专题19.1二次根式及其性质寒假预习题型突破讲义(5大题型+典题专练)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题19.1二次根式及其性质寒假预习题型突破讲义 考查题型：选择题、填空题为主，偶尔在解答题的化简步骤中出现。 考查重点: 1.求二次根式中字母的取值范围，常结合分式、绝对值综合考查。 2.二次根式性质的直接应用，尤其是=∣a∣ 的分情况化简，是中考的高频考点。 3.利用性质进行简单的计算和变形，为后续二次根式的加减乘除运算打基础。 难度系数：★★☆ 属于基础必考点，难度较低，重在理解概念和性质的细节。 题型01 二次根式的识别....................................................................................3 题型02 求二次根式的值....................................................................................4 题型03 求二次根式的参数................................................................................9 题型04 二次根式有意义的条件......................................................................14 题型05 利用二次根式的性质化简..................................................................18 【知识点01.二次根式的意义】 一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式。 关键词： 1 根指数为 2（通常省略不写）； 2 被开方数 a 是非负数。 举例：、（x≥−1）是二次根式；、不是二次根式。 【知识点02.二次根式有意义的条件】 二次根式 有意义的前提是被开方数为非负数，即 a≥0。 若二次根式在分母上，则还需满足被开方数大于 0（分母不能为 0）。 例：有意义的条件是 x−2>0，即 x>2。 【知识点03.二次根式的性质】 性质 1：()2=a （a≥0） 解读：一个非负数的算术平方根的平方，等于这个数本身。 例：()2=3；()2=2x（x≥0）。 性质 2：=∣a∣= 解读：一个数的平方的算术平方根，等于这个数的绝对值，需分情况讨论符号。 例：()2=∣−5∣=5；(=∣π−3∣=π−3。 性质 3：= （a≥0，b≥0） 解读：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。 逆用：=（a≥0，b≥0），用于二次根式的乘法运算。 例：==×=2。 【知识点04.易错点总结】 1.忽略二次根式有意义的条件 误区：化简 =−x 时，默认 x<0，忽略 x=0 的情况。 正解：=−x 的条件是 x≤0。 2.混淆 ()2 与 的区别 ()2中字母的取值范围是 a≥0，化简结果为 a； 中字母的取值范围是 a 为任意实数，化简结果为 ∣a∣。 3.误用性质 3 的条件 误区：=×。 正解：性质 3 要求 a≥0、b≥0，正确化简应为= 4.去绝对值时符号判断错误 例：化简 时，若 a<1，则 =∣a−1∣=1−a，易错写成 a−1。 【题型1.二次根式的识别】 1．下面是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式是指根指数为的根式，且被开方数非负数． 【详解】解：二次根式需满足根指数为且被开方数是非负数， A选项：为分数，不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：的根指数为，不是二次根式，故B选项不符合题意； C选项：根指数为且被开方数是非负数，是二次根式，故C选项符合题意； D选项：被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 3．下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 4．给出下列式子：；；；；，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，需满足根指数为2且被开方数非负．逐一分析各选项即可． 【详解】①：根指数为2，被开方数，符合二次根式定义． ②：被开方数为，无意义，不是二次根式． ③：根指数为2，且恒成立，无论取何值均成立，一定是二次根式． ④：根指数为2，但被开方数需满足，即．由于的取值未限定，无法保证恒成立，故不一定是二次根式． ⑤：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 故选B． 【题型2.求二次根式的值】 5．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 6．的相反数是 ，＝ ． 【答案】 / / 【分析】根据相反数、绝对值的定义和性质（如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数；负数的绝对值是它的相反数）及二次根式的性质进行求解即可． 【详解】解：的相反数是； ， ， 的绝对值是它的相反数， ， 故答案为：； 【点睛】本题考查了相反数、绝对值的定义和性质及二次根式的性质，熟练掌握各个知识点是解题的关键． 7．已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先将变形为，再将代入即得答案． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：． 8．已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，求出n的取值范围，再根据是整数，即可得出答案． 【详解】解:∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴； ①，即， ②，即， ③，即， 综上所述，自然数n的值可以是3，6，7， ∴自然数的所有可能取值的和为． 故选：D． 9．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10．观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴第个数为， ∴第10个数是， 故选C． 11．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 【答案】(1)； (2)她站在山巅能看到大海，理由见解析． 【分析】本题考查了代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键． （1）将，代入即可求解； （2）先将，代入，得到此时的值，与最短距离比较即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 所以此时的值为． （2）解：能看到，理由如下 ，， ， 所以她站在山巅能看到大海． 12．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 【题型3.求二次根式中的参数】 13．如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化简即可． 【详解】解：A、当时，，不是一个正整数，故此选项不符合题意； B、当时，，是一个正整数，故此选项符合题意； C、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； D、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； 故选：B． 14．当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质解答即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，即，取最小值， 此时的值最小，最小值为， 故答案为：，． 15．已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 由题意可得，要使是正整数，即可得出当n最大取2024时，是正整数． 【详解】解： 要使是正整数， 即当时，． 故整数的最大值为2024． 故选：B． 16．若满足关系式 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 17．已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 【答案】3 【分析】由题意得，，可求，由等腰三角形可知，第三条边为3或6，然后根据三角形三边关系分情况求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 由等腰三角形可知，第三条边为3或6， 当第三条边为3时，此时无法构成三角形，舍去； 当第三条边为6时，此时能构成三角形，则三边分别为6，6，3，底边长为3， 综上所述，以a、b为边的等腰三角形的底边长为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用．熟练掌握二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用是解题的关键． 18．如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的定义，根据二次根式的定义可得：，，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：是二次根式，且值为5， ， 解得． 故的算术平方根为． 19．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式发现第n个单项式的系数为，字母部分为，即可求解． 【详解】解：各单项式的系数依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的系数为． 各单项式的字母部分依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的字母部分为． 综上，第个单项式为． 故选：D 20．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，3，3 (2)①无解，②不能，理由见解析 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． （1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解， ∴代数式的值不能等于7． 【题型4.二次根式有意义的条件】 21．使有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， 故选：B． 22．若为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件求出值是解决问题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，求出，再代入求出，最后代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：中，， ， 解得， 则， ， 故答案为：． 23．已知有理数，满足，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数必须是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，从而确定的值，再代入原式求，最后计算的值． 【详解】解：由题意，和均有意义，则被开方数且， 解得且， 所以． 代入原式，． 则． 故答案为：． 24．已知为实数，则代数式的值为（   ） A．0 B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入代数式计算． 【详解】解：要使二次根式有意义，被开方数必须为非负数，则 由，得：． 将代入代数式： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件（被开方数非负），解题关键是通过的非负性确定的唯一值，再代入计算． 25．若，则的值为 ． 【答案】2017 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，算术平方根的含义．解题的关键在于明确．先由二次根式有意义的条件得到：，再化简原等式，利用算术平方根的含义求解 从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验：符合题意； ∴． 故答案为：2017． 26．已知，则的算术平方根是（   ） A． B．3 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式中被开方数为非负数是解决问题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，确定的值，进而求出b的值，再计算的算术平方根． 【详解】解：∵ 和都有意义， ∴ 且， ∴ 且， ∴ ． 当时，，， ∴ 方程左边 ， ∴ ， ∴ ． ∴ ， ∴的算术平方根为． 故选：C． 27．已知，求，的值及的平方根． 【答案】，，的平方根是． 【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入求出的值，最后计算的平方根． 【详解】解：根据二次根式的被开方数非负，可得： 解得：． 将代入原式，得： 解得：． ． ∵的平方根是， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、平方根的计算，解题关键是利用二次根式被开方数非负的性质确定的值，进而求出其他量． 28．（1）已知x、y为实数，且，求的值； （2）实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简：． 【答案】（1）5；（2） 【分析】此题考查二次根式的化简求值，实数与数轴，整式的加减运算，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得出，确定，得出，然后代入求解即可； （2）根据数轴上实数a，b，c的位置，得到，，得出，，再化简计算即可． 【详解】解：（1）根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）根据题意得：，， ∴，， ． 【题型5.利用二次根式的性质化简】 29．化简的结果为（   ） A． B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的平方运算，掌握积的乘方规则以及二次根式的平方等于其被开方数是解题的关键． 平方运算会使负号消失，因为负数的平方是正数，且平方根平方后得到原数． 【详解】解：∵， ∴结果为7． 故选：C． 30．已知，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的非负性，二次根式的性质，非负数的性质，掌握非负数之和等于时，各项都等于是解题的关键． 将方程整理成完全平方形式，利用非负数的性质求出和的值，然后代入，进行求值即可． 【详解】解：由 ， 移项得 ， 即 ． ， ， ， ， 解得 ，． 则 ． 故答案为：． 31．若，，则的值为 ． 【答案】8或2 【分析】根据二次根式的性质分别求出和的可能值，再计算． 【详解】解：根据二次根式的性质： 由，得； 由，得， ∴或． 分情况计算： 当时，； 当时，． 综上，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次根式的性质、，解题关键是注意化简后是，需考虑的正负两种情况． 32．实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与绝对值的化简，掌握二次根式化简，及根据数的符号化简绝对值是解题的关键． 先从数轴确定的符号及的正负，再利用二次根式的性质化简，最后结合绝对值的化简规则计算式子结果． 【详解】解：由数轴可知，，且，因此， 故， ∵， ∴ 原式 ． 故选：A． 33．实数，对应的点在数轴上的位置如下图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简与绝对值的化简，掌握根据数轴确定字母的取值范围，进而判断式子的正负，再利用和绝对值的化简规则进行计算是解题的关键． 先从数轴确定的取值范围，再判断根号内式子与绝对值内式子的正负，利用二次根式和绝对值的化简规则去掉符号，最后合并同类项． 【详解】解：由图可知，，， ，，， 原式 ． 34．已知，，为的三条边的长，则化简的结果是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了三角形三边关系、二次根式以及绝对值的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 先根据化简二次根式，然后利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断绝对值内的正负，从而化简表达式． 【详解】解：∵ 是 的三边， ∴ ，即 ， ∴ . 又 ∵，即， ∴. ∴ 原式   . 故选：D． 35．若整数满足，则能使为整数的的值是 ． 【答案】或3 【分析】根据绝对值不等式确定整数的取值范围，再根据算术平方根为整数的条件，逐一验证可能的值． 本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 【详解】解：由整数满足 得可取． 计算 ： 当 时，，不是整数； 当 时，，是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，是整数． ∴能使 为整数的 的值是和 ； 故答案为：或． 36．阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取得最小值，最小值为 ； (2)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)4，8 (2)真分式，，4 (3)当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据材料1可得，即可求解； （2）根据新定义分式是真分式，根据题意得出为整数，进而求得满足条件的整数x的值有4个； （3）设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米，结合材料1，即可求解； （4）根据材料2的方法，进行化简即可求解． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； （2）解：根据新定义分式是真分式， ∵x为整数，的值为整数， ∴为整数， ∴或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴ 此时，，. ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （4）解： ∵， ∴， ∴ 当且仅当时，即时，式子有最小值为4， ∴当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题19.1二次根式及其性质寒假预习题型突破讲义 专情分析 考查题型：选择题、填空题为主，偶尔在解答题的化简步骤中出现。 考查重点： 1.求二次根式中字母的取值范围，常结合分式、绝对值综合考查。 2.二次根式性质的直接应用，尤其是√a2=|al的分情况化简，是中考的高频考 点。 3.利用性质进行简单的计算和变形，为后续二次根式的加减乘除运算打基础。 难度系数：★★口属于基础必考点，难度较低，重在理解概念和性质的细节。 题型梳理 题型01二次根式的识别. 3 题型02求二次根式的值. 题型03求二次根式的参数. .9 题型04二次根式有意义的条件. 14 题型05利用二次根式的性质化简 .18 知识点梳理 【知识点01.二次根式的意义】 般地，我们把形如√(a≥0)的式子叫做二次根式。 关键词： ①根指数为2（通常省略不写）； ②被开方数a是非负数。 举例：5、+1(x之-1)是二次根式；√一3、4不是二次根式。 【知识点02.二次根式有意义的条件】 试卷第1页，共3页 二次根式√有意义的前提是被开方数为非负数，即a≥0。 若二次根式在分母上，则还需满足被开方数大于0（分母不能为0）。 例：点有意义的条件是X-2》0,甲2。 【知识点O3.二次根式的性质】 性质1：(Wa)2=a(a≥0) 解读：一个非负数的算术平方根的平方，等于这个数本身。 例：(5)P=3;(W2x)2=2x(x之0)。 aa>0 0(a=0) 性质2 Va2=I al aa<0 解读： 个数的平方的算术平方根，等于这个数的绝对值，需分情况讨论符号。 例：(W-5P=-5=5；( 3-m2=lr-3元-3。 性质3：Vab a·V (a≥0，b≥0) 解读： 积的算术平方根， 等于各因式算术平方根的积。 逆用： a·Vb(a0,b0),用于二次根式的乘法运算。 例：V12V4×3V4×V5=2W5 【知识点04.易错点总结】 1.忽略二次根式有意义的条件 误区：化简V2=-X时，默认x<0,忽略x=0的情况。 正解： V2=-x的条件是x≤0。 2.混淆 (Wa)2与Va的区别 (W)2中字母的取值范围是a≥0，化简结果为a V2中字母的取值范围是a为任意实数，化简结果为1a。 3.误用性质3的条件 试卷第1页，共3页 误区： -2×(-3)-2×-3。 正解：性质3要求a≥0、b≥0，正确化简应为-2)×(-3)V6 4.去绝对值时符号判断错误 例：化简《a-)时，若a<1,则V《a-)产=|a-1|=1-a,易错写成a-1。 常考题型精讲精练 【题型1.二次根式的识别】 1.下面是二次根式的是() a者 B.2 C.2 D.4 2.小红说：“因为√9=3，所以√5不是二次根式.”小红的说法是 的（填“对” 或“错”)· 3.下列式子中，不一定是二次根式的是( A.V12 B.x2-2xy+y2 C.√x-1 D.V-2)×(-3) 4.给出下列式子：①√8；②√4；③Va2+1；④√2a;⑤x,其中一定是二次根 式的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型2.求二次根式的值】 5.当x=12时，二次根式√x-3的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 6.√5-2的相反数是」 一，2-3= .己知m=3-√5，则代数式m2-6m-7的值是」 8.已知√7-n是整数，则自然数的所有可能取值的和为() A.9 B.10 C.13 D.16 9.已知2a-8+5-3b=0,则√6a-9b的值为() A.9 B.±9 C.3 D.±3 试卷第1页，共3页 10.观察分析下列各数：0，，√6,3，√2，√15，√8，根据其中的规律，则第 10个数是() A.21 B.√24 C.√27 D.√28 11.“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远.如图，若观测点的高度为h,观测 者视线能达到的最远距离为d,则d≈√2hR,其中R是地球半径，约为6400km. (I)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度h为80m,她观测到远处一艘船刚露 出海平面，求此时d的值； (2)已知一座山的海拔为320m,这座山到海边的最短距离为60km,天气晴朗时站在山巅能 否看到大海？请说明理由， 12.当a=2025时，求a+V1-2a+a2. 解：原式=+v1-a) 解：原式=a+a-1=2a-1 =a+1-aF1 当a=2025时，原式=4049 小亮 小芳 () 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质： (3)当a=2时，求√a2-6a+9+11-a的值. 【题型3.求二次根式中的参数】 13.如果√3+2m是一个正整数，则整数m的值可以是() A.0 B.3 C.-6 D.-2 14.当x的值为时，√5x-1+4的值最小，这个最小值为 试卷第1页，共3页 15.己知√2025-a是正整数，则整数a的最大值为() A.2025 B.2024 C.2 D.1 16.若m满足关系式V3x+5y-2-m+V2x+3y-m=V1-x-y√x-1+y，则m=一 17.己知√a-6+b-3=0,则以a、b为边的等腰三角形的底边长为_ 18.如果m-n是二次根式，且值为5，试求m“的算术平方根. l9.按一定规律排列的单项式：√5a3,√5a5,√a,√7a,√33a,…,第n个单项式 为() A.√2n+1a2m-l B.√2n+1a2m C.V2"+1a2m- D.V2"+1a2m+ 20.类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法. ()【回顾旧知，类比求解】 解方程：√x+1=2. 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程_，解这个方程，得x=·经检验，x=是原方 程的解. (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：V9x2-5x+3x=1; ②代数式V2+4+√7-x)+4的值能否等于7？若能，求出x的值；若不能，请说明理由. 【题型4.二次根式有意义的条件】 21.使√x-5有意义的x的取值范围是() A.x>5 B.x≥5 C.x≠5 D.全体实数 22.若a、b为实数，且a=√b-5+√5-b+3,则a-b的值为」 23.已知有理数x,y满足y=√x-4+V4-x+2,则x+2y的值为 24.己知m为实数，则代数式√m+3-√-m2-√2-4m的值为() A.0 B.-V3 C.5 D.无法确定 试卷第1页，共3页 25.若2016-ad+√a-2017=a,则a-20162的值为- 26.己知√a-17+217-a=b+8,则a-b的算术平方根是() A.+3 B.3 C.5 D.±5 27.己知√m-10+310-m=n-6,求m,的值及m2-n2的平方根. 28.(1)己知x、y为实数，且y=√x-9-V9-x+4,求Vx+Vy的值： (2)实数a,b,c在数轴上的对应点如图，化简：Vc-b2+V-Vb-a2. b c 0 a 【题型5.利用二次根式的性质化简】 29.化简(-√)的结果为() A.7 B.±49 C.7 D.-7 30.已知a2+√b-2=4a-4,则Vab的值为 31,若（√m)2=5,√n2=3,则m+n的值为 32.实数a,b对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简a-（√a+的结果是() a A.2a+b B.-2a+b C.b D.2a-b 33.实数a,b对应的点在数轴上的位置如下图所示，化简：√(a+1)2+2Vb-1)2-a-b. -1 a 0 b1产 34.已知a,b,c为ABC的三条边的长，则化简V(a+b-c)2-b-a+c的结果是() A.b+c B.0 C.a-c D.2a-2c 35.若整数x满足x≤3，则能使√7-x为整数的x的值是」 36.阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a,b,则（√a-√b≥0，即a+b-2√ab≥0， a+b≥2√ab,当且仅当a=b时取等号，此时a+b有最小值为2√ab; 试卷第1页，共3页 【实例展示1】已知x>0,求式子x+’最小值， 9. 9 、9 解：x+2≥2，x.2=6,当且仅当x=2,:x>0,即x=3时，式子有最小值为6. 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子.分 母同样大的分数，叫做“假分数”.类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分 式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母 的次数时，我们称之为“真分式”. 【实例展示2】如：一，二这样的分式就是假分式；如3，这样的分式就是真 x+’x- x+1’2+ 分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式。如 =x+-2-1-2,_x-+1x+x-1 x+1x+1 1-x+i’x-1=x-1 x-1x-1 =x+1+1 x-1 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： ①已知x>0,则当x=时，式子x+取得最小值，最小值为： ②分式3是_（填真分式或假分式”）；假分式x+6可化为带分式形式为；如果分式 x+1 x+6 的值为整数，则满足条件的整数x的值有_个； x+4 (3)用篱笆围一个面积为225m的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所 用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ ④已知1，当x取何值，分式？+写 取得最大值，最大值是多少？ 试卷第1页，共3页