精品解析：北京市通州区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

通州区2024—2025学年第一学期八年级期末质量检测 数学试卷 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 8的立方根是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 2024年7月27日，第46届世界遗产大会通过决议，将“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”列入《世界遗产名录》．下面是北京中轴线文化遗产传承与创新大赛“北京中轴线标志设计赛道”中的其中四个设计图案，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1，1 B. 2，3，4 C. D. 5. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 6. 下面是“作已知角的平分线”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； （2）分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点； （3）作射线，则射线就是所求作的射线． 上述方法通过判定得到，从而得到是的角平分线，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 7. 一个不透明的盒子中装有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外没有其他差别，随机从盒子中摸出2个球，下列事件属于必然事件的是（ ） A. 摸出的2个球中有黑球 B. 摸出的2个球中有白球 C. 摸出的2个球都是黑球 D. 摸出的2个球都是白球 8. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 10. 以下各数：，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个）中，其中是无理数的有______个． 11. 比较大小：___5（选填“”、“ ”、“ ” ）． 12. 方程的解为______． 13. 若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值是______． 14. 如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点M，N，若，则的长为____________． 15. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立冬”，4张“小寒”，1张“大寒”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为______． 16. 如图，将四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为a，，连结，设，完成下面问题： （1）______°； （2）给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本题共68分，第17-21题每题5分；第22-26题每题6分；第27题5分；第28题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算． 18. 计算：． 19. 已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，．求证：． 20. 已知：，求的值． 21. 化简求值：，其中． 22. 小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 下面是小明设计的尺规作图的作法： ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点； ②连接． 则线段为所求． （1）请你按照小明设计的作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ．（ ）（填推理的依据） ． ， ． ． ． ．（ ）（填推理的依据） 和都是等腰三角形． 23. 乡村振兴，交通先行．近年以来，某市高质量推进“四好”农村公路建设，着力打通农村交通基础设施．某村准备修一条5400米长的道路，在修建600米后，由于采用新的修建技术，这样每天修建长度是原来的2倍，结果共用15天完成了全部任务，求原来每天修建道路多少米． 24. 如图，为等边三角形，平分交于点D，交于点．求证：． 25. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）在网格中，画线段，且使，连结； （2）线段的长为______，的长为______，的长为______； （3）为______三角形，点A到的距离为______． 26. 我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当时： 又 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为______，此时______； （2）若，求y的最小值． 27. 如图，中，，，为线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）求证：； （2）连接，取的中点，连接，． 依题意补全图形； 求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通州区2024—2025学年第一学期八年级期末质量检测 数学试卷 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 8的立方根是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根是解题的关键；根据可进行求解． 【详解】解：由可知：8的立方根是2； 故选A． 2. 2024年7月27日，第46届世界遗产大会通过决议，将“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”列入《世界遗产名录》．下面是北京中轴线文化遗产传承与创新大赛“北京中轴线标志设计赛道”中的其中四个设计图案，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，熟知一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形是解题的关键．根据轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：ABD选项中的图形都能找到一条直线，使沿直线折叠之后的两部分互相重合，C选项中的图形找不到这样的直线，能够使折叠之后的两部分互相重合． 故C选项中的图形不是轴对称图形． 故选：C． 3. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质、平方根及算术平方根，熟练掌握二次根式的性质、平方根及算术平方根是解题的关键；因此此题可根据二次根式的性质、平方根及算术平方根进行排除选项． 【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算正确，故符合题意； 故选D． 4. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1，1 B. 2，3，4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定理逆定理进行排除选项． 【详解】解：A、由可知该三条边不能构成直角三角形，故不符合题意； B、由可知该三条边不能构成直角三角形，故不符合题意； C、由可知该三条边能构成直角三角形，故符合题意； D、由可知该三条边不能构成直角三角形，故不符合题意； 故选C． 5. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】D 【解析】 【详解】解：， ， 则估计的值在4和5之间． 6. 下面是“作已知角的平分线”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； （2）分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点； （3）作射线，则射线就是所求作的射线． 上述方法通过判定得到，从而得到是的角平分线，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据作图过程得到，因为，所以，即可得到答案． 【详解】解：根据作图过程得， ， ， 判定的依据是三边分别相等的两个三角形全等， 故选：A． 7. 一个不透明的盒子中装有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外没有其他差别，随机从盒子中摸出2个球，下列事件属于必然事件的是（ ） A. 摸出的2个球中有黑球 B. 摸出的2个球中有白球 C. 摸出的2个球都是黑球 D. 摸出的2个球都是白球 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念逐项分析即可得解，熟练掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解此题的关键． 【详解】解：A、摸出的2个球中有黑球是随机事件，故不符合题意； B、摸出的2个球中有白球是必然事件，故符合题意； C、摸出的2个球都是黑球是不可能事件，故不符合题意； D、摸出的2个球都是白球是随机事件，故不符合题意； 故选：B． 8. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等； A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断； B.不一定等于，即可判断； C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断； D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断； 掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A.， ， 由对称得， 点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ，， ， ，结论正确，故不符合题意； B.不一定等于，结论错误，故符合题意； C.由对称得， ∵点 E ，F分别是底边的中点， ，结论正确，故不符合题意； D. 过作， ， ， ，由对称得， ， 同理可证， ，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 10. 以下各数：，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个）中，其中是无理数的有______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，常见的无理数的表达方式有：开不尽方的数，例如；用特殊字母表示的数，例如；有特殊规律的数，例如每相邻两个之间依次多一个）． 【详解】解：是有理数，是有理数，是有理数，是无理数，是有理数，是无理数，（每相邻两个之间依次多一个）是无理数， 无理数共有个． 故答案为： ． 11. 比较大小：___5（选填“”、“ ”、“ ” ）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解． 【详解】解：∵，， 而24＜25， ∴＜5． 故答案为：＜． 【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把它们还原成带根号的形式，然后比较被开方数即可解决问题． 12. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．根据解分式方程的方法，先方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，最后检验即可． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母， 得， 解得：， 检验，把代入， 所以是分式方程的解， 故答案为：． 13. 若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的性质，通过计算，即可完成求解． 【详解】解：∵是最简二次根式，且最简二次根式与是同类二次根式 ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，熟知同类二次根式的定义是解题的关键：如果两个最简二次根式的被开方数相同，那么这两个二次根式叫做同类二次根式． 14. 如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点M，N，若，则的长为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，进而解答即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：1． 15. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立冬”，4张“小寒”，1张“大寒”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了随机事件可能性的大小，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题关键．根据在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有4张“小寒”，进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有4张“小寒”， ∴从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为． 故答案为：． 16. 如图，将四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为a，，连结，设，完成下面问题： （1）______°； （2）给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】 ①. 90 ②. ②④##④② 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、全等三角形的性质、完全平方公式及直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的性质、完全平方公式及直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据直角三角形的两个锐角互余可进行求解； （2）由题意易得，，则有，然后根据三角形三边关系及作差法可进行求解． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为90； （2）由题意得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴由三角形三边关系可得：，故②正确； ∵， ∴， ， ，故④正确； ∴，即，故①错误； 当时，则；当时，则；故③错误； 综上所述，正确的结论有②④； 故答案为②④． 三、解答题（本题共68分，第17-21题每题5分；第22-26题每题6分；第27题5分；第28题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；先化简，然后再进行二次根式的加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先利用乘法分配律和平方差公式进行计算，然后根据二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 19. 已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，先证明，再利用证明即可． 【详解】略 20. 已知：，求的值． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，代数式求值，解题的关键是掌握完全平方公式． 先将待求式通过配方法变形为，再将的值代入计算即可． 【详解】解：当， ． 21. 化简求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，分母有理化，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入计算即可熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 22. 小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 下面是小明设计的尺规作图的作法： ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点； ②连接． 则线段为所求． （1）请你按照小明设计的作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ．（ ）（填推理的依据） ． ， ． ． ． ．（ ）（填推理的依据） 和都是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等；；；同一个三角形中，等角对等边 【解析】 【分析】本题考查了作图——尺规作图、等腰三角形的判定、垂直平分线的性质： （1）根据作法补全图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得，再根据角的等量代换得，进而可证得，由等腰三角形的判定即可求证结论； 熟练掌握尺规作法作垂直平分线的方法及等腰三角形的判定的解题的关键． 【小问1详解】 解：作法：①以点为圆心，大于为半径画弧，以点为圆心，以相同长度为半径画弧，与前弧相交， ②连接两个交点得直线交于点， ③连接， 如图所示，即为所求． 【小问2详解】 直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ．（线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等）， ． ， ．． ． ．（同一个三角形中，等角对等边）， 和都是等腰三角形． 故答案为：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等；；；同一个三角形中，等角对等边． 23. 乡村振兴，交通先行．近年以来，某市高质量推进“四好”农村公路建设，着力打通农村交通基础设施．某村准备修一条5400米长的道路，在修建600米后，由于采用新的修建技术，这样每天修建长度是原来的2倍，结果共用15天完成了全部任务，求原来每天修建道路多少米． 【答案】200米 【解析】 【分析】设原来每天修建道路x米，则采用新的修建技术后每天修建道路2x米，根据题意列出分式方程，解方程即可求解． 【详解】设原来每天修建道路x米，则采用新的修建技术后每天修建道路2x米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：原来每天修建道路200米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 24. 如图，为等边三角形，平分交于点D，交于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等角对等边，角平分线的判定，平行线的性质，由为等边三角形，则，又，可证明，即是等边三角形，再由角平分线和平行线的性质证明，从而求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）在网格中，画线段，且使，连结； （2）线段的长为______，的长为______，的长为______； （3）为______三角形，点A到的距离为______． 【答案】（1）图见详解 （2），，5 （3）直角， 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用网格，结合平行线的判定与性质按要求画图即可． （2）利用勾股定理分别计算即可． （3）由勾股定理的逆定理可得，则为直角三角形，然后根据等积法可得点A到的距离． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求． 【小问2详解】 解：由勾股定理可得：，，； 故答案为，，5； 【小问3详解】 解：由（2）可知：， ∴， ∴是直角三角形， ∴点A到的距离为； 故答案为：直角，2 26. 我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当时： 又 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为______，此时______； （2）若，求y的最小值． 【答案】（1）4， （2）y的最小值为 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和完全平方公式的应用，读懂题意，能熟练仿照示例是解题的关键． （1）根据示例，得到，即可求出x的值，得到最小值； （2）仿照示例，，得到最小值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 当且仅当时，， 解得， ∴当时，的最小值为4，此时， 故答案为：4，； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，的最小值为， ∴y的最小值为． 27. 如图，中，，，为线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）求证：； （2）连接，取的中点，连接，． 依题意补全图形； 求． 【答案】（1）证明见解析； （2）画图见解析；证明见解析． 【解析】 【分析】（）根据三角形的内角和定理，旋转的性质，角度和差即可求证； （）根据题意补全图形即可； 延长到点，使，连接，证明， 根据性质得，，则有，由平行线的性质得到， 再证明， 最后由性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 由旋转性质可知：，  ∴， ∴； 【小问2详解】 解：依题意画图， 延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $