2026年中考数学第一轮复习 讲义 第5课时：《一次方程（组）及应用》

2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第5课时 一次方程（组）及应用 一、核心知识 1. 一元一次方程 定义：只含有______一个______未知数，且未知数的次数是______1______，等号两边都是整式的方程，一般形式为______ax + b = 0______（a≠0，a、b 为常数）。 解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的______解（或根）______。 解法步骤： 去分母：方程两边同乘各分母的______最小公倍数______（不含分母的项也要乘）； 去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（注意______符号变化______）； 移项：把含未知数的项移到方程______左______边，常数项移到______右______边（移项要______变号______）； 合并同类项：把方程化为______ax = b______（a≠0）的形式； 系数化为 1：方程两边同除以未知数的系数______a______，得______x = ____。 2. 二元一次方程（组） 二元一次方程：含有______两个______未知数，且含未知数的项的次数都是______1______，等号两边都是整式的方程，一般形式为______ax + by = c______（a≠0，b≠0，a、b、c 为常数）；其解有______无数______组，且解满足方程。 二元一次方程组：由两个或两个以上二元一次方程组成的方程组，一般形式为 （a₁、a₂不同时为 0，b₁、b₂不同时为 0） ；其解是使方程组中 所有方程都成立 的未知数的值（唯一解、无解或无数解）。 解法： 代入消元法：将一个方程变形为用含 一个未知数的式子表示另一个未知数 ，代入另一个方程______消去______一个未知数，求解后______回代______求另一个未知数； 加减消元法：通过方程两边同乘适当的数，使两个方程中某一未知数的系数______相等_____或______互为相反数______，相加或相减______消去______该未知数，求解后回代求另一个未知数。 3. 一次方程（组）的实际应用 核心步骤：审题→设未知数（直接设______或______间接设）→找______等量关系______→列方程（组）→解方程（组）→检验（是否符合实际意义）→作答。 常见题型： 行程问题：路程 = 速度 × 时间（相遇问题 ：路程和 = 总路程； 追及问题：路程差 = 初始距离 ； 工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间（总工作量常看作______1______）； 利润问题： 利润 = 售价 - 成本，利润率 =×100% ； 浓度问题： 溶质质量 = 溶液质量 × 浓度 ； 和差倍分问题：根据数量间的和、差、倍、分关系列方程。 二、核心能力 题型 1：一元一次方程的解法 解题思路 严格遵循 “去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1” 的步骤，注意每一步的符号变化和漏乘问题；含绝对值的一元一次方程，先去掉绝对值符号（分情况讨论），再按常规方法求解。 题型 2：二元一次方程组的解法 解题思路 优先选择消元方法 —— 某一未知数系数为 1 或 - 1 时，用代入消元法；系数成倍数或互为相反数时，用加减消元法；消元后转化为一元一次方程求解，最后必须回代检验。 题型 3：一次方程（组）的实际应用 解题思路 关键是找准等量关系，可通过列表、画图梳理数量关系；设未知数时要明确单位，列方程（组）时保证左右两边单位统一；求解后必须检验结果是否符合实际场景（如人数、长度为正整数）。 题型 4：含参数的一次方程（组）问题 解题思路 将参数看作常数，按常规方法解方程（组），再根据 “方程有唯一解、无解、无数解” 或 “解为正 / 负数、整数” 等条件列关于参数的方程（组）或不等式，求解参数取值范围。 题型 5：一次方程（组）与图表结合问题 解题思路 先从表格、折线图、条形图中提取关键数据，分析数据间的数量关系，再根据关系列方程（组）；注意图表中单位、横坐标和纵坐标的含义。 三、易错警示 一元一次方程解法错误 错误：去分母时漏乘常数项；移项不变号； 提醒：去分母时每一项都要乘最小公倍数，移项时 “过桥变号”，系数化为 1 时注意符号（系数为负时，不等号方向不变，方程仍需变号）。 二元一次方程组消元错误 错误：加减消元时系数未统一就加减；代入消元时去括号漏变号； 提醒：消元前确保某一未知数系数相等或互为相反数，代入时括号前是负号需变号。 实际应用问题出错 错误：等量关系找错（如行程问题中相遇与追及混淆）；单位不统一（如速度单位 km/h 与时间单位 min 未转化）；检验忽略实际意义（如解为负数或小数，不符合人数、件数等整数要求）； 提醒：审题时圈画关键词，明确数量关系，设未知数后先验证等量关系是否成立，求解后必检验实际合理性。 含参数问题考虑不全 错误：忽略参数的取值限制（如一元一次方程中未知数系数不能为 0）；对 “无数解”“无解” 条件理解不清（如ax=b，a=0且b=0时无数解 ）； 提醒：含参数的一次方程，先保证未知数系数不为 0（一元一次方程定义），再根据解的情况列条件。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·河南模拟）下列方程中，与方程的解相同的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了同解方程，根据解方程，可得每个方程的解，根据同解方程的定义，可得答案． 【解答】解：， 去分母得：， 解得：， 、，解得，故错误； 、，解得，故正确； 、，解得，故错误； 、，解得，故错误； 故选：． 2.（24-25·四川中考）若，则的平方根是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【解答】解：， ， ，得：， 的平方根是； 故选：．   3.（23-24·广东模拟）小明做作业时发现方程已被墨水污染：电话询问老师后知道：方程的解且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】此题考查了一元一次方程的解．设被污染的常数■是，把代入计算即可求出的值． 【解答】解：设被污染的常数■是， 把代入，得：， 解得， 故选． 4.（24-25·四川中考）学校准备添置一批课桌椅，原订购套，每套元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了套，每套减价元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为元，则可列方程为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了一元一次方程的应用，根据利润相等建立方程．原计划利润为，实际利润为，两者相等即可求解． 【解答】解：设每套成本为元．原计划利润为元；实际购买时利润为元． 根据题意得：， 故选． 5.（24-25·湖南模拟）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（    ） 的解 的解 … … … … A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解是能使得等式成立的值，观察表格得知能使得两个方程都成了，即可得出答案． 【解答】解：通过观察表格知，与有一组公共解为， 故二元一次方程组的解为， 故选：． 6.（23-24·江苏模拟）若，则的值为（    ） A.或 B.或 C.或 D.或 【答案】C 【解析】本题考查了含有绝对值的方程．利用绝对值的意义可得，解出的值即可． 【解答】解：， ， 当时，解得， 当时，解得， 故选：． 7.（24-25·江苏中考）（3分）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即），再建立方程即可. 【解答】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需天，故其速度为（全程/天）， 方程为， 故选：  8.（24-25·河北期中）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（      ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【解答】解：关于的方程的解是，， ， 直线解析式为， 当时，，即直线一定经过点， 故此题答案为．  9.（24-25·江苏模拟）已知是方程组的解，则的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】把代入方程组，可求出，代入计算即可. 【解答】 把代入方程组，得 ， ②-①，得 ， ， 故选   10.（24-25·河北模拟）有一些相同的房间需要用地板装修地面，每一天名熟练的装修工人可装修间房，结果还剩未能装修；每一天名初级装修工人除了能装修间房以外，还可以多装修．若一名熟练工人每天比一名初级工人多装修，设每个房间地面面积，一名初级工人每天装修，下列方程中正确的有（   ） ①；②；③；④ A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 【答案】D 【解析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，设每个房间地面面积，根据一个熟练工人每天比一个初级装修工人多装修，可得方程；设一名初级工人每天装修，则一个熟练工人每天装修，根据每个房间的装修面积为：，，可得方程，从而可得答案． 【解答】解：设每个房间地面面积， 每一天名熟练的装修工人可装修间房，结果还剩未能装修， 一个熟练工人每天装修， 每一天名初级装修工人除了能装修间房以外，还可以多装修， 一个初级装修工人每天装修， 一个熟练工人每天比一个初级装修工人多装修， ； 设一名初级工人每天装修，则一个熟练工人每天装修， 每个房间的装修面积为：或 ； ②③正确， 故选：． 11.（23-24·甘肃模拟）已知，满足方程组，则无论取何值，，恒有关系式是（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】将第二个方程乘以，再与第一个方程相加消去即可得． 【解答】解：， 由得：， 则，即， 故选：． 12.（23-24·山东模拟）如图，一次函数的图像与的图像相交于点，则关于，的方程组的解是（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】此题暂无解析 【解答】解：关于，的方程组可化为故一次函数的图像与的图像的交点坐标即为方程组的解， 将代入得， 故关于，的方程组的解是 故此题答案为 13.（24-25·河北模拟）如图，直线交轴、轴于两点，直线交轴、轴于两点，点是内部（不包括边界）的一点，则整数可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查一次函数的性质，由于的纵坐标为，故点在直线上，要求符合题意的值，则点为直线与题目中两直线的交点，此时存在最大值与最小值，故可求得． 【解答】解：点是内部（包括边上）的一点， 故点在直线上，如图所示， 当为直线与直线的交点时，取最大值， 当为直线与直线的交点时，取最小值， 由解得，即的最大值为； 由解得，即的最小值为． 只有符合题意， 故选：． 14.（25-26·广东复习）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标，先求出点的坐标为，由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【解答】解：根据题意得：点的纵坐标为， 把代入，得：， 解得：， 点的坐标为， 一次函数与的图象相交于点， 关于的方程的解是． 故选：． 15.（25-26·湖北模拟）甲、乙两车从十字路口的同一点沿两互相垂直的方向行驶，走过的距离(单位：)  和时间(单位：) 的关系如下表所示： 时间 甲走过的距离 乙走过的距离 则第秒甲、乙两车间的距离满足   A. B. C. D. 【答案】B 【解析】此题考查了二次函数和一次函数的应用，勾股定理，无理数的估算等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出甲，乙走过的距离关于时间的表达式，然后将代入表达式，然后利用勾股定理求出，然后根据无理数的估算求解即可． 【解答】解：由表格得，甲走过的距离和时间是一次函数关系，乙走过的距离和时间是二次函数关系， 设甲走过的距离关于时间的表达式为， 将，代入得， 解得 ； 设乙走过的距离关于时间的表达式为， 将，，，代入得， 解得 ； 当时，， 沿两互相垂直的方向行驶， 第秒甲、乙两车间的距离满足． 故选：． （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·四川中考）已知是方程的解，则___2_________． 【答案】 【解析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把代入，解得，即可作答． 【解答】解：是方程的解， 把代入，得， ， ， 故答案为： 17.（24-25·江苏模拟）已知是方程的一个解，则的值是_________________． 【答案】 【解析】本题考查了二元一次方程的解，根据是方程的一个解，得，即，进行作答即可． 【解答】解：是方程的一个解， ， 即， ， 故答案为： 18.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇酒、行酒各得几何？”其意思是：今有醇酒（优质酒）斗，价值钱；行酒（劣质酒）斗，价值钱；现有钱，买得斗酒．问可以买       斗醇酒和        斗行酒． 【答案】, 【解析】设醇酒为斗，行酒为斗，根据题意，可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：设醇酒为斗，行酒为斗，根据题意，可列方程组得：， 解得； 故答案为：；． 19.（24-25·全国同步）已知是方程的解，求关于的方程的解是___________． 【答案】 【解析】本题考查含参数的一元一次方程，解含参数问题时一般是代入参数值求解新的方程，注意参数字母和未知数字母的转换． 先把代入方程得求得，再将代入方程解方程即可． 【解答】解：把代入方程得 解得． 将代入方程中，得 ，解得． 故答案为：． 20.（23-24·河北模拟）如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由（绣球花）、（祥云）两种图案组合而成，因制作工艺不同，、两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型的成本元，造型的成本元，则造型的成本为____22________元；若王先生选定了一个造型作为中心图形，个造型分别位于中心图形的四周，其余部分用个造型填补空缺，若整个画面中，图案个数不多于图案数的倍，且王先生的整体设计费用不超过元，写出一个满足条件的值______（答案不唯一，，，均可）______． 【答案】,（答案不唯一，，，均可） 【解析】 设种图案成本每个元，种图案成本每个元，根据造型的成本元，造型的成本元，列方程组，得出、的值，则由造型的成本为元；再根据图案的个数不多于图案个数的倍，且整体设计费用不超过元，列不等式组，求得，然后由为整数，得出的值即可． 【解答】解：设种图案成本每个元，种图案成本每个元，根据题意，得 ，解得：， (元)， 即造型的成本为元； 故答案为：； 根据题意得：， 解得：， 为整数， ，，， 故答案为：（答案不唯一，，，均可）． 21.（23-24·湖南模拟）明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托.”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺，那么竿长_______15_______尺.（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，托尺） 【答案】 【解析】设竿长尺，则绳长尺，根据“将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺”列一元一次方程，求解即可． 【解答】设竿长尺，则绳长尺， 由题意得：， 解得， 所以，竿长为尺， 故答案为： 22.（24-25·山西模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，以为边作菱形，其中点在轴的正半轴上，点在第一象限内，则点的坐标为_________________． 【答案】 【解析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、勾股定理以及菱形的性质，求出的长是解题的关键．求出点，的坐标，进而可得出，的长，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用菱形的性质，即可求出结论． 【解答】解：解：当时，， 点的坐标为 ； 当时，， 解得：， 点的坐标为， ， 在中，，，， ， 又四边形为菱形， ， 故答案为：． 23.（24-25·江苏模拟）如图，已知直线与轴交于点，点与点关于轴对称．是直线上的动点，将绕点顺时针旋转得．连接，则线段 的最小值为____3_______． 【答案】 【解析】设直线与轴的交点为，再取的中点，连接、，过作于点．根据直线解析式求出点和点的坐标，然后再证明为等边三角形．利用证明，得出．由为定点，为定值，可知点在定直线上运动，即得出当点与点重合时，最短．结合轴对称的性质可求出，进而可利用锐角三角函数求出，即的最小值为 【解答】解：设直线与轴的交点为，再取的中点，连接、，过作于点，如图所示： 对于，令，则， ， 令，则， ， ，， ， ， 的中点为， ， ， 为等边三角形， ， ， 由旋转的性质可知，， ，即， ， ， 为定点，为定值， 当在直线上运动时，点也在定直线上运动， 当点与点重合时，最短， 点与点关于轴对称， ， ， ， ，即的最小值为， 故答案为：． 24.（25-26·广西模拟）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解为______________． 【答案】 【解析】本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系、待定系数法等知识，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标．由两条直线的交点坐标，先求出，再求出方程组的解即可． 【解答】把点代入得， 点的坐标为， 方程组的解为， 故答案为： 25.（23-24·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为…按此规律，则点的纵坐标为       ． 【答案】 【解析】联立直线与直线的表达式并解得，故，依次求出：点的纵坐标为、的纵坐标为，即可求解，找出规律即可求得答案． 【解答】 解：由解得，； 点， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入上式解得， 直线的表达式为：， 由解得， ， ， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入上式解得， 直线的表达式为：， 同理可得的纵坐标为， 按此规律，则点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 故答案为：． （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（24-25·湖南模拟）解方程：． 【答案】 【解析】考虑到最后一项的分子分母可同时除以，可化简此项后再根据解一元一次方程的方法和步骤解答． 【解答】解：原方程可化为：． 移项、合并同类项，得． 系数化为，得． 27.（23-24·江苏中考）解方程组：． 【答案】 【解析】根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【解答】解：得，，解得，． 将代入①得． 方程组的解是 28.（24-25·河北模拟）定义新运算：对于任意都有，等式右边是通常的减法及乘法运算，例如： （1）计算 ； （2）若的值是，求的值． 【答案】 的值为 【解析】（1）根据题意以及平方差公式进行计算即可； （2）根据新定义得出一元一次方程进行求解即可． 【解答】（1）解：由题意可得原式； （2）解：由题意可得， 解得， 即的值为． 29.（24-25·河北中考）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． （1）原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． （2）求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． （3）将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 【答案】 ， 【解析】（1）根据，代入数据进行计算即可求解； （2）根据定义求得铁的线膨胀系数，进而设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【解答】（1）解：， 答：该铜棒的伸长量． （2）解：， 解得： ， 设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得：， 答：铁的线膨胀系数 ，该铁棒温度的增加． （3）解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得： ， 答：该铁棒温度的增加量为． 30.（24-25·江苏中考）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． （1）现用张正方形硬纸片和张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? （2）如果需要制作个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 【答案】恰好能制作甲种纸盒个，乙种纸盒个 至少需要张正方形硬纸片 【解析】（1）先设恰好能制作甲种纸盒个，乙种纸盒个．结合题意列出方程组，再解得，即可作答． （2）先设制作乙种纸盒个，需要张正方形硬纸片．根据题意列出，结合，得，其中最小整数解为 运用一次函数的图象性质进行分析作答即可． 【解答】（1）解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要个正方形，个长方形，乙种需要个正方形，个长方形， 设恰好能制作甲种纸盒个，乙种纸盒个． 根据题意，得， 得， 答：恰好能制作甲种纸盒个，乙种纸盒个． （2）解：设制作乙种纸盒个，需要张正方形硬纸片． 则． 由，知随的增大而增大， 当最小时，有最小值． 根据题意，得， 解得， 其中最小整数解为 即当时，． 答：至少需要张正方形硬纸片． 31.（24-25·广西模拟）甘肃地震牵动着全国人民的心，某地区开展了“一方有难，八方支援”抢险救灾活动，准备组织名志愿者参加救灾．现需租用若干辆大、小客车将志愿者送往灾区，已知租用的大、小客车满员时载客情况如表格所示： 小客车（辆） 大客车（辆） 合计载客量（人） （1）求满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐多少名志愿者？ （2）若计划租用小客车辆，大客车辆，大小客车都要有，一次全送完，且每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案： ②若小客车每辆租金元，大客车每辆租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐名志愿者、名志愿者 ①一共有两种租车方案：方案一：租小客车辆，租大客车辆；方案二：租小客车辆，租大客车辆；②租小客车辆，租大客车辆的费用最少，最少为元 【解析】（1）设满员时每辆小客车能坐名志愿者，则每辆大客车能坐名志愿者，再由辆小客车，辆大客车可坐人列出方程求解即可； （2）①由题意得，，把看做已知解方程得到，再由、都为正整数进行求解即可；②根据（2）①所求分别求出两种方案的费用即可得到答案． 【解答】（1）解：设满员时每辆小客车能坐名志愿者，则每辆大客车能坐名志愿者， 由题意得，， 解得， ， 答：满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐名志愿者、名志愿者； （2）解：①由题意得，， ， 、都为正整数， 必须要是的倍数， 当时，；当时，； 一共有两种租车方案：方案一：租小客车辆，租大客车辆；方案二：租小客车辆，租大客车辆； ②方案一的费用为元， 方案二的费用为元， ， 租小客车辆，租大客车辆的费用最少，最少为元． 32.（25-26·江西模拟）解方程组，下面是两同学的解答过程： 小敏：解：把方程变形为， 再将代入方程①得…． 小川：解：将方程的两边乘以得，再将两个方程相加，得到…． （1）小敏的解法依据是____②____，运用的方法是__④______； 小川的解法依据是_____②___，运用的方法是___⑤_____； ①整式的运算性质；②等式的性质；③加法的结合律；④代入消元法；⑤加减消元法． （2）请直接写出原方程组的解． 【答案】②、④；②、⑤ 【解析】（1）得到等式的性质进行消元，消元的目的就是将二元一次方程转化为一元一次方程； （2）用代入法消元解二元一次方程组即可． 【解答】（1）解：小敏的解法依据是等式的性质，运用的方法是代入消元法； 小川的解法依据是等式的性质，运用的方法是加减消元法； 故答案为：②、④；②、⑤； （2）解：把方程变形为， 再将代入方程①得， 解得， 将代入，得， 方程组的解为． 33.（25-26·河北期中）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图是某月的月历，用方框选取了其中的个数． 移动方框，若方框中的部分数如图所示，则是___5___，是__11____； 移动方框，若方框中的部分数如图所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． 若方框选取的数如图所示，调整后，部分数的位置如图所示，则是___11___，是____3__； 若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图所示，则是______（用含的代数式表示）． 【答案】， 【解析】本题考查列代数式，解一元一次方程，找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解题的关键： 观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； 观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； 根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可； 先根据是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可． 【解答】解：由图可知：； 故答案为：； 由图可知：； 故答案为：； 由题意，得：，； 故答案为：，； 最小的数为，则剩余的数为：， ， 解得：； 故答案为：． 34.（25-26·安徽月考）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，连接． （1）求，，的值； （2）求的面积． 【答案】 【解析】（1）把代入求出，把代入求出，再把和代入求解即可； （2）根据直线解析式求出点的坐标得到长，依据，进而计算即可得解． 【解答】（1）解：把代入得， ， 把代入得， 点的坐标为， 把和代入得： ， 解得：， ， ． （2）解：令时，则， 解得， 点的坐标为， ．  35.（24-25·河北模拟）如图，已知直线经过点，直线． （1）求直线的解析式；并判断点是否在直线上？ （2）若，直线与轴交于点，直线与交于点． ①点的坐标为________． ②求面积． （3）直线上有两点、，若直线与线段有交点，直接写出的取值范围． 【答案】，点不在直线； ①，②； 或． 【解析】（1）直接用待定系数法求解，然后把点代入即判断； （2）①联立得，求解即可； ②求出，，根据三角形面积公式即可求解； （3）先求出，，再根据一次函数的性质即可求解． 【解答】（1）解：设直线的解析式为， 直线经过点， ， ， 直线的解析式为， 在中，当时，、 点不在直线上； （2）解：①当时直线 联立得：， 解得：， 点坐标为， 故答案为：， ②在中，当时，，当时，， ，， ； （3）解：点在直线上， ，， ，， 当直线过点时，则， 解得：， 当直线过点时，则， 解得：， 的取值范围或． 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第5课时 一次方程（组）及应用 一、核心知识 1. 一元一次方程 定义：只含有_________未知数，且未知数的次数是_________，等号两边都是整式的方程，一般形式为__________（a≠0，a、b 为常数）。 解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的___________。 解法步骤： 去分母：方程两边同乘各分母的__________（不含分母的项也要乘）； 去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（注意__________）； 移项：把含未知数的项移到方程________边，常数项移到________边（移项要_______）； 合并同类项：把方程化为_________（a≠0）的形式； 系数化为 1：方程两边同除以未知数的系数_________，得_________。 2. 二元一次方程（组） 二元一次方程：含有_________未知数，且含未知数的项的次数都是_____，等号两边都是整式的方程，一般形式为_________（a≠0，b≠0，a、b、c 为常数）；其解有__________组，且解满足方程。 二元一次方程组：由两个或两个以上二元一次方程组成的方程组，一般形式为 ；其解是使方程组 的未知数的值（唯一解、无解或无数解）。 解法： 代入消元法：将一个方程变形为用含 ，代入另一个方程___________一个未知数，求解后___________求另一个未知数； 加减消元法：通过方程两边同乘适当的数，使两个方程中某一未知数的系数____或____________，相加或相减___________该未知数，求解后回代求另一个未知数。 3. 一次方程（组）的实际应用 核心步骤：审题→设未知数（直接设_________间接设）→找___________→列方程（组）→解方程（组）→检验（是否符合实际意义）→作答。 常见题型： 行程问题：路程 = ：路程和 = 总路程； 追及问题：路程差 = ； 工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间（总工作量常看作__________）； 利润问题： ； 浓度问题： ； 和差倍分问题：根据数量间的和、差、倍、分关系列方程。 二、核心能力 题型 1：一元一次方程的解法 解题思路 严格遵循 “去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1” 的步骤，注意每一步的符号变化和漏乘问题；含绝对值的一元一次方程，先去掉绝对值符号（分情况讨论），再按常规方法求解。 题型 2：二元一次方程组的解法 解题思路 优先选择消元方法 —— 某一未知数系数为 1 或 - 1 时，用代入消元法；系数成倍数或互为相反数时，用加减消元法；消元后转化为一元一次方程求解，最后必须回代检验。 题型 3：一次方程（组）的实际应用 解题思路 关键是找准等量关系，可通过列表、画图梳理数量关系；设未知数时要明确单位，列方程（组）时保证左右两边单位统一；求解后必须检验结果是否符合实际场景（如人数、长度为正整数）。 题型 4：含参数的一次方程（组）问题 解题思路 将参数看作常数，按常规方法解方程（组），再根据 “方程有唯一解、无解、无数解” 或 “解为正 / 负数、整数” 等条件列关于参数的方程（组）或不等式，求解参数取值范围。 题型 5：一次方程（组）与图表结合问题 解题思路 先从表格、折线图、条形图中提取关键数据，分析数据间的数量关系，再根据关系列方程（组）；注意图表中单位、横坐标和纵坐标的含义。 三、易错警示 一元一次方程解法错误 错误：去分母时漏乘常数项；移项不变号； 提醒：去分母时每一项都要乘最小公倍数，移项时 “过桥变号”，系数化为 1 时注意符号（系数为负时，不等号方向不变，方程仍需变号）。 二元一次方程组消元错误 错误：加减消元时系数未统一就加减；代入消元时去括号漏变号； 提醒：消元前确保某一未知数系数相等或互为相反数，代入时括号前是负号需变号。 实际应用问题出错 错误：等量关系找错（如行程问题中相遇与追及混淆）；单位不统一（如速度单位 km/h 与时间单位 min 未转化）；检验忽略实际意义（如解为负数或小数，不符合人数、件数等整数要求）； 提醒：审题时圈画关键词，明确数量关系，设未知数后先验证等量关系是否成立，求解后必检验实际合理性。 含参数问题考虑不全 错误：忽略参数的取值限制（如一元一次方程中未知数系数不能为 0）；对 “无数解”“无解” 条件理解不清（如ax=b，a=0且b=0时无数解 ）； 提醒：含参数的一次方程，先保证未知数系数不为 0（一元一次方程定义），再根据解的情况列条件。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·河南模拟）下列方程中，与方程的解相同的是（   ） A. B. C. D. 2.（24-25·四川中考）若，则的平方根是（    ） A. B. C. D.  3.（23-24·广东模拟）小明做作业时发现方程已被墨水污染：电话询问老师后知道：方程的解且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（    ） A. B. C. D. 4.（24-25·四川中考）学校准备添置一批课桌椅，原订购套，每套元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了套，每套减价元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为元，则可列方程为（   ） A. B. C. D. 5.（24-25·湖南模拟）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（    ） 的解 的解 … … … … A. B. C. D. 6.（23-24·江苏模拟）若，则的值为（    ） A.或 B.或 C.或 D.或 7.（24-25·江苏中考）（3分）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A. B. C. D. 8.（24-25·河北期中）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（      ） A. B. C. D. 9.（24-25·江苏模拟）已知是方程组的解，则的值是（    ） A. B. C. D. 10.（24-25·河北模拟）有一些相同的房间需要用地板装修地面，每一天名熟练的装修工人可装修间房，结果还剩未能装修；每一天名初级装修工人除了能装修间房以外，还可以多装修．若一名熟练工人每天比一名初级工人多装修，设每个房间地面面积，一名初级工人每天装修，下列方程中正确的有（   ） ①；②；③；④ A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 11.（23-24·甘肃模拟）已知，满足方程组，则无论取何值，，恒有关系式是（      ） A. B. C. D. 12.（23-24·山东模拟）如图，一次函数的图像与的图像相交于点，则关于，的方程组的解是（      ） A. B. C. D. 13.（24-25·河北模拟）如图，直线交轴、轴于两点，直线交轴、轴于两点，点是内部（不包括边界）的一点，则整数可能是（    ） A. B. C. D. 14.（25-26·广东复习）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A. B. C. D. 15.（25-26·湖北模拟）甲、乙两车从十字路口的同一点沿两互相垂直的方向行驶，走过的距离(单位：)  和时间(单位：) 的关系如下表所示： 时间 甲走过的距离 乙走过的距离 则第秒甲、乙两车间的距离满足   A. B. C. D. （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·四川中考）已知是方程的解，则___________． 17.（24-25·江苏模拟）已知是方程的一个解，则的值是______________． 18.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇酒、行酒各得几何？”其意思是：今有醇酒（优质酒）斗，价值钱；行酒（劣质酒）斗，价值钱；现有钱，买得斗酒．问可以买       斗醇酒和        斗行酒． 19.（24-25·全国同步）已知是方程的解，求关于的方程的解是________． 20.（23-24·河北模拟）如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由（绣球花）、（祥云）两种图案组合而成，因制作工艺不同，、两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型的成本元，造型的成本元，则造型的成本为___________元；若王先生选定了一个造型作为中心图形，个造型分别位于中心图形的四周，其余部分用个造型填补空缺，若整个画面中，图案个数不多于图案数的倍，且王先生的整体设计费用不超过元，写出一个满足条件的值____________． 21.（23-24·湖南模拟）明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托.”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺，那么竿长____________尺.（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，托尺） 22.（24-25·山西模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，以为边作菱形，其中点在轴的正半轴上，点在第一象限内，则点的坐标为_______________． 23.（24-25·江苏模拟）如图，已知直线与轴交于点，点与点关于轴对称．是直线上的动点，将绕点顺时针旋转得．连接，则线段 的最小值为_________． 24.（25-26·广西模拟）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解为______________． 25.（23-24·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为…按此规律，则点的纵坐标为       ． （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（24-25·湖南模拟）解方程：． 27.（23-24·江苏中考）解方程组：． 28.（24-25·河北模拟）定义新运算：对于任意都有，等式右边是通常的减法及乘法运算，例如： （1）计算 ； （2）若的值是，求的值． 29.（24-25·河北中考）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． （1）原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． （2）求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． （3）将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 30.（24-25·江苏中考）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． （1）现用张正方形硬纸片和张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? （2）如果需要制作个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 31.（24-25·广西模拟）甘肃地震牵动着全国人民的心，某地区开展了“一方有难，八方支援”抢险救灾活动，准备组织名志愿者参加救灾．现需租用若干辆大、小客车将志愿者送往灾区，已知租用的大、小客车满员时载客情况如表格所示： 小客车（辆） 大客车（辆） 合计载客量（人） （1）求满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐多少名志愿者？ （2）若计划租用小客车辆，大客车辆，大小客车都要有，一次全送完，且每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案： ②若小客车每辆租金元，大客车每辆租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 32.（25-26·江西模拟）解方程组，下面是两同学的解答过程： 小敏：解：把方程变形为， 再将代入方程①得…． 小川：解：将方程的两边乘以得，再将两个方程相加，得到…． （1）小敏的解法依据是_______，运用的方法是_______； 小川的解法依据是_______，运用的方法是_______； ①整式的运算性质；②等式的性质；③加法的结合律；④代入消元法；⑤加减消元法． （2）请直接写出原方程组的解． 33.（25-26·河北期中）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图是某月的月历，用方框选取了其中的个数． 移动方框，若方框中的部分数如图所示，则是___5___，是__11____； 移动方框，若方框中的部分数如图所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． 若方框选取的数如图所示，调整后，部分数的位置如图所示，则是_____，是_____； 若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图所示，则是______（用含的代数式表示）． 34.（25-26·安徽月考）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，连接． （1）求，，的值； （2）求的面积． 35.（24-25·河北模拟）如图，已知直线经过点，直线． （1）求直线的解析式；并判断点是否在直线上？ （2）若，直线与轴交于点，直线与交于点． ①点的坐标为_____． ②求面积． （3）直线上有两点、，若直线与线段有交点，直接写出的取值范围． 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $