表示分布列，如下表所示： 1 2 3 4 。 （3）依题意，编号为1的抽屉里放的一定是白球，一共可以分为如下5种情况： ①序列前缀为：白黑白白……， ②序列前缀为：白黑白黑白……， ③序列前缀为：白白黑白……， ④序列前缀为：白白黑黑白……， ⑤序列前缀为：白白白……，， 。 18.（17分） （1）由题意知 解得 则椭圆的方程为 . （2）不妨先设直线，如图， 为正三角形， 不妨设，分别在轴的上、下方，则直线的斜率为 ， 设直线，，联立 ， 直线与椭圆相切， ，解得，即直线过点， 同理可得，直线过点，。 此时，关于轴对称，的中心在轴上，坐标为 ， 同理，当直线为时，由对称性可知，的中心坐标为 ， 综上，的中心坐标为 . （3）由（2）可知，当三条切线，，中有一条直线斜率不存在时，的中心不是点。 当三条切线，，的斜率都存在时， 设，，，， 设， 则 ， 整理得， ， ，， ，， ，， ， 同理可得，，， 假设点是的中心，则点到，，的距离相等， ， ，，， ，，中必有两点关于坐标原点对称，此时存在两条切线互相平 不能围成三角形， 原假设不成立，即点不是的中心. 19.（17分） （1）函数的定义域为，，设 ，故在上单调递增， 取，取为与中的较小值. . ， 故由零点存在性定理，在上存在零点， 又恒成立，故存在唯一零点使得， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，则在上不单调. （2）若，此时，且当时，恒成立， 故，则由零点存在性定理，在上存在一个零点. 取，由于函数的导数， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则在处取最小值， 故恒成立，则， 时，的导数为，设，则， 故单调递增，则，故在单调递增， 且在时为1，故，则， 则，故在上存在一个零点. 故在与上各存在一个零点，与有且仅有一个零点矛盾； 若，由（1）有，故无零点，与有且仅有一个零点矛盾， 综上，. 故且，等价于，，则， ① 由，，可知，， 故可得，，且，， 代入方程，由于，则， 设，其中，则等价于， 又，当时，，单调递增， 又，故当时，，当时，。 设，则要使在，时成立，有或， ，因此。 设函数，其中，则， 设，则，故单调递增， 又，则时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又方程有解，故必有， 即，即，解得。 综上，。 ② 由，和，得，即。 代入得， 等价于，设，， ， 由于，故，，，则恒成立， 在上单调递增，至多只有一个零点。 又，故是方程的唯一解。 此时，。 则。 选填题部分题目解析 4.B 【详解】设等比数列的公比为，则， 则，可得，所以， 则， 所以。 故选：B. 6.A 【详解】设，，，，定圆的半径为， 则定圆的轨迹方程为， 由向量的坐标表示可知， 即，解之得， 代入圆的轨迹方程有， 整理得， 所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆。 故选：A 7.D 【详解】对A，因为，且函数在区间上单调递增， 所以，，所以，即， 所以，错误； 对B，因为函数在区间上单调递增， 所以，当时，，， 所以，即， 此时，错误； 对C，当时，，， 所以， 此时，错误； 对D，因为是偶函数，且在上单调递减， 所以，当且时，，， 所以，即，， 此时； 当且时，，， 所以，即，， 此时。 综上，，D正确。 故选：D 8.B 【详解】，因关于对称， 故的根应为1和<；所以，得，，即 。 令，则，代入得： ，令，，函数开口向上， 对称轴为，，因此，函数的最小值为<； 故选：B 9.ABC 【详解】因为，，所以， ，故选项A正确； ， 而，与相等，故选项B正确； ，故选项C正确； ， ， 所以，故选项D错误. 故选：ABC 10.AC 【详解】由题设，A对， 若，则，故， 由为偶函数，则，B错， 由上时，，则， 令，即在上单调递增， 又，故在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，C对， 由C分析，或时，且， 所以、上，又为偶函数，则、上， 所以直线与的图象恒有2个交点，D错. 故选：AC 11.ABD 【详解】过同一点有个等圆，当增加第个圆时，第个圆与前个圆 各有一个除外的交点，因此递推关系为：. 当时，三个等圆过同一点，每两个圆有个交点，但是公共点， 所以除外，每两个圆有个交点. 三个圆中两两组合的数量为，因此. 由递推关系式可得：，，，. 将这些式子累加得. 所以. 对于A： ，所以A正确； 对于B： ，所以B正确； 对于C： 令，则，化简得. 判别式为，因为不是整数，所以不是整数，所以C错误 对于D： 由上述推导，很显然D正确. 故选：ABD. 13. 【详解】因为，所以，即 ， 又 ， 所以， 所以 故答案为： 14． 【详解】因为的面积为定值，所以当平面平面时，点到平面的 距离最大， 这时三棱锥的体积最大. 设的中点为，的中心为，的中点为，则平面， ∵四棱锥外接球的球心为，则平面， 又，所以是四边形外接圆的圆心，故平面， 则， 此球的半径， 所以外接球的表面积 这时， 在中，， 又，， 则， 故 故答案为：， 学科网（北京）股份有限公司 $