培优01 ω的取值范围问题 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

培优01 的取值范围 题型1 已知单调性求范围 题型2 已知图象求范围 题型3 已知函数性质求范围 题型 4 结合零点求的取值范围 题型1单调性求范围 S1 已知函数在上单调递增（或递减），求的取值范围 （1） 根据题意可知区间的长度不大于该函数最小正周期的一半(即，所以)； （2） 若单调递增，利用，得区间端点值的大小关系，解得的范围； 若单调递减，利用，解得的范围.同上 S2 结合第一步求出的的范围对进行赋值，从而求出的取值范围 典例1 已知函数在区间上单调递减，若（2）（4），则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】利用三角函数性质求出对称轴方程；再利用S1 、S2 求出的的范围，这里k,n未必是同一个整数，所以对进行赋值，从而求出的取值范围. 【解答】解：由题意 所以， 若（2）（4），则函数关于对称，则，（1） 函数在区间上单调递减，则 （2） 由（1）代入（2） 则取，解得，则实数的取值范围为．故选：． 变式1（多选题） 已知函数在区间上单调递增，则的值可能为　　 A． B． C． D． 【解答】选：． 解：函数在区间上单调递增， ，整理得：， 所以，所以．令得，又，所以．故 变式2 单选题 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是　　 A．， B． C． D． 【分析】利用降幂公式、辅助角公式化为一个角的三角函数；再利用S1 、S2 求出的的范围对进行赋值，从而求出的取值范围 【解答】解：由于， 因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增，且，即0<≤4． 因为，所以，函数在上单调增， 等价于或， 所以，解不等式得或， 所以，的取值范围是．故选：． 变式3 填空题 已知函数在区间上单调递增，且 【分析】利用三角函数辅助角公式化成；再利用S1 、S2 求出的的范围，，所以对k进行赋值，从而求出的取值范围. 【答案】 解：由题意 且函数在区间上单调递增， 所以， 函数在区间上单调递减，则 又函数关于对称，则 题型已知图象求范围 必会结论; 1. 平移后与原图象重合 (1)平移长度即原函数周期的整数倍数； (2) 平移前的函数平移后的函数; 2. 平移后的函数与原函数关于轴对称：平移后的函数为偶函数； 3.平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数平移后的函数； 4. 平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。 典例2 已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则ω的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由代点法求出，利用图象平移规律得到函数，再根据解析式按题型1 步骤可得答案. 【详解】由得即， 因为，所以，可得， 将函数图象上所有的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得到函数， 由得， 所以的单调递增区间为， 可得，则， 解得，又因为对，在上都不单调， 所以，解得， 综上，. 故选：B. 变式1 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先得到函数变换的图像，由定区间上的零点个数判断解出，再由余弦函数递减区间计算得出，取交集得到的取值范围. 【详解】依题意可得， 当时，， 因为在上恰有两个零点， （有k个零点，需要确定含有k+1个零点的区间长度的最小值） 所以，解得． 令，得， 令，得在上单调递减， 所以，所以又，所以． 综上所述，，即的取值范围是． 故答案为： 变式2 将函数图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数，函数的部分图象如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象变换得出表达式，由图象上的点及它所图象上的位置（增减区间）确定的值，由函数在上恰有一个最大值和一个最小值范围． 【详解】由已知得函数，由图象过点以及点在图象上的位置， 知， 由在上恰有一个最大值和一个最小值，， . 故选：C． 变式3（已知，在函数与图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到两图象距离最短的两个交点坐标，计算即可. 【详解】由题根据三角函数图象与性质可得距离最短的交点坐标可以为， ，∴. 故选：D 题型3 已知函数性质求范围 典例3已知函数在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 必知结论: （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻的对称中心之间的水平距离为，相邻的对称轴和对称中心之间的水平距离为 （2）含有k个对称轴或对称中心，结合三角函数图象分析出取到k个和k+1个对称轴（或对称中心）时的图象，从而得到关于的不等式 （3）注意临界值的选取，不等式中等号是否取到。需要综合考虑多种因素．通过观察函数形式、确定基本周期、分析振幅和相位偏移、确定边界条件、利用三角恒等变换以及求解不等式等方法，可以逐步缩小的取值范围，最终得到准确的结果。 变式1已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的范围求出的范围，由题意可得，解不等式即可得出答案. 【详解】因为，所以， 要使函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心， 所以，（限制左端点范围）解得：. 故选：A. 变式2已知函数的图象在上恰有四个对称中心，则的取值范围为 . 【答案】. 【分析】结合题意，根据正弦函数的对称中心列出不等式求解即可. 【详解】由，则， 因为函数在上恰有四个对称中心， 所以，解得， 即的取值范围为. 故答案为：. 变式3函数（）在上单调，且在上存在对称轴，则的取值范围是 . 【答案】. 【分析】根据单调区间确定周期范围，可得，求出对称轴方程，根据轴右边第一条对称轴在区间，第二条对称轴大于等于求解可得. 【详解】因为在上单调，所以，即，故， 由得函数的对称轴为， 因为在上存在对称轴，所以，得. 因为，所以，即， 要使在上单调，则，解得. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题关键在于结合周期，考察轴右边第一条对称轴，第二条对称轴的位置，据此列不等式求解即可. 题型 4 结合零点求的取值范围 必会结论： 于区间长度的定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在区间至多含有k个零点，需要确定含有k+1个零点的区间长度的最小值。 典例4 将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平移伸缩得到函数的解析式，再根据在上有两个零点列出不等式组，解出取值范围即可． 【详解】由题可知，， 当时，， 因为函数在上有两个零点， 所以，解得， 故选：A． 变式1将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象.若在上没有零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象的变换可得，即可利用整体法，结合正弦函数的性质求解. 【详解】将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到， 再把所得图象的所有点向左平移个单位长度，得到函数， 因为函数在上没有零点， 当时，， 所以或， 解得或， 当时，或， 故选：D 变式2已知函数在上恰好有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：换元，由，得到，再结合余弦函数零点即可求解.法二：通过令，得，再结合，求解即可. 【详解】令，由，得， 函数在上恰好有一个零点，等价于函数在上只有一个零点， 所以结合余弦函数的部分图象得，解得. 故选：C 法二：令，得，则， 由，得，得. 因为满足题意的零点只有一个，即满足的整数只有一个，必为， 所以，解得. 故选：C. 变式3将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有5个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用三角函数图象的变换得出，再根据二次函数的性质得出在上有3个零点，法一、利用整体思想及正弦函数的性质得其零点为，根据定义域取值计算即可；法二、利用整体思想得，解不等式即可. 【详解】将函数的图像向左平移个单位长度， 得到函数，再将函数的横坐标变为原来的倍， 纵坐标不变，得到函数， 所以，因为当时，有2个零点， 所以要使在上有5个零点，则需在上有3个零点. 法一：令，则， 解得，当时，分别对应3个零点， 则，解得.故选A. 法二：因为，所以， 所以，则. 故选:A. 作业 选择题 1.已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求出的范围，由函数在区间上单调递增，列出不等式，从而求得ω的范围，取的值得到结果. 【详解】当时， ， 则， 即，解得， 当时，，又∵，则， 当时，， 当时，∵，此时无解， ∴. 故选：D. 2.已知函数 在上恰能取到次最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用倍角公式和辅助角公式化简得，根据题设条件列出不等式求解即可 【详解】 ， 令，又， 由 在上恰能取到次最小值， 即在上恰能取到次最小值， 所以，解得， 故选：A 3.已知函数在区间上是增函数，且在上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二倍角公式，诱导公式化简函数，通过范围求得范围，由函数单调递增建立不等式，解出的取值范围，通过范围求得范围，由函数在对应区间取一次最大值建立不等式，解出的取值范围， 【详解】， 当时，由在区间上单调递增可得，，解得． 当时，，由恰好在区间上取得一次最大值可得，解得， 综上所述，， 故选：D． 4.已知函数（ω＞0），若f（x）在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据三角函数恒等变换将三角函数化简成余弦型函数，根据自变量的取值范围求解出的取值范围，进而根据已知条件结合三角函数图像求得的取值范围 【详解】函数 ， 因为， 所以， 由于函数在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴， 根据函数的图像：      所以，整理得：． 故选：D． 5. 已知函数在上满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求出的范围，然后结合正弦函数的图象可得，从而可求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为， 所以由图象可得， 解得. 故选：D 6.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，点是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件，可得，作出函数的图象，结合三角函数的图象与性质及已知条件列出不等式求解即可. 【详解】依题意，，函数周期， 在同一坐标系内作出函数的图象，如图，    ，，为连续三交点，(不妨设在轴下方)，为的中点， 由对称性知，是以为底边的等腰三角形，， 由，整理得， 又，解得， 于是点，的纵坐标有，即， 要使为锐角三角形，当且仅当， 即，解得， 所以的取值范围是. 故选：C 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是准确把握三角函数的图象与性质，合理转化条件，得到关于的不等式. 7.已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知单调性及零点列式得出，令结合正弦函数的性质，分的值计算求参. 【详解】设函数的最小正周期为，因为在区间上单调递增， 所以，解得，所以． 令，则当时，． 则在区间上单调递增且存在零点等价于在上单调递增且存在零点， 所以，解得， 又，当时，得；时，得，其他值，均不合要求， 所以或，所以的取值范围是. 故选：C. 8.将函数图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点．下列四个命题中： ①的图象关于点对称；   ②在内恰有5个最值点； ③在内单调递减；         ④的取值范围是． 所有真命题的序号是（    ） A． ①③ B．①④ C．①②③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的图象变换性质求出函数的解析式，结合正弦型函数零点的性质求出的取值范围，并根据正弦型函数的对称性、最值、单调性逐一判断即可. 【详解】因为函数图象上各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位，得到函数的图象， 所以函数的解析式为：， 当时，， 因为函数在上有且只有5个零点，， 所以，解得， 因为，， 所以当时，，此时解不等式组，得， 当时，，即， 此时不等式组的解集为空集，故④正确； ①：因为，所以的图象关于点对称， 故本命题是真命题； ②：因为，所以， 又因为，所以，而， 即当时，，此时函数有4个最值点，故本命题是假命题； ③：因为，所以， 又因为，所以，而，故本命题是假命题； 故选：B 填空题 1. 若函数在上恰好有4个零点和4个最值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出的范围，再结合的图象，即可求解. 【详解】在上恰好有4个零点和4个最值点， 由于，结合的图象， 只需.      故答案为： 2.将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.则 ；若对于任意，总存在唯一的.使得，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用伸缩变换易得，由题意，令，可将题设条件转化为在上有唯一解，结合正弦函数的图象，以及，即得，解之即可. 【详解】由题意得， 当时，有，此时， 令，则，因为时，所以， 因为对于的任意取值，在上有唯一解， 即在上有唯一解，因，则，如图所示： 由图可知，，所以. 故答案为：；. 3.已知函数，若在闭区间上存在使成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由两角差的正弦公式，可得函数的解析式，满足条件，则和都达到最大值，求出，由的范围，可得的范围. 【详解】， 要使成立， 若闭区间上存在， 则，设， 则， 则，且， ， 可得，显然不成立，即不满足条件； 当时，， 当时，都符合条件，即； 综上所述：的范围为. 故答案为：. 解答题 1.设函数， (1)求函数的最小正周期； (2)若函数在是增函数，直接写出实数的最大值； (3)设，若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用两角和差公式以及辅助角公式化简，再利用周期公式计算即可； （2）先求出的单调增区间，再令即可； （3）先求出的范围，再结合正弦函数的图象可得. 【详解】（1） ， 所以的最小正周期为. （2）令，则， 令，则；令，则； 令，则； 若函数在是增函数，则， 则的最大值为. （3）， 因为，则当时，， 结合正弦函数的图象可知，为使在上恰有两个零点，则， 解得， 则的取值范围为. 2.已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期； （2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围； （3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为. （2）由，且，得， 若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，则， 则的范围为． （3）由关于的方程在区间上至少存在2024个根， 则关于的方程至少有2024个根， 则至少存在个使得， 因函数的最小正周期为， 故至少包含2023个周期，即 又在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，则， 得， 所以的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优01 的取值范围 题型1 已知单调性求范围 题型2 已知图象求范围 题型3 已知函数性质求范围 题型4 结合零点求的取值范围 题型1单调性求范围 S1 已知函数在上单调递增（或递减），求的取值范围 （1） 根据题意可知区间的长度不大于该函数最小正周期的一半(即，所以)； （2） 若单调递增，利用，得区间端点值的大小关系，解得的范围； 若单调递减，利用，解得的范围.同上 S2 结合第一步求出的的范围对进行赋值，从而求出的取值范围 典例1 已知函数在区间上单调递减，若（2）（4），则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 变式1（多选题） 已知函数在区间上单调递增，则的值可能为　　 A． B． C． D． 变式2 单选题 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是　　 A．， B． C． D． 变式3 填空题 已知函数在区间上单调递增，且 题型已知图象求范围 必会结论; 1. 平移后与原图象重合 (1)平移长度即原函数周期的整数倍数； (2) 平移前的函数平移后的函数; 2. 平移后的函数与原函数关于轴对称：平移后的函数为偶函数； 3.平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数平移后的函数； 4. 平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。 典例2 已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则ω的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式1 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为 ． 变式2 将函数图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数，函数的部分图象如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3（已知，在函数与图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型3 已知函数性质求范围 典例3已知函数在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 必知结论: （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻的对称中心之间的水平距离为，相邻的对称轴和对称中心之间的水平距离为 （2）含有k个对称轴或对称中心，结合三角函数图象分析出取到k个和k+1个对称轴（或对称中心）时的图象，从而得到关于的不等式 （3）注意临界值的选取，不等式中等号是否取到。需要综合考虑多种因素．通过观察函数形式、确定基本周期、分析振幅和相位偏移、确定边界条件、利用三角恒等变换以及求解不等式等方法，可以逐步缩小的取值范围，最终得到准确的结果。 变式1（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2已知函数的图象在上恰有四个对称中心，则的取值范围为 . 变式3函数（）在上单调，且在上存在对称轴，则的取值范围是 . 题型 4 结合零点求的取值范围 必会结论： 于区间长度的定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在区间至多含有k个零点，需要确定含有k+1个零点的区间长度的最小值。 典例4将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式1将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象.若在上没有零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2已知函数在上恰好有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有5个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 作业 选择题 1.已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2.已知函数 在上恰能取到次最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.已知函数在区间上是增函数，且在上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 4.已知函数（ω＞0），若f（x）在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5.已知函数在上满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，点是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.将函数图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点．下列四个命题中： ①的图象关于点对称；   ②在内恰有5个最值点； ③在内单调递减；         ④的取值范围是． 所有真命题的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．③④ 填空题 1.若函数在上恰好有4个零点和4个最值点，则的取值范围是 ． 2.将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.则 ；若对于任意，总存在唯一的.使得，则的取值范围为 . 3.已知函数，若在闭区间上存在使成立，则的取值范围为 . 解答题 1.设函数， (1)求函数的最小正周期； (2)若函数在是增函数，直接写出实数的最大值； (3)设，若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围. 2.已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $