精品解析：2026届河南省新乡市、鹤壁市、安阳市、焦作市高三上学期一模数学试题

高三一模 数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（　　） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的公差为，若，则 （　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 4. 已知是偶函数，则（　　） A. 2 B. C. 1 D. 0 5. 已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，则 的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 6. 已知，且，则（　　） A. B. C. D. 7. 一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数若关于的方程在区间内有2027个不同的实数根，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选题）某计步软件的后台数据显示，其用户的每日步数近似服从正态分布，则下列结论正确的是（　　） 附：若随机变量，则． A. 约有95%的用户每日步数在3600到10800之间 B. 每日步数多于5400和多于9000的用户比例大致相等 C. 若某人每日步数为9000，则其步数超过了大约84%的用户 D. 随机抽取100名用户，他们每日步数的方差接近1800 10. 我们称为正割函数，为余割函数，设函数，则（　　） A. 的定义域为 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点对称 D. 的值域为 11. 如图，在四棱锥 中， 平面，且底面为平行四边形，的中点为 ，点分别在棱上（均与不重合），且，四点共面，记四棱锥 的体积为 ，三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数___________． 13. 已知抛物线上一点 到 的焦点及对称轴的距离分别为2和，则___________． 14. 已知且，若函数在上单调递增，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记正项等比数列的前项和为，已知． （1）求的公比； （2）若 ，数列的前项和为，正整数满足，求． 16. 某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表： /亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2 /亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660 （1）估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额； （2）求样本的相关系数（精确到0.01）； （3）已知与的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额． 参考数据：，， ． 参考公式：相关系数． 17. 如图，在三棱柱中，平面底面 是边长为2的正三角形， 的中点分别为 ． （1）证明： 平面 ； （2）若，求平面与平面 夹角的余弦值． 18. 已知函数． （1）讨论在上的单调性； （2）若，证明：； （3）设函数，若有两个不同的零点，且，求的取值范围． 19. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为和 是 上除顶点外的两个动点． （1）若直线的斜率成等差数列，证明：直线 过定点； （2）若直线的斜率成等比数列，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三一模 数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解出集合 ，再进行交集运算即可． 【详解】根据题意，解得集合，而集合，所以． 故选：A． 2. 若复数满足，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算化简复数，利用复数的模长公式可求得的值. 【详解】因为，所以， 故. 故选：C. 3. 已知等差数列的公差为，若，则 （　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】由题意知，，又 ，故 ． 故选：C 4. 已知是偶函数，则（　　） A. 2 B. C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性运算，结合正弦函数奇偶性求出值. 【详解】函数是R上的偶函数，而 是奇函数， 则函数是奇函数，，解得 ，此时是奇函数， 所以 . 故选：D 5. 已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，则 的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出椭圆、双曲线的离心率，根据它们的离心率互为倒数求出的值，进而求出双曲线的渐近线方程. 【详解】椭圆的离心率为， 双曲线的离心率为， 因为双曲线与椭圆的离心率互为倒数，所以， 解得，故双曲线 的方程为，所以，渐近线方程为． 故选：A 6. 已知，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先逆用两角和的正弦公式可得 的值，再根据同角三角函数的基本关系可得的值，最后利用倍角公式即可得解. 【详解】因为 ， 又， 所以， 所以． 故选：B. 7. 一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，可得当该球为圆锥的外接球时，球的表面积最小，设球的半径为，再根据勾股定理求出球的半径可得答案. 【详解】由题意知，当该球为圆锥的外接球时，球的表面积最小， 圆锥的底面半径为 ，体积为高， 设球的半径为，由图可得，解得， 故球的表面积的最小值为 故选：C 8. 已知函数若关于 的方程在区间内有2027个不同的实数根，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先作出上的图象，令，再将问题转化为方程有一个根在内，另一个根在内.令，利用实根分布即可求解. 【详解】先作出在上的图象，再扩展到整个定义域，画出大致图象如下． 当时，方程在内有2026个实根； 当时，方程在内有1个实根， 令，因为方程在区间内有2027个不同的实数根， 所以方程有一个根为，另一个一个根在内，此时,符合题意； 或者有一个根在内，另一个根在内， 令，则， 即 解得,综上可得． 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选题）某计步软件的后台数据显示，其用户的每日步数近似服从正态分布，则下列结论正确的是（　　） 附：若随机变量，则． A. 约有95%的用户每日步数在3600到10800之间 B. 每日步数多于5400和多于9000的用户比例大致相等 C. 若某人每日步数为9000，则其步数超过了大约84%的用户 D. 随机抽取100名用户，他们每日步数的方差接近1800 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意知，再由正态分布的性质计算即可． 【详解】设用户每日步数为， 对于A，，故A正确； 对于B，，二者显然不相等，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，正态分布的参数表示随机变量的方差，如果随机抽取部分样本进行统计，与1800接近的是标准差，而不是方差，故D错误. 故选：AC 10. 我们称为正割函数，为余割函数，设函数，则（　　） A. 的定义域为 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点对称 D. 的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用函数解析式有意义可解得函数的定义域，可判断A选项；利用余弦型函数的周期性可判断B选项；利用余弦型函数的对称性可判断C选项；利用余弦型函数的基本性质可求出的值域，可判断D选项. 【详解】由题意得． 对于A，要使有意义，必有，则，即， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，因为的最小正周期为， 且， 所以的最小正周期为，故B正确； 对于C，因为， 所以的图象关于直线对称，故C错误； 对于D，当时，，则， 即的值域为，故D正确． 故选：ABD. 11. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，且底面 为平行四边形， 的中点为 ，点分别在棱上（均与不重合），且，四点共面，记四棱锥 的体积为，三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据棱锥的结构特征与体积计算，利用空间向量，可得答案. 【详解】连接． 设， 则， 因为四边形 是平行四边形， 为 的中点， 所以． 由四点共面，可知存在实数，满足， 即， 所以则，化简得， 由，得，同理可得，所以． 对于AB，由题意知，又， 所以，故A错误，B正确； 对于C，同理可得，所以，故C正确； 对于D， 因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积定义求解即得. 【详解】由是夹角为的两个单位向量，得， 由，得，即，所以. 故答案为：4 13. 已知抛物线上一点 到的焦点及对称轴的距离分别为2和，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的定义结合题设条件推得点 的坐标，代入抛物线方程求解即得. 【详解】由抛物线上的点 到的焦点的距离为2可得点 到的准线的距离为2，即， 又点 到的对称轴的距离为，所以， 将点代入抛物线方程，可得，整理得， 解得或（不合题意，舍去）． 故答案为：. 14. 已知且，若函数在上单调递增，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得对任意的恒成立，设，利用导数结合题意推得，将其化成，设，利用导数求出其最大值即得. 【详解】根据题意，可得对任意的恒成立． 设，则． 若 ，则在上单调递增， 当且时，，不符合题意． 若，令 ，得 ， 当时，在上单调递减， 当 时，在 上单调递增， 所以，所以． 设，（），则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，即的最大值为， 此时． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记正项等比数列的前项和为，已知． （1）求的公比； （2）若 ，数列的前项和为，正整数满足，求． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的求和公式以及题干中的等式，可得答案； （2）由等比数列的通项公式，结合题干信息，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 设的公比为． 若 ，则，原条件即，显然不成立， 则 ，所以， 所以，即， 分解因式可得，解得，所以 ． 故的公比为2． 【小问2详解】 由（1）知的公比为2，所以， 所以，所以， 由，得， 化简得， 解得 （负根已舍去）． 16. 某科技公司统计了过去10年每年的研发投入 （单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表： /亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2 /亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660 （1）估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额； （2）求样本的相关系数（精确到0.01）； （3）已知与 的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额． 参考数据：，， ． 参考公式：相关系数． 【答案】（1）12亿元，650亿元 （2） （3）710亿元 【解析】 【分析】（1）根据样本平均数的计算公式求解； （2）将所给数据代入相关系数计算公式求解； （3）根据回归直线经过样本中心点，求出的值，再将13.5代入求出营业额的预测值. 【小问1详解】 平均每年的研发投入为 ， 平均每年的营业额为. 【小问2详解】 将所给数据代入相关系数计算公式得 ． 其中， 所以． 【小问3详解】 由题意知，回归直线过样本中心点， 即，解得 ． 所以回归方程为． 将代入回归方程，得， 故预测该公司今年的营业额为710亿元． 17. 如图，在三棱柱中，平面底面 是边长为2的正三角形， 的中点分别为 ． （1）证明： 平面 ； （2）若，求平面与平面 夹角的余弦值． 【答案】（1）如图，取的中点，连接 ． 因为 为等边三角形，为的中点，所以 ， 因为平面平面，且平面 平面 ， 所以 平面．所以 . 因为 分别为 的中点，所以，且， 又是的中点，所以 ， 所以四边形 为平行四边形，所以 ． 所以 平面，从而 ， 又 ，且 ， 平面 , 故 平面 ． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接 ，根据线面垂直的判定定理可知，只需证明 即可，通过平行四边形的性质及面面垂直的性质定理可证； （2）根据（1）中结论及等腰三角形的性质可得， ，两两垂直，以， ，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解平面与平面 的法向量，进而可求夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由 平面 ，得 ， 又 是的中点，所以 是等腰三角形，且 ． 由 平面，得 ， 又， 所以． 所以 所以 ，即 是等边三角形． 连接，以为坐标原点，， ，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则 由 可得 ． 设平面的法向量为 ， 由 得， 取 ． 易知平面 的一个法向量为 ． 设平面与平面 的夹角为 ， 则， 即平面与平面 夹角的余弦值为． 18. 已知函数． （1）讨论在上的单调性； （2）若，证明：； （3）设函数，若有两个不同的零点，且，求的取值范围． 【答案】（1） 若，在上单调递减； 若 ，在上单调递增； 若 ，在上单调递增，在上单调递减． （2） 若，则． 要证明，即证明，即． 设，由，可得 ，待证不等式转化为． 右边：设，则， 所以在上单调递减，故，即． 左边：设，则， 所以在上单调递增，故，即． 综上，原命题得证． （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用分类讨论可求得函数的单调区间； （2）不等式变形为，设，通过构造函数法可证明不等式； （3）由题意可得方程有两个不同的实根，令，求导可得的单调性，进而画出函数的图像，数形结合可得，且，结合已知可求的取值范围． 【小问1详解】 由题意得． 若，则，即恒成立，所以在上单调递减； 若 ，则，即恒成立，所以在上单调递增； 若 ，令，得， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意知是的两个相异的零点，即方程有两个不同的实根． 令，则， 令 ，得 ，令 ，得 ， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 且当时， ，当时， ． 画出的大致图像，如图，可知若曲线与直线有两个交点， 交点的横坐标分别为，则，且． 先考虑的情形： 由，得， 所以，此时． 当时，，从而，符合条件； 当时，，从而，不符合条件． 所以要使，必须，得， 故的取值范围是． 19. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为和是上除顶点外的两个动点． （1）若直线的斜率成等差数列，证明：直线过定点； （2）若直线的斜率成等比数列，求面积的最大值． 【答案】（1） 由题意得，所以． 若直线的斜率成等差数列，则． 设． 当直线的斜率存在时，设，由题意可知． 由 得 ， 则．（*） 所以 将（*）代入，得，化简得，当时，满足 ． 所以，可知该直线恒过点． 当直线的斜率不存在时，， 所以，得，不符合条件． 综上，直线过定点； （2）1 【解析】 【分析】（1）根据直线的斜率成等差数列得，当直线的斜率存在时，设，与椭圆方程联立，由韦达定理代入可得答案；当直线的斜率不存在时，由得不符合条件； （2）若直线的斜率成等比数列得．记，由直线方程与椭圆方程联立，求出坐标，求出的面积． 可以看作关于的函数，法一：利用基本不等式可得答案；法二：利用导数求最值可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若直线的斜率成等比数列，则． 记，由可得． 用替换，可得，因此关于 轴对称． 因此的面积为． 可以看作关于的函数，故只需考虑 的情况． 法一：①当时，． 考虑， 再令，则， 于是， 当且仅当 时，等号成立，此时，解得，符合题意． ②当时，，此时，只需令，计算过程与前面相同． 综上，面积的最大值为1． 法二：对求导，得 , 当， ，单调递增， 当时， ，单调递增， 当时， ，单调递减， 所以当时，取极小值为， 当时，取极大值为， 而当时，，而， 则的最大值为1，即面积的最大值为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $