5.1认识方程 教学设计2025-2026学年北师大版 七年级数学上册

《认识方程》教学设计 【教学内容】 北师大版（2024）七年级上册第五章5.1认识方程 【课标要求】 内容要求：能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。 学业要求：能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义；认识方程解的意义，经历估计方程解的过程。 【教材分析】 方程是“数与代数”领域的核心内容，是描述现实世界数量关系的重要模型。本章上承整式及其加减，下启今后要学习的其他方程（组）、不等式、函数等知识。一元一次方程是最简单、最基本的方程，它的学习方式与研究路径为后续学习其他类型的方程（组）及相关知识积累了经验。本章让学生经历用丰富的情境抽象出方程模型及用方程模型解决实际问题的过程，使学生的数学抽象能力与模型观念得到进一步发展；经历利用等式的基本性质求解一元一次方程，感受方程求解的转化思想，发展学生的运算能力。 作为本章的第一节，教材提供了丰富的情境，并通过多种方法寻找和表达存在的等量关系，获得对方程本质的认识，抽象出方程的概念。在此基础上给出一元一次方程的概念和方程的解的概念。本课时内容是后续一元一次方程的求解和应用的基础。 【学情分析】 《2022年版课标》将方程内容完整地移到了初中，小学阶段不再学习方程，小学只学习用字母表示数，能用字母表达简单的数量关系。初中阶段，学生进一步学习了整式的加减，学生已具备一定的代数表达、运算及推理能力，为学习方程奠定了基础。另外，由于受小学学习的影响，在解决应用问题时习惯用算术方法，因此理解方程的意义，建立方程的模型解决实际问题，既是重点，也是难点。 【教学目标】 1.经历分析实际问题中数量关系，并借助用字母表达的未知数建立等量关系的数学表达的过程，感受方程是现实问题中含有未知数的等量关系的数学表达，发展模型观念和应用意识； 2.能根据现实情境理解方程的意义，了解一元一次方程的概念，发展抽象能力； 3.初步经历求解方程的过程，理解方程解的意义； 4.通过穿插有关方程的史料，增强学生的文化自信和民族荣誉感； 5.通过本节学习及章首页内容，构建本章学习的整体框架。 【教学重点】 1.分析现实情境并寻找其中的等量关系，建立方程模型； 2.能根据现实情境理解方程及方程解的意义，了解一元一次方程的概念。 【教学难点】 在分析现实情境的过程中，改变用算术方法解决实际问题的思维习惯，初步形成设未知数建立方程模型解决问题的思维习惯，发展应用意识。 【教学过程】 环节一：创设情境，引入新课 同学们，我们在学习第二章有理数的负数时，认识了我国古代一部数学著作：它构筑了中国和东方数学的基本框架，为中国传统数学领先世界千余年奠定了基础。它就是----《九章算术》。在这本书第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”你知道我国古人是如何解决这个问题的吗？ 本章，我们将跟随我国古人的脚步，学习一种新的方法---方程，来解决这些问题。 （通过设置有负数的《九章算术》情境，拉近了古代著作与学生的距离，让学生感受中华优秀传统文化，激起学生学习的兴趣。） 环节二：合作交流，探究新知 问题探究： 在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门票，学生票每张10元，成人票每张15元，总票款为475元。你知道学生和老师的人数分别是多少吗？购买学生票和成人票的票款分别是多少？ 教师先提出问题：你有什么方法解决这个问题？ （同学们可能习惯用小学的算术方法尝试解决这个问题，先让学生用算术方法去解决，然后用方程的方法解决这个问题，让同学们感受两个方法之间的异同之处。若学生没有算术方法，可以直接抛出教材中的问题。） 算术法（鸡兔同笼思维）： 假设所有人的票价均为10元，则老师人数：（475-45×10）÷（15-10） 假设所有人的票价均为15元，则学生人数：（45×15-475）÷（15-10） 教师接着抛出问题:还有别的方法解决这个问题吗？ 请同学们思考以下三个问题 问题1：这个问题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？ 问题2：如果设学生人数为x，那么总票款可以用含x的代数式表示为： _________ 问题3：你能得到怎样的表示量相等的式子？ （教师总结：表示等量关系方法多样：文字语言，图形语言，符号语言。进一步发展学生的几何直观与符号意识素养。同时也为下面情境中寻找等量关系丰富了方法，提供了理论支撑。） 【尝试·思考】 情境1：某长方形操场的面积是5850m2，长比宽多25m。 教师先提出问题：你想知道这个长方形的长与宽吗？你有什么方法去解决？ （有些学生可能还会尝试算术法，此时难度就比较大，学生思维就会转到设未知数的方法上来即方程模型。） 教师接着提出与上一个情境相类似的三个问题，请同学们思考以下三个问题： 问题1：这个情景涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？ 问题2：如果设这个操场的宽为xm，那么操场的面积可以用你含x的代数式表示为： __________ 问题3：你能得到怎样的表示量相等的式子？ 情境2：甲、乙两地相距22km，张叔叔从甲地出发到乙地，每小时比原计划多走1km，因此提前12min到达乙地。 教师先提出问题：你想知道这个问题中的哪些量？你有什么方法去解决？ （到第3个问题，大部分学生都会想到对于复杂的实际问题：先找等量关系，然后设未知数，用含未知数的代数式去表示某些量，然后建立一个含有未知数的表示两个量相等的等式。至此学生脑海里已经有用方程模型解决问题的思维了，教学难点基本突破。） 教师接着提出与上一个情境相类似的三个问题，请同学们思考以下三个问题： 问题1：这个情景涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？ 问题2：如果设张叔叔原计划每小时走xkm，那么他比原计划提前的时间可以用含x的代数式表示为________ 。 问题3：你能得到怎样的表示量相等的式子？ 环节三：归纳概括，抽象概念 知识点1： 【观察·思考】 请同学们观察，我们列出的三个式子，有什么共同特点？ 10（45-x）+15x=475 x（x+25）=5850 教师在此根据学生的回答加以启发、引导。得到它们的共同特征：①它们都含有未知数；②它们都是等式，而且等号的两边都是用代数式表示的相等的量。在此基础上，概括出方程的定义：像这样含有未知数的表示量相等的等式称为方程。 （教师根据情况介绍：通常用x,y,z等字母表示未知数，法国数学家笛卡尔是最早这样做的人。没有介绍中国古代的做法，为后面介绍“元”埋下伏笔。） 【学以致用】 同学们，你们能为我们开始提出的问题列出关于它的方程吗？ 《九章算术》第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？ 未知量：人数；物价 等量关系：8×人数-3=物价；7×人数+4=物价 设人数为x,可列方程为：8x-3=7x+4 （设置学以致用的目的，既解决了章前图提出的问题，又丰富了问题的情境。） 知识点2：一元一次方程的概念 【观察·思考】 再次观察这几个方程，说出这些方程的各自特点。 10（45-x）+15x=475 x（x+25）=5850 8x-3=7x+4 教师提示：主要从未知数的位置，未知数的个数以及未知数的次数说出这几个方程的特点。 （学生回答，教师总结） 归纳总结一元一次方程的定义： 在一个方程中，只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程。 （教师根据实际情况介绍“元”的含义：宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数进而建立方程。数学家李治写的《测圆海镜》，书中所说的“立天元一”相当于现在的“设未知数x”。那么根据这个我们就把未知数称为“元”，而“次”指的是未知数项的最高次数。） 知识点3：方程的解与解方程的概念 【思考·交流】 同学们，我们对于方程与一元一次方程有了大概的了解，接下来你想知道什么？ 提出问题：你能求出方程10（45-x）+15x=475的未知数x的值吗？你是如何得到的？ 教学建议：学生解决问题的方法可能多种多样：有可能用列表格的方法；有可能就是直接去解；也有可能用算式方法求出答案得到未知数的值。这里重点是判断一个数是不是方程的解，可将此数代入方程，能使左右两边的值相等，则此数就是方程的解，否则就不是。另外，由于方法的多样性，有的简单，有的复杂，有没有解方程的一般方法，为下一节课埋下伏笔。 出示概念： 使方程左、右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。求方程的解的过程称为解方程。 【课堂练习】 随堂练习2. 环节4：课堂总结，构架框架 1.课堂总结 （1）本节课我们在分析实际情境中的数量关系时，运用了哪些方法？ （2）本节课我们是如何得到方程、一元一次方程、方程的解的概念的？ （3）用你自己的语言说说方程、一元一次方程的本质特征分别是什么。 （4）通过本节课的学习，你还有哪些疑问？你还想学习哪些知识？ 2.构架框架 有了本节课的学习基础和学生以往的学习经验，学生会较容易理解本章的结构框架。出示章首页内容，教师引导学生完成本章学习内容的整体框架。 本章你将经历从具体问题情境中发现等量关系、抽象出方程模型的过程利用等式的基本性质求解一元一次方程，并运用一元一次方程解决实际问题感受方程的模型思想和方程求解的转化思想，发展抽象能力和运算能力。 本章知识结构框架图 ( 丰富的问题 情境 方程的 认识 一元一次方程的概念 认识 一元一次方程的解法 认识 一元一次方程的应用 认识 ) 在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题： 为什么要学习方程？方程的本质是什么？ 如何得到一个方程？求解方程的基本思路是什么？ 【作业布置】 1.随堂练习1 2.习题5.1（知识技能，问题解决必做；数学理解选做。） 【板书设计】 10（45-x）+15x=475 x（x+25）=5850 8x-3=7x+4 1.方程； 2.一元一次方程 3.方程的解，解方程 4.知识框架 【教学反思】 本节课通过设置丰富的问题情境，抽象出方程的模型，归纳总结出方程及一元一次方程的概念。在整个教学实施过程中，自始至终坚持以问题为主线，引导学生思考问题，同时问题的设计遵循学生的认知思维特点，着重引导学生探索，注重过程教学，有效培养了学生的抽象思维、模型观念与应用意识。最后，由章首页的内容，完成了本章知识内容整体框架的构建，促进学生更好地理解本章教学内容。同时，教学过程中不时穿插有关方程的史料，增强了学生的民族自信心和荣誉感，达到了育人的目的。 学科网（北京）股份有限公司 $