专题16 直线与圆（题型专练）（天津专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题16 直线与圆目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题破译】 题型01 求直线方程的两种方法 题型02 两条直线的位置关系 题型03 对称问题 题型04 直线的综合问题 题型05 直线与圆相交 题型06 圆的公切线问题 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 求直线方程的两种方法 【例1-1】（2026·天津静海·月考）已知圆的圆心是直线与直线的交点，又圆与圆：相外切．点 (1)求过点与垂直的直线方程； (2)求圆的标准方程； (3)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 或 【分析】（1）联立两条直线求出交点，再由两直线垂直得出斜率，根据直线点斜式方程即可求解. （2）根据两圆外切的关系，圆心距即可求解 （3）分直线的斜率存在与不存在讨论，斜率不存在时直接验证；斜率存在时，设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式求出斜率，进而得到直线方程. 【详解】（1）联立直线方程 ，解得 ，所以圆心 ， 圆 化为圆的标准方程： ，所以圆心 ， 而直线   的斜率 . 设所求直线斜率为 ， 则 ，即 ，解得 ， 所求直线过点 ，所求直线方程为 ，整理得 ， 因此，过点 与 C D 垂直的直线方程为 . （2）由（1）知圆心 ，圆心 ，， 因为圆 与圆 相外切，所以圆 的半径 ， 因此，圆 的标准方程为 . （3）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时圆心 到直线 的距离 ，根据弦长公式可得弦长为 ，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，即， 已知圆心 ，半径 ，弦长为 ，则圆心到直线的距离 . 根据点到直线的距离公式可得 ，即 2， 两边平方可得 ，展开得 ，解得 . 所以直线 的方程为 ，整理得 0 . 因此，直线 的方程为 或 .    【例1-2】（2026·天津静海·月考）过的直线与圆交于两点，当弦长度最短时，直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心坐标，可得圆心与点连线的斜率，进而得到直线的斜率，再由点斜式得解． 【详解】圆的圆心为，半径为， 当直线与垂直时，弦长度最短， 又圆心与点连线的斜率为， 则直线的斜率为， 由点斜式可得，直线的方程为，即． 故选：C． 求直线方程的两种方法 【变式1-1】（2026·天津南开·月考）已知，，若曲线和线段有公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先判断曲线，表示的是两条直线，然后分别讨论两条直线与线段有公共点时的取值范围，最后求并集即可. 【详解】因为曲线，表示的是两条直线， 直线和直线. 直线化简为，该直线过定点，斜率为， 要使得该直线与线段有公共点，则. 因为，所以. 此时的取值范围为； 直线化简为，该直线过定点，斜率为， 要使得该直线与线段有公共点，则. 因为，所以. 此时的取值范围为，则的取值范围为； 当时，直线为直线，此时该直线与线段无公共点； 综上，的取值范围为. 故答案为：. 【变式1-2】（2026·天津滨海新·月考）已知圆，直线，直线恒过定点坐标 ；则直线截圆所得弦长的最小值为 . 【答案】 8 【分析】分离参数，求直线与的交点可得直线恒过定点坐标；设圆心到直线的距离为，由，知当取得最大值时，的值最小.分析易知的最大值为圆心到直线所过定点的距离，由此可求得的最小值. 【详解】由直线，得. 由，得. 所以直线恒过定点坐标为，记为点. 圆的圆心为，半径为. 因为，所以点在圆内. 设圆心到直线的距离为，则. 所以当取得最大值时，的值最小. 易知当时，取得最大值，最大值为. 所以直线截圆所得弦长的最小值为. 故答案为：；. 【变式1-3】（2026·天津津南·月考）若曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】表示位于轴上方的单位圆，包含，直线过定点，求出直线与圆相切时的值，数形结合得到答案 【详解】两边平方得， 表示位于轴上方的单位圆，包含， 直线过定点，同一坐标系内画出图形如下：    当过点时，，解得， 当与相切时， 圆心到的距离为，解得， 由对称性可知，当曲线与直线有两个不同的交点时， 实数的取值范围是. 故答案为： 题型02 两条直线的位置关系 【例2-1】（2026·天津静海·月考）已知直线与平行，则的值为 ． 【答案】或/或 【分析】由可求，注意检验重合的情况即. 【详解】因为直线与平行， 所以 展开化简可得，解之可得或， 则当时直线与， 化简后为，可知与平行， 当时直线与平行. 故答案为：或 【例2-2】（2026·天津滨海新·月考）已知两条平行直线，则和间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两直线平行确定，再由平行线间距离公式求解即可； 【详解】因为平行， 可得， 则， 所以和间的距离为， 故选：D 由一般式确定两直线位置关系的方法 判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设（不全为0），（不全为0），则： 当时，直线相交； 当时，直线平行或重合，代回检验； 当时，直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆． 【变式2-1】（2026·天津滨海新·月考）已知直线的斜率为，直线，且直线在轴上的截距为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直关系可得直线的斜率为，结合截距式方程运算求解即可. 【详解】因为直线的斜率为，直线，可知直线的斜率为， 又直线在轴上的截距为，所以的方程为，即. 故选：B. 【变式2-2】（2026·天津南开·开学考试）已知直线与互相垂直，则实数的值为 . 【答案】或/或 【分析】利用两直线垂直的充要条件来求解参数即可. 【详解】由题意得，解得或， 故答案为：或 【变式2-3】（2026·天津和平·联考）已知直线：与：相互平行，则与之间的距离为 . 【答案】2 【分析】先由两平行线间系数关系求出，再由两平行线间距离公式求解即可. 【详解】因为直线：与：相互平行， 所以， 所以：， 所以与之间的距离为. 故答案为：2. 题型03 对称问题 【例3-1】（2026·天津·联考）已知，直线恒过定点，圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，由直线过定点可得点的坐标，从而可得点的坐标，再由圆的弦长公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】直线的方程转化为 令，解得，所以点的坐标为， 又圆的圆心与点关于直线对称，则， 设圆的方程为， 且圆的圆心到直线的距离为， 又，则.即圆的半径为. 则圆的方程为 故答案为：. 【例3-2】（2026·天津南开·联考）若，分别为圆：与圆：上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（   ）. A．12 B．9 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出点与直线上的点距离和的最小值，再减去两圆半径和即可. 【详解】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 设点关于直线的对称点为，连接，如图： 则，解得，即， ， 则， 当且仅当是与直线的交点， 且分别是线段与圆的交点时取等号， 所以的最小值为9. 故选：B. 对称问题的求解方法 (1)点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)， 则有 (2)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 【变式3-1】（2026·天津静海·月考）已知直线和点. (1)在直线上求一点，使的值最小； (2)直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程. (3)已知的顶点，直线为边中线所在的直线方程，的角平分线所在直线方程为，求直线的方程； 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）全称点关于直线的对称点，可知点即直线与直线交点； （2）直线与直线的位置关系有两种，讨论求方程； （3）由中线求出点坐标，由角平分线求出点A的对称点，由、求直线方程. 【详解】（1）设点关于直线的对称点为， 根据对称点的性质，直线MM'与直线垂直，且MM'的中点在直线上， 直线的斜率为，因为两直线垂直斜率之积为，所以①， 又因为MM'的中点在直线上，所以②， 联立①②，解得，，所以， 连接M'N，与直线的交点即为所求的点，此时，根据两点之间线段最短，的值最小， 已知，，根据两点式可得直线M'N的方程为，即， 联立直线M'N与直线的方程，解得，， 所以点的坐标为； （2）点和到直线距离相等，分两种情况： ①直线.因为直线斜率为3，故方程为，即. ②直线过中点.中点为，又直线经过点，所以直线方程为. 综上，直线的方程为或. （3）设（因在角平分线上），则中点. 中线过，代入得， 解得，故. 设关于的对称点则，解得， 所以，由角平分线性质知在上. 因为，所以直线方程为， 整理得. 【变式3-2】（2026·天津滨海新·月考）在平面直角坐标系中，已知点，点，为直线上一动点，则的最小值是 ，对应点的坐标是 ． 【答案】 4 【分析】利用对称关系求出点的对称点为，则最小值为之间的距离. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 因为，所以直线的方程为， 联立：，解得，所以点， 故答案为：4；    【变式3-3】（2025·天津滨海新·联考）已知直线和两点，若直线上存在点P使得最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断与直线的位置关系为在直线同侧，故先求出点关于直线的对称点的坐标，此时求出直线的方程，则直线与的交点即为点位置. 【详解】 由图可判断在直线的同侧，设点关于的对称点的坐标为， 则有，解得. 所以直线的方程为，直线与的交点即为， 由平面几何知识可知此时最小. 故选：B. 题型04 直线的综合问题 【例4-1】（2026·天津蓟州·月考）已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为 . 【答案】3 【分析】根据双曲线的顶点到渐近线的距离求双曲线方程，根据抛物线的定义结合几何关系转化，利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，进行转化求解. 【详解】双曲线的渐近线方程，右焦点， 到其一条渐近线的距离，解得，所以双曲线的焦点坐标， 所以抛物线焦点坐标，准线方程为，即抛物线方程，示意图如下： 过点作，垂足为A，作准线的垂线，垂足为，连接MF， 根据抛物线定义有：， 即动点到直线和距离之和等于， 当三点共线时，最小，即点F到直线的距离， 所以动点到直线和距离之和最小为. 故答案为：3 【例4-2】（2026·天津武清·月考）若直线与圆交于两点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求出直线恒过的定点P，再求出圆心C和半径r，分析可得，当直线l与PC垂直时，圆心C到直线l的距离d最大，根据弦长公式，代入求解，即可得答案. 【详解】直线变形为， 令，解得，则，所以直线l恒过定点， 圆的圆心为，半径， 则圆心C到P点的距离， 分析可得，当直线l与PC垂直时，圆心C到直线l的距离d最大，且为， 此时有最小值，且. 故答案为： 处理直线方程综合应用的两大策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值． (2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”． 【变式4-1】（2026·天津滨海新·月考）已知直线和圆，为坐标原点. (1)直线与圆相切时，求的值； (2)当时，为直线上的动点，过作圆的切线，切点为，求的最小值； (3)直线与圆相交于两点，的面积为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)； (3)，. 【分析】（1）由题意结合点到直线距离公式建立等式计算即可求解； （2）由题意可得，当取最小值时，也最小，结合点到直线距离公式计算即可求解； （3）由的面积为可得或，分两种情况结合点到直线距离公式计算即可求解. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 因为直线与圆相切， 所以，解得； （2）由题意可知，， 所以， 当取最小值时，也最小， 当时，直线， 此时，所以； （3）因为， 所以，即或， 当时，为等边三角形， 此时圆心到直线的距离为， 则，解得， 此时直线； 当时，此时为等腰三角形，且， 此时圆心到直线的距离为， 则，解得， 此时直线； 综上：直线的方程为，. 【变式4-2】（2026·天津津南·月考）已知两点，，直线：与延长线段得到的以B为端点的射线（不含点）相交，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点，再计算该定点与点所在直线的斜率，根据题意得到直线斜率的取值范围，进而得到实数的取值范围. 【详解】直线：的斜率为， 直线可变形为，所以直线恒过定点， 直线的斜率为， 线段所在直线的斜率为，    由直线与线段的延长线相交（不含点）可得：， 即，所以. 故选：A 【变式4-3】（2026·天津·联考）在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为 . 【答案】 【分析】折线段之和最值问题，利用对称，将直线同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知. 【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则， 解得，即， 关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 故答案为：.    题型05 直线与圆相交 【例5-1】（2026·天津·月考）过原点的一条直线与圆相切，交焦点为的抛物线于异于原点的点，若，则的值为 . 【答案】6 【分析】根据圆和曲线关于轴对称，设切线方程为，即可根据直线与圆的位置关系求得，由直线与抛物线的位置关系解出点的坐标，由两点间的距离公式可求得． 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 易知圆和曲线关于轴对称， 设切线方程为， 由题意得，解得：， 当时，由，解得：或，即， 由于，所以，解得：． 当时，同理可得． 故答案为：6. 【例5-2】（2026·天津和平·月考）已知直线与圆有公共点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意可知，直线与圆相交或相切，所以由圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出． 【详解】依题意可知，直线与圆相交或相切． 即为，则， 由，解得． 故答案为：． 直线与圆的相交问题 （1）研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长、弦心距和半径之间形成的数量关系． （2）弦长问题 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 【变式5-1】（2026·天津南开·月考）已知圆和圆，则下列结论中正确的是（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】C 【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，然后根据圆与圆之间的位置关系、勾股定理等知识逐项计算即可. 【详解】将圆和圆化成标准方程为： 圆和圆， 所以两个圆的圆心坐标和半径分别为. 因为与轴的距离为1，小于该圆的半径2，所以圆与轴不相切，A错误； 因为，所以两圆相交， 所以两圆的公共弦所在直线方程为两个圆的方程相减，得到方程， 即，所以B错误； 因为两圆的位置关系是相交，所以有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线，C正确； 根据勾股定理可得，公切线段长为，D错误； 故选：C. 【变式5-2】（2026·天津武清·月考）若对圆上任意一点，的取值与x、y无关，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】将转化为圆上的点到两条平行直线距离的和，再利用直线和圆的位置关系求得的取值范围. 【详解】依题意，令， 因此可视为圆上点到 直线与的距离和的倍， 圆的圆心，半径，点到直线的距离，直线与该圆外离， 由的取值与无关，即的取值与点在圆上的位置无关，得该圆在平行直线之间， 此时当直线m平移时，该圆上任意点P到直线m，l的距离之和均为m与l间的距离， 因此直线与该圆外切或外离，且，此时，则， 所以实数a的取值范围是． 故答案为： 【变式5-3】（2026·天津津南·月考）若圆：与圆：相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，点是直线：上的动点，过点作圆的切线，切点为，，那么的最小值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直线与圆相切的性质判定，得出参数的值，再根据切线长性质及三角形面积公式判定即四边形的面积2倍，将问题化为切线长最短，再根据勾股定理化为点到直线距离即可. 【详解】 易知两圆的圆心分别为，半径分别为， 如图所示，不妨设A在第一象限，由两圆在点处的切线互相垂直可知， 即，所以，， 由切线长性质可知， 又，所以全等，即平分， 所以，故为四边形的面积， 即， 易知M到直线的距离为， 所以. 故选：D 题型06 圆的公切线问题 【例6-1】（2026·天津武清·月考）在平面直角坐标系中，已知圆与圆，则两圆的公切线的条数是 ． 【答案】4 【分析】由圆的方程求出两圆的圆心坐标及半径，由圆心距与两圆半径之间的关系可判断两圆的位置关系，进而得公切线的条数. 【详解】由圆的方程，即可知圆的圆心为，半径为； 由圆的方程，即可知圆的圆心为，半径为. 所以两圆的圆心距为， 而，所以圆与圆外离， 则两圆的公切线的条数是4. 故答案为：4. 【例6-2】（2026·天津·联考）已知圆A：和圆B：有3条公共切线，则实数m的值是 . 【答案】或5 【分析】根据两圆方程求出圆心和半径，结合题意可得两圆外切，进而列式计算即可. 【详解】由圆A：，则圆心为，半径为， 圆B：，圆心为，半径为， 由于两圆有3条公共切线，则两圆外切， 所以，则，解得或5. 故答案为：或5. 圆的切线问题 （1）圆的切线方程的求法 ①点在圆上， 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． （2）常见圆的切线方程 过圆上一点的切线方程是； 过圆上一点的切线方程是． 过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论． 【变式6-1】（2026·天津西青·联考）圆与恰有三条公切线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公切线条数，确定两圆的位置关系，即可求解. 【详解】由条件可知，两圆相外切，所以，解得：. 故选：D 【变式6-2】已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是 ． 【答案】3或 【分析】由题意可得两圆内切，然后求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，由圆心距等于两半径的差列方程求解即可. 【详解】因为两圆有一条公切线，所以两圆内切． 圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 而两圆圆心距，即， 解得的值为3或． 故答案为：3或 【变式6-3】如图，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则下列说法错误的是（    ）    A．曲线与轴围成的面积等于 B．曲线上有5个整点（横纵坐标均为整数的点） C．所在圆的方程为 D．与的公切线方程为 【答案】A 【分析】数形结合判断A、B；根据圆心坐标、半径写出所在圆的方程判断C；确定所在圆的圆心和半径，设公切线为且，应用点线距离公式求参数即得直线方程判断D. 【详解】由已知点坐标知：曲线与轴围成图形为1个半圆、2个四分之一圆及一个长方形，且圆的半径都为1， 由题意，面积为，A错； 由图知：曲线上除为整点，还有，共5个整点，B对； 由上，所在圆的半径为1，圆心为，对应圆的方程为，C对； 由题意，所在圆的方程为，故圆心为， 由图知：与公切线斜率存在且为负，设为且， 所以，可得，即公切线方程为，D对. 故选：A 1．（2025·天津武清·模拟预测）双曲线的右焦点为，设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设，运用中点坐标公式表示点，由，以及斜率公式解方程组可得，将点A的坐标代入双曲线的方程，结合的关系，求得，即可得离心率. 【详解】由题意，，设， 则，， 因为原点O在以线段为直径的圆上，可得， 所以，即①， 又直线的斜率，可得②， 联立①②可得，即， 又点在双曲线上，可得， 又，解得，所以. 故选：B. 2．（2025·天津河西·模拟预测）已知抛物线的焦点为，圆，过点作直线，当圆心到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 【答案】 【分析】求出抛物线的焦点以及圆心的坐标，分析可知当时，圆心到直线的距离最大时，求出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程. 【详解】对于抛物线，则，，所以，故其焦点为， 圆的标准方程为，圆心为， 当时，圆心到直线的距离最大时， 因为，此时直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故答案为：. 3．（2025·天津·二模）已知圆，过点作圆O的切线l，直线l与双曲线的一条渐近线平行，若双曲线上一点M到双曲线左、右焦点的距离之差的绝对值为，则点M到双曲线两条渐近线的距离之积为 . 【答案】/0.75 【分析】判断出在圆上，得到切线方程，从而，结合双曲线定义得到，求出双曲线方程为，设，则，由点到直线距离公式进行求解，得到答案. 【详解】由于，故在圆上， 其中，由垂直关系可得切线l的斜率为， 由渐近线方程的斜率为得， 由双曲线定义可知，解得， 故，双曲线方程为，两渐近线方程为， 设，则， 点M到双曲线两条渐近线的距离之积为. 故答案为： 4．（2025·天津河西·二模）已知抛物线的焦点为，圆：，过点作直线与圆交于两点，且为的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】求出抛物线焦点坐标和圆心坐标，依题意可得，求得直线的斜率为可得其方程. 【详解】易知抛物线的焦点为， 将圆化为标准方程，圆心，半径，如下图所示： 若为的中点，结合圆的性质可知， 易知，所以直线的斜率为， 因此直线的方程为，即. 故答案为： 5．（2025·天津·二模）以抛物线的焦点为圆心，且过点的圆与直线相交于，两点，则 . 【答案】 【分析】根据题意写出圆心，再根据圆心与圆上一点的距离为半径写出圆的方程，根据圆截直线的弦长求解即可. 【详解】 抛物线的焦点为，即圆心为， 且圆过点，则，所以圆的方程为. 圆心到直线的距离， 圆截直线的弦长为. 故答案为：. 6．（2025·天津和平·二模）已知点P，Q在直线l：上运动，点H在圆C：上，且有，则的面积的最大值为 . 【答案】3 【分析】利用圆的性质求出点到直线距离的最大值，进而求出面积的最大值. 【详解】圆C：的圆心，半径， 则点到直线的距离， 因此圆上的点到直线距离的最大值为，又， 所以的面积的最大值为. 故答案为：3 7．（2024·天津南开·二模）过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为 . 【答案】150° 【分析】根据两直线垂直和得到直线l的斜率，从而得到l的倾斜角. 【详解】由题意得，直线与直线l垂直， 因为，故l的斜率为， 故l的倾斜角为150° 故答案为：150° 8．（2024·天津·二模）设直线和圆相交于两点.若，则实数 . 【答案】 【分析】由于，可知圆心到直线的距离，进而可得解. 【详解】    如图所示，由已知，即， 可得，半径， 又，所以，即为等腰直角三角形， 所以圆心到直线得距离， 即，且，解得：； 故答案为：. 9．（2024·天津·二模）已知直线与圆交于两点，直线垂直平分弦，则的值为 ． 【答案】2 【分析】利用圆的性质，两直线位置关系计算即可. 【详解】由题意可知，即圆心， 又直线垂直平分弦，所以过圆心， 所以. 故答案为：2 10．（2024·天津河北·一模）过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为交另一条渐近线于点，且点在点之间，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设渐近线的倾斜角为，则，由点到直线的距离和双曲线的性质得到，再由题中几何关系得到，解方程即可求出. 【详解】 设渐近线的倾斜角为，则， 又到渐近线的距离为， 又，所以， 所以，所以， 所以， 即，解得， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：B. 11．（2025·天津宝坻·二模）抛物线的焦点恰好是圆的圆心，过点且倾斜角为的直线与交于不同的A，B两点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得：，，联立方程利用韦达定理求，进而得出圆心及半径即可求解． 【详解】由题意知，焦点，则抛物线， 直线，设，， 联立消去y并整理得，则，所以 所以． 则以线段AB为直径的圆的圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为 故答案为：． 12．（2025·天津·二模）已知圆，抛物线，斜率大于的直线与圆和抛物线都相切，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，由以及圆心到直线的距离等于圆的半径，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出直线的方程. 【详解】设直线的方程为，联立可得， 因为直线与抛物线相切，可得①， 又直线与圆相切，得，整理得②， 联立①②，得，或． 当时，得，不符合题意；当时，得（负值舍去）， 故直线的方程为． 故答案为：． 13．（2025·天津河西·一模）已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则 ． 【答案】 【分析】先根据抛物线的定义求出点的坐标，再将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，最后根据切线的性质，利用勾股定理求值. 【详解】在抛物线中，，则，所以焦点，准线方程为． 设点，根据抛物线的定义，可得， 解得．把代入，得， 因为，所以，即． 圆，圆心为，半径， 故． 故答案为：． 14．（2025·天津·模拟预测）已知过抛物线C：的焦点F作斜率为正数的直线n交抛物线的准线l于点P，交抛物线于A，B（A在线段PF上），，则以线段AB为直径的圆被y轴截得弦长为 【答案】 【分析】设，，联立抛物线并应用韦达定理，结合得、，进而得到，应用抛物线定义求、中点为的横坐标，最后应用几何法求弦长即可. 【详解】由题意，可得如下示意图，，令，，    联立，则，显然，则，， 联立，则，可得，结合，则，即， 所以，可得， 又，故圆的半径为4， 若中点为，则， 所以以线段AB为直径的圆被y轴截得弦长为. 故答案为： 15．（2024·天津河西·模拟预测）已知点为圆上一点，点，当变化时线段AB长度的最小值为 . 【答案】 【分析】根据圆的方程得到圆心的轨迹，然后根据几何知识得到当时线段的长度最小， 然后求线段的长度即可. 【详解】 圆的圆心坐标为，半径，所以圆心在直线：上， 当时线段的长度最小， 点到直线的距离， 所以. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 直线与圆目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题破译】 题型01 求直线方程的两种方法 题型02 两条直线的位置关系 题型03 对称问题 题型04 直线的综合问题 题型05 直线与圆相交 题型06 圆的公切线问题 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 求直线方程的两种方法 【例1-1】（2026·天津静海·月考）已知圆的圆心是直线与直线的交点，又圆与圆：相外切．点 (1)求过点与垂直的直线方程； (2)求圆的标准方程； (3)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【例1-2】（2026·天津静海·月考）过的直线与圆交于两点，当弦长度最短时，直线的方程是（　　） A． B． C． D． 求直线方程的两种方法 【变式1-1】（2026·天津南开·月考）已知，，若曲线和线段有公共点，则实数的取值范围是 . 【变式1-2】（2026·天津滨海新·月考）已知圆，直线，直线恒过定点坐标 ；则直线截圆所得弦长的最小值为 . 【变式1-3】（2026·天津津南·月考）若曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 题型02 两条直线的位置关系 【例2-1】（2026·天津静海·月考）已知直线与平行，则的值为 ． 【例2-2】（2026·天津滨海新·月考）已知两条平行直线，则和间的距离为（   ） A． B． C． D． 由一般式确定两直线位置关系的方法 判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设（不全为0），（不全为0），则： 当时，直线相交； 当时，直线平行或重合，代回检验； 当时，直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆． 【变式2-1】（2026·天津滨海新·月考）已知直线的斜率为，直线，且直线在轴上的截距为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·天津南开·开学考试）已知直线与互相垂直，则实数的值为 . 【变式2-3】（2026·天津和平·联考）已知直线：与：相互平行，则与之间的距离为 . 题型03 对称问题 【例3-1】（2026·天津·联考）已知，直线恒过定点，圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为 . 【例3-2】（2026·天津南开·联考）若，分别为圆：与圆：上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（   ）. A．12 B．9 C．6 D． 对称问题的求解方法 (1)点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)， 则有 (2)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 【变式3-1】（2026·天津静海·月考）已知直线和点. (1)在直线上求一点，使的值最小； (2)直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程. (3)已知的顶点，直线为边中线所在的直线方程，的角平分线所在直线方程为，求直线的方程； 【变式3-2】（2026·天津滨海新·月考）在平面直角坐标系中，已知点，点，为直线上一动点，则的最小值是 ，对应点的坐标是 ． 【变式3-3】（2025·天津滨海新·联考）已知直线和两点，若直线上存在点P使得最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型04 直线的综合问题 【例4-1】（2026·天津蓟州·月考）已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为 . 【例4-2】（2026·天津武清·月考）若直线与圆交于两点，则的最小值为 ． 处理直线方程综合应用的两大策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值． (2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”． 【变式4-1】（2026·天津滨海新·月考）已知直线和圆，为坐标原点. (1)直线与圆相切时，求的值； (2)当时，为直线上的动点，过作圆的切线，切点为，求的最小值； (3)直线与圆相交于两点，的面积为，求直线的方程. 【变式4-2】（2026·天津津南·月考）已知两点，，直线：与延长线段得到的以B为端点的射线（不含点）相交，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·天津·联考）在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为 . 题型05 直线与圆相交 【例5-1】（2026·天津·月考）过原点的一条直线与圆相切，交焦点为的抛物线于异于原点的点，若，则的值为 . 【例5-2】（2026·天津和平·月考）已知直线与圆有公共点，则实数的取值范围为 ． 直线与圆的相交问题 （1）研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长、弦心距和半径之间形成的数量关系． （2）弦长问题 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 【变式5-1】（2026·天津南开·月考）已知圆和圆，则下列结论中正确的是（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【变式5-2】（2026·天津武清·月考）若对圆上任意一点，的取值与x、y无关，则实数a的取值范围是 . 【变式5-3】（2026·天津津南·月考）若圆：与圆：相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，点是直线：上的动点，过点作圆的切线，切点为，，那么的最小值是（   ） A．2 B． C． D． 题型06 圆的公切线问题 【例6-1】（2026·天津武清·月考）在平面直角坐标系中，已知圆与圆，则两圆的公切线的条数是 ． 【例6-2】（2026·天津·联考）已知圆A：和圆B：有3条公共切线，则实数m的值是 . 圆的切线问题 （1）圆的切线方程的求法 ①点在圆上， 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． （2）常见圆的切线方程 过圆上一点的切线方程是； 过圆上一点的切线方程是． 过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论． 【变式6-1】（2026·天津西青·联考）圆与恰有三条公切线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是 ． 【变式6-3】如图，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则下列说法错误的是（    ）    A．曲线与轴围成的面积等于 B．曲线上有5个整点（横纵坐标均为整数的点） C．所在圆的方程为 D．与的公切线方程为 1．（2025·天津武清·模拟预测）双曲线的右焦点为，设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 2．（2025·天津河西·模拟预测）已知抛物线的焦点为，圆，过点作直线，当圆心到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 3．（2025·天津·二模）已知圆，过点作圆O的切线l，直线l与双曲线的一条渐近线平行，若双曲线上一点M到双曲线左、右焦点的距离之差的绝对值为，则点M到双曲线两条渐近线的距离之积为 . 4．（2025·天津河西·二模）已知抛物线的焦点为，圆：，过点作直线与圆交于两点，且为的中点，则直线的方程为 . 5．（2025·天津·二模）以抛物线的焦点为圆心，且过点的圆与直线相交于，两点，则 . 6．（2025·天津和平·二模）已知点P，Q在直线l：上运动，点H在圆C：上，且有，则的面积的最大值为 . 7．（2024·天津南开·二模）过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为 . 8．（2024·天津·二模）设直线和圆相交于两点.若，则实数 . 9．（2024·天津·二模）已知直线与圆交于两点，直线垂直平分弦，则的值为 ． 10．（2024·天津河北·一模）过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为交另一条渐近线于点，且点在点之间，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·天津宝坻·二模）抛物线的焦点恰好是圆的圆心，过点且倾斜角为的直线与交于不同的A，B两点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为 ． 12．（2025·天津·二模）已知圆，抛物线，斜率大于的直线与圆和抛物线都相切，则直线的方程为 ． 13．（2025·天津河西·一模）已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则 ． 14．（2025·天津·模拟预测）已知过抛物线C：的焦点F作斜率为正数的直线n交抛物线的准线l于点P，交抛物线于A，B（A在线段PF上），，则以线段AB为直径的圆被y轴截得弦长为 15．（2024·天津河西·模拟预测）已知点为圆上一点，点，当变化时线段AB长度的最小值为 . 学科网（北京）股份有限公司10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $