第02讲 二次根式的乘法与除法（3个知识点+7大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版八年级下册数学寒假衔接讲义

第02讲 二次根式的乘法与除法（3个知识点+7大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 含有系数的根式乘法 题型二 二次根式的乘除混合运算 题型三 最简二次根式的判断 题型四 化为最简二次根式 题型五 已知最简二次根式求参数 题型六 二次根式与数轴化简问题 题型七 二次根式的乘除综合应用 知识点一：二次根式的化简 （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）下面二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式定义是解题的关键． 根据最简二次根式定义：被开方数不含有分母且不含能开得尽方的因数和因式，解答即可． 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、是最简二次根式，故选项C符合题意； D、，故选项D不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·四川自贡·月考）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的性质化简求得答案即可． 本题考查二次根式的性质及化简，熟练掌握计算法则是解题关键． 【详解】解：． 故答案为： 知识点二：二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 【即时训练】 1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）计算所得的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘方运算．应用指数运算规则，将平方分配到每个因子进行计算． 【详解】解：． 故选：D． 2．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）计算： ． 【答案】6 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘法运算法则． 根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点三：二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·山西晋城·期中）计算的结果是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键． 利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：∵， 故选：A． 2．（25-26九年级上·福建厦门·期中）化简：（1） （2） 【答案】 4 2 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，正确运用二次根式乘法法则是解题关键． （1）根据算术平方根的定义直接计算； （2）根据二次根式的除法法则，将除法转化为被开方数的除法后再开方． 【详解】解：（1）； （2）． 故答案为：（1）4 （2）2 【核心考点一 含有系数的根式乘法】 【例1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左到右的变形过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法与除法运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法与除法运算是解题的关键． 根据二次根式的性质和二次根式的乘法与除法运算法则进行判断即可．选项A、B、C的等式均需满足特定条件才成立，而选项D的变形符合二次根式的除法性质，在且时恒成立，因此正确． 【详解】解： A．：仅当且时成立，即，否则不一定成立，故等式不成立； B．：当，时，左边，右边，故等式不成立； C．：，不一定等于，故等式不成立； D．：当左边有意义时（即，），右边必然有意义且等式成立，故正确． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·河北邢台·期末）若，则“”处应填的数字为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ∴“”处应填的数字为． 故选：A． 【例3】（25-26九年级上·海南海口·月考） ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法，把系数相乘，被开方数相乘，最后化成最简二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为： ． 【例4】（24-25八年级下·重庆长寿·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法，根据计算，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： 故答案为：． 【核心考点二 二次根式的乘除混合运算】 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的化简以及乘除运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．先将各项根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘除运算法则进行计算． 【详解】解： 故选：B 【例2】（24-25八年级下·河南许昌·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 【例3】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法，先化简，将除法转化为乘法，然后进行乘法运算，通过约分得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则，求解即可． 【详解】解： 故答案为 【点睛】此题考查了二次根式乘除运算，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解题的关键． 【核心考点三 最简二次根式的判断】 【例1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 最简二次根式的被开方数不含能开尽方的因数或因式，且不含分母，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式； 选项B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项C、，被开方数不含能开尽方的因数，是最简二次根式； 选项D、 ，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式； 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·四川达州·月考）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的识别，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且不含能开方的因数或因式），逐一判断各二次根式是否符合条件． 【详解】解： ① 是三次根式，不是二次根式，故不是最简二次根式； ② 被开方数含分母，故不是最简二次根式； ③ 被开方数9能开方（），故不是最简二次根式； ④ 即 ，被开方数含分母，故不是最简二次根式； ⑤ 被开方数 无分母且不能因式分解为完全平方形式（在实数范围内），故是最简二次根式； ⑥ 即 ，被开方数含能开得尽方的因式 ，故不是最简二次根式； ∴ 只有⑤是最简二次根式，共1个， 故选：A． 【例3】（2025·浙江绍兴·一模）写出一个大于2且小于3的最简二次根式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，实数大小比较，无理数，根据无理数的估算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴写出一个大于2且小于3的无理数是． 故答案为：（答案不唯一）． 【例4】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）若为最简二次根式，则两位数中的数字可以为 ． 【答案】0或1或3或4或5或7或9 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】解：∵都是最简二次根式，而，，， ∴均不是最简二次根式， 故答案为：0或1或3或4或5或7或9． 【核心考点四 化为最简二次根式】 【例1】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母，对各选项逐一判断即可. 【详解】解：选项A：，被开方数含分母，需化简为，不符合最简二次根式条件； 选项B：，被开方数，不含平方因数，且无分母，符合最简二次根式条件； 选项C：，被开方数，含平方因数，可化简为，不符合条件； 选项D：，被开方数含平方因数，可化简为，不符合条件； 综上，只有选项B是最简二次根式； 故选：B 【例2】（24-25九年级上·黑龙江绥化·月考）把根式化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质以及最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：． 故选：A ． 【例3】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）化简：＝ ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，掌握知识点是解题的关键． 利用二次根式的性质将根号内的分数分解，再有理化分母即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·山西太原·月考）将化成最简二次根式的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化为最简二次根式，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【核心考点五 已知最简二次根式求参数】 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）若是正整数，则满足条件的最小正整数值为（    ）． A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先化简，然后依据是正整数可得到问题的答案． 【详解】解：， ∵是正整数， ∴为完全平方数， ∴的最小值是． 故选：D. 【点睛】本题主要考查的是二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·广东广州·期末）若与最简二次根式能合并，则m的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先将化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得． 【详解】解：， 与最简二次根式能合并， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键． 【例3】（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 【例4】（24-25八年级上·江苏南通·月考）若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义解答即可. 【详解】根据题意得： 解得 故答案为：，． 【核心考点六 二次根式与数轴化简问题】 【例1】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，数轴上点A 表示的数为a，化简 的结果为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，掌握是解题关键．由数轴可得，，再根据二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：由数轴可得： ， 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·湖南怀化·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察数轴得，则，再化简，即可作答． 【详解】解：观察数轴得， 则， ∴ ， 故选：A． 【例3】 （24-25八年级下·青海海西·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是 ． 【答案】 【分析】由数轴可得到，，，根据和绝对值的性质即可得到答案． 本题考查了二次根式的性质与化简：也考查了绝对值的性质． 【详解】解：观察数轴得：，，， 原式 ．     故答案为：． 【例4】（2025·河南安阳·模拟预测）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简 ． 【答案】0 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，判断数的符号，式子的符号，再根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故答案为：0． 【核心考点七 二次根式的乘除综合应用】 【例1】（25-26八年级上·上海·月考）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算．先计算乘法，再算除法即可． 【详解】解：根据题意得：， 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． （1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）小华在学习二次根式时遇到一道计算题，他的做法如下： ． 他的做法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确  见解析 【分析】本题考查了二次根式的乘法，正确的计算是解题的关键． 先将带分数化为假分数，计算括号内的二次根式的乘法，然后计算积的乘方，最后再算乘法即可． 【详解】解：他的做法不正确．正确的解答过程如下： 原式 ． 【例4】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴，某课外小组手工制作了一个长为，宽为的长方形扇面，求这个长方形扇面的面积. 【答案】 【分析】本题考查了二次根式乘法的应用，正确列式计算是解题的关键； 根据长方形的面积结合二次根式的乘法法则求解即可. 【详解】解：∵长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积； 答：这个长方形扇面的面积为. 【变式训练1 含有系数的根式乘法】 1．（24-25九年级上·青海玉树·期中）计算的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，以及二次根式的运算，掌握相关运算法则是解题关键．运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ； 故选D． 2．（25-26九年级上·河南南阳·月考）下列运算：①；②；③；④．（其中），正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除法．根据二次根式的乘法法则和除法法则进行计算，然后选择正确选项． 【详解】解：①，原计算错误； ②，原计算正确； ③，原计算错误； ④，原计算错误． 正确的只有②． 故选：B． 3．（24-25八年级下·天津·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，平方差公式，掌握运算法则是解题的关键． 根据平方差公式即可化简计算． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式训练2 二次根式的乘除混合运算】 1．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键． 2．（25-26八年级下·全国·周测）计算： （其中）． 【答案】 【分析】本题可根据二次根式的乘除运算法则，先将系数部分和根式部分分别进行运算，再结合幂的运算化简结果． 【详解】解：按照二次根式乘除法则，先处理系数部分，再处理根式部分： 系数部分运算：； 根式部分运算：； 化简被开方数：； 因此根式部分结果为：； 将系数与根式部分结合：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练运用二次根式乘除法则，并结合幂的运算化简被开方数． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． （1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 4．（24-25八年级下·山东德州·月考）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，二次根式的运算． （1）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案； （2）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a与是关于8的共轭二次根式， ∴． ∴． （2）解：∵与是关于4的共轭二次根式， ∴． ∴． ∴． 【变式训练3 最简二次根式的判断】 1．（2025八年级下·上海·专题练习）以下二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B．（为质数） C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式需满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，据此判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有分数，不是最简二次根式，不合题意； B、（为质数）是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不合题意； D、被开方数含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·北京朝阳·月考）请写一个二次根式，使其化简后为（为正整数），这个二次根式可以是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义及性质，二次根式有意义的条件，理解二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是最简二次根式，化简为 (2)不是最简二次根式，化简为 (3)不是最简二次根式，化简为 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． （1）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （2）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （3）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简． 【详解】（1）解：被开方数中含有开得尽方的因数4， 不是最简二次根式，则不是最简二次根式． ． （2）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． （3）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． 4．（24-25八年级下·上海·假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，理解最简二次根式并正确求解是关键． （1）利用二次根式的性质化简求解； （2）利用二次根式的性质化简求解； （3）利用二次根式的性质化简求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． 【变式训练4 化为最简二次根式】 1．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）若，把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握，根据二次根式有意义的条件得到，而，则，再进行化简． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级下·四川泸州·月考）观察下列二次根式的化简： ； ； ； … 则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，规律探究，根据规律确定，然后计算求解即可． 【详解】解：由题意知， ； ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·甘肃定西·月考）先化简，再求值：其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的混合运算以及二次根式的除法，先把原式化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 把代入，得 原式 4．（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 【答案】(1)①  ②  ③ (2) 【分析】（1）仿照例子，将根号外的数平方后移入根号内，再结合二次根式的性质化简； （2）先根据二次根式有意义的条件确定的范围，再将根号外的因式变形后移入根号内化简． 【详解】（1）解：①． ②． ③． （2）解：把中根号外的因式移到根号内： 由有意义，得，即． 将变形为，再平方移入根号内： 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内），解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简． 【变式训练5 已知最简二次根式求参数】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键 根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【详解】解：， ，当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 故可取的最小整数为， 故选：D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若是正整数，是最简二次根式，则可以是 （写出一种情况即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：当时，， 是最简二次根式，符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25八年级下·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值 【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式 解得： ∴符合题意 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数． 4．（24-25八年级·全国·假期作业）已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可； 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴（a+b）a＝（0+2）0＝1； 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键． 【变式训练6 二次根式与数轴化简问题】 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与数轴上实数的大小比较，掌握二次根式的性质和绝对值的化简规则是解题关键． 先由数轴判断出，再结合及绝对值的化简规则进行求解． 【详解】解：， 由数轴可知，，则， ∴． 故选：． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，数轴上点所对应的数为，化简： ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的化简；先根据数轴求出，再根据进行化简． 【详解】解：由数轴得：， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南鹤壁·期中）已知a，b，c在数轴上对应的点如图所示，化简． 【答案】0 【分析】根据数轴确定a，b，c的正负性，再判断（a+c），（b﹣c）得正负性，然后用二次根式的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：由数轴可知：a＜0，c＜0, b＞0，且 所以：a+c＜0，b﹣c＞0， 原式＝|a|﹣|a+c|+|b﹣c|﹣|b|， ＝﹣a+a+c+b﹣c﹣b， ＝0． 【点睛】本题考查的是二次根式的性质和化简，以及数轴上数的大小比较，运用二次根式的性质和绝对值的意义进行化简，解答此题得关键判断a，b，c的符号与大小． 4．（2025·云南昭通·二模）实践与探索 （1）填空：________；________． （2）观察第（1）的结果填空：当时，________；当时，________． （3）利用你总结的规律计算：，其中x的取值范围在数轴上表示为 ． 【答案】（1）3，5；（2）a，；（3）2 【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （2）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （3）直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：（1）3； =5； 故答案为：3，5； （2）当a≥0时a；当a＜0时，-a； 故答案为：a，-a； （3）由数轴可得x的取值范围为， ∴x-2＞0、x-4＜0， ∴ =2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 【变式训练7 二次根式的乘除综合应用】 1．（24-25八年级下·山东泰安·期中）已知，则化简的结果为（   ） A．6 B．3 C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，代数式求值，二次根式的混合运算；根据，可以得到，即可得到 ，再根据利用平方差公式求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴， 故选：B． 2．（2025九年级上·湖南衡阳·模拟预测）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，得，记，……，．则 ． 【答案】15 【分析】本题考查的是数字的变化规律，以及二次根式的混合运算，根据，，可计算出，因此． 【详解】解：∵，， ， ， 故答案为：15． 3．（25-26八年级上·上海·月考）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的运算法则和有意义的条件化简即可，掌握二次根式的运算法则及有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴原式 ． 4．（24-25八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据题意列出式子，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 所以 解得 即m的值为． 1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）若，，则的值用a，b可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是关键．将化为分数形式，利用二次根式的性质进行化简，并结合给定的a和b表示即可． 【详解】解：，， ． 故选：C． 2．（24-25八年级下·重庆云阳·月考）估计的运算结果应在哪两个数之间（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】根据二次根式的运算，可化简二次根式，根据被开方数越大算术平方根越大，可得． 【详解】解：原式， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出是解题关键． 3．（24-25八年级上·北京·单元测试）把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式．解题的关键是掌握二次根式的性质并能够正确利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 4．（24-25八年级下·山东德州·月考）最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式与的被开方数相同，得，解出，即可． 【详解】∵最简二次根式与的被开方数相同， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式的知识，解题的关键是理解最简二次根式的概念． 5．（24-25九年级上·安徽·月考）若，（为整数），则下列式子中一定为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】A、，(为整数)，则不一定是最简二次根式，例如取，取2，则不是最简二次根式，A错误； B、(为整数)，则等于2或3，为或，均不是最简二次根式，B错误； C、，当时，无意义；时，，C错误； D、(为整数)，则等于2或3，为或，均是最简二次根式，D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．掌握二次根式的定义是解题的关键． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）将化为最简二次根式为 ． 【答案】 【分析】先将小数化为分数，再根据二次根式的性质，把被开方数化为不含分母且不含能开得尽方的因数的形式，得到最简二次根式． 【详解】解：先把化为分数：，则． 根据二次根式的性质，将分母有理化： ． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了最简二次根式的化简，解题关键是先将小数化为分数，再通过分母有理化，把被开方数化为不含分母的形式，得到最简二次根式． 7．（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·上海虹口·月考）化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算法则化简求解即可． 【详解】解： ． 故答案： 【点睛】此题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个． 【答案】5 【分析】要确定满足是最简二次根式的正整数的值，需根据最简二次根式的定义，分析的取值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且为正整数． 【详解】∵是最简二次根式， ∴被开方数为不含完全平方因数的正整数， 由且为正整数，可知的可能取值为。 分别分析： 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式． ∴满足条件的正整数x的值为，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 10．（24-25八年级下·湖南邵阳·月考）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值 ． A B 5 C 10 D 【答案】 【分析】本题考查了数的规律探究，涉及考查一元一次方程的应用，二次根式的乘法．根据横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等列出方程求解即可． 【详解】解：对角线方向上的实数相乘的结果为， 根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ， 故答案为：． 11．（24-25八年级·上海·假期作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)不是 【分析】根据最简二次根式定义：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，先利用二次根式性质化简，再结合最简二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】（1）解：， 不是最简二次根式； （2）解：， 不是最简二次根式； （3）解：， 不是最简二次根式． 【点睛】本题考查二次根式性质及最简二次根式的概念，熟记最简二次根式定义是解决问题的关键． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）根据下列条件求代数式的值； （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】分别把、、的值代入，再化简二次根式，然后约分即可求得答案． 【详解】解：（1）当时 原式 ； （2）当时， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算，解题步骤为：先确定系数的乘积及符号，再将被开方数相乘，最后化简二次根式并计算结果，正确的计算是解题的关键． （1）（2）（3）根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：． 解：原式． 上面的解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答过程． 【答案】不正确．理由见解析 【分析】本题侧重考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解决此题的关键． 先算括号内的，再算括号外的. 【详解】解：不正确． 理由：错用分配律，，这里应先算括号里面的，再算除法． 正确的解答过程：原式． 15．（2025八年级下·山东·专题练习）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ① ② 【答案】(1)6，3 (2)， (3)①时，原式有最小值4，②时，原式有最小值5 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （3）①仿照题干所给例子，计算即可得解；②仿照题干所给例子，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （3）① = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， 当时取等号，即时，原式有最小值4． ② = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， ∴当时取等号，即时，原式有最小值5． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 二次根式的乘法与除法（3个知识点+7大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 含有系数的根式乘法 题型二 二次根式的乘除混合运算 题型三 最简二次根式的判断 题型四 化为最简二次根式 题型五 已知最简二次根式求参数 题型六 二次根式与数轴化简问题 题型七 二次根式的乘除综合应用 知识点一：二次根式的化简 （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）下面二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川自贡·月考）化简的结果是 ． 知识点二：二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 【即时训练】 1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）计算所得的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）计算： ． 知识点三：二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·山西晋城·期中）计算的结果是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 2．（25-26九年级上·福建厦门·期中）化简：（1） （2） 【核心考点一 含有系数的根式乘法】 【例1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左到右的变形过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·河北邢台·期末）若，则“”处应填的数字为（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26九年级上·海南海口·月考） ． 【例4】（24-25八年级下·重庆长寿·月考）计算： ． 【核心考点二 二次根式的乘除混合运算】 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·河南许昌·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【例4】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）计算的结果为 ． 【核心考点三 最简二次根式的判断】 【例1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·四川达州·月考）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（2025·浙江绍兴·一模）写出一个大于2且小于3的最简二次根式： ． 【例4】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）若为最简二次根式，则两位数中的数字可以为 ． 【核心考点四 化为最简二次根式】 【例1】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·黑龙江绥化·月考）把根式化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）化简：＝ ． 【例4】（24-25八年级上·山西太原·月考）将化成最简二次根式的结果为 ． 【核心考点五 已知最简二次根式求参数】 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）若是正整数，则满足条件的最小正整数值为（    ）． A．0 B．2 C．4 D．6 【例2】（24-25八年级下·广东广州·期末）若与最简二次根式能合并，则m的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 【例3】（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则 ， ． 【例4】（24-25八年级上·江苏南通·月考）若和都是最简二次根式，则 ， ． 【核心考点六 二次根式与数轴化简问题】 【例1】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，数轴上点A 表示的数为a，化简 的结果为（    ） A． B．5 C． D． 【例2】（25-26八年级上·湖南怀化·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【例3】 （24-25八年级下·青海海西·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是 ． 【例4】（2025·河南安阳·模拟预测）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简 ． 【核心考点七 二次根式的乘除综合应用】 【例1】（25-26八年级上·上海·月考）计算： 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）小华在学习二次根式时遇到一道计算题，他的做法如下： ． 他的做法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 【例4】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴，某课外小组手工制作了一个长为，宽为的长方形扇面，求这个长方形扇面的面积. 【变式训练1 含有系数的根式乘法】 1．（24-25九年级上·青海玉树·期中）计算的值是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南南阳·月考）下列运算：①；②；③；④．（其中），正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25八年级下·天津·期末）计算： ． 4．（25-26八年级上·上海·月考）计算：． 【变式训练2 二次根式的乘除混合运算】 1．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·周测）计算： （其中）． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 4．（24-25八年级下·山东德州·月考）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 【变式训练3 最简二次根式的判断】 1．（2025八年级下·上海·专题练习）以下二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B．（为质数） C． D． 2．（24-25八年级下·北京朝阳·月考）请写一个二次根式，使其化简后为（为正整数），这个二次根式可以是 ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 4．（24-25八年级下·上海·假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【变式训练4 化为最简二次根式】 1．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）若，把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川泸州·月考）观察下列二次根式的化简： ； ； ； … 则 ． 3．（24-25八年级下·甘肃定西·月考）先化简，再求值：其中，． 4．（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 【变式训练5 已知最简二次根式求参数】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若是正整数，是最简二次根式，则可以是 （写出一种情况即可）． 3．（24-25八年级下·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 4．（24-25八年级·全国·假期作业）已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【变式训练6 二次根式与数轴化简问题】 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，数轴上点所对应的数为，化简： ．    3．（24-25八年级上·河南鹤壁·期中）已知a，b，c在数轴上对应的点如图所示，化简． 4．（2025·云南昭通·二模）实践与探索 （1）填空：________；________． （2）观察第（1）的结果填空：当时，________；当时，________． （3）利用你总结的规律计算：，其中x的取值范围在数轴上表示为 ． 【变式训练7 二次根式的乘除综合应用】 1．（24-25八年级下·山东泰安·期中）已知，则化简的结果为（   ） A．6 B．3 C． D．0 2．（2025九年级上·湖南衡阳·模拟预测）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，得，记，……，．则 ． 3．（25-26八年级上·上海·月考）化简：． 4．（24-25八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）若，，则的值用a，b可以表示为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆云阳·月考）估计的运算结果应在哪两个数之间（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（24-25八年级上·北京·单元测试）把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东德州·月考）最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·安徽·月考）若，（为整数），则下列式子中一定为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）将化为最简二次根式为 ． 7．（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 8．（24-25八年级上·上海虹口·月考）化简： ． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个． 10．（24-25八年级下·湖南邵阳·月考）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值 ． A B 5 C 10 D 11．（24-25八年级·上海·假期作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）根据下列条件求代数式的值； （1）； （2）． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)． (2)． (3)． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：． 解：原式． 上面的解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答过程． 15．（2025八年级下·山东·专题练习）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ① ② 学科网（北京）股份有限公司 $