专题19.2二次根式的乘法与除法寒假预习题型突破讲义(6大题型+典题专练)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题19.2二次根式的乘法与除法寒假预习题型突破讲义 专情分析 ·考查题型：选择题、填空题、计算题均有涉及，计算题中常作为基础步骤出 现。 考查重点 二次根式乘除法则的直接应用，包括数值计算和含字母的化简。 最简二次根式的判断与化简，是中考二次根式部分的核心考点，常融合在加减 运算中考查。 含字母的二次根式化简时，字母取值范围的隐含条件分析。 ·难度系数：★★口属于基础运算考点，易错点在于忽略字母的取值范围和化 简不彻底。 题型梳理 题型01二次根式的乘法… ,2 题型02二次根式的除法. 题型03二次根式的乘除混合运算. 题型04最简二次根式的判断 ..15 题型05化为最简二次根式 .18 题型06已知最简二次根式求参数. …24 知识点梳理 【知识点01.二次根式的乘法法则】 法则内容：aVb-√ab(a≥0，b≥0) 解读：两个非负数的算术平方根的积，等于这两个数积的算术平方根。 逆用：Vab√·V石(a≥0，b0),用于二次根式的化简。 【知识点02.二次根式的除法法则】 试卷第1页，共3页 (a≥0，b>0) 解读：两个非负数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根，注意分母 不能为0： 逆用：层 (a≥0，b>0),用于分式形式二次根式的化简。 【知识点03.最简二次根式】 •定义（满足两个条件） 1.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 2被开方数中不含分母。同时满足以上两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 。化简步骤（核心思路：化为最简二次根式） 1.把被开方数分解因数或因式，将能开得尽方的部分开出来； 2若被开方数含分母，通过分子分母同乘一个合适的二次根式，化去分母中的根 号。 【知识点04.易错点总结】 1运用二次根式乘除法法则时，忽略被开方数的取值范围，如计算√一2·√一3 是错误的，因为被开方数为负数。 2.分母有理化时，只对分母变形，忘记分子同乘相同的二次根式，导致运算结果 错误。 3化简二次根式时，未将被开方数中所有能开得尽方的因数都开出来，如误将 V18化简为35。 常考题型精讲精练 【题型1.二次根式的乘法】 1.下列运算正确的是() A.V-22=-2B.2+5=7 C.√2x5=√6 D.2a_1 2ab b 2.小明在作业本上做了以下题目：①V16a=4a2;②10a÷√5=√2a;③ a日-，0-：÷=4，共中候错的是《) A.① B.② C.③ D.④ 试卷第1页，共3页 3.计算下列各题： 0)5xi而x32 @Vox(-Vi5)*[-jV6) o(3x>a>0. 4.若无理数a与√12的积是一个有理数，则a的值为 (写出一个即可). 5.估计2V5×V2-1的运算结果最接近下列哪个整数() A.3 B.4 C.5 D.6 6.若√5xV18=√5xa√2=aVb,则a-2b= 7.如果-xV2+x=V2(2+x,那么等式成立的条件是】 8.阅读下面一题的解答过程，并判断是否正确.若不正确，请写出正确的解答过程， 已知a为实数，化简云a日 o.T-y) =ala=a. 【题型2.二次根式的除法】 9.下列等式成立的是() A.√2+V5=5B.18=25 C.√25=V5 D.√6÷5=√2 10.对于任意两个不相等的数a,b,定义一种新运算“⊙如下a8b=a+b 3田2=V3+2 √3-2 =5,那么12⊕4=一 11.裕固族工匠用银片制作饰品，其中有一个长方形银片的面积为√6cm2,长为2√2cm, 则该长方形银片的宽为」 cm】 12.计算： (1)32÷V4÷√2. 2)i2xV325 33 试卷第1页，共3页 13.估计(80+V30)÷V5的值应在() A.4与5之间B.5与6之间 C.6与7之间 D.7与8之间 x+1 x+1 14.若2-x2-x 成立，则x的值可以是() A.-2 B.0 C.2 D.3 15.若a-2与6+4互为相反数，则 的值为 a 16.若x、y为实数， 且y--9+9-r+2,求+y-y的值. x+3 【题型3.二次根式的乘除混合运算】 17.计算⑧*×得 结果为() A.32 B.42 C.52 D.6N2 1者y0,则+ 所得结果为() A阿 B.5回 C.Vx炒 D.xyxy 19.若a,b为实数，且a-25+b-2=0,则dl的值— 双：得厚一 21.计算：820+5x2. 5 22. 估行仍而5的值惊在()之间 A.2到3 B.3到4 C.4到5 D.5到6 23.山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一，被誉为流淌在刀尖上的舞蹈.剪纸作为一种镂 空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受.张萌现用一张长方形彩纸和一张正方形彩 纸各剪了一个图案.若长方形彩纸的长为4v3cm,宽为2V6cm,且长方形彩纸的面积是正 方形彩纸面积的√10倍，则正方形彩纸的面积为 cm2. 试卷第1页，共3页 24.化简：(25+4(5+×25+可 【题型4.最简二次根式的判断】 25.下列二次根式中，是最简二次根式的是() A.√4 B.5 D.√0.09 26.我们把形如a√+b（a,b为有理数，√为最简二次根式)的数叫做√型无理数，如 35+1是5型无理数、则(W5+√5是」 型无理数 27.请写一个二次根式，使其化简后为a√5(a为正整数)，这个二次根式可以是 1 28.在下列代数式中： g2、2、o-y+以小诉、V卫 最简二次根式的个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 29.若√石为最简二次根式，则两位数口中的数字可以为 30.若-√2a+5与√3b+a是被开方数相同的最简二次根式，√ab=一 31.将下列二次根式化成最简二次根式： a+b (①a-br0<a<b): m+(m>n>0): ②m-n (a+2) 3)Va-2a>2. 【题型5.化为最简二次根式】 32.如图是由正方形和直角三角形组成的，若正方形B,C的面积都为4，则正方形A的边 长是() 试卷第1页，共3页 B A.2 B.4 C.22 D.8 33.将√.2化为最简二次根式为 34.平面直角坐标系中，点P(3,-3)到坐标原点的距离等于 35.与√2的乘积为-1的数是() A.-2 B. 2 D分 36.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D,E分别是BC,AC的中点，AD=4,BE=3, 则AB=一 D 37.如图，在口ABCD中，AB=10,AD=6,AC⊥BC,则BD=() y A.213 B.93 C.43 D.2√26 38.将下列二次根式化成最简二次根式： x2 (0)3xV27a (x<0,a<0): (2)V16a+32a2b2; (w层+亭>0. 试卷第1页，共3页 39.长方形ABCD中，点E在边上从点D沿D-C-B的方向移动，若将长方形沿着AE折 叠在同一平面，如图1，点D的对应点为D,连接D'B,若△ABD'为直角三角形，AD=6, AB=10,求DE的长， D D 图1 备用图1 备用图2 【题型6.己知最简二次根式求参数】 40.已知√m-3是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： 41.已知a是一个正整数，√20a也是正整数，则a的最小值为() A.4 B.5 C.10 D.20 42.若√48√2a的值是一个整数，则正整数a的最小值是() A.1 B.2 C.3 D.6 43.√12与最简二次根式√m+1是同类二次根式，则m=() A.2 B.3 C.6 D.11 44.若√2m*-2和V3m-2+2都是最简二次根式，则m=一，n=一 45.已知A=22x+1,B=3√x+3,C=V10x+3y,其中A,B为最简二次根式，且 A+B=C,则2y-x的值为一 46.已知最简二次根式+b与√3a+b是同类二次根式，求(a+b)“的值. 试卷第1页，共3页 专题19.2二次根式的乘法与除法寒假预习题型突破讲义 ·考查题型：选择题、填空题、计算题均有涉及，计算题中常作为基础步骤出现。 ·考查重点 二次根式乘除法则的直接应用，包括数值计算和含字母的化简。 最简二次根式的判断与化简，是中考二次根式部分的核心考点，常融合在加减运算中考查。 含字母的二次根式化简时，字母取值范围的隐含条件分析。 ·难度系数：★★☆ 属于基础运算考点，易错点在于忽略字母的取值范围和化简不彻底。 题型01 二次根式的乘法......................................................................................2 题型02 二次根式的除法......................................................................................7 题型03 二次根式的乘除混合运算.....................................................................11 题型04 最简二次根式的判断.............................................................................15 题型05 化为最简二次根式.................................................................................18 题型06 已知最简二次根式求参数.....................................................................24 【知识点01.二次根式的乘法法则】 法则内容：=（a≥0，b≥0） 解读：两个非负数的算术平方根的积，等于这两个数积的算术平方根。 逆用：=（a≥0，b≥0），用于二次根式的化简。 【知识点02.二次根式的除法法则】 法则内容：： （a≥0，b>0） 解读：两个非负数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根，注意分母不能为 0。 逆用：=（a≥0，b>0），用于分式形式二次根式的化简。 【知识点03.最简二次根式】 ·定义（满足两个条件） 1.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 2.被开方数中不含分母。同时满足以上两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 · 化简步骤（核心思路：化为最简二次根式） 1.把被开方数分解因数或因式，将能开得尽方的部分开出来； 2.若被开方数含分母，通过分子分母同乘一个合适的二次根式，化去分母中的根号。 【知识点04.易错点总结】 1.运用二次根式乘除法法则时，忽略被开方数的取值范围，如计算 是错误的，因为被开方数为负数。 2.分母有理化时，只对分母变形，忘记分子同乘相同的二次根式，导致运算结果错误。 3.化简二次根式时，未将被开方数中所有能开得尽方的因数都开出来，如误将 化简为 3。 【题型1.二次根式的乘法】 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．根据算术平方根定义，二次根式加法，二次根式乘法运算法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．，故A选项不符合题意； B．与不是同类二次根式，不能合并，故B选项不符合题意； C．，故C选项符合题意； D．，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．小明在作业本上做了以下题目：①；②；③；④．其中做错的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键． 利用二次根式的乘除法法则，逐一验证每个等式的正确性． 【详解】解：对于①： ∵ ，∴ ①正确； 对于②：∵ 当时， ，∴ ②正确； 对于③：∵ 当时，， ∴ ③正确； 对于④：∵ = ，∴ ④错误； 因此，做错的是④． 故选：D． 3．计算下列各题： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算，解题步骤为：先确定系数的乘积及符号，再将被开方数相乘，最后化简二次根式并计算结果，正确的计算是解题的关键． （1）（2）（3）根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 4．若无理数与的积是一个有理数，则的值为 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算与有理数、无理数的概念，解题关键是利用“根式的平方为有理数”的性质，构造出能与化简后式子相乘消去根号的无理数． 先化简，再根据“无理数与根式相乘后能消去根号得到有理数”的思路，确定无理数的形式． 【详解】解：①化简：． ②要使无理数与的积为有理数，需让可以含有的形式（其中为非零有理数）这样相乘后可消去根号． 例如取，则，是有理数，符合要求． 故答案为：（答案不唯一）． 5．估计的运算结果最接近下列哪个整数（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，无理数的估算，计算出式子的结果，再根据无理数的估算方法求出结果的取值范围即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的运算结果最接近4， 故选：B． 6．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质，正确的计算是解题的关键． 通过简化根式乘法运算，比较等式两边系数和根号内值，求出和的值，再代入计算表达式． 【详解】解：， 又 ， ， 解得：， 又 ， ， 解得：， ， 故答案为：． 7．如果，那么等式成立的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握相关性质是解题关键. 根据二次根式的性质，被开方数必须非负，且等式化简后需满足条件 ，结合的范围求解. 【详解】解：由二次根式的性质，被开方数 ，即 原等式右边 ∴ 当 时，左边 ，右边 =，等式成立 当 时，，两边除以 得 解： 若 ，则 ，有 ，解得 若 ，则 ，有 ，恒成立 ∴ 的解为 ， 结合 得 综上，； 故答案为：. 8．阅读下面一题的解答过程，并判断是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 已知为实数，化简． 解：． 【答案】不正确．正确的解答过程见解析 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握先根据二次根式有意义的条件确定字母的符号，再结合二次根式的乘法法则化简，同时正确处理根号化简后的绝对值符号是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定a的符号，再依据二次根式的乘法法则化简，同时注意根号化简后绝对值的符号处理． 【详解】解：不正确．正确的解答过程如下： ，， ， ， ∴， ∴． 【题型2.二次根式的除法】 9．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算规则，运用定义判断法，解题关键是准确掌握二次根式的运算性质，易错点是混淆同类二次根式及运算公式，解题思路是依据二次根式的加减、乘除及化简规则逐一分析选项． 【详解】解：选项A：和不是同类二次根式，不能直接相加， ，不符合题意； 选项B：，，不符合题意；    选项C：，，不符合题意； 选项D：， 符合题意； 故选：D． 10．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，实数新定义计算，熟练理解定义是解题的关键． 根据定义进行计算，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：． 11．裕固族工匠用银片制作饰品，其中有一个长方形银片的面积为，长为，则该长方形银片的宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，根据题意，用长方形的面积除以长即可得到宽． 【详解】解：∵长方形银片的面积为，长为， ∴该长方形银片的宽为， 故选：. 12．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可利用二次根式的除法运算法则，逐步化简计算； （2）结合二次根式的乘除运算法则，先将乘除统一为乘法，再化简计算． 【详解】（1）解：根据二次根式除法性质，从左到右依次计算： 原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算法则，解题关键是熟练运用、的性质，将式子统一化简后计算． 13．估计的值应在（    ） A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的计算，无理数的估值，正确地进行计算是关键． 先对二次根式进行计算，再对进行估值即可． 【详解】解： ， ， ， 估计的值应在6与7之间， 故选：C． 14．若成立，则的值可以是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据二次根式需满足被开方数大于等于零，然后根据题意二次根式的性质列不等式求解即可． 本题主要考查二次根式的概念及性质、一元一次不等式组的解法，关键是根据二次根式的概念列出不等式组即可． 【详解】解：∵成立， ∴且且， 解得：， ∴的值可以是0． 故选：B 15．若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，掌握几个非负数的和为，则每个非负数都为是解题的关键． 先根据互为相反数的两个数和为列出等式，再结合二次根式的非负性，得到关于的方程，求解出的值，最后代入式子计算结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∵二次根式具有非负性， ∴只有当且时，和为， 解得： 将代入： ​． 故答案为：． 16． 若x、y为实数， 且，求 的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件． 先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件求出，进而求出，再根据二次根式的乘法结合平方差公式计算即可． 【详解】解：由题意可知， 解得， ∴， ． 【题型3.二次根式的乘除混合运算】 17．计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 18．若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式， 故选：C． 19．若，为实数，且，则的值 ． 【答案】12 【分析】根据平方的非负性及算术平方根的非负性求出a及b的值，代入计算即可． 【详解】， ， ， ， 故答案为：12 20．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式乘除法的运算法则进行计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 21．计算：． 【答案】2 【分析】根据立方根，二次根式的乘除计算即可． 本题考查了立方根，二次根式的乘除，熟练掌握立方根的定义，运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 22．估计的值应在（    ）之间． A．2到3 B．3到4 C．4到5 D．5到6 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，无理数的估算，先根据二次根式的乘除混合计算法则求出，再利用无理数的估算方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的值应在4到5之间， 故选：C． 23．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一，被誉为流淌在刀尖上的舞蹈．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．张萌现用一张长方形彩纸和一张正方形彩纸各剪了一个图案．若长方形彩纸的长为，宽为，且长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，则正方形彩纸的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算的应用，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解决此题的关键．先算出长方形彩纸的面积，再由长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，进行计算即可得解． 【详解】解：∵长方形彩纸的长为，宽为， ∴长方形彩纸的面积为， ∵长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍， ∴正方形彩纸的面积为． 故答案为： ． 24．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算与分母有理化，解题关键是通过完全平方公式、分母有理化简化式子，逐步计算得出结果． 先将除法转化为乘法，再通过分母有理化化简式子，逐步计算得出结果． 【详解】解：原式 ． 【题型4.最简二次根式的判断】 25．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 26．我们把形如（为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数、则是 型无理数． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握是解题的关键． 根据完全平方公式展开，化简二次根式即可得出答案． 【详解】解∶ 所以，是型无理。 故答案为∶． 27．请写一个二次根式，使其化简后为（为正整数），这个二次根式可以是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义及性质，二次根式有意义的条件，理解二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为． 28．在下列代数式中：、、、，、、，最简二次根式的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义，正确掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义：“被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数的因数是整数，因式是整式”进行逐一判断即可． 【详解】解：对于，是无理数，不是最简二次根式； 对于，被开方数中含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式； 对于，被开方数，被开方数不含有能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； 对于，被开方数是小数，不满足被开方数的因数是整数这一条件，不是最简二次根式； 对于，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式； 对于，它是三次根式，不是二次根式； 对于，被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式； 综上。最简二次根式有、． 故选：C． 29．若为最简二次根式，则两位数中的数字可以为 ． 【答案】0或1或3或4或5或7或9 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】解：∵都是最简二次根式，而，，， ∴均不是最简二次根式， 故答案为：0或1或3或4或5或7或9． 30．若与是被开方数相同的最简二次根式， . 【答案】 【分析】题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值． 【详解】解：∵与是被开方数相同的最简二次根式， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 31．将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，理解最简二次根式并正确求解是关键． （1）利用二次根式的性质化简求解； （2）利用二次根式的性质化简求解； （3）利用二次根式的性质化简求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． 【题型5.化为最简二次根式】 32．如图是由正方形和直角三角形组成的，若正方形B，C的面积都为4，则正方形A的边长是（   ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，化为最简二次根式，根据勾股定理得，再进一步计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵B，C的面积都为4， ∴正方形A的面积为， ∴正方形A的边长为， 故选：C． 33．将化为最简二次根式为 ． 【答案】 【分析】先将小数化为分数，再根据二次根式的性质，把被开方数化为不含分母且不含能开得尽方的因数的形式，得到最简二次根式． 【详解】解：先把化为分数：，则． 根据二次根式的性质，将分母有理化： ． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了最简二次根式的化简，解题关键是先将小数化为分数，再通过分母有理化，把被开方数化为不含分母的形式，得到最简二次根式． 34．平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标系中两点距离计算公式，坐标系中点和点的距离为，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，点到坐标原点的距离等于， 故答案为：． 35．与的乘积为的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程和二次根式分母有理化，设所求数为x，通过解方程求解，并利用分母有理化化简结果． 【详解】解：设所求数为x，根据题意得方程：， 解得：， 将分母有理化得：， 故选：C． 36．如图，在中，，，分别是，的中点，，，则 ． ‍ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 设，，由勾股定理得，整理得，然后根据即可求解． 【详解】解：设，， ∵，分别是，的中点， ∴． 由勾股定理得 ，得， 则， ‍． 故答案为：． 37．如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出可得结论． 【详解】解：如图，设，交于点, 四边形是平行四边形，，相交于点O，，， ，，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 38．将下列二次根式化成最简二次根式： (1)（）； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号． （1）利用二次根式的性质化简求解； （2）利用二次根式的性质化简求解； （3）利用二次根式的性质化简求解． 【详解】（1）解：∵，则， ∴原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴ ． 39．长方形中，点E在边上从点D沿的方向移动，若将长方形沿着折叠在同一平面，如图1，点D的对应点为，连接，若为直角三角形，，，求的长． 【答案】的长为或． 【分析】如图，当在上，时，证明三点共线，， 求解，可得，当在上时，，延长交于点，同理可得：，，，设，则，利用勾股定理建立方程，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，当在上，时， ∵长方形，结合对折； ∴，，，，， ∴三点共线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在上时，，延长交于点， 同理可得：，，， 设，则， 由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， 综上：的长为或． 【点睛】本题考查的是长方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理建立方程，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【题型6.已知最简二次根式求参数】 40．已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值： ． 【答案】答案不唯一 【分析】本题主要考查了最简二次根式、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，据此即可解答． 【详解】解：是最简二次根式， ∴，解得：， 整数的值可以是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 41．已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的运算法则化简是解题的关键．由是正整数且，得到是完全平方数，即可求出的最小值． 【详解】解：是正整数，， 是完全平方数， 的最小值为5． 故选：B． 42．若的值是一个整数，则正整数的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法以及化简等知识根据二次根式的乘法法则计算得到，再根据已知条件即可确定正整数a的最小值． 【详解】解：是一个整数， 是一个整数， 正整数的最小值为， 故选D． 43．与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 【答案】A 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义是解题关键． 直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得：． 故选：A． 44．若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 45．已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 【答案】68 【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． 【详解】∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键． 46．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可； 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴（a+b）a＝（0+2）0＝1； 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $