微专题02 乘法公式的简单应用（专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

微专题02 乘法公式的简单应用 题型1 直接应用公式进行计算 乘法公式： 1. 平方差公式：； 2. 完全平方公式：； 3. 【扩展】立方和公式： 4. 【扩展】立方差公式： 1．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相除、同底数幂相乘、零指数幂和平方差公式，熟悉各种运算法则是解决本题的关键． 根据同底数幂相除、同底数幂相乘、零指数幂和平方差公式逐一判断各选项． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项正确，符合题意． 故选D． 2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂相乘，平方差公式，完全平方公式，单项式乘单项式，根据相关的知识逐项判断即可． 【详解】解：选项A：，故本选项计算错误，不符合题意； 选项B∶，故本选项计算错误，不符合题意； 选项C∶，故本选项计算错误，不符合题意； 选项D∶，故本选项计算正确，符合题意． 故选：D． 3．（25-26八年级上·山东德州·期末）若，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、运用平方差公式进行运算，解题关键是熟练掌握相关运算． 通过同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、平方差公式简化表达式，将原式化为与相关的形式． 【详解】解：， ， ， ， 又， 原式． 故选：． 4．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）对于任意实数，定义一种新运算◆，规定，若为实数，则的化简结果为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，完全平方公式，解题关键是理解新定义的含义． 根据已知条件和新定义的含义，列出式子即可． 【详解】解：根据题意可得 故答案为：． 5．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，某广场有一块长为米、宽为米的长方形空地，两个角上分别有一块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化． (1)用含有，的式子表示绿化部分的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化部分的总面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、乘法公式、求代数式的值． (1)根据多项式乘多项式的法则和完全平方公式把多项式展开，再合并同类项； (2)把字母、的值代入化简后的代数式计算求值． 【详解】（1）解： （平方米）， 绿化部分的总面积为平方米； （2）解：当，时， （平方米）， 绿化部分的总面积为平方米． 6．（25-26八年级上·吉林长春·期末）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件 用配方法分解因式： 解：原式 利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：______（______）； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)， (3)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法，完全平方式的非负性，熟练掌握完全平方公式的结构特征，是求解本题的关键． （1）根据完全平方式的特征配方求解； （2）先配方，再根据完全平方式的非负性求最小值； （3）先作差，然后配方，再根据完全平方式的非负性得到，即可得解． 【详解】（1）解：； 故答案为：，； （2）解： ， ， 的最小值为； （3）解：，理由如下： ，， ， ， ， ． 题型2 含参数的公式应用 算式中含有参数，需通过公式的结构特征求参数的值或取值范围： 1. 展开算式：将含参数的多项式展开为标准形式； 2. 对比系数：根据公式的结构特征，对比展开后的系数列方程求解。 1．（25-26八年级上·黑龙江伊春·期末）若是完全平方式，则______． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了求完全平方式中的系数，根据所给多项式可确定两平方项，则可确定一次项，据此比较系数求解的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴一次项为， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：1或． 2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）若是一个完全平方式，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方式的结构特征即可求解． 【详解】解：是完全平方式，二次项为，常数项为， 必为的形式，展开得， ， 解得， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）若可以配成一个完全平方式，则m的值为_______． 【答案】1或 【分析】本题考查了完全平方公式，公式为，掌握公式特点是关键；将表达式与完全平方式比较，确定和的值，再根据中间项系数求解． 【详解】解：给定表达式为，与完全平方式对比，可得，（因为）， 中间项为，应等于， 因此有， 当时，解得，即； 当时，解得，即； 综上，m的值为1或． 故答案为：1或． 4．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）若多项式是完全平方式，则m的值为（   ） A． B．25 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的定义，多项式应可化为的形式，通过比较系数求解． 【详解】解：∵ 是完全平方式， ∴ 可设为， 比较系数得：， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 5．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）定义：将多项式变形为的形式，我们称为配方．其本质是完全平方公式的逆用，即：． 例如：若将多项式进行配方，则． 配方法在解决最值问题、代数式求值问题等均有广泛应用． (1)将多项式配方为的形式，则__________， __________； (2)若多项式，证明：无论取何值，均成立； (3)已知为直角三角形的两条直角边的长，斜边长为，关于的代数式可变形为（为常数），求的值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由即可得到的值； （2）把的式子带入得到，利用完全平方公式的非负性得到结果； （3）由题意得到，，利用求出的值． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：， ， ； ， ． 无论x取何值，均成立； （3）解：， ， ， ， 在直角三角形中，斜边长为6， ， ， ， ， 答：的值为． 6．（24-25八年级上·福建漳州·期末）【问题提出】 当多项式是某一个多项式的平方时，实数a，b 【问题探究】 当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：； … 【问题解决】 （1）当时，猜想a，b，c之间的数量关系； 【拓展运用】 （2）若多项式加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式； （3）若多项式是某一个多项式的平方，求出n的值 【答案】（1），见解析；（2）、或；（3）3 【分析】本题考查规律探索问题，完全平方公式，结合已知条件总结出规律是解题的关键． （1）由题干中的例子总结规律，然后进行证明即可； （2）由题意，分单项式的次数为1或单项式的次数为4两种情况分类讨论，再根据得到的规律求得对应的单项式即可； （3）根据总结的规律列得方程，解方程即可． 【详解】解：（1）a，b，c之间的关系为，证明如下： ∵， ∴，，， ∴，， ∴； （2）分以下两种情况： ①当单项式的次数为1时，此时，， 则， 解得：或， 此时单项式为或； ②当单项式的次数为4时，此时，， 则， 解得：， 此时单项式为； 综上所述，满足条件的单项式有、或； （3）已知多项式是某一个多项式的平方， 则，，， 那么， 解得：． 题型3 公式的变形应用 已知中的两个量，求另外两个量（即“知二推二”）： 1. ； 2. ； 3. 。 1．（25-26八年级上·吉林·期末）若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 利用完全平方公式将展开，再结合已知条件和进行计算． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）已知，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知是解题的关键． 根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 3．（25-26八年级上·福建龙岩·月考）若，，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， 利用完全平方公式，由已知条件和，通过关系式计算的值． 【详解】解：由得， 由得， 则， 所以． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·吉林长春·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个小正方形和长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 利用上述公式解决问题： (1)①若，，则______， ②若，求的值； (2)如图②，在线段上取一点D，分别以，为边作正方形、，连接、、．若的长为10，的面积为11，求阴影部分的面积和． 【答案】(1) ① ② (2)阴影部分的面积和为 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征并运用整体思想和数形结合思想是解题关键． （1）①根据，代入求值即可； ②类比①可得，，代入求值即可； （2）设正方形边长为m，正方形的边长为n，由题意可知，，．两个正方形的面积之和为，空白面积为，求出值后相减即可． 【详解】（1）解：①； ② 类比①可得， ； （2）解：设正方形边长为m，正方形的边长为n， 由题意可知，，，即， 两个正方形的面积之和为， 空白面积为， ∴阴影部分的面积和为． 5．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）阅读理解并解答： 我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． 例如：①， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式的最小值是2； ②， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式存在最小值－7． (1)知识再现：当______时，代数式的最小值是_______； (2)知识运用：若，求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3, 3 (2)当时，y有最大值 (3) 【分析】本题考查了利用配方法（完全平方公式）求解代数式的最值，解题的关键是将代数式通过配方转化为“平方项常数”的形式，再根据平方项的非负性判断代数式的最大值或最小值． （1）对代数式进行配方，补全完全平方项，转化为；利用平方项，确定当平方项为0时，代数式取得最小值，同时求出对应的值． （2）对配方，注意二次项系数为负，转化为；由平方项非负可知，即时代数式有最大值，再代入计算具体值． （3）从方程中整理出的表达式，代入得到新代数式；对新代数式配方，根据平方项非负性求最小值． 【详解】（1）解：， ， 当，即时，代数式取得最小值，最小值为． 故答案为：3，3； （2）解： ， ，； 当，即时，有最大值，最大值； （3）解：由得； 则， 当时，取得最小值，最小值为． 6．（24-25八年级上·贵州黔西·期末）“以形释数”是利用数形结合的思想解决代数问题的一种方法，做整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论．例如，对于同一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．如图1，可得等式：      (1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，可以得到等式：______； (2)利用中所得结论，解决问题：已知，，求ab的值； (3)如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接和若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法分别用代数式表示图2的面积即可； （2）根据代入计算即可； （3）根据，代入计算即可． 【详解】（1）解：由图2可得， 故答案为：． （2）解：， ，即， ， ， ． （3）解：，， ∴阴影部分的面积为． 题型4 利用公式进行化简求值 通过乘法公式将复杂多项式化简，再代入求值（常涉及整体代换，避免繁琐计算）： 1. 化简多项式：利用平方差或完全平方公式将多项式化简为最简形式； 2. 整体代换：将已知条件中的整体代入化简后的式子，计算结果。 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）若，则代数式的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查整式的运算，化简求值，利用单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的法则，将代数式进行化简，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 原式 ； 故答案为：2． 2．（25-26八年级上·吉林·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，乘法公式，先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代入计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 3．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 4．（24-25八年级上·北京丰台·期末）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式混合运算并求值；掌握运算步骤及，注意去括号时变号是解题的关键．先利用完全平方公式和多项式乘以多项式进行运算，再去括号，最后进行加减运算，代值计算，即可求解； 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 5．（24-25八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查的是整式的混合运算—化简求值，根据多项式乘多项式、平方差公式、合并同类项把原式化简，把x的值代入计算得到答案，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 6．（24-25七年级下·山西运城·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，5 【分析】本题考查了整式的乘法与化简求值，熟练掌握乘法公式是解题的关键． 先根据完全平方公式与平方差公式化简，然后去括号，合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 题型5 乘法公式的几何应用 通过图形的面积验证乘法公式（如用正方形、长方形的面积表示平方差或完全平方公式），体现“数形结合”思想： 1. 构造图形：用已知线段构造正方形或长方形，使其面积对应乘法公式的左边或右边。 2. 面积等价：通过图形的割补、拼接，证明面积相等，从而验证乘法公式。 1．（25-26八年级上·全国·期末）将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，通过分析两个图形中阴影部分的面积，利用“面积相等”建立等式，从而推导出公式． 【详解】解：题图①中，题图②中阴影部分为一个平行四边形，底为、高为， ∴， ∴． 故选：A． 2．（25-26八年级上·陕西延安·月考）如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，连接，，，，点A，E，B在同一条直线上，点C，B，D在同一条直线上，则阴影部分的面积是（  ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，设，，则，，再利用三角形面积公式分别用代数式表示两个阴影三角形的面积和，再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解：设，，则，， 所以 ． 故选：C． 3．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）。 (1)上述操作能验证的等式是_______； (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1) (2)的值为 (3) 【分析】本题考查平方差公式的意义和应用． （1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式； （2）利用（1）的结论，把写成两个式子相乘的形式，把代入计算，即可得的值； （3）利用（1）的结论，对原式进行变形，写成便于约分的形式，计算即可． 【详解】（1）解：第一个图形中阴影部分的面积是，第二个图形的面积是， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的值为． （3）解：． ． 4．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）“小菜园”是某中学设立的特色劳动课课程之一．如图，初二（8）班的同学们在一块长为米，宽为米的长方形菜园里种植当季蔬菜，在阴影部分的区域内种植青椒，在中间边长为米的正方形区域内种植茄子． (1)求种植青椒区域的面积是多少平方米（用含的代数式表示并化为最简）； (2)当时，求种植青椒区域的面积． 【答案】(1)平方米 (2)275平方米 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，完全平方公式在几何图形中的应用，已知字母的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）用矩形面积减去小正方形面积，再利用完全平方公式与多项式乘以多项式化简即可； （2）将字母代入（1）化简的结果，再计算出结果即可． 【详解】（1）解：阴影部分面积为 ； （2）解：当，时， 阴影部分面积为平方米． 5．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图是一块长方形的广场，长为米，宽为米，广场内部有一个正方形舞台，其边长为米，舞台距离广场左侧边缘米，右侧通道宽为米，阴影部分是绿化部分． (1)求绿化部分的面积；（用含的代数式表示，结果化为最简） (2)若米，米，求绿化部分的面积． 【答案】(1)绿化部分的面积为平方米 (2)绿化部分的面积为575平方米 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算化简求值，解题的关键是弄清题意． （1）绿化面积长方形的面积正方形面积舞台边的通道的面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； （2）将与的值代入计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的面积大长方形的面积广场舞台的面积舞台边的通道的面积， ， ∴绿化部分的面积为平方米； （2）解：当米，米时，（平方米）， ∴绿化部分的面积为575平方米． 6．（25-26八年级上·吉林·期末）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)观察图①，请写出之间的等量关系是_； (2)若，则的值为_； (3)如图②，点C为线段上的一点，分别以，为边在异侧作正方形和正方形， 连接． 若正方形和正方形的面积之和为20，的面积为4，那么_； (4)若，写出的值为_． 【答案】(1) (2)22 (3)6 (4) 【分析】本题考查了整式的应用，观察图形，正确表示出图形的面积是解题关键． （1）根据正方形的面积公式即可求解； （2）利用（1）中得到的等式进行计算即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，表示出正方形的面积，正方形的面积，的面积，再利用（1）中的等式进行计算即可； （4）设，得到，，进而可利用（1）中等式进行变形计算即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为两个小正方形的面积加上两个小长方形的面积：， ∴， 故答案为：． （2）解：∵由（1）可得， ∵， ∴， 故答案为：． （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形的面积和正方形的面积为， ∴的面积为：，故， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （4）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题02乘法公式的简单应用 直接应用公式进行计算 含参数的公式应用 乘法公式的简单应用 公式的变形应用 利用公式进行化简求值 乘法公式的几何应用 德点量破 题型1直接应用公式进行计算 嫦方法 乘法公式： 1. 平方差公式：(a+b(a-b)=a2-b2: 2. 完全平方公式：(a±b2=a2±2ab+b2; 3. 【扩展】立方和公式：a3+b3=(a+b(a2-ab+b2 4. 【扩展】立方差公式：a3+b3=(a-ba2+ab+b2) 1. (25-26八年级上陕西榆林期末)下列运算中，结果正确的是() A.a2.a23=a B.50=5 C.3x2÷2x3=5x3 D.(x+y)(x-y)=x2-y2 2.(25-26八年级上·陕西榆林·期末)下列计算正确的是() A.a2.a3=a0 B.(a-b)(a+b)=a2-ab+b2 C.（a-b)2=a2-b2 D.5y2.3y3=15y 3.(25-26八年级上山东德州期末)若a2-4=1,计算(a+2)2019(a-2)2020的结果是() A.2+a B.a-2 C.2-a D.a 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(25-26八年级上陕西榆林期末)对于任意实数a,b,定义一种新运算◆，规定a◆b=a2-b,若x为 实数，则(x+1)◆(x-2)的化简结果为 5.(25-26八年级上陕西榆林期末)如图，某广场有一块长为3a+4b)米、宽为(3a-b)米(a>b)的长方 形空地，两个角上分别有一块边长均为-b)米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化. 3a-b 3a+4b (1)用含有Q,b的式子表示绿化部分的总面积（结果写成最简形式）； (2)若a=30,b=10,求出绿化部分的总面积. 6.（25-26八年级上·吉林长春期末)把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非 负性来增加题目的已知条件 ①用配方法分解因式：a2+8a+15 解：原式=a2+8a+16-1=(a+4)2-1=(a+4+1)(a+4-1)=(a+5)(a+3) ②利用配方法求最小值：求a2+6a+5最小值。 解：a2+6a+5=a2+2a3+32-32+5=(a+32-4,因为不论a取何值，（a+32总是非负数，即 (a+3)2≥0，所以(a+3)2-4≥-4，所以当a=-3时，a2+6a+5有最小值，最小值是-4. 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：x2-6x+=(x-)2; (2)将x2+12x+48变形为(x+m)+n的形式，并求出x2+12x+48的最小值； (3)若M=6a2+10a+7,N=5a2+6a(a为任意实数)试比较M与N的大小，并说明理由. 题型2含参数的公式应用 煤方法 算式中含有参数，需通过公式的结构特征求参数的值或取值范围： 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1. 展开算式：将含参数的多项式展开为标准形式： 对比系数：根据公式的结构特征，对比展开后的系数列方程求解。 1. (25-26八年级上黑龙江伊春期末)若x2-2(m+3x+16是完全平方式，则m= 2. (25-26八年级上陕西榆林期末)若x2-2mx+16是一个完全平方式，则m的值为 3. (25-26八年级上陕西榆林·期末)若y2-2(m+2)y+9可以配成一个完全平方式，则m的值为 4.(25-26八年级上辽宁盘锦期末)若多项式x2+10x+m2是完全平方式，则m的值为() A.-5 B.25 C.±5 D.±25 5.（24-25八年级上·重庆沙坪坝期末)定义：将多项式x2+bx+c变形为(x+m)2+n的形式，我们称为配 方.其本质是完全平方公式的逆用，即：a2±2ab+b2=(a±b)2。 例如：若将多项式x2+2x+5进行配方，则x2+2x+5=x2+2x+12+4=(x+1)2+4. 配方法在解决最值问题、代数式求值问题等均有广泛应用. (1)将多项式x2-6x+13配方为(x+m)2+n的形式，则m= (2)若多项式A=2x(x-2),B=(x+3)(x-3),证明：无论x取何值，A-B>0均成立； (3)已知e,f为直角三角形的两条直角边的长，斜边长为6，关于y的代数式(y-e)y-f)可变形为 (y-4)2+k(k为常数)，求k的值 6.(24-25八年级上·福建漳州期末)【问题提出】 当多项式ax2+bx+c(a≠0)是某一个多项式的平方时，实数a,b 【问题探究】 当a=1,b=-2,c=1时，x2-2x+1=(x-12,发现：（-2)}2=4×1x1; 当a=1,b=6,c=9时，x2+6x+9=(x+3),发现：62=4×1×9； 【问题解决】 (1)当ax2+bx+c=(mx+n)(a≠0)时，猜想a,b,c之间的数量关系： 【拓展运用】 (2)若多项式4y2+4加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式； (3)若多项式(n+1x2-(2n+6)x+(n+6)是某一个多项式的平方，求出n的值 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型3公式的变形应用 城方法 己知a+b、a-b、ab、a2+b2中的两个量，求另外两个量（即“知二推二”）： 1.a2+b2=a+b2-2ab=a-b2+2ab 2.（a+b2-(a-b2=4ab; 3. ab-il(a+b)-(a-b)]. 1. (25-26八年级上·吉林期末)若a2+b2=13,ab=6,则(a-b)2+ab= 2.(25-26八年级上辽宁大连期末)已知(2x+y2=9,y=1,则(2x-y)2的值为() A.3 B.2 C.1 D. 6八年级上福建龙岩月考)若x-y=2，=,则K 4.(25-26八年级上·吉林长春·期中)数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通过计算几何图形的面积 可以验证一些代数恒等式.如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为α和b的两个小正方形和长宽 分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式(a+b)2=a2+2ab+b2. b 6 图① 图② 利用上述公式解决问题： (1)①若xy=9,x+y=7,则x2+y2=, ②若(7-x)(x-1=4,求(7-x)+(x-1的值； (2)如图②，在线段CE上取一点D,分别以CD,DE为边作正方形ABCD、DEFG,连接BG、CG、 EG·若CE的长为10，△CDG的面积为11，求阴影部分的面积和. 5.(25-26八年级上贵州遵义·期末)阅读理解并解答： 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 我们把多项式a2+2ab+b2,a2-2ab+b2叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键 是判断这个多项式是不是一个完全平方式.同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以用来解决求代 数式值的最大（或最小）值问题. 例如：①x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2, :(x+1是非负数，即(x+12≥0，(x+12+2≥2， 则当x=-1时，代数式x2+2x+3的最小值是2； ②3x2-12x+5=3x2-4x+5=3x2-4x+4-4+5=3(x-2)2-12+5=3(x-22-7, :(x-22是非负数，即(x-2)2≥0，.3x-22-7≥-7， 则当x=2时，代数式3x2-12x+5存在最小值一7， (1)知识再现：当x=时，代数式x2-6x+12的最小值是 (2)知识运用：若y=-x2+2x-3,求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值； (3)知识拓展：若-x2+3x+y+5=0,求y+x的最小值 6.(24-25八年级上·贵州黔西·期末)“以形释数”是利用数形结合的思想解决代数问题的一种方法，做整式 的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论.例如，对于同一个图形，通过不同的方法计算图 形的面积，就可以得到一个数学等式.如图1，可得等式：（a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2. a C bG 图1 图2 图3 (I)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b的正方形，可以得到等式：； (2)利用(1)中所得结论，解决问题：已知a+b=11,a2+b2=85,求ab的值； (3)如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B,C,G三点在同一直线上，连接BD和BF.若 这两个正方形的边长满足a+b=10,ab=20,请求出阴影部分的面积. 题型4利用公式进行化简求值 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 啸方法 通过乘法公式将复杂多项式化简，再代入求值（常涉及整体代换，避免繁琐计算）： 1. 化简多项式：利用平方差或完全平方公式将多项式化简为最简形式： 2. 整体代换：将已知条件中的整体代入化简后的式子，计算结果。 1.(24-25七年级下·辽宁沈阳期末)若2a2+4a-3=0,则代数式aa+4+(a+1(a-1)的值为 2.(25-26八年级上吉林期末)先化简，再求值：(2x+3y)-(2x+y)(2x-y),其中x=1,y=-4. 3.(25-26八年级上湖北襄阳期中)先化简，再求值：(2x+1)(2x-1)-(2x-3),其中x=-3. 4.24-25八年级上北京丰台期未)化简求值：(x+1-(x+x-2小，其巾x=号 5.(2425八年级上吉林长春期末)先化简，再求值：(x+1)(x-2)-(x+3(x-3),其中x=5. 6.(24-25七年级下·山西运城期末)先化简，再求值：(m+2n)2-(m+3n(m-3n,其中m=2,n=-1 题型5乘法公式的几何应用 嫦方法 通过图形的面积验证乘法公式（如用正方形、长方形的面积表示平方差或完全平方公式），体现“数形结 合”思想： 1. 构造图形：用已知线段构造正方形或长方形，使其面积对应乘法公式的左边或右边。 面积等价：通过图形的割补、拼接，证明面积相等，从而验证乘法公式。 1. (25-26八年级上·全国·期末)将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中 阴影部分的面积关系得到的等式是() b b 6 a 6 b b 图① 图② A.a2-b2=(a-b)(a+b) B.a2+2ab+b2=(a+b)2 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.a2-2ab+b2=(a-b)2 D.a2-ab=a(a-b) 2.(25-26八年级上陕西延安·月考)如图，大正方形ABCH与小正方形EBDY的面积之差是48，连接 AC,AD,ED,CE,点A,E,B在同一条直线上，点C,B,D在同一条直线上，则阴影部分的面 积是() B D A.12 B.18 C.24 D.30 3.(25-26八年级上河北廊坊月考)从边长为α的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然 后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）。 —b 图① 图② (1)上述操作能验证的等式是 (2)若x2-y2=16,x+y=8,求x-y的值； a计室：〔----22e2s 4. (25-26八年级上陕西榆林期末)“小菜园”是某中学设立的特色劳动课课程之一，如图，初二(8)班 的同学们在一块长为3a+b)米，宽为2a+b)米的长方形菜园里种植当季蔬菜，在阴影部分的区域内种 植青椒，在中间边长为(a+b)米的正方形区域内种植茄子. aib 2a+b a+b长- ←—3a+b> (1)求种植青椒区域的面积是多少平方米（用含α，b的代数式表示并化为最简)； 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)当a=5,b=10时，求种植青椒区域的面积. 5.(25-26八年级上陕西榆林期末)如图是一块长方形的广场，长为(3a+2b)米，宽为2a+b)米，广场 内部有一个正方形舞台，其边长为(a+b)米，舞台距离广场左侧边缘b米，右侧通道宽为Q米，阴影部 分是绿化部分. 6 a atb 2a+b 3a+2b (I)求绿化部分的面积；（用含α，b的代数式表示，结果化为最简) (2)若a=10米，b=5米，求绿化部分的面积 6.(25-26八年级上·吉林·期末)通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式. b b— B 图① 图② (1)观察图①，请写出a2+b2,a+b,ab之间的等量关系是_； (2)若x+y=6,y=7,则x2+y2的值为： (3)如图②，点C为线段AB上的一点，分别以AC,BC为边在AB异侧作正方形ACDE和正方形BCFG, 连接AF,若正方形ACDE和正方形BCFG的面积之和为20，△ACF的面积为4，那么AB=_; (4)若(2026-m)2+(m-2025)2=9,写出(2026-m)(m-2025)的值为. /