宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B A B B A D ACD BC 题号 11 答案 BCD 12． 【分析】根据零指数幂的意义及幂函数的定义计算即可. 【详解】， 设，则，故， . 故答案为：. 13． 【解析】由函数的单调性和奇偶性得,解之可得答案. 【详解】因为函数在单调递减，且为奇函数，所以, 所以由得,所以,解得, 故答案为: . 【点睛】本题考查运用函数的奇偶性和单调性求解不等式,关键在于由性质,化简不等式,得到关于 的不等式,属于基础题. 14． 【分析】设圆上的一点，得到中点坐标为，代入双曲线的渐近线方程，得到，根据直线与圆存在公共点，结合，求得，进而求得离心率的取值范围. 【详解】由双曲线的右焦点为，则， 又由圆的圆心为，半径为， 设圆上的一点，可得的中点坐标为， 因为双曲线的渐近线方程为，可得，即， 又因为直线与圆存在公共点， 则圆心到直线的距离， 即，可得， 所以，解得， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故答案为：. 15．(1)； (2). 【分析】（1）由通项公式及求和公式列出等式求出首项、公差即可求解； （2）由（1）结合等比数列求和公式即可求解. 【详解】（1）设公差为， 由题意可得，， 解得：， 所以 （2）由（1）可得 则是首项，公比为2的等比数列 则 16．(1)存在，2 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及平面的法向量，结合线面平行时向量关系求解即可. （2）求出平面的法向量，利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）连接，交于点，则为，中点， 因为，，所以，为等边三角形， 所以. 又因为，，所以为等边三角形， 所以，平面， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面， 所以. 以点为原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.    则，，，，， 则，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以. 设，则， 因为平面，所以，即，解得， 此时点与重合，则. （2）由（1）知，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以. 设直线与平面所成角为， 则 . 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用两点距离公式可计算P坐标，代入抛物线方程即可； （2）设方程及坐标，利用E坐标表示方程，联立方程得出S坐标，结合点在抛物线与直线上消元转化即可证明； （3）设坐标及直线方程，利用坐标表示，结合焦点弦的性质消元转化表示，并根据几何性质把面积比化为线段比，再化为坐标比，构造函数计算其范围即可. 【详解】（1）因为若当点P的纵坐标为时，, 不妨设，则，即， 代入抛物线方程有，所以； （2）由（1）知，C的准线， 不妨设，， 若平行于x轴，则， 所以，整理得， 联立方程有， 又在抛物线C和直线上，即， 则有，此时，即， 则S在抛物线C上，证毕； （3）在（2）的条件下可知两点重合，由重心的性质不难知Q为线段的中点， 同（2），仍设，， 则， 联立， 所以， 且， 则， 可知，整理得， 设， 与C联立有， 所以，即， 由于Q为线段的中点，所以到直线的距离相等， 则， 设， 若，则，显然，所以； 若，则； 若，则，所以； 综上.    【点睛】思路点睛：第二问是教材例题的变式，设点坐标表示相应直线方程，求出S坐标，验证其横纵坐标是否满足抛物线方程即可；第三问，仍是利用点坐标来表示直线方程，利用韦达定理表示，并根据几何性质把面积比化为线段比，再化为坐标比，构造函数计算其范围即可. 18．(1) (2) 【分析】（1）由得到，从而直线的方程为，与双曲线方程联立，求得点A，B的坐标，再由求解； （2）法一：根据过点，分不存在和存在时，设直线的方程为，与双曲线方程联立，根据为中点，求得k，再利用弦长公式求解；法二：根据点为中点，利用点差法求得直线的斜率为，再利用弦长公式求解. 【详解】（1）由题设双曲线， 因为， 所以，直线的方程为， 联立方程解得， 故， 又因为， 所以， 所以，则， 而． 所以双曲线C的标准方程为； （2）如图所示：    法一：因为过点的直线与双曲线相交于两点，直线斜率为， 1）当不存在时，直线的方程，显然不是中点（舍）， 2）当存在时，设直线的方程为，即， 联立方程得①， 设，则， 因为为中点，所以，，解得， 故直线的方程为，即， 将代入①，得， 则， ， 故直线的方程为，弦长， 法二：因为过点的直线与双曲线相交于两点， 为线段的中点可知，直线的方程不是， 设，直线的斜率为， 由，得， 所以， 因为为中点，则 即， 直线的方程为，即， 联立方程，得， 则， ， 故直线的方程为，弦长. 19．（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）设，根据，结合抛物线的定义解出，最后由可以解出p，从而得到抛物线方程； （2）先求出直线的方程，设：，代入抛物线方程，由根与系数的关系得到，，写出直线，与直线的方程联立解出，同理解出，证明即可得证. 【详解】（1）拋物线的方程为，设， 因为，由拋物线定义，即．所以， 又由，得，解得（舍去）， 所以抛物线的方程为． （2）证明：直线：，令，得，所以点． 因为直线平行于直线：且过点，所以直线：． 设点，，直线：， 联立消去得， 则．由根与系数关系得，， 易得直线：，直线：． 联立解得， 同理可得， 所以 ． 因为，所以，即A是的中点，所以． 【点睛】本题的运算量很大，解析几何压轴题要把握一个原则就是“这道题需要什么那就应该先求出什么”，需要，那么就应该先求出，进而应该先求出直线，直线的方程；另外涉及根的问题，一定要想到用根与系数的关系进行解决，平常注意对题型的归纳和总结. 答案第2页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2025-2026学年第一学期高二年级1月月考 数学试题 一、单选题：本题共40分。 1．设直线过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知集合则集合的元素个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知是空间直角坐标系中一点，与点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 6．已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A． B．1 C． D． 7．如图所示，椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于且，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 8．已知直线：与椭圆：至多有一个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共18分。 9．已知等差数列中，，，前项和为，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 10．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（    ） A． B． C．双曲线的渐近线方程为 D．直线的斜率为4 11．已知正方体的棱长是6，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则下列说法正确的是（   ） A．直线与直线是相交直线 B．在边上存在一点，使得 C．三棱锥的体积为36 D．平面截正方体形成的截面图形为五边形 三、填空题：本题共15分。 12．已知函数(且)的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则 13．已知函数在单调递减，且为奇函数，则满足的的取值范围为 . 14．双曲线（，）的右焦点为，若在圆上存在点P，使得的中点在C的渐近线上，则双曲线C的离心率的取值范围是 . 四、解答题：本题共77分。 15．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和. 16．如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面，.    (1)在棱（包括端点和）上是否存在点，使得平面？若存在，求的长，若不存在，说明理由； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17．已知抛物线.过抛物线焦点F作直线分别在第一、四象限交于两点，过原点O作直线与抛物线的准线交于E点，设两直线交点为S.若当点P的纵坐标为时，. (1)求抛物线的方程. (2)若平行于x轴，证明：S在抛物线C上. (3)在（2）的条件下，记的重心为R，延长交于Q，直线交抛物线于（T在右侧），设中点为G，求与面积之比n的取值范围. 18．已知双曲线的焦点在轴上，中心在坐标原点，虚轴长为4，左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于两点且的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程及直线被双曲线截得的弦长． 19．已知拋物线：（）的焦点为，为坐标原点，为拋物线上一点，且． （1）求拋物线的方程； （2）设直线：交轴于点，直线过点且与直线平行，动直线过点与拋物线相交于，两点，直线，分别交直线于点，，证明：． 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $