精品解析：河北省张家口市宣化区2025-2026学年上学期期末考试八年级数学试卷

宣化区2025—2026学年度第一学期期末考试八年级数学试卷（冀教版） 注意事项： 1．请考生把正确答案写在答题纸相应的地方． 2．考试时间为 90 分钟，满分为 100 分． 一、选择题（本大题共14个小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算结果等于的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图1是我国古代建筑中常见的梁架示意图，其顶部可看作如图2所示的，，于点，若的长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用反证法证明“在中，若是直角，则一定是锐角”时，应假设（ ） A. 是锐角 B. 不是锐角 C. 是直角 D. 不是直角 6. 如图，能直接用“”判定的条件是（   ） A. B. C. D. 7. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有六种正方形纸片，面积分别是3，4，5，6，8，10，选取其中三块（不可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最小的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　） A. 3，4，5 B. 3，5，8 C. 4，6，10 D. 6，8，10 8. 我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ） A 型无理数 B. 型无理数 C. 型无理数 D. 型无理数 9. 如图为洪涛同学的小测卷，他的得分应是（ ） 姓名：洪涛得分：_______？______ 填空（每小题25分，共100分） ①2的相反数是_____________； ②倒数等于本身的数是____1______； ③8的立方根是_____2______； ④的平方根是____________． A. 25分 B. 50分 C. 75分 D. 100分 10. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，点在边上，将点分别以、所在直线为对称轴，画出对称点、，并连接、．如果，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 先变小再变大 13. 四元玉鉴是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文；绫布和罗布各出售尺共收入文问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（    ） A. B. C. D. 14. 面积为， 是平分线， 于 P，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 15. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 16. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图 所示，则化简的结果是__________． 17. 如图，每个小正方形边长都是1，，，是小正方形的顶点，则____________． 18. 如图，∠BAC＝30°，AP平分∠BAC，GF垂直平分AP，交AC于F，Q为射线AB上一动点，若PQ的最小值为3，则AF的长为_____． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分．解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 下面是小雷同学在做数学作业时的解答过程，老师批改时发现解答过程有错误： 解：原式 ① ② ③ 任务一：小雷同学的解答过程是从第 步开始出现错误的（写步骤序号）； 任务二：请你写出正确的解答过程． 20. 已知：分式， （1）计算； （2）利用（1）的结论，解分式方程． 21. 如图，在 中，，是的垂直平分线，垂足为点D，交于点E，连接． （1）若 求 的度数； （2）若的周长为， 求的周长． 22. （1）用“<”“>”或“=”填空： ， ； （2）由（1）呈现的结果可得： ， ． 猜想： ， ． （3）计算：（结果保留根号）． 23. 小慧同学在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端M处，他想知道树的高度MN，制定了一个测量树高MN的方案．如图，在地面A处，测得点A到大树的距离AN为2米，手中剩下的风筝线为4米．从点A后退至点B处风筝线恰好用完，测得AB为6米，已知点N在点M的正下方，点N，A，B在同一条直线上，根据以上信息求出树的高度 24. 如图，是边长为12厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿射线、运动，且它们的速度都为2厘米／秒，设运动时间为t（秒）（）． （1）用含t的代数式表示线段的长； （2）如图①，点P、Q分别在线段、上运动时，、相交于点M，求的度数； （3）如图②，当点P、Q分别运动到线段、延长线上时，、的延长线相交于点M，的度数会变化吗？若不变，请求出的度数；若改变，请说明理由； （4）如图③，若点P的速度不变，点Q的速度为3厘米／秒，点P、Q分别在线段、上运动时，连接，当为直角三角形时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣化区2025—2026学年度第一学期期末考试八年级数学试卷（冀教版） 注意事项： 1．请考生把正确答案写在答题纸相应的地方． 2．考试时间为 90 分钟，满分为 100 分． 一、选择题（本大题共14个小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，是解题的关键；根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A选项：既是轴对称图形又是中心对称图形； B选项：不是轴对称图形，是中心对称图形； C选项：既不是轴对称图形也不是中心对称图形； D选项：是轴对称图形，不是中心对称图形； 故选A． 2. 下列运算结果等于的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查平方根，立方根，算术平方根，掌握相关知识是解决问题的关键．计算每个选项的运算结果，逐项判断即可． 【分析】解： A：，故本选项符合题意； B：，故本选项不符合题意； C：，故本选项不符合题意； D：，故本选项不符合题意． 故选：A． 3. 如图1是我国古代建筑中常见的梁架示意图，其顶部可看作如图2所示的，，于点，若的长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一． 直接根据等腰三角形三线合一作答即可． 详解】解：∵，， ∴点是的中点， ∴． 故选：C． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则计算即可． 本题考查二次根式的运算规则，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】解：A. 不是同类二次根式，无法计算，错误； B. ，正确，符合题意； C. ，原题错误，不符合题意； D. ，原题错误，不符合题意； 故选：B． 5. 用反证法证明“在中，若是直角，则一定是锐角”时，应假设（ ） A. 是锐角 B. 不是锐角 C. 是直角 D. 不是直角 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反证法，反证法的步骤是：①假设结论不成立；②从假设出发推出矛盾；③假设不成立，则结论成立． 根据反证法的步骤，应假设结论不成立作答即可． 【详解】用反证法证明“在中，若是直角，则一定是锐角”时，应假设不是锐角， 故选：B． 6. 如图，能直接用“”判定的条件是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．利用证明，即可解答． 【详解】解：依题意，在和中，， ∴ 故选：A． 7. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有六种正方形纸片，面积分别是3，4，5，6，8，10，选取其中三块（不可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最小的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　） A. 3，4，5 B. 3，5，8 C. 4，6，10 D. 6，8，10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的运用、勾股定理的逆定理、二次根式的乘法，掌握勾股定理的逆定理，算术平方根的计算是关键． 根据图示，运用算术平方根的计算以及勾股定理的逆定理、二次根式的乘法求解即可． 【详解】解：A、选择面积为卡片， ∴对应正方形的边长为， ∵， ∴不能构成直角三角形，A选项不符合题意； B、选择面积为卡片， ∴对应正方形的边长分别为， ∵， ∴围成直角三角形的面积为； C、选择面积为卡片， ∴对应正方形的边长分别为， ∵， ∴能构成直角三角形， ∴围成的面积为； D、选择面积卡片， ∴对应正方形的边长分别为， ∵， ∴不能构成直角三角形，D选项不符合题意； ∵， ∴要使所围成的三角形是面积最小的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是3，5，8， 故选：B ． 8. 我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ） A. 型无理数 B. 型无理数 C. 型无理数 D. 型无理数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式和二次根式的化简，关键是将结果化为指定形式． 先利用完全平方公式展开，再化简二次根式，得到结果的形式后判断类型． 【详解】解： ， 故为型无理数， 故选：B． 9. 如图为洪涛同学的小测卷，他的得分应是（ ） 姓名：洪涛得分：_______？______ 填空（每小题25分，共100分） ①2的相反数是_____________； ②倒数等于本身的数是____1______； ③8的立方根是_____2______； ④的平方根是____________． A. 25分 B. 50分 C. 75分 D. 100分 【答案】C 【解析】 【分析】本题相反数、倒数、立方根和平方根的定义，掌握这些定义是解题的关键． 根据相反数、倒数、立方根和平方根的定义，逐一判断每个小题的正误，然后计算得分即可． 【详解】解：①2的相反数是，正确； ②倒数等于本身的数是1，但倒数等于本身的数还有，因此错误； ③8的立方根是2，正确； ④，4的平方根是，正确； 则正确题数为3个，得分为：分． 故选：C． 10. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由旋转的性质可得，，由等边对等角可得，运用三角形内角和定理可得，最后依据同角的余角相等即可证明结论． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 11. 如图，中，点在边上，将点分别以、所在直线为对称轴，画出对称点、，并连接、．如果，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、三角形内角和定理，根据轴对称的性质可知，根据三角形内角和定理可知，根据角度之间的关系可以求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接， 由对称可知，， ， 在中，， ， ， ， ． 故选：D． 12. 如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 先变小再变大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 不变，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：，为的中点， ． 同理． ， 的长度不变． 故选：B． 13. 四元玉鉴是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文；绫布和罗布各出售尺共收入文问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式，熟练掌握总价与单价和数量的关系，是解题的关键． 等量关系式：绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解． 【详解】解：由绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，得方程为： ， 故选：B． 14. 面积为， 是的平分线， 于 P，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，全等三角形的判定与性质；延长交于点D，可证明，则，从而可转化得到，即可解答． 【详解】解：延长交于点D， ∵ 是的平分线， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴（）． 故选B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 15. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零列式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴，且， 解得：且， 故答案为：且． 16. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图 所示，则化简的结果是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查化简绝对值，化简二次根式， 先根据数轴的定义得出，，再根据绝对值的意义，二次根式的性质进行化简，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴可得：，，， 故． 故答案为：． 17. 如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理求出各边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而求出的度数． 【详解】解：连接，如图． 由题意得，，， ，． 是等腰直角三角形． ． 【点睛】本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的判定，解题关键是通过勾股定理求出三角形三边长度，结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，进而得出角的度数． 18. 如图，∠BAC＝30°，AP平分∠BAC，GF垂直平分AP，交AC于F，Q为射线AB上一动点，若PQ的最小值为3，则AF的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】作PH⊥AC于H，连接PF，根据角平分线的性质求出PH，根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FP，根据三角形的外角的性质求出∠PFH，根据直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：作PH⊥AC于H，连接PF， 当PQ⊥AB时，PQ的最小， ∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，PH⊥AC， ∴PH＝PQ＝3，∠PAB＝∠PAC＝15°， ∵GF垂直平分AP， ∴FA＝FP， ∴∠FPA＝∠PAC＝15°， ∴∠PFH＝30°， ∴PF＝2PH＝6， ∴AF＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题为三角形综合题，掌握角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质以及含角的直角三角形的性质是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分．解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 下面是小雷同学在做数学作业时的解答过程，老师批改时发现解答过程有错误： 解：原式 ① ② ③ 任务一：小雷同学的解答过程是从第 步开始出现错误的（写步骤序号）； 任务二：请你写出正确的解答过程． 【答案】任务一：①；任务二：，过程见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方公式．解决本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式，完全平方公式，二次根式性质，合并同类二次根式． 任务一：小雷同学在计算第①步时，使用完全平方公式计算出错； 任务二：首先利用单项式乘多项式、完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：任务一：从第①步开始出现错误． 故答案为：①． 任务二：原式 ． 20. 已知：分式， （1）计算； （2）利用（1）的结论，解分式方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法运算和解分式方程． （1）代入分式A、B，先通分计算同分母的减法，再约分即可； （2）结合（1）的结论，根据得，解分式方程并检验即可． 小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 21. 如图，在 中，，是的垂直平分线，垂足为点D，交于点E，连接． （1）若 求 的度数； （2）若的周长为， 求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点． （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，从而得到，再由等腰三角形的性质，可得的度数，即可求解； （2）根据等腰三角形的定义可得，再由线段垂直平分线的性质，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵， 的周长为，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 22. （1）用“<”“>”或“=”填空： ， ； （2）由（1）呈现的结果可得： ， ． 猜想： ， ． （3）计算：（结果保留根号）． 【答案】（1），；（2），，，；（3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的性质、绝对值的代数意义、二次根式的加减运算以及规律的归纳与应用，熟练掌握绝对值的化简方法和裂项相消的解题技巧是解题的关键． （1）通过比较被开方数的大小，利用“被开方数越大，算术平方根越大”的性质，直接判断两个无理数的大小关系． （2）根据第（1）问得到的大小关系，判断绝对值内式子的正负，再依据绝对值的代数意义（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）进行化简，最后通过特例归纳出一般规律． （3）利用第（2）问得出的绝对值化简规律，将原式中的每一项绝对值进行化简，然后通过去括号、合并同类二次根式，实现中间项的抵消，从而得到最终结果． 【详解】解：（1）， ， ， ， 故答案为：，； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，，，； （3） ． 23. 小慧同学在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端M处，他想知道树的高度MN，制定了一个测量树高MN的方案．如图，在地面A处，测得点A到大树的距离AN为2米，手中剩下的风筝线为4米．从点A后退至点B处风筝线恰好用完，测得AB为6米，已知点N在点M的正下方，点N，A，B在同一条直线上，根据以上信息求出树的高度 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，灵活运用勾股定理求线段的长或利用勾股定理列方程是解决问题的关键． 根据题意得米，米，，根据勾股定理得到，先利用加减消元法求出AM，然后利用勾股定理计算MN的长． 【详解】解：根据题意得米，米，， 在中，， 在中，， ， 解得， 米 答：树的高度MN为米． 24. 如图，是边长为12厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿射线、运动，且它们的速度都为2厘米／秒，设运动时间为t（秒）（）． （1）用含t的代数式表示线段的长； （2）如图①，点P、Q分别在线段、上运动时，、相交于点M，求的度数； （3）如图②，当点P、Q分别运动到线段、的延长线上时，、的延长线相交于点M，的度数会变化吗？若不变，请求出的度数；若改变，请说明理由； （4）如图③，若点P的速度不变，点Q的速度为3厘米／秒，点P、Q分别在线段、上运动时，连接，当为直角三角形时，直接写出t的值． 【答案】（1）当时，；当时， （2） （3） （4）t的值为或 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据题意速度乘以时间即可得出，（秒），分点P在线段上和射线上，求出的长； （2）利用等边三角形的性质即可证明，则有，即可求解； （3）证明，则，即可求解； （4）分两种情况考虑：；；根据含30度直角三角形的性质建立方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵点P分别从顶点出发，沿射线运动，速度2厘米／秒，则， （秒）， ∴当时，点P在线段上，； 当时，点P在射线上，； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即度数为； 【小问3详解】 解：不变化，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：根据题意得，，， ∴， 分以下两种情况讨论： ①当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得，； ②当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 综上可得，t的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $