精品解析：北京市通州区2025--2026学年八年级上学期期末数学试卷

通州区2025—2026学年度第一学期期末 初中八年级数学样题 学生须知 1．本套样题共6页，共93分，建议时间为100分钟． 2．请在样题指定位置和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．各题答案一律填涂或书写在答题卡上，在样题上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他题目用黑色字迹签字笔作答． 5．结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 3 2. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在，，，，，，，中，有理数的个数有（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 4. 一个不透明的盒子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外其他都相同．则在下列说法中正确的是（ ） A. 从中摸出一个红色球是必然事件 B. 从中摸出一个棕色球是随机事件 C. 从中连续摸出两次白球是不可能事件 D. 从中不放回地连续摸出两次红球是随机事件 5. 含角的三角板与直尺如图所示叠放在一起，直尺的一边所在直线与三角尺的一直角边所在直线相交，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列结论①是9的平方根；②27的立方根是；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4，其中正确的结论是（） A. ①②③ B. ①④⑤ C. ②③⑤ D. ③④⑤ 7. 某学校预计购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进篮球的数量相等，设篮球的单价是元，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等边中，，点是的中点，点是上一动点，连接，在的右侧作等边，连接，下列结论：①；②；③；④的周长最小值是6；⑤的大小随着点的移动而发生变化；⑥当的周长最小时，．其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 如果分式有意义，那么x的取值范围是____________________. 10. 如果，那么a的取值范围是______． 11. 写出一个比大，比小的有理数______． 12. 已知，则的值是______． 13. 口袋里有除颜色外完全相同的15个球，其中有1个红球，5个黄球，9个绿球．从口袋里随机摸出一个球，摸出绿球的可能性大小是______． 14. 若为整数，且使分式的值是整数，则的值是______． 15. 如图，在中，，是的中垂线，交于点．如果，，那么的周长为______． 16. 根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是______． 三、解答题（17－25题，每题6分，26题7分，27题，共61分．解答题要求写出解答过程．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 计算下列各题 （1）； （2）． 19. 解分式方程 （1）； （2）． 20. 先化简再求值：，其中． 21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC边上的中点． 求证：△DBC≌△ECB. 22. 如图，四边形中，． （1）用直尺和圆规作的角平分线，交于点．（保留作图痕迹） （2）如果（1）中的点恰好是的中点，求证：． 23. 如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 100 400 500 1000 1500 2000 指针转到红色区域的次数 37 126 160 331 498 667 （1）下列说法正确的是______（填写序号）． ①从表格中数据可知，转动转盘100次已经有37次指针落在红色区域．那么转盘转动第101次，指针一定不会落在红色区域． ②转动转盘10次，指针指向蓝色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数． ③转动转盘60次，指针指向蓝色区域的次数一定为20． （2）求随机转动转盘“指针指向红色区域”的可能性大小． （3）请你用红、黄、绿三种颜色设计一个转盘，使得转动后指针指向黄色区域的可能性大小是．画出你设计的转盘（画一种情况即可）． 24. 如图，，，，垂足为点，交于点，交于点，求证：． 25. 周末小华踏上了在长安街延长线的游玩购物之旅．上午，从通州区北苑万达广场出发，步行，到达京杭府的爱琴海购物公园，在爱琴海购物公园购物游玩40分钟，然后骑共享单车行驶了到通州区文化馆观看演出．如果小华骑行的平均速度是步行平均速度的2倍，骑行比步行少用3分钟．请你判断他能否在当日上午前到通州区文化馆，并说明理由． 26. 如图，在中，点是边上的点，且，，与相交于点，点是上一点，且满足． （1）求证：． （2）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通州区2025—2026学年度第一学期期末 初中八年级数学样题 学生须知 1．本套样题共6页，共93分，建议时间为100分钟． 2．请在样题指定位置和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．各题答案一律填涂或书写在答题卡上，在样题上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他题目用黑色字迹签字笔作答． 5．结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数． 根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：的相反数为， 故选：B． 2. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 在，，，，，，，中，有理数的个数有（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键；因此此题可根据实数的分类进行求解即可． 【详解】解：在，，，，，，，中，是有理数的有，，，，，共5个； 故选D． 4. 一个不透明的盒子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外其他都相同．则在下列说法中正确的是（ ） A. 从中摸出一个红色球是必然事件 B. 从中摸出一个棕色球是随机事件 C. 从中连续摸出两次白球是不可能事件 D. 从中不放回地连续摸出两次红球是随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类．根据事件的定义：必然事件是一定发生的事件；不可能事件是一定不发生的事件；随机事件是可能发生也可能不发生的事件. 结合盒中球的颜色和数量判断各选项，即可作答． 【详解】解：∵盒中有2个白球和3个红球，无其他颜色球， ∴摸出一个红球可能发生也可能不发生，是随机事件，故A选项不符合题意； ∵盒中无棕色球， ∴摸出一个棕色球不可能发生，是不可能事件，故B选项不符合题意； ∵盒中有2个白球， ∴连续摸出两次白球可能发生（如不放回摸球时），故C选项不符合题意； ∵盒中有3个红球， ∴连续摸出两次红球可能发生也可能不发生，是随机事件，故D选项符合题意， 故选：D． 5. 含角的三角板与直尺如图所示叠放在一起，直尺的一边所在直线与三角尺的一直角边所在直线相交，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质， 先根据“两直线平行内错角相等”得，进而求出，再根据三角形内角和定理求出，即可求出，接下来求出，然后根据“两直线平行同位角相等”得出答案． 【详解】解：如图所示，根据题意可知， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 6. 下列结论①是9的平方根；②27的立方根是；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4，其中正确的结论是（） A. ①②③ B. ①④⑤ C. ②③⑤ D. ③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根，解题关键是理解立方根的意义，平方根的意义，算术平方根的意义． 根据一个正数有两个平方根，非负数有一个算术平方根，任何实数都有一个立方根，可得答案． 【详解】解：平方根有正负两个，立方根只有一个实数根，算术平方根为非负根； ①正确，是9的平方根； ②错误，27的立方根是3，不是； ③错误，表示4的算术平方根，不是平方根； ④正确，2的平方根是； ⑤正确，16的算术平方根是4. 故正确的结论是①④⑤. 故选：B． 7. 某学校预计购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进篮球的数量相等，设篮球的单价是元，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；根据题意，篮球单价为x元，则足球单价为元，用360元购进的足球数量为，用480元购进的篮球数量为，两者相等，故得方程，然后问题可求解． 【详解】解：∵篮球单价为元， ∴足球单价为元， ∵购进足球数量为，购进篮球数量为，且数量相等， ∴； 故选C． 8. 如图，在等边中，，点是的中点，点是上一动点，连接，在的右侧作等边，连接，下列结论：①；②；③；④的周长最小值是6；⑤的大小随着点的移动而发生变化；⑥当的周长最小时，．其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短． 利用等边三角形的性质可判断①；证明，可得可判断②③⑤；当最小时，即点运动到点时，的周长最小，可判断④；取的中点，可得，即三点共线时，的周长最小，可判断⑥． 【详解】解：在等边中，点是的中点， ，故①正确； 是等边三角形，是等边三角形， ， ，即， ， ，，故②正确，⑤错误； ， ， ，故③正确； 当最小时，的周长最小， 根据垂线段最短，可得点运动到点时，的周长最小， 此时， 的周长最小为，故④正确； 如图，取的中点， ， ， ， 的周长等于的周长为， ， ， 根据两点之间线段最短，可得三点共线时，最短，即的周长最短， 为等边三角形，， ， 所以的周长最短时，，故⑥错误， ， 综上，正确的为①②③④，共4个， 故选：B． 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 如果分式有意义，那么x的取值范围是____________________. 【答案】x≠-1 【解析】 【分析】分式式有意义的条件为x+1≠0，即可解得x的范围． 【详解】∵分式有意义， ∴x+1≠0， 即x≠−1. 故答案为x≠−1. 【点睛】此题考查分式有意义的条件，解题关键在于掌握其定义. 10. 如果，那么a的取值范围是______． 【答案】a≥0 【解析】 【分析】根据算术平方根的被开方数及算术平方根为非负数得出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查根据算术平方根及求不等式解集的方法，熟练掌握算术平方根的条件得出不等式是解题关键． 11. 写出一个比大，比小的有理数______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，通过估算和的近似值，选择一个介于两者之间的有理数，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴2符合题意， 故答案为：2． 12. 已知，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，以及绝对值的非负性，已知字母的值求代数式的值．根据非负数的性质，绝对值、算术平方根和平方均为非负数，它们的和为零，则每个部分都为零，从而求出x，y，z的值，再代入所求式子计算，即可作答． 【详解】解：∵，且 ∴ 解得， ∴， 故答案为：． 13. 口袋里有除颜色外完全相同的15个球，其中有1个红球，5个黄球，9个绿球．从口袋里随机摸出一个球，摸出绿球的可能性大小是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式．根据概率的定义，摸出绿球的概率等于绿球数量与总球数的比值，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵口袋中总球数为15个，绿球有9个， ∴摸出绿球的概率为， 故答案为：． 14. 若为整数，且使分式的值是整数，则的值是______． 【答案】，，0，1 【解析】 【分析】本题主要考查分式的值，掌握求解的方法是解题的关键；要使分式的值为整数，则分母必须为6的约数，即的值为，，，，再结合x为整数求解即可． 【详解】解：因为分式的值为整数，且x为整数，所以是6的约数， ∴或或或， 当时，解得，当时，解得； 当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）； 当时，解得，当时，解得； 当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）； 因此，x的值为，，0，1； 故答案为，，0，1． 15. 如图，在中，，是的中垂线，交于点．如果，，那么的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质， 先根据勾股定理求得，再根据中垂线的性质得，然后根据的周长为得出答案． 【详解】解：∵， 根据勾股定理，得． ∵是的中垂线， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 16. 根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求一个数的立方根，算术平方根，读懂题意是解题的关键．根据流程图逐步求解即可． 【详解】解：∵当，， ∴， ∵不是无理数，进入循环， 当，， ∴， ∵不是无理数，进入循环， 当，， ∴， ∵是无理数，退出循环， ∴输出． 故答案为：． 三、解答题（17－25题，每题6分，26题7分，27题，共61分．解答题要求写出解答过程．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 对于（1），根据乘法分配律，二次根式的乘法法则计算； 对于（2），根据，再根据完全平方公式计算，然后根据二次根式的加减法计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算下列各题 （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据同分母分式减法运算法则计算； （2）利用乘法分配律展开，再进行化简． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 19. 解分式方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）（2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 方程两边同时乘以得， 整理得， 解得． 检验，当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解：， 方程两边同时乘以得， 整理得， 解得． 检验，当时， ∴是原方程的解． 20. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的乘除法计算，并化到最简，然后将数值代入计算即可． 【详解】解：， ． 当时，原式． 21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC边上的中点． 求证：△DBC≌△ECB. 【答案】 证明：、是、边上的中点 ; ∴DB=EC 在△DBC和△ECB中 【解析】 【分析】利用边角边定理进行证明即可. 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握SAS定理的判定方法是本题的解题关键. 22. 如图，四边形中，． （1）用直尺和圆规作的角平分线，交于点．（保留作图痕迹） （2）如果（1）中的点恰好是的中点，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，运用角的尺规作图方法，进行作图即可； （2）先结合（1）的作图过程以及点恰好是的中点，证明，再整理得，再根据等角对等边得出，又因为，且，故，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：延长，交于点， ， ∵点是中点， ， ， ， ∵， ∴， ，， 平分， ， ， ， ∵，且， ． 23. 如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 100 400 500 1000 1500 2000 指针转到红色区域的次数 37 126 160 331 498 667 （1）下列说法正确的是______（填写序号）． ①从表格中数据可知，转动转盘100次已经有37次指针落在红色区域．那么转盘转动第101次，指针一定不会落在红色区域． ②转动转盘10次，指针指向蓝色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数． ③转动转盘60次，指针指向蓝色区域的次数一定为20． （2）求随机转动转盘“指针指向红色区域”的可能性大小． （3）请你用红、黄、绿三种颜色设计一个转盘，使得转动后指针指向黄色区域的可能性大小是．画出你设计的转盘（画一种情况即可）． 【答案】（1）② （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：可能性的大小=所求情况数与总情况数之比． （1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （2）由于转盘分成了6个面积相等的扇形区域，其中红色部分有2个，即可求解可能性大小； （3）画出黄色区域占了整个圆的即可． 【小问1详解】 解：①从表格中数据可知，转动转盘100次已经有37次指针落在红色区域．那么转盘转动第101次，指针不一定会落在红色区域，故原说法错误； ②转动转盘10次，指针指向蓝色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，说法正确； ③转动转盘60次，指针指向蓝色区域的次数不一定为20，故原说法错误； 故答案为：②； 【小问2详解】 解：自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域，其中红色部分有2个， ∴随机转动转盘“指针指向红色区域”的可能性大小为； 【小问3详解】 解：转盘如图： ∵黄色区域占了整个圆的， ∴指针指向黄色区域的可能性大小是． 24. 如图，，，，垂足为点，交于点，交于点，求证：． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一、勾股定理、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握各个性质是解题的关键． 先连接，根据三线合一，得出，证明，再通过边相等和全等性质推出，得出，推出，最后根据勾股定理和等量代换求解即可． 【详解】解：证明：连接， ∵，于点， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵与交于点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵在中，， 又∵， ∴，即， ∴． 25. 周末小华踏上了在长安街延长线的游玩购物之旅．上午，从通州区北苑万达广场出发，步行，到达京杭府的爱琴海购物公园，在爱琴海购物公园购物游玩40分钟，然后骑共享单车行驶了到通州区文化馆观看演出．如果小华骑行的平均速度是步行平均速度的2倍，骑行比步行少用3分钟．请你判断他能否在当日上午前到通州区文化馆，并说明理由． 【答案】小华能够在前到达文化馆观看演出，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设小华步行的平均速度为，则骑共享单车的平均速度是，根据骑行比步行少用3分钟建立方程求出小华步行的平均速度和骑行的平均速度，进而求出步行和骑行的时间，再用步行的时间加上骑行的时间和游玩的时间，所得结果与比较即可得到结论． 【详解】解：小华能够在前到达文化馆观看演出，理由如下： 设小华步行的平均速度为，则骑共享单车的平均速度是． 依题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，并符合题意． ， ∴小华步行的平均速度为，则骑共享单车的平均速度是． ，， ． ∵从早上到是120分钟，且， ∴小华能够在前到达文化馆观看演出． 26. 如图，在中，点是边上的点，且，，与相交于点，点是上一点，且满足． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键。 （1）延长交于点，由三角形外角的性质可得，则可求出，据此可证明结论； （2）连接，过点作于点，证明，得到，则平分；证明，得到．证明，即可证明． 【小问1详解】 证明：延长交于点， 是的外角，， ． ， , ． 【小问2详解】 解：如图所示，连接，过点作于点， ， ． ，， ∴， ； 在和中， ， ， ∴， 平分； ， ∴， ， ， ． ，， ； 在和中， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $