精品解析：安徽省A20联盟2025--2026学年沪科版九年级上学期期末质量检测数学试题（一）

安徽省A20联盟期末质量检测（一） 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并收回． 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列比例式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点、均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，D是上一点，连接，下列不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为（  ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 已知抛物线（a为常数）与抛物线关于y轴对称，，，都是抛物线上的点，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，点在边上，于点，且平分，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 9. 如图1，在矩形中，点以速度从点出发沿匀速运动，同时点从点出发，速度为，依次沿，两边匀速运动，点运动到点时，、两点同时停止运动．连接，设点运动的时间为，的面积为，关于的部分函数图象如图2所示，其中是曲线的最高点，为线段．则点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 11 10. 如图，点为边延长线上一点，连接，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（　　） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11. 将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为______（用顶点式表示）； 12. 已知，则______． 13. 如图，，以为圆心，2为半径画弧，分别交，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，，则____________． 14. 如图，在中，，．是内部的一个角，和与分别交于点D和点E，已知． （1）图中与相似的三角形有_______ 个； （2）若，，则的长为_________ ． 三．（本答题共2题，每小题8分，满分16分） 15. 已知反比例函数的图像位于第二、四象限． （1）求的取值范围； （2）若图像经过点，当时，求的取值范围． 16. 如图，在平面直角坐标系中，网格中每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点坐标分别为，，．与位似，位似中心是原点O，与的相似比为．（点、、分别与点A、B、C对应，且点在第二象限） （1）在图中画出； （2）与的周长比为________． 四．（本答题共2题，每小题8分，满分16分） 17. 已知是锐角，且．求的值． 18. 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）设点Q是线段上的动点，作直线轴于点D，交抛物线于点E，求线段长度的最大值． 五．（本答题共2题，每小题10分，满分20分） 19. 矩形中，连接，的平分线交于点E，交的延长线于点F．在线段上取点G，使． （1）判断三角形的形状，并证明； （2）若，，求及的长． 20. 2025年4月24日17时17分28秒，神舟二十号载人飞船发射成功标志着中国航天开启“太空工业革命”，图，在斜坡上有一瞭望台，斜坡的坡度为，坡长为50米， 雷达的高度为10米，火箭发射，雷达中心测得火箭底端点的俯角为，仅2秒的时间，测得火箭上升至的处的仰角为，请根据以上数据估算火箭发射时速度．（结果保留整数，参考数据：，，） 六．（本大题满分12分） 21. 如图，M是四边形对角线的交点，轴于点C，轴于点，反比例函数：的图象经过点M，M是的中点． （1）求经过点A的反比例函数的表达式； （2）若点D恰好也在图象上，证明：四边形是菱形． 七．（本大题满分12分） 22. 已知，如图，点在上，； （1）求的度数， （2）若，，求的长， （3）若，求． 八．（本大题满分14分） 23. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点． （1）求线段的长； （2）若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与点，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点． （ⅰ）当线段的长有最大值时，求点的坐标； （ⅱ）过点作交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省A20联盟期末质量检测（一） 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并收回． 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义解题即可．根据二次函数定义中，最高次项为的二次方且二次项系数不为零可得正确选项． 【详解】解：二次函数的一般形式为． 选项A：，最高次项为一次，不是二次函数； 选项B：，最高次项为二次，且系数为，是二次函数； 选项C：，是分式函数，不是整式函数； 选项D：，最高次项为三次，不是二次函数． 故选：B． 2. 已知，下列比例式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题关键是掌握比例的性质并能熟练运用求解． 由已知等式直接利用比例的基本性质推导． 【详解】解：∵， ∴， ∴选项A正确， 故选：A． 3. 在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，熟记余弦的定义是解题的关键．利用勾股定理求得的长，然后根据余弦的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 则， 故选：B． 4. 已知点、均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了已知双曲线分布的象限，求参数范围，比较反比例函数值或自变量的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据反比例函数的性质，比较点A和点B的纵坐标大小关系，通过解不等式得到m的取值范围． 【详解】解：∵点和在反比例函数上， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 5. 如图，在中，D是上一点，连接，下列不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴；不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴；不符合题意； C、∵，， ∴；不符合题意； D、，不能判定，符合题意； 故选D． 6. 如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为（  ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义是解题关键． 先根据坡度定义求出斜坡的垂直高度，再利用勾股定理计算斜坡的长度． 【详解】解：斜坡的坡度是垂直高度与水平宽度的比， 斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为， ，米， 米， 据勾股定理可得米． 答：米． 7. 已知抛物线（a为常数）与抛物线关于y轴对称，，，都是抛物线上的点，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，坐标与图形变化——轴对称，设点是抛物线上的一点，则点是抛物线上的一点，据此可得抛物线的解析式为，则可推出抛物线的开口向下，对称轴为直线，即在抛物线上的点离其对称轴越远，函数值越小，比较出三个点到直线的距离的大小即可得到答案． 【详解】解：设点是抛物线上的一点， ∵抛物线（a为常数）与抛物线关于y轴对称， ∴点是抛物线上的一点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴在抛物线上的点离其对称轴越远，函数值越小， ∵，，都是抛物线上的点，且， ∴， 故选：A． 8. 如图，在矩形中，，点在边上，于点，且平分，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质． 根据矩形的性质得到，，则，解直角三角形得到，根据勾股定理得到，证明，即可得到． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图1，在矩形中，点以速度从点出发沿匀速运动，同时点从点出发，速度为，依次沿，两边匀速运动，点运动到点时，、两点同时停止运动．连接，设点运动的时间为，的面积为，关于的部分函数图象如图2所示，其中是曲线的最高点，为线段．则点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数综合，由矩形的性质可得，由函数图象可得，为线段，且面积逐渐减小，故当时，点运动到点处，结合题意求出，，当时，，，则，表示出，再由二次函数的性质即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 由函数图象可得，为线段，且面积逐渐减小， 故当时，点运动到点处， ∴， ∵由图象可得，当点运动到点处时，的面积为，点以速度从点出发沿匀速运动， ∴，， ∴，， ∵点以速度从点出发沿匀速运动，点从点出发，速度为， ∴当时，，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴是曲线的最高点，则点的纵坐标是， 故选：C． 10. 如图，点为边延长线上一点，连接，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，如图所示，先由相似三角形性质列方程求出、，再由等腰三角形三线合一性质及勾股定理求出相关线段长度，再由垂线段最短可知，当时，最小，最后判断，列比例式代值计算即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ， ∴， 则， ， 则， 解得或（线段长度为负值，舍去）， ， ∴， 即， ， ∴， 则， 解得或（线段长度为，舍去）， ， ， ∴由等腰三角形三线合一性质可得， 在中，由勾股定理可得， ， ， ∵点是定点、点是线段上的动点，则由垂线段最短可知，当时，最小， 此时，， 又， ， ∴， 即， ， 故选：A． 【点睛】本题考查动点最值问题-垂线段最短，涉及相似三角形的判定和性质、解一元二次方程、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、垂线段最短等知识，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11. 将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为______（用顶点式表示）； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移． 根据函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”进行平移． 【详解】解：将抛物线向下平移3个单位长度，得到； 再向左平移2个单位长度，得到． 故答案为：． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，由已知可得，再代入分式计算即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为 ． 13. 如图，，以为圆心，2为半径画弧，分别交，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由题意得：，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 14. 如图，在中，，．是内部的一个角，和与分别交于点D和点E，已知． （1）图中与相似的三角形有_______ 个； （2）若，，则的长为_________ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出角的度数，再依据相似三角形的判定（两角分别相等）来确定； （2）通过旋转构造全等三角形，将分散的线段集中到直角三角形中，利用全等三角形性质和勾股定理求解的长． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴与相似的三角形有个． （2）∵， ∴ 将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，， ∵ ∴ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ 在中，， 由勾股定理得： ∴． 三．（本答题共2题，每小题8分，满分16分） 15. 已知反比例函数的图像位于第二、四象限． （1）求的取值范围； （2）若图像经过点，当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象和性质是解答此题的关键． （1）根据函数图象在第二、四象限，可得，求出k的取值范围即可； （2）根据图象经过点，求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， ； 【小问2详解】 解：图象经过点， ， ， ， 当时，， 而当时随的增大而增大， 的取值范围是：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，网格中每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点坐标分别为，，．与位似，位似中心是原点O，与的相似比为．（点、、分别与点A、B、C对应，且点在第二象限） （1）在图中画出； （2）与的周长比为________． 【答案】（1） 如图即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查在网格中作图形的位似图形，和位似图形的性质； （1）找到对应点，连接即可； （2）根据周长比等于位似比解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵与的相似比为， ∴与的周长比为， 四．（本答题共2题，每小题8分，满分16分） 17. 已知是锐角，且．求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．先由是锐角，且得到，即得，，再把、、的三角函数值代入计算即可求解． 【详解】解：是锐角，且， ， ，， ， ． 18. 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）设点Q是线段上的动点，作直线轴于点D，交抛物线于点E，求线段长度的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． （1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）求出直线解析式为，设点，则点，根据二次函数的最值求法，可求的最大值． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴点， 设直线解析式为， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设点，如图， 则点， ， ∵， 当时，有最大值，最大值为． 五．（本答题共2题，每小题10分，满分20分） 19. 矩形中，连接，的平分线交于点E，交的延长线于点F．在线段上取点G，使． （1）判断三角形的形状，并证明； （2）若，，求及的长． 【答案】（1） 为等腰三角形， 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即为等腰三角形； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，由平行线的性质并结合角平分线的定义可得，即可得出，从而得证； （2）由矩形的性质可得，，，结合勾股定理得出，证明，求出，从而可得，由勾股定理可得，再证明，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 20. 2025年4月24日17时17分28秒，神舟二十号载人飞船发射成功标志着中国航天开启“太空工业革命”，图，在斜坡上有一瞭望台，斜坡的坡度为，坡长为50米， 雷达的高度为10米，火箭发射，雷达中心测得火箭底端点的俯角为，仅2秒的时间，测得火箭上升至的处的仰角为，请根据以上数据估算火箭发射时速度．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】425米/秒 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，延长交的延长线于点，设，则，利用勾股定理求出的值，再利用正切的定义求出、，即可得解． 【详解】解：过点作于点，延长交的延长线于点， 在中，坡度为，米， 设，则， ∴， ∴ ∴米，米， ∵， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴米， ∴米， ∴（米/秒） 答：火箭发射时速度约为425米/秒． 六．（本大题满分12分） 21. 如图，M是四边形对角线的交点，轴于点C，轴于点，反比例函数：的图象经过点M，M是的中点． （1）求经过点A的反比例函数的表达式； （2）若点D恰好也在图象上，证明：四边形是菱形． 【答案】（1） （2） 证明：设点M的坐标为， 轴， 点D的纵坐标与点M的纵坐标相同， 点D在图象上， 点D的坐标为， 由知，，即， 点M的坐标为， ， 是的中点， ； 轴，轴， 轴，轴， 即， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题将反比例函数与四边形的性质结合，解题关键是利用反比例函数的性质和中点坐标求出相关点的坐标关系，再结合菱形的判定定理进行证明，考查了知识的综合运用能力． 设点M的坐标为，根据点M在反比例函数上，求出，根据轴，M是的中点，求出点A的坐标，设经过点A的反比例函数的表达式为，代入点A的坐标即可解答； 根据题意证明与互相垂直平分即可得证． 【小问1详解】 解：设点M的坐标为， 点M在反比例函数上， ， 轴，M是的中点， 点A的坐标为， 设经过点A的反比例函数的表达式为， 把代入可得， 即， 又， ， 则反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 略 七．（本大题满分12分） 22. 已知，如图，点在上，； （1）求的度数， （2）若，，求的长， （3）若，求． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由三角形全等的性质得到，，再进一步得到，得出，再由即可求解； （2）先证明，得到，再由，即可求解； （3）根据，设，，得到，再得到，由，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ，， ，， ∵，， ， ∴， 在中，， ∴， ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 在中， ， 又∵， ， ∴； 【小问3详解】 解：，设，， ， ， ∵ ∴， ， ， ∵， ∴， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角形函数等知识，掌握相关知识是解题的关键． 八．（本大题满分14分） 23. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点． （1）求线段的长； （2）若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与点，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点． （ⅰ）当线段的长有最大值时，求点的坐标； （ⅱ）过点作交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ） ；（ⅱ）或． 【解析】 【分析】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质． （1）由待定系数法求出抛物线表达式，进而求解； （2）（Ⅰ）由题意知点的坐标为，点的坐标为，即可求解； （Ⅱ）由得到当时，为等腰直角三角形，再根据点在对称轴右侧或左侧分情况讨论，分别画出图形求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． 令，得，解得，， ，， ； 【小问2详解】 解：（ⅰ）由（1）知抛物线的解析式为． 令，得， ． 设直线的解析式为， 将，代入，得 解得， 直线的解析式为， 由题意知点的坐标为，点的坐标为， ， 当时，线段的长有最大值， 此时， 点的坐标为； （ⅱ）， ， 即当时，为等腰直角三角形． ①如图1，点在对称轴右侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ； ②如图2，点在对称轴左侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ． 存在，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $