微专题03 乘法公式的扩展应用（专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

微专题03 乘法公式的扩展应用 题型1 乘法公式与配方法 通过配方法将二次多项式化为完全平方式，求其最值（如最小值或最大值）： 1. 配方：将二次多项式化为的形式（完全平方式加常数）； 2. 求最值：若a＞0，则当x＝－h时，多项式取得最小值k；若a＜0，则当x＝－h时，多项式取得最大值k。 1．（25-26八年级上·湖南永州·期中）有最值是（   ） A．最小值 B．最大值 C．最大值 D．最小值 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式的应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 根据完全平方公式把原式变形为，然后根据偶次幂的非负性求解即可． 【详解】解：， ， ， （当时取等号），（当，即时取等号）， 当且时，原式取最小值． 故选：． 2．（25-26九年级上·广东汕头·月考）阅读以下材料： 将代数式进行如下变形： ． ∵，∴， ∴当时，存在最小值2． 根据以上材料，完成下列问题： (1)； (2)求代数式的最值． 【答案】(1)9，3 (2)代数式的最大值为27 【分析】本题考查配方法的应用，正确掌握配方法求最值是解决本题的关键． （1）仿照材料提供的方法求解即可； （2）原式提取“”后，再进行配方求解即可． 【详解】（1）解：， 即， 故答案为：9；3； （2）解：∵， 又∵， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为27． 3．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）我们把多项式、叫做“完全平方式”，它们能分解为．利用完全平方公式可以解决求式子最值的问题．请阅读以下例题并完成后面的问题． 例题：代数式有最大值还是最小值？若有，请求出这个最值．解题步骤如下： 因为 所以 所以的最小值为4 问题： (1)下列多项式；②；③；④中，是完全平方式的有_____．（请填写序号） (2)给加上一个单项式，使得到的多项式是一个完全平方式．你加上的单项式是_____．（填一个即可） (3)代数式有最大值还是最小值？若有，请求出这个最值． 【答案】(1)②④ (2) (3)有最小值，最小值为2 【分析】本题考查完全平方式和完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行判断即可； （2）根据完全平方式的特点，进行作答即可； （3）仿照题干方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：在；②；③；④中，是完全平方式的有②④； 故答案为：②④； （2），故可以加上，变成一个完全平方式； 故答案为：； （3）有最小值： ， ∵， ∴， ∴有最小值为2． 4．（25-26八年级上·山东德州·月考）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ． ， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是____________，___________．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． (4)当___________时，代数式有最___________值，是___________． 【答案】(1)； (2) (3)当时，有最小值，最小值为 (4)1；大； 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，配方法，非负数是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）模仿例1使用配方法进行因式分解； （3）模仿例2使用配方法求代数式的最值； （4）模仿例2使用配方法求代数式的最值． 【详解】（1）解：例1中第二步将写成，依据完全平方公式； 第三步将写成，依据平方差公式， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ， ∴当时，有最小值，最小值为； （4）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， 故答案为：1，大，． 5．（25-26八年级上·吉林长春·期中）阅读材料： 求多项式的最值．分析：求二次三项式的最大值或最小值可以通过配成完全平方式的形式来求出． ， 无论取何值，， ∴， ∴时，有最小值是2． 解决问题： (1)请在序号处填上数字，完成多项式的配方过程： (2)求多项式的最值． (3)式子有最______值（填“大”或“小”），是______． (4)如图，一边靠墙（墙足够长），其余三边用长为12米的栅栏围成一个长方形鸡舍，则围成的鸡舍的最大面积是______平方米． 【答案】(1)①2；②1；③3 (2)1 (3)大，4 (4)18 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）利用完全平方公式配方即可； （2）仿照阅读材料中的方法，利用完全平方公式配方求出代数式的最值； （3）仿照阅读材料中的方法，利用完全平方公式配方求出代数式的最值； （4）设垂直于墙的长为x米，再表示出平行于墙的长，进而表示出鸡舍的面积，利用完全平方公式配方后确定出最大面积即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：①2；②1；③3． （2）解：， 无论取何值，， ∴， ∴时，有最小值是1． （3）解：， 无论取何值，， ∴， ∴， ∴时，有最大值是4． 故答案为：大，4； （4）解：设垂直于墙的长为x米，则平行于墙的边长为米， ， 无论取何值，， ∴， ∴时，有最大值是18． 即围成的鸡舍的最大面积是18平方米． 故答案为：18． 6．（24-25七年级下·江西吉安·月考）在北师大版七年级下册第一章中，我们知道形如的代数式叫做完全平方式，其实我们也可以将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最值，求的最小值． 解：； 不论取何值，总是非负数，即 ；即当时，有最小值 根据上述材料，解答下列问题： (1)直接写出多项式的最小值为_； (2)若，，比较的大小（写出比较过程）； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． (4)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干已有的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （2）先化简，再结合完全平方式的非负性得出，即可求解； （3）先利用完全平方式的非负性，得出，，再结合三角形的周长列式计算即可． （4）先根据三角形的面积公式列式得四边形面积为，结合，得，则当时，四边形面积的最大值为．即可作答． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴ ∴当时，，即有最小值； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 故． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，，， ∵a，b，c是的三边长， ∴ 故的周长为； （4）解：∵在四边形中，．， ∴四边形面积为： ， ∵， ∴， 则当时，四边形面积的最大值为． 题型2 乘法公式的项的位置变换 算式中的项位置发生变化（如括号顺序调整、符号变化），但仍符合乘法公式的结构，需识别公式的本质（相同项与相反项）： 1. 确定公式中的“相同项”（a）和“相反项”（b），无论顺序如何，只要满足“两数和乘两数差”的结构，即可应用平方差公式； 2. 注意符号变化，如，相同项是－a，相反项是b。 1．（25-26八年级上·天津·月考）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式． 平方差公式适用于形式为的乘法，即两个二项式中一项相同，另一项互为相反数． 【详解】解：选项A：，不符合平方差公式的形式； 选项B：，第二项不同，不符合平方差公式的形式； 选项C：，符合平方差公式的形式； 选项D：，不符合平方差公式的形式； 故选：C． 2．（25-26八年级上·黑龙江伊春·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，包括同底数幂的除法、积的乘方、平方差公式和完全平方公式等． 需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选A． 3．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方、完全平方公式、单项式乘法和平方差公式． 逐一计算后判断即可． 【详解】解：A：，A错误； B：，B错误； C：，C错误； D：，D正确； 故选：D． 4．（2025·四川成都·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式运算，合并同类项，完全平方公式以及平方差公式，解题的关键是熟练掌握各知识点． 根据单项式乘以单项式运算法则，合并同类项法则，完全平方公式以及平方差公式分别判断各选项即可． 【详解】解：A、，而， ∴，故A错误； B、和不是同类项，不能合并为， ∴ B错误； C、，而右边为， ∴ C错误； D、，与右边相等， ∴ D正确， 故选：D． 5．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）下列代数式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的运算，包括幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘法和平方差公式．根据同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方和平方差公式逐一计算各选项的正确性即可． 【详解】解：A．，故选项A计算错误，不合题意； B．，故选项B计算错误，不合题意； C．，选项C运算正确，符合题意； D．，故选项D计算错误，不合题意． 故选：C． 6．（25-26七年级·全国·假期作业）计算：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式，通过观察表达式，发现其符合平方差公式的结构，可直接应用公式简化计算． 【详解】解： 故答案为：． 题型3 乘法公式的连续相乘 多个因式连续相乘，需结合平方差公式与立方和/差公式简化计算： 1. 观察因式的结构，将前两个因式与后两个因式分别结合，应用立方和/差公式，再用平方差公式计算最终结果； 2. 注意公式的顺序。 1．（25-26八年级上·甘肃定西·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式，是解题的关键． 根据平方差公式，进行计算即可． 【详解】解： ． 2．（25-26七年级上·上海·假期作业）计算： ___________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，通过乘以构造平方差公式，逐步简化计算即可． 【详解】原式 ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·山东德州·月考）的个位数字为________． 【答案】9 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，有理数的乘方运算．先利用平方差公式计算，化简算式得到，再分析的个位数字规律，最后确定整个表达式的个位数字． 【详解】解： ， ∵，，，，，… ∴（为正整数）的个位数字以3，9，7，1，四个数为一循环， ， ∴的个位数字为1， ∴的个位数字为9， 故答案为：9． 4．（25-26八年级上·全国·期末）探究规律： 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… (1)写出第4个等式：； (2)根据上述规律，猜想： （n为正整数）； (3)利用（2）中的猜想，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类，有理数的乘方运算，解决本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据题目已给出的式子的规律写出答案即可； （2）根据题目已给出的式子判断出规律得到第n个等式即可； （3）根据（2）中规律可得根据规律求解即可． 【详解】（1）解：根据规律； （2）解：根据规律：； （3）解：原式． 5．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①，②，③ 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 题型4 乘法公式的项数变换 算式中的项数较多（如三项式乘三项式），需拆项或分组，将式子转化为两个二项式相乘，再应用乘法公式： 1. 拆项：将其中一项拆分为两个项，使式子中出现“相同项”和“相反项”； 2. 分组：将式子中的项分成两组，每组形成“相同项+相反项”的结构。 1．（25-26八年级上·甘肃定西·月考）为了应用平方差公式计算，必须先适当变形，下列变形中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，掌握知识点是解题的关键． 根据平方差公式的结构特征，需将原式变形为相同两项的和与差相乘的形式，即，从而判断正确选项． 【详解】解：∵ 平方差公式要求形式为，   ∴． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江西赣州·月考）下列式子用乘法公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，先理解题意，再把整理为，再结合选项进行分析比较，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：D． 3．（25-26八年级上·山东德州·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查单平方差公式与完全平方公式的应用，解决本题的关键是使用平方差公式与完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 5．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握整式各种运算法则是解决此题的关键，利用平方差公式和完全平方公式解答即可； 【详解】解： ； 6．（25-26八年级上·广东广州·期中）先化简，再求值：，其中， 【答案】化简结果为，值为 【分析】本题考查了整式化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式、整式加减是解题的关键，先化简原式，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 题型5 乘法公式的整体代换 算式中没有直接的“相同项”或“相反项”，但通过整体代换（将某部分视为一个整体），可转化为乘法公式的结构： 1. 观察式子的结构，找到可以整体代换的部分； 2. 应用完全平方公式的变形进行计算。 1．（25-26八年级上·天津·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据乘法公式计算即可； 【详解】解： ； 2．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键，把看作一个整体，结合单项式乘单项式运算法则进行计算即可； 【详解】解： ； 3．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： 【答案】． 【分析】本题考查了整式的乘法运算，单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握以上运算法则，利用单项式的乘法法则计算即可． 【详解】原式 ． 4．（25-26九年级上·河北保定·月考）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： (1)，求； (2)已知，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）利用整体思想结合平方差公式运算求解即可； （2）利用整体思想结合完全平方公式运算求解即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）， ， ， ， ， ． 5．（23-24七年级上·天津河西·期中）阅读材料：“整体换元思想”是中学数学解题中的一种方法，如把某个多项式看成一个整体，可以使得问题简化，它在多项式的化简与求值中应用广泛 例如：把看作一个整体，计算 解：设，则原式 可参考以上想法解答下面问题： (1)计算： (2)计算：利用分配律，试计算的结果； (3)求值：已知，，，求的值 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）把看作一个整体，进行计算即可； （2）根据乘法分配律进行计算即可； （3）由已知求得，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：设， 原式； （2）解：原式； （3）解：，，， ，， ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，化简求值，解题的关键是整体代入思想的运用，注意去括号时符号的变化． 6．（24-25七年级下·广东茂名·月考）【阅读】已知，求的值． 分析：由于满足的x，y的值比较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入． 解：当时，原式． 【应用】请你用上述方法，解决下列问题： 已知，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查了积的乘方的逆应用，单项式乘多项式，掌握积的乘方的逆应用是解题关键． （1） 把转化为，再利用整体代入法计算即可； （2）利用单项式乘以多项式的乘法法则展开，再利用整体代入法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： ∵， ∴ ． 题型6 乘法公式的实际问题 将乘法公式应用于实际问题（如求面积、体积、经济问题），需将实际问题转化为数学模型（如长方形面积、正方形面积）。 1. 读懂题意，明确已知条件和所求问题； 2. 将实际问题转化为数学表达式； 3. 应用乘法公式计算，得出结果。 1．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）小区绿化是一个集生命、健康、社交、经济和美学价值于一体的综合性系统工程，是衡量一个社区品质和宜居程度的重要标尺．如图，在小区内有一块长为米、宽为米的长方形地块，现将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形区域． (1)求绿化的面积S；（用含a，b的式子表示，并化简） (2)若，，绿化的费用是每平方米60元，求完成绿化共需要多少元？ 【答案】(1) (2)6600元 【分析】本题考查了整式的乘法运算，代数式求值． （1）根据正方形面积公式，长方形面积公式，结合整式的乘法运算法则计算即可； （2）将，代入（2）中结果求出绿化的面积，再乘以费用即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当，时， ， （元）， 答：完成绿化共需要6600元． 2．（25-26八年级上·河南安阳·月考）在数学活动中，研究了和为定值的两个数积的规律，利用此规律解决：用长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积为____． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，理解题意是解决本题的关键． 设长方形的长为，宽为，再根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：设长方形的长为，宽为， ∴周长为 ， ∴面积 ， ∵， ∴当时，S最大为． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·陕西榆林·月考）【问题呈现】 （）借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，如图是用边长分别为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个大正方形．我们可以用两种不同的方法表示图中的阴影部分面积，请直接写出来．（结果不用化简，保留原式） 方法一，直接用两个阴影正方形的面积相加：______； 方法二，用最大的正方形面积减去两个长方形的面积：______； 因此，可以得出等式______．（填序号） ①；② 【数学应用】 （）根据图所得的等式，若，，求的值． 【拓展应用】 （）如图，某市会展中心展厅内有一处展示区域（），已知米，点在上且米，在边上取一点，使．为了突出地域特色，分别以为边在外部修建正方形绿植花坛和正方形花卉展示区，连接形成景观步道．若的面积等于平方米，设米，求两个正方形和区域的面积和． 【答案】（），，②；（）；（）平方米 【分析】（）根据题意解答即可求解； （）利用（）得到的等式计算即可求解； （）由题意得米，米，米，即得，得到，又由图可得正方形和区域的面积和为，设，，则，，利用（）得到的等式求出的值即可求解； 本题考查了完全平方公式的变形运算及其应用，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）方法一，直接用两个阴影正方形的面积相加：； 方法二，用最大的正方形面积减去两个长方形的面积：； 因此，可以得出等式， 故答案为：，，②； （）∵，，， ∴； （）由题意得，米，米，米， ∵的面积等于平方米， ∴， 即， ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和区域的面积和为， 设，，则，， ∵， ∴， 即， ∴两个正方形和区域的面积和为平方米． 4．（25-26八年级上·河南驻马店·月考）【阅读理解】 借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历“以数解形”“以形助数”-数形结合的思想方法．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算图阴影部分的面积说明了变形后的公式：． （1）根据上面的信息回答：若，则的值为_______； 【知识延伸】 若满足，求的值．我们可以作如下解答：设，则，所以． 请根据你对上述内容的理解，解答问题： （2）若满足，求的值； 【拓展探索】 （3）如图，将正方形叠放在正方形上，与相交于点，与相交于点，重叠部分是面积为8的长方形，延长线段分别交，于点，若四边形和四边形都是正方形，，求正方形的边长． 【答案】（1）20；（2）；（3）6 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，算术平方根的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据代入计算即可； （2）设，，由题意得，，由代入计算即可； （3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，根据代入计算即可． 【详解】解：（1），，而， ， 故答案为：20； （2）设， 由题意得， ， ， ， ； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意知， ，即， 长方形的面积为8， ， ， ， ， 正方形的边长为6． 5．（2025八年级上·湖北武汉·专题练习）问题发现： （1）用四个长为a、宽为b的长方形拼成如图①所示的正方形，由此可以得到、、的等量关系是_； 问题探究： （2）如图②，将边长为a的正方形和边长为b正方形拼在一起，使得A、P、B共线，点E落在上，连接．若，的面积为8，求的长度； 问题解决： （3）如图③，某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中、为两条互相垂直的道路，且，四边形与四边形为长方形．现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路的长度为80米，若种植花草每平方米需要120元，铺设塑胶地面每平方米需要40元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了30万元，请你通过计算说明该物业筹集的资金是否够用？（道路的宽度均不计） 【答案】（1）；（2）6；（3）该物业筹集的资金不够用，理由见详解． 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用： （1）根据不同方法求正方形的面积，列等式即可； （2）设，，求出，，结合，求出即可； （3）设，，求出， 两个三角形区域的面积之和为，两个长方形区域的面积之和为， 一共需要的资金为，再求出，得即可解答． 【详解】（1）解：正方形的面积可以表示为， 又可以表示为四个长为a、宽为b的长方形面积加上一个边长为的正方形面积， 即， ∴； （2）解：设，， ∴， ∵的面积为8， ∴，即， ∵， ∴， ∴或（舍去） ∴； （3）解：该物业筹集的资金不够用，理由如下： 设，， 由题意得， ∴， 两个三角形区域的面积之和为， 两个长方形区域的面积之和为， 一共需要的资金为 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该物业筹集的资金不够用． 6．（25-26八年级上·吉林长春·期末）【问题原型】在学完因式分解之后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： ． ， ． ． 当，即时，的值最大，最大值是4． 根据上面的方法，求代数式的最大值； 【推广运用】某商品现在每件的利润为10元，每天的销售量为20件．市场调查发现：如果调整价格，每涨价1元，每天就要少卖1件商品．设每件商品涨价元． （1）涨价元后，每件商品的利润为______元，每天的销售量为______件；（用含的代数式表示） （2）求为何值时，每天的销售利润最大，并求出最大销售利润．（销售利润每件商品的利润销售量） 【答案】【初步思考】14； 【推广运用】（1），；（2）时，每天的销售利润最大，最大销售利润是225元 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，能够读懂题意熟练运用完全平方公式是解题关键． 【初步思考】仿照题中例子配出完全平方公式求出的最大值即可； 【推广运用】（1）根据题意列出代数式即可； （2）仿照例题构建完全平方即可求解． 【详解】解：【初步思考】， ， ． ． 的最大值是14． 【推广运用】解：（1）∵现在每件的利润为10元，每件商品涨价元， ∴每件商品的利润为：元， ∵每件的利润为10元，每天的销售量为20件，每涨价1元，每天就要少卖1件商品． ∴涨价后每天的销售量为：件， 故答案为：，； 解：（2）∵， ， ． ． 当时，每天的销售利润最大，最大销售利润是225元． / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题O3乘法公式的扩展应用 乘法公式与配方法 乘法公式的项的位置变换 乘法公式的连续相乘 乘法公式的扩展应用 乘法公式的项数变换 乘法公式的整体代换 乘法公式的实际问题 /oo 德点型破 题型1乘法公式与配方法 煤方法 通过配方法将二次多项式化为完全平方式，求其最值（如最小值或最大值）： 1. 配方：将二次多项式ax2+bx+ca≠0)化为a(x+h)2+k的形式（完全平方式加常数）； 求最值：若a>0,则当x=-h时，多项式取得最小值k;若a<0,则当x=-h时，多项式取得最大 值k。 1. (25-26八年级上湖南永州期中)5x2+4y2-4xy+12x+25有最值是() A.最小值4 B.最大值15 C.最大值25 D.最小值16 2.(25-26九年级上·广东汕头·月考)阅读以下材料： 将代数式x2+2x+3进行如下变形： x2+2x+3=x2+2x+12-12+3=(x+1)2+2. :(x+1)2≥0，(x+12+2≥2， 当(x+1)2=0时，x2+2x+3存在最小值2. 根据以上材料，完成下列问题： 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)x2+6x+(x+中； (2)求代数式-x2-10x+2的最值. 3.(25-26八年级上湖南邵阳期中)我们把多项式a2+2ab+b2、a2-2ab+b2叫做“完全平方式”，它们能 分解为(a+b)、(a-b).利用完全平方公式可以解决求式子最值的问题.请阅读以下例题并完成后面的 问题. 例题：代数式x2+2x+5有最大值还是最小值？若有，请求出这个最值.解题步骤如下： x2+2x+5=x2+2x+1+4=(x+1)2+4 因为(x+1)2≥0 所以(x+12+4≥4 所以x2+2x+5的最小值为4 问题： (1)下列多项式①x2+2x-1;②x2-6x+9;③x2+x+1;④9x2+6xy+y2中，是完全平方式的有。 (请填写序号) (2)给x2+4加上一个单项式，使得到的多项式是一个完全平方式.你加上的单项式是·（填一个即 可) (3)代数式x2-2x+3有最大值还是最小值？若有，请求出这个最值. 4.（25-26八年级上·山东德州月考)阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务， 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西， 这是数学解题的一个重要原则.” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数 的和的形式.配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有 广泛应用. 一、配方法在因式分解中的应用 二、配方法在求最值问题中的应用 例1因式分解：x2+4x-5. 例2求2x2-4x+1的最小值. 解：原式=x2+4x+4-4-5第一步 解：原式=2x2-2x+1 =(x+2)2-9第二步 =2[x2-2x+1-1]+1 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =x+2+3)(x+2-3第三步 =2[x-12-1]+1 =(x+5)(x-1)第四步 =2(x-1)2-2+1 =2(x-1)-1. (x-1)2≥0， “当(x-1)2=0,即x=1时，2x2-4x+1的值最小，最 小值为2×0-1=-1. 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是 (用等式表示) (2)用配方法将x2-6x+8因式分解. (3)用配方法求：当x为何值时，代数式2x2+8x-5的值最小，最小值是多少. (4)当x= 时，代数式-x2+2x-3有最 值，是 5.（25-26八年级上·吉林长春期中)阅读材料： 求多项式x2-2x+3的最值.分析：求二次三项式的最大值或最小值可以通过配成完全平方式的形式来 求出. x2-2x+3=x2-2x+1+3-1 =(x-1)2+2, 无论x取何值，(x-1)≥0， (x-12+2≥2， x=1时，x2-2x+3有最小值是2. 解决问题： (1)请在序号处填上数字，完成多项式2x2-4x+5的配方过程： 2x2-4x+5=2x2-2x+5 =2x2-2x+1+5-① =2(x-②)+③ (2)求多项式3x2-6x+4的最值. / 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)式子-x2+2x+3有最 值（填“大”或“小”），是 (4)如图，一边靠墙（墙足够长），其余三边用长为12米的栅栏围成一个长方形鸡舍，则围成的鸡舍的 最大面积是平方米。 效 鸡舍 6.（24-25七年级下·江西吉安·月考)在北师大版七年级下册第一章中，我们知道形如x2±2xy+y2的代数 式叫做完全平方式，其实我们也可以将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这 性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应 用，如利用配方法求最值，求a2-4a+3的最小值. 解：a2-4a+3=a2-4a+22-22+3=(a-2)2-1 :不论a取何值，(a-2)2总是非负数，即(a-2)2≥0 ∴(a-2)2-1≥-1；即当a=2时，a2-4a+3有最小值-1 根据上述材料，解答下列问题： (1)直接写出多项式x2-4x-3的最小值为： (2)若M=2a2+3a,N=3a2+5,比较M、N的大小（写出比较过程）； (3)已知a,b,c是ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,求ABC的周长. (4)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD.若AC BD 10,求四边形ABCD面积的最大值. 题型2乘法公式的项的位置变换 味方法 算式中的项位置发生变化（如括号顺序调整、符号变化)，但仍符合乘法公式的结构，需识别公式的本质 (相同项与相反项)： 1. 确定公式中的“相同项”()和“相反项”(b)，无论顺序如何，只要满足“两数和乘两数差”的 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 结构，即可应用平方差公式 2. 注意符号变化，如(-a+b(-a-b)=(-a2-b2=a2-b2,相同项是-a,相反项是b。 1. (25-26八年级上·天津月考)下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是() A.(x+y)(-x-y) B.（2x+3y)(2x-3z C.(a+b)(b-a) D.（m-nj(n-m 2.(25-26八年级上·黑龙江伊春期末)下列运算中，正确的是() A.a2÷a=a B.(mn2=m'ns C.(-a-b)(a-b)=a2+b2 D.(x+1)2=x+1 3.(25-26八年级上黑龙江大兴安岭期末)下列计算正确的是（) A.（-3a2}2=-9a B.(2a-b12=4a2-b2 C.2a2.6a3=12a D.-a-2b)(-a+2b=a2-4b2 4.(2025·四川成都一模)下列运算正确的是（) A.a'b.2ab2=2(ab) B.2a+3b=5ab C.(x-3y=x2-9y D.(a-4b)(4b+a=a2-16b2 5.(25-26八年级上河北廊坊月考)下列代数式中，计算正确的是() A.m.m=m B.(m2°=m C.（-2a2b)3=-8ab D.(-a+b)(a+b)=a2-62 6.(25-26七年级全国假期作业)计算：(-2x+3y)(3y+2x=· 题型3乘法公式的连续相乘 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 啸方法 多个因式连续相乘，需结合平方差公式与立方和/差公式简化计算： 1.观察因式的结构，将前两个因式与后两个因式分别结合，应用立方和/差公式，再用平方差公式计算最 终结果； 2.注意公式的顺序。 1.(25-26八年级上甘肃定西期末)计算：（a-)(a+1)(a2+1. 2.(25-26七年级上·上海·假期作业)计算：(2+1(2+1)(2+12+1= 3.(25-26八年级上山东德州月考)18×(3+)(32+1(3+1…34+1+9的个位数字为 4.(25-26八年级上·全国期末)探究规律： 观察下列等式： 第1个等式：（x-1)(x+1=x2-1 第2个等式：（x-1(x2+x+1=x3-1 第3个等式：(x-1)(x3+x2+x+1=x4-1 (1)写出第4个等式：（x-1(x+x3+x2+x+1=: (2)根据上述规律，猜想：(x-1)(x”+x-+.+x+1=(n为正整数)： (3)利用（2)中的猜想，计算：22025+22024+2+1. 5.(25-26八年级上陕西榆林期末)从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后 将剩余部分拼成一个长方形（如图2）， 6 图1 图2 (I)上述操作能验证的等式是 (填字母)， A.a2-2ab+b2=(a-b) 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.a2+ab=a(a+b) (2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题： ①己知x2-4y2=12,x+2y=4,求x-2y的值； ②计算： 1-0-0-)--00n2) ③计算： 1+21+201+201+20+25 题型4乘法公式的项数变换 城方法 算式中的项数较多（如三项式乘三项式），需拆项或分组，将式子转化为两个二项式相乘，再应用乘法公 式： 1.拆项：将其中一项拆分为两个项，使式子中出现“相同项”和“相反项”； 2.分组：将式子中的项分成两组，每组形成“相同项+相反项”的结构。 1.(25-26八年级上·甘肃定西·月考)为了应用平方差公式计算(a-b+c)(a+b-c,必须先适当变形，下 列变形中正确的是() A.[(a+c-b][(a-c)+b] B.[(a-b)+c][(a+b)-c] c.[a-(b-c][(a-c+b] D.[a-(b-c][a+(b-c] 2.(25-26八年级上·江西赣州月考)下列式子用乘法公式计算(2x+y-z)2x-y-z),下列变形正确的是 () A.[2x+(y-z)][(2x-(y-z)] B.[2x+(y+z][(2x-(y-z] C.[2x+(y-z)][(2x+(y+z】 D.[(2x-z+y][(2x-z)-y] 3.(25-26八年级上山东德州月考)计算：(m-2n+3(m+2n-3). 5.(25-26八年级上河南濮阳·月考)计算：x-5y-3(x+5y+3). 6.(25-26八年级上广东广州期中)先化简，再求值：(x+y+2x+y-2引-(x+2+3,其中x=号 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y= 3 题型5乘法公式的整体代换 啸方法 算式中没有直接的“相同项”或“相反项”，但通过整体代换（将某部分视为一个整体），可转化为乘法 公式的结构： 1.观察式子的结构，找到可以整体代换的部分： 2.应用完全平方公式的变形进行计算。 1.(25-26八年级上天津月考)计算：a+b+c(a-b-c 2.(2025七年级下全国专题练习)计算：2(x-y[-2(x-y] 3.(2025七年级下全国专题练习)计算：[3x+y川a[-2(x+八ab] 4.(25-26九年级上河北保定·月考)在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单. 例如，在计算(x-y-3)(x-y+3)时就可以将x-y看成一个整体，式子转化为： (x-y)2-32=x2-2xy+y2-9.请借助整体思想完成： (10x2+y2+2x2+y2-2=77,求x2+y2; (2)已知(x+2024)2+(x+2026)2=100,求x+2025 5.(23-24七年级上·天津河西期中)阅读材料：“整体换元思想”是中学数学解题中的一种方法，如把某个 多项式看成一个整体，可以使得问题简化，它在多项式的化简与求值中应用广泛 例如：把(a+b)看作一个整体，计算4(a+b)-2(a+b)+(a+b) 解：设(a+b)=A,则原式=4A-2A+A=3A=3a+b)=3a+3b 可参考以上想法解答下面问题： (1)计算：11x+y)-7(x+y+8x+y)-16x+y (2)计算：利用分配律，试计算(x+y)(m+n的结果： (3)求值：已知a-2b=2,2b-c=-5,c-d=9,求(a-c)+(2b-d)-(2b-c的值 6.(2425七年级下广东茂名·月考)【阅读】已知x2y=3,求2xyxy2-3xy-4x)的值， 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 分析：由于满足x2y=3的x,y的值比较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将x2y=3整体 代入. 解：当x2y=3时，原式=2xy3-6xy2-8x2y=2x2y-6(x2y-8x2y=2×32-6x32-8×3=-24. 【应用】请你用上述方法，解决下列问题： 己知ab2=3,求： (1)a2b的值： (2)2a3b-3a2b3+4ab)(-2b)的值 题型6乘法公式的实际问题 城方法 将乘法公式应用于实际问题（如求面积、体积、经济问题），需将实际问题转化为数学模型（如长方形面 积、正方形面积)。 1.读懂题意，明确已知条件和所求问题： 2. 将实际问题转化为数学表达式： 3. 应用乘法公式计算，得出结果。 1. (25-26八年级上·陕西榆林·期末)小区绿化是一个集生命、健康、社交、经济和美学价值于一体的综合 性系统工程，是衡量一个社区品质和宜居程度的重要标尺.如图，在小区内有一块长为4a+b)米、宽 为a+b)米的长方形地块，现将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为a-b)米的正方形区域： a+4b a+b a-b (1)求绿化的面积S;(用含α，b的式子表示，并化简) (2)若a=5.5,b=0.5,绿化的费用是每平方米60元，求完成绿化共需要多少元？ 2.（25-26八年级上河南安阳·月考)在数学活动中，研究了和为定值的两个数积的规律，利用此规律解决： 用12m长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积为_· 3.(25-26八年级上陕西榆林月考)【问题呈现】 (1)借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，如图1是用边长分别为，b的两个正方形 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 和边长为，b的两个长方形拼成的一个大正方形.我们可以用两种不同的方法表示图1中的阴影部分面 积，请直接写出来.（结果不用化简，保留原式） 方法一，直接用两个阴影正方形的面积相加： ； 方法二，用最大的正方形面积减去两个长方形的面积： 因此，可以得出等式· (填序号) ①a+b)(a-b)=a2-b2；②a2+b2=(a+b2-2ab 【数学应用】 (2)根据图1所得的等式，若a+b=12,ab=20,求a2+b的值. 40> 图1 图2 【拓展应用】 (3)如图2，某市会展中心展厅内有一处RtABCE展示区域(LBCE=90°)，已知CE=8米，点M在 BC上且CM=3米，在边CE上取一点Q,使BM=EQ,为了突出地域特色，分别以BC,CQ为边在 △BCE外部修建正方形绿植花坛ABCD和正方形花卉展示区COPQ,连接BQ形成景观步道.若△BCQ 平方米，设BM=x米，求两个正方形ABCD和COPO 4.(25-26八年级上河南驻马店·月考)【阅读理解】 借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历“以数解形“以形助数”数形 结合的思想方法.某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式(a+b)2=a2+2ab+b2变形成 a2+b2=(a+b2-2ab,然后通过计算图阴影部分的面积说明了变形后的公式：a2+b2=(a+b)2-2ab. (1)根据上面的信息回答：若a+b=6,ab=8,则a2+b2的值为； 【知识延伸】 若x满足(10-x)(x-30=20,求(10-x)2+(x-30)的值.我们可以作如下解答：设a=10-x,b=x-30,