专题3 求三角函数中ω的取值范围-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

重难点手册高中数学必修第一册RJA 专题3求三角函数中ω的取值范围 1.零点与w问题 2.对称性与ω问题 f(x)=Asin(ar十p)在区间(a,b)内有n个 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对 fa,Dr≤16-a<a+1)T, 2 2 称中心之间的“水平间隔”为了，相邻的对称轴 零点→π二2≤a<π+x一巴， T 和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说， k+n)r二2<b≤k+n+1)r-2 我们可以根据三角函数的对称性来研究其周 期性，进而可以研究w的取值 例①(2024·陕西安康模拟)已知函数 fx)=1-2 2sin+-w>0)在o,）上有 正弦函数的对称轴：x=x+受k∈D:余 弦函数的对称轴：x=kπ(k∈Z) 且仅有两个零点，则ω的取值范围是( . A后司》 a传周 例B已知函数fx)=cos(ar-一)w>0) 在区间[0,2π]内恰有3条对称轴，则w的取值 c6) D. 「713 6'6 范围是( ) 思维过程 「715 利用降暴公式降暴，结合余弦函数的图象特 A.8'8] 征，可得关于w的不等式，即可求得实数w的取值 范围 c层哥 「913 D.88 思维过程 解析函教fx)=1-2sin2(ar+若） 根据条件得到-刀≤r一元≤2mT 牙利用 =cos(2ax+）a>0 y=c0sx的图象与性质，再结合条件，即可求出结果. (这里用了式cs2a=12sira,下一节我们会学到) 解析因为0≤x≤2π， 由x∈(0,2），得2ar+5∈(5m+） 要使函数f(x)=1-2sim(ax+g)(w>0)在 又通数fx)=os(ar-）w>0)在区间[0,2] 恰有3条对称轴， (0,2)上有且仅有两个零点， 所以2x<2w-吾<3，解得号<<号 答案D 3,单调性与ω问题 已知函数y=Asin(wx十9)(A>0,w>0) 即a的取位花周是（合，哥， 在[x1,x2]上单调递增（或递减），求w的取值 答案B 范围 222 第五章三角函数 思路：若三角函数在区间[α，b]上单调递：交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最 增，则区间[a,b]是该函数单调递增区间的子 值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可 集，利用集合的包含关系即可求解， 以确定ω的取值.已知一条对称轴和一个对称 第一步：根据题意可知区间[x1,x2]的长 中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为 度不大于该函数最小正周期的一半， 2nT,则2n中T-2-16-al. 4 2w 即x4一x1≤T=求得0w x2-x1 例④(2025·江苏南京二模)已知函数 第二步：以单调递增为例，利用[x1十p, f(x)=sin(au十p)(aw>0,p∈R)在区间 r十p]-+2k,+2k ,解得w的取 (任，）上单调，且满足f(）-0,若函数fx) 值范围 在区间 第三步：结合第一步求出的ω的取值范围对 后，号）)上恰有5个零点，则的取值 k进行赋值，从而求出ω（不含参数）的取值范围. 范围为 例B(2025·四川成都一中模拟)已知函 思维过程 根据三角函数单调区间以及零点个数求出周 数f)=snlr+）o>o),当x(-行，》 期的范图，即可求得w的取值范围。 时，f(x)单调递增，则w的取值范围是 解析不妨设函数∫(x)的周期为T, 思维过程 利用正弦曲线的单调性列出关于仙的不等式 因为fx)在区间（年，）上单调， 组，解之即可求得如的取值范围」 可得受-<解得T>受 解桥当x（，）时，ar+子∈(-+ 又f(）=0, 如+》 国为✉)在（否，君）上单调递增， 又f)在区同后，）上格有5个零点， 3 则 解得ω≤1， 综上可得，行≤T<, 又w>0,可得0<w≤1. 所以红≤2红3x 答案(0,1]. 3 4 4.零点、最值、单点区间与ω的综合问题 解得<≤3，即。的取值范国为（停】 三角函数的对称轴经过图象的最高点或 最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的 答案（俘， 223综上所述，当n=2k一1，k∈N时，f(x)的最小正周期是2元 当n=2k+2,k∈N时，fx)的最小正周期是受.] Oπ-(ah3)a 归钠总结骨 根据题意，当n是正奇数时，易发现2π是f(x)的一个 y=tan r 周期，再任取一个(0,2x)内的数，证明其不是f(x)的周期： 归纳总结 当n是不为2的正偶数时，易发现受是了(x)的一个周期， 本题主要考查了三角函数的图象与性质，解题的关能 是利用图象分析角的范围，并结合三角函数的单调性判断. 在(0，受)内任取一个数，证明其不是fx)的周期 2x,n=2k-1, 3.11.[显然k=1时，sin1°=sin1°，满足要求， 2 k∈N”,[当n=2k-1,k∈N”时，f(x+ 当>≥2时，先考虑一个周期k∈[2,360]内， 2n=2k+2 当k∈[2,179]时，sink°∈(0,1)，故sin1°+sin2°+…+ 2x)=sin"(x+2x)+cos"(x+2x)=sin'x+cos'x=f(x), sink单调递增且大于sin1°， 所以2x是f(x)的一个周期， 而sin1°·sin2°…sink单调递减且小于sin1°，两者不可能 令f(x)=0,可得tanx=一1，即tanx=-1,解得x 3π 相等， 4 k∈[180,358]时，sin1°+sin2+…+sin单调递减且大于0， kπ，k∈N”, sin1°·sin2°…sink°=0，两者不可能相等， 下面证明2π是f(x)的最小正周期， 当k=359,360f时，sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°·sin2… 当T∈0,20，且T≠x,取-要-T,则f)≠0，而 sink°=0， f(x1+T)=0, 故要想sin1°+sin2+…十sink°=sin1°·sin2°…sink° 所以f(x1+T,)≠f(x1),所以T,不是f(x)的周期 成立， 当T2=π时，取x2=0, 则sin1+sin2°+…+sink°=sin1°·sin2°…sink°=0， 则f(x2)=f(0)=sin0十cos0=1,f(x1+Tg)=f(x)= 由周期性知，当k=359,719,1079,1439,1799时，等式左 -1, 边为0， 所以T2不是f(x)的周期. 又当k=360,720,1080,1440,1800时，sink°=0， 综上，当n=2k一1，k∈N°时，f(x)的最小正周期是2π. 故当k=1,359,360,719,720,1079,1080,1439,1440, 1799,1800时，满足要求，共11个.] 当n=2+2,k∈N”时，f(x+）=sm(x+)+cos( 归纳总结骨 本题需要先分析得到等式两边的单调性，从而确定只 +受）=osix+imx=fe, 有两者等于0时，才会符合要求，进而结合正孩函数周期性 所以5是f(x)的一个周期。 和特殊值得到答案。 专题3求三角函数中ω的取值范围 下面证明是(x)的最小正周期。 1.B[由题意可知， 当T,∈(0，受）时，取-受-T则n∈0,1， 令fx)=sim(3ar-f）)小sin(2ar+）=0, 所以(sinx3)+2<(sinx)2,(cosx)4+3<(cosx3), ∴f(x3）=(sinx)4+2+(cosx3)4+2<(simx8)2+ 即sin(3ur-）=0或sin(2ar+）=0, (cos Zs)产=1， 即x=kD或x=6酰1x,k∈乙， 12w 12w 面f+T,)=f(经）=sm“登十os登=1， π5x7x9π 当x>0时，零点从小到大依次为x=1212'12'12 所以f(x3十T)≠f(x), 13元17x19x 所以T:不是f(x)的周期. 12w'12w'12a 综上，当n=2+2,k∈N时，/x)的最小正周期是受 因此有<<瓷即。e(（侣哥] 83 2D[函数fx)=cs(ar-)=im(ar十)在（受，）上 当m=1时，江一C为)轴右侧第1条对称轴 无零点， 因为f)在(o,号）上没有最小值，所以密营，即<号。 当x∈（受，x)时，+<x+5<wx+ 故由0<+2<，解得-<k≤品k∈， 管+≥ 由题设可得存在整数k,使得 k∈Z成立， 放=0，得w=是] 6.C[因直线x=牙是曲线y=sin(ar-牙)(w>0)的一条 解得-号+2<<号+，k∈ 对称轴，则子。一子=x十受∈乙即a=k十3，k∈么，由 而。>0，放≥0且<号故表=0,1 当-0时，号<<号：当k-1时，号<< <一<受得-<<则函数ymr 2 结合>0可得的取值范围为(0，号]U[学，]门 )在[乙河上单调递增，而函数y=m(r一)在 3D[因为0x<2x,所以-千<r-子<2wx吾 区间0，】上不单调，则<登，解得。>9，所以。的最 小值为11.] 又函数fx)=cos(ar一）a>0)在区间[0,2x]恰有3条 7.C[将f(x)=sim(ar+于)o>0)的图象向左平移弩个 对除轴，所以2x≤2如一子<3解得号<<是] 单位长度后，得到y=f(女+)=sin(x+牙)+] 人0子a音音+6么得子= +2k S-6 ，k∈Z,又因为f(x) [受，上单调递减， 乙解得w=设十子k∈乙所以当表=0时m的最小值为子.] 倍+ 8(得，)u(保，]U[子][曲r-晋-x+ 所以 ∈D,得到号+≤w<号+2， 受，解得x-=任+C 则y=寸L)的对称销x-经+瓷E五 kcz又品≥登m>0,即0<w<2,令k-0,得到号≤ 由y=)在（受）上有一条对称轴，则满足受<经+ .] 3江<，（春在性》 Aw 5.C [f(r)=2cos'cur-(sin'wr-2sin wr cos w+cos'a) 、3 ① =2cos'aur++sin 2uur-1=cos 2ax+sin 2a 即+<<2张+ -/Zsin(2r+) 面对称结只有一条则要满起丛。+恶<受且中 因为f(x)的图象关于直线x=轴对称， +>,传-国 所以f()=2m(管+)=士， ② 故答+语-kx+受，k∈Z即w=6k+号，k∈乙 +<+号 由①②可得 解得k=0,1,2: 当2ar+子=-受+2mm∈Zo>0, 、 2k-<k+ 即当=忍+ ,m∈Z时，函数f(x)取得最小值， 当k=0时，由①0可得w∈（保，2）》： 84 当表=1时，由0@可得w∈（经，门： “fx)在区间（侣，）上单调，且fx)的对称中心为 当k=2时，由00可得∈[子，] (管 综上的取值范图为(？，名)U(只，门U[3,]门 9(任-习U[昏，).[易知四=0时不满足题意， f)在区间（受，)上单调， 由r+晋-受+k∈乙得x一无+怎，k∈乙 3 当知>0时，第2个正最值点x一元+无<2，解得。>。 ∴.0<w≤3. a:f(僧-=f 第3个正最值点无+径>2，解得。<看，故号<<行， 3 fc关于x登对称。 当。<0时，第2个正最值点=元<2，解得<-晋 代人可得受十p-受+x,k:∈乙， ② 第3个正最值点亮->2，解得。>一号，放智<< ①-②可得号-一受+x,k∈2，即四=-2十缺，∈乙 -5x 6 又0<w≤3， 综上。的取值范围是(-经，-阅U[,)门 u=2,T=2红=元 10.15.[因为f(-x)+f(x-2）=0, (2:f)的对称中心为（管o),(）=0, 所以f(-x)=-(x-), “f:)在区间[，1)上恰有5个零点。 所以fx)的一个对称中心为(-，0). :x)相邻两个零点之间的距离为子，五个零点之间即 因为fx)-f(经-x)=0,所以fx)=f(受-x小， 2T,六个零点之间即号T, 所以f(x)的对称轴方程为x= 4” ∴只需管+2T<号<管+号T即可， 4w十9=m，m∈Z, ∴<< 有 所以 w=1+2(n-m). 又：0<w≤3， 号<w<a 因为p<受，所以p=士子 5.5三角恒等变换 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 因为f)在（管，爱）上单调，且求。的最大值， 基甜过关霸 1.C 2.A 3.C 解得14o≤号 4c[Ue)-12+号m2z 2 因为w=1十2(n一m),m,n∈Z,所以w的最大值为15.] 1:函数fx)=s血(ax十p)在区间（登，）上单调，且满 =m(2红-晋）+2 足()=-f(): 因为<x<受，所以肾<2x-晋<君 x)的对称中心为（写0）， 从而可得/)=1+号-号] 代人可得行。十g=kxk∈乙 。[因为a∈(o,),所以牙-a(o,)月 85