专题20 排列组合与二项式定理（题型专练）（天津专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题20 排列组合与二项式定理目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题破译】 题型01 特殊元素（位置）的应用及解题技巧 题型02 定序倍缩法的应用及解题技巧 题型03 平均分组分配及部分平均分组分配的应用 题型04 三项展开式的应用及解题技巧 题型05 二项式乘积的应用及解题技巧 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 特殊元素（位置）的应用及解题技巧 【例1-1】（2026·天津·联考）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（    ）种. A．120 B．60 C．24 D．36 【例1-2】（2025·天津·联考）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡.现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 首先，要明确题目中的特殊元素或位置，如某个特定数字、颜色、形状等，或者是某个特定的位置，如首位、末位等。这些特殊元素或位置往往对排列组合的结果产生决定性影响。 其次，根据特殊元素或位置的性质，灵活运用排列组合的基本原理进行求解。例如，如果特殊元素不能相邻，则可以采用插空法；如果特殊元素必须相邻，则可以将它们看作一个整体进行排列，然后再考虑整体与其他元素的排列。 此外，还需要注意题目中的其他条件，如元素的总数、不同元素的数量等，这些条件也会对排列组合的结果产生影响。在解题过程中，要综合考虑所有条件，灵活运用各种技巧进行求解。 通过大量练习和积累，可以逐渐掌握特殊元素（位置）的应用技巧，提高解题能力和效率。 【变式1-1】（2025·天津西青·联考）据典籍《周礼·春官》记载， “宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全部用上，排成一个五音阶音序，则“徵”和“羽”之间恰好有一个音阶的排法种数为 种.(用数字作答) 【变式1-2】（2025·天津滨海新·联考）有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起，则不同的站法有（   ） A．8种 B．12种 C．20种 D．24种 【变式1-3】（2025·天津和平·联考）有七名志愿者参加社区服务，共服务星期一､星期二两天，这两天每天从中任选两人参加服务，则两天服务中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（    ） A．100 B．120 C．200 D．210 题型02 定序倍缩法的应用及解题技巧 【例2-1】（2026·天津东丽·开学考试）某校团委举办《在青春的赛道上，我们都是追光者》主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件为“高一年级2人不相邻”，事件为“高二年级3人相邻”，则 . 【例2-2】（2025·天津·月考）有位老师和名学生排成一队照相，老师要求相邻且不排在两端，则不同的排法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A. 【变式2-1】（2025·天津·联考）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的个数是（   ） ①如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种 ②最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种 ③甲乙不相邻的排法种数为种 ④甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种 A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2-2】（2025·天津滨海新·联考）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”．现有3名男生（甲、乙、丙）和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)男生甲坐第一个，女生都不坐最后一个的坐法有多少种？ (3)甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有多少种？ (4)男生有两人相邻且都不与第三位男生相邻的坐法有多少种？ 【变式2-3】（2025·天津滨海新·联考）中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备连排六节课，每艺一节，排课有如下要求：“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有 种. 题型03 平均分组分配及部分平均分组分配的应用 【例3-1】（2026·天津滨海新·月考）下列说法正确的有（   ） ①数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为11，中位数为6； ②一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等； ③若随机变量，满足，则，； ④一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3-2】（2026·天津东丽·开学考试）甲、乙、丙三位教师指导六名学生a、b、c、d、e、f参加全国高中数学联赛，若每位教师至少指导一名学生，其中甲指导三名学生，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．150 D．240 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 【变式3-1】（2025·天津东丽·联考）第三届无人机大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，每个工作至少有一人参加，若小张､小赵只能从事安保工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 种. 【变式3-2】（2025·天津和平·联考）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程.甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择 （1）若甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种. （2）若定义事件A为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 . 【变式3-3】（2025·天津·联考）2025年，上海合作组织峰会、2025夏季达沃斯论坛双主场齐聚天津！现需将6名工作人员安排到“内宾接待”、“会议保障”、“媒体宣传”三项工作，每人必须安排且只能安排一项工作，若“内宾接待”安排2名工作人员，“会议保障”、“媒体宣传”至少安排1名工作人员，则不同的安排方法有 种（用数字作答）；若三项工作各安排2人，则甲和乙安排相同工作的概率为 ． 题型04 三项展开式的应用及解题技巧 【例4-1】（2025·天津静海·三模）的展开式中，的系数是 . 【例4-2】（2025·天津武清·模拟预测）（2025·天津·月考）已知的展开式中的常数项为，则 . 三项展开式的解题技巧是不要用二项式定理去解两次，而应该从数学意义的角度看做多少个式子相乘，直接当做排列组合求解，可秒解。 【变式4-1】（2025·天津河西·联考）在的二项式展开式中的系数为90，则 . 【变式4-2】（2025·天津滨海新·三模）在的展开式中的系数是 . 【变式4-3】（2025·天津·一模）在的展开式中，含项的系数为 . 题型05 二项式乘积的应用及解题技巧 【例5-1】（2025·天津西青·联考）的展开式中的系数是（    ） A．0 B．2 C．4 D．10 【例5-2】（2025·天津·模拟预测）的展开式中的系数为 （用数字作答）. 二项式乘积的解题技巧是先相乘，再结合二项式定理的通项公式求解即可。 【变式5-1】（2025·天津河西·模拟预测）的展开式中的系数为 . 【变式5-2】的展开式中的常数项是（    ） A．12 B．8 C． D． 【变式5-3】（2025·天津南开·联考）已知的展开式中所有项的二项式系数和为，各项系数和为． (1)求和的值及展开式中项的系数； (2)求的展开式中的常数项． 1．（2025·天津南开·模拟预测）在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 2．（2025·天津·二模）在的展开式中，的系数为 ． 3．（2025·天津红桥·模拟预测）在的二项展开式中，x的系数为 ． 4．（2025·天津和平·三模）若二项式的展开式中，的系数为，则 ． 5．（2025·天津和平·三模）下列结论中不正确的是（   ） A．已知随机变量，若，则 B．用决定系数来刻画回归的效果时，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好 C．用0，1，2，3四个数字，组成有重复数字的三位数的个数为30 D．经验回归直线至少经过样本数据点中的一个点 6．（2025·天津河东·二模）在的二项展开式中，含的项的系数是 .（用数字作答） 7．（2025·天津和平·二模）在的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 8．（2025·天津·一模）二项式的展开式中，项的系数是 ．（用数字填写答案） 9．（2025·天津和平·一模）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 10．（2025·天津·一模）某中学组建了，，，，五个不同的社团，旨在培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只能参加一个社团．假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，且结果互不影响．记事件为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团”，则 ；若甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团的概率为 ． 11．（2024·天津和平·二模）为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组织同学从推荐的课外读物中进行选读．活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 12．（2024·天津南开·二模）在的展开式中，的系数为 . 13．（2024·天津河西·三模）已知递增数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）求． 14．（2024·天津·模拟预测）在的展开式中，的系数为，则实数为 . 15．（2024·全国·模拟预测）某高中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展，决定每天减少一节学科类课程，增加一节活动课，为此学校开设了传统武术、舞蹈、书法、小提琴4门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，从高一到高三3个学年将4门选修课程学完，则每位同学的不同选修方式有 种，若已知某同学高一学年只选修了舞蹈与书法两门课程，则这位同学高二学年结束后就修完所有选修课程的概率为 ． 学科网（北京）股份有限公司10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 排列组合与二项式定理目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题破译】 题型01 特殊元素（位置）的应用及解题技巧 题型02 定序倍缩法的应用及解题技巧 题型03 平均分组分配及部分平均分组分配的应用 题型04 三项展开式的应用及解题技巧 题型05 二项式乘积的应用及解题技巧 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 特殊元素（位置）的应用及解题技巧 【例1-1】（2026·天津·联考）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（    ）种. A．120 B．60 C．24 D．36 【答案】D 【分析】根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分为2种情况讨论，结合排列组合，即可求解. 【详解】根据题意可分为2种情况讨论： （i）若小张或小赵只有一人入选，则有种不同的选派方案； （ii）若小张，小赵都入选则有种不同的选派方案， 综上可得，共有种不同的选派方案. 故选：D 【例1-2】（2025·天津·联考）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡.现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理，先排最后一关，然后再排第二、三关即可. 【详解】因为甲负责第一关，且最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡， 所以先从除甲之外的4人中选两人负责最后一关，共有种， 然后再将剩余2人分配到第二、三关，共有2种， 所以，满足条件的参赛方案有种. 故选：B 首先，要明确题目中的特殊元素或位置，如某个特定数字、颜色、形状等，或者是某个特定的位置，如首位、末位等。这些特殊元素或位置往往对排列组合的结果产生决定性影响。 其次，根据特殊元素或位置的性质，灵活运用排列组合的基本原理进行求解。例如，如果特殊元素不能相邻，则可以采用插空法；如果特殊元素必须相邻，则可以将它们看作一个整体进行排列，然后再考虑整体与其他元素的排列。 此外，还需要注意题目中的其他条件，如元素的总数、不同元素的数量等，这些条件也会对排列组合的结果产生影响。在解题过程中，要综合考虑所有条件，灵活运用各种技巧进行求解。 通过大量练习和积累，可以逐渐掌握特殊元素（位置）的应用技巧，提高解题能力和效率。 【变式1-1】（2025·天津西青·联考）据典籍《周礼·春官》记载， “宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全部用上，排成一个五音阶音序，则“徵”和“羽”之间恰好有一个音阶的排法种数为 种.(用数字作答) 【答案】 【分析】由插空法，捆绑法结合分步计数原理可得答案. 【详解】先从剩下3个音符中选一个插入“徵”和“羽”之间，有种情况. 再将这3个音符作为整体与剩下2个音符排成1列，有种情况. 故答案为： 【变式1-2】（2025·天津滨海新·联考）有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起，则不同的站法有（   ） A．8种 B．12种 C．20种 D．24种 【答案】D 【分析】由分步乘法原理，特殊的先排可得. 【详解】先选男生甲的位置，有2种； 再将两名女生绑定排列有2种，然后与剩余同学全排列有种； 由分步乘法原理可得共有种. 故选：D. 【变式1-3】（2025·天津和平·联考）有七名志愿者参加社区服务，共服务星期一､星期二两天，这两天每天从中任选两人参加服务，则两天服务中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（    ） A．100 B．120 C．200 D．210 【答案】D 【分析】分两步完成，第一步确定哪一个人连续参加两天服务，第二步则确定另外安排的一人，即可求解. 【详解】先从7人中任选1人参加两天的服务，再从余下的6人中选2人参加两天的服务（每人各1天）， 所以两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为. 故选：D. 题型02 定序倍缩法的应用及解题技巧 【例2-1】（2026·天津东丽·开学考试）某校团委举办《在青春的赛道上，我们都是追光者》主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件为“高一年级2人不相邻”，事件为“高二年级3人相邻”，则 . 【答案】/ 【分析】利用插空法求出事件的排法，再使用捆绑法和插空法求出事件的排法，利用条件概率公式计算得到. 【详解】由题意，先将高二和高三年级的5个人全排列，有种排法，将高一年级2人进行插空，有种排法， 所以事件 “高一年级2人不相邻”的排法有种排法. 将高二年级3人进行全排列，有种排法，再将高二年级3人看作一个整体，和高三年级的2人进行全排列，有种排法， 排好后，将高一年级的2人进行插空，有种排法，所以事件共有种排法. 所以，. 故答案为：. 【例2-2】（2025·天津·月考）有位老师和名学生排成一队照相，老师要求相邻且不排在两端，则不同的排法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】利用捆绑法、插空法结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】将名学生随机排列，共有种排法， 再将位老师捆绑，形成一个大元素，然后将这个大元素插入名学生中间形成的个空位中的个， 由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种. 故选：A. 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A. 【变式2-1】（2025·天津·联考）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的个数是（   ） ①如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种 ②最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种 ③甲乙不相邻的排法种数为种 ④甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】结合分类与分步计数原理，根据特殊元素特殊位置有限原则、捆绑法、插空法以及部分定序法分别判断各个命题. 【详解】甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，则将甲与乙看成一个整体，则那么不同的排法有种，①正确； 若最左端排甲，则有种排法，若最左端排乙，最右端不能排甲，则有种，所以不同的排法共有种，②正确； 甲乙不相邻，先排其余三人，共有种排法，再将甲乙插入到三人所成的个空位，有种排法，所有不同的排法共有种，③正确； 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，④错误； 故选：D. 【变式2-2】（2025·天津滨海新·联考）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”．现有3名男生（甲、乙、丙）和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)男生甲坐第一个，女生都不坐最后一个的坐法有多少种？ (3)甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有多少种？ (4)男生有两人相邻且都不与第三位男生相邻的坐法有多少种？ 【答案】(1)576 (2)240 (3)3720 (4)2880 【分析】（1）根据排列中的相邻元素用捆绑法求解即可； （2）根据排列问题的特殊元素优先安排结合分步乘法计数原理求解即可； （3）根据排列问题的特殊元素优先安排分步乘法计数原理求解即可； （4）根据相邻元素捆绑，不相邻元素插空安排，结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】（1）先将4名女生排在一起，有种排法， 将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种排法； （2）从剩下的2名男生中选一位坐在最后一个座位，有2种排法， 因为男生甲坐第一个，则剩下的5人进行全排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种排法； （3）7个人全排列，有种排法， 甲坐第一个有种排法，乙坐第三个有种排法，甲坐第一个且乙坐第三个有种排法， 所以甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有种排法； （4）先排4名女生，有种排法， 从3名男生中选出2名男生相邻并看成一个整体，有种选法， 4名女生排好后产生5个空位，把男生整体和另一名男生插入5个空位中，有种插法， 根据分步乘法计数原理，共有种坐法． 【变式2-3】（2025·天津滨海新·联考）中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备连排六节课，每艺一节，排课有如下要求：“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有 种. 【答案】144 【分析】本题需要分步处理排列条件，首先将“射”与“御”捆绑为一个整体，然后结合插空法求解可得. 【详解】由题意知：“乐”与“书”不能相邻，“射”与“御”要相邻， 可将“射”与“御”进行捆绑看成一个整体，共有种. 然后与“礼”、“数”进行排序，共有种. 最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有种. 由于是分步进行，所以共有种. 故答案为：144. 题型03 平均分组分配及部分平均分组分配的应用 【例3-1】（2026·天津滨海新·月考）下列说法正确的有（   ） ①数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为11，中位数为6； ②一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等； ③若随机变量，满足，则，； ④一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由百分位数的定义即可得出①正确，由标准差定义判断②正确，由随机变量的数学期望及方差性质判断③错误，由排列组合求解分组分配可知④正确. 【详解】①：由，得第75百分位数为第5个数，即11，中位数为，故①正确． ②：根据标准差定义，一组数据的标准差 时， 显然有，故②正确． ③：若随机变量，满足，则， ，故③错误； ④：一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队， 男医生人，女医生人， 现将这5人分配去三个医院指导工作， 每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，且女医生去同一个医院， 三个医院人数可以为，共有种分配方式； 三个医院人数可以为，共有种分配方式； 综上，共有种分配方式，故④正确； 故选：C 【例3-2】（2026·天津东丽·开学考试）甲、乙、丙三位教师指导六名学生a、b、c、d、e、f参加全国高中数学联赛，若每位教师至少指导一名学生，其中甲指导三名学生，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．150 D．240 【答案】B 【分析】先选名学生分配给甲，再将剩余人分成两组分配给乙、丙，由分步乘法计数原理可得. 【详解】第一步，从六名学生中选名，分配给甲指导，有种不同的方法， 第二步，将剩余名学生分成两组，分配给乙、丙指导，有种不同的方法， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方案共有种. 故选：B. 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 【变式3-1】（2025·天津东丽·联考）第三届无人机大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，每个工作至少有一人参加，若小张､小赵只能从事安保工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 种. 【答案】12 【分析】结合排列和组合数直接求解即可． 【详解】由题意知小张或小赵只有一人入选，且只能从事安保工作，其余三人从事不同工作， 则有不同的选派方案． 故答案为：12． 【变式3-2】（2025·天津和平·联考）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程.甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择 （1）若甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种. （2）若定义事件A为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 . 【答案】 30 【分析】（1）把4人分成3组，再分配课程，减去甲乙选择同一课程的情况即可；（2）在丙丁恰有1人选择“九章算术”时，按只有1人、有2人选择“九章算术”分类求出事件含有的基本事件数即可. 【详解】（1）四个人参加三门选修课程共有种方案，其中甲和乙选择的课程相同共有种方案， 所以甲和乙选择的课程不同共有种方案； （2）“九章算术”只有1人选择，共有种方案； “九章算术”有2人选择，共有，因此事件发生的方案种数为， 所以. 故答案为：30； 【变式3-3】（2025·天津·联考）2025年，上海合作组织峰会、2025夏季达沃斯论坛双主场齐聚天津！现需将6名工作人员安排到“内宾接待”、“会议保障”、“媒体宣传”三项工作，每人必须安排且只能安排一项工作，若“内宾接待”安排2名工作人员，“会议保障”、“媒体宣传”至少安排1名工作人员，则不同的安排方法有 种（用数字作答）；若三项工作各安排2人，则甲和乙安排相同工作的概率为 ． 【答案】 210 / 【分析】根据分组分配先将6人分成三组，再进行分配即可求得不同的安排方法；再利用古典概型计算可得所求概率. 【详解】根据题意可将6名工作人员分成三组，符合题意的分组为2，1，3或2，2，2； 因此不同的安排方法有种； 若三项工作各安排2人，共有种， 则甲和乙安排相同工作的方法有种， 所以甲和乙安排相同工作的概率为. 故答案为：210，. 题型04 三项展开式的应用及解题技巧 【例4-1】（2025·天津静海·三模）的展开式中，的系数是 . 【答案】6 【分析】利用组合方法求出通项，然后可得. 【详解】对于的展开式，依据排列组合知识， 相当于从这3个因式中选出个因式取元素， 再从剩下的个因式中选出个因式取元素， 最后再从剩下的个因式中取元素1. 根据分步乘法计数原理，可知选取的情况种数为. 所以可以得到的通项公式为： . 根据通项公式，可得的系数为. 故答案为：6 【例4-2】（2025·天津武清·模拟预测）（2025·天津·月考）已知的展开式中的常数项为，则 . 【答案】 【分析】写出展开式的常数项，即可得到方程，解得即可. 【详解】二项式的展开式中的常数项为， 则，解得或（舍去）， 所以. 故答案为： 三项展开式的解题技巧是不要用二项式定理去解两次，而应该从数学意义的角度看做多少个式子相乘，直接当做排列组合求解，可秒解。 【变式4-1】（2025·天津河西·联考）在的二项式展开式中的系数为90，则 . 【答案】 【分析】利用展开式的通项，令求出，进而求解. 【详解】因为的二项式展开式的通项为， 令，解得：，所以， 又因为的二项式展开式中的系数为90，则， 所以， 故答案为：. 【变式4-2】（2025·天津滨海新·三模）在的展开式中的系数是 . 【答案】 【分析】由题可知展开式的通项公式，进而可得. 【详解】因为的展开式中， 通项公式， 令，解得， 又， ∴的系数为. 故答案为：． 【变式4-3】（2025·天津·一模）在的展开式中，含项的系数为 . 【答案】6 【解析】利用二项展开式的通项公式即可得出结果. 【详解】， 其展开式的通项公式为：， 的展开式的通项公式为， 令，则有， 所以含项的系数为：， 故答案为：6. 题型05 二项式乘积的应用及解题技巧 【例5-1】（2025·天津西青·联考）的展开式中的系数是（    ） A．0 B．2 C．4 D．10 【答案】B 【分析】利用二项式展开式通项公式即可求解. 【详解】由的展开式中的项是：， 所以的展开式中的系数是， 故选：B. 【例5-2】（2025·天津·模拟预测）的展开式中的系数为 （用数字作答）. 【答案】 【分析】根据二项式的展开式，求指定项的系数即可. 【详解】由， 化简得， 当时，， 当时，， 所以得系数为. 故答案为： 二项式乘积的解题技巧是先相乘，再结合二项式定理的通项公式求解即可。 【变式5-1】（2025·天津河西·模拟预测）的展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算可得的展开式中项与项的系数，则可得的展开式中的系数. 【详解】对有， 则展开式中项的系数为， 展开式中项的系数为， 则展开式中的系数为. 故答案为： 【变式5-2】的展开式中的常数项是（    ） A．12 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】求出的通项公式，得到，，从而得到的展开式中常数项的值． 【详解】的通项公式为， 当时，．当时，， 故的展开式中常数项的值为． 故选：B． 【变式5-3】（2025·天津南开·联考）已知的展开式中所有项的二项式系数和为，各项系数和为． (1)求和的值及展开式中项的系数； (2)求的展开式中的常数项． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）二项式系数和为即可求出，再令可得各项系数和，即可求出，写出展开式的通项，利用通项求出项的系数； （2）由，利用（1）中的通项计算可得. 【详解】（1）因为的展开式中所有项的二项式系数和为，所以，解得； 所以，令可得，解得； 所以展开式的通项为：， 令，解得， 所以项的系数为； （2） ， ①当即时，； ②当即时，； 所求的常数项为． 1．（2025·天津南开·模拟预测）在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】先找到的展开式通项为，再由乘法分配律得展开式中的系数为，即可得解. 【详解】, 因为的展开式通项为， 令或，解得：或， 所以的系数为：. 故答案为：. 2．（2025·天津·二模）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】135 【分析】由二项式定理写出通项，根据题意，利用赋值，结合组合数，可得答案. 【详解】由的展开式的通项为， 令，解得，则的系数为. 故答案为：. 3．（2025·天津红桥·模拟预测）在的二项展开式中，x的系数为 ． 【答案】/ 4．（2025·天津和平·三模）若二项式的展开式中，的系数为，则 ． 【答案】 【分析】求解二项式展开式的通项，确定的系数列方程即可得的值. 【详解】二项式的展开式的通项为：， 当可得的系数为，所以， 因为，所以. 故答案为：. 5．（2025·天津和平·三模）下列结论中不正确的是（   ） A．已知随机变量，若，则 B．用决定系数来刻画回归的效果时，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好 C．用0，1，2，3四个数字，组成有重复数字的三位数的个数为30 D．经验回归直线至少经过样本数据点中的一个点 【答案】D 【分析】由二项分布的期望与方差公式即可判断A；由决定系数的概念即可直接判断B；由分布乘法计数原理及间接法即可判断C；由经验回归方程有关性质即可直接判断D. 【详解】对于A，由二项分布的方差公式可知， 所以，所以， 所以二项分布的期望为，故A正确； 对于B，用来刻画回归效果，的值越接近于1，说明模型的拟合效果越好，的值越接近于0，说明模型的拟合效果越差，故B正确； 对于C，百位数字不能为0，有3种选择，个位和十位各有4种选择，利用分布乘法计数原理可得组成三位数的个数有种方法，其中没有重复数字的三位数的个数有种方法，所以组成有重复数字的三位数的个数为，故C正确； 对于D，在回归分析中，回归直线一定经过样本中心点，但不一定会经过样本数据点中的任何一个，故D错误； 故选：D. 6．（2025·天津河东·二模）在的二项展开式中，含的项的系数是 .（用数字作答） 【答案】84 【分析】先得到通项，再根据系数得到项数，然后计算即可. 【详解】根据二项式定理,的通项为: ， 当时,即时,可得. 即项的系数为. 故答案为：. 7．（2025·天津和平·二模）在的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 【答案】 【分析】由二项式展开式的通项公式，令的次数为，求出的值，代入通项公式中可求得常数项. 【详解】展开式的通项为， 令，得， 所以常数项为． 故答案为：. 8．（2025·天津·一模）二项式的展开式中，项的系数是 ．（用数字填写答案） 【答案】 【分析】根据二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】二项展开式的通项公式为， 令，得， 所以项的系数是. 故答案为： 9．（2025·天津和平·一模）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【分析】利用二项式定理，求得二项展开式的通项，把含x的进行幂运算合并，然后令指数等于7，即可求解. 【详解】因为的通项为， 令，得， 所以的系数为． 故答案为：. 10．（2025·天津·一模）某中学组建了，，，，五个不同的社团，旨在培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只能参加一个社团．假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，且结果互不影响．记事件为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团”，则 ；若甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团的概率为 ． 【答案】 【分析】首先求出甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团的事件数，及恰巧甲参加社团的事件数，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意甲、乙、丙三名学生选择社团的可能结果有个， 若甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团，则有种选择，所以； 甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团，则有种选择， 所以甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团的概率. 故答案为：； 11．（2024·天津和平·二模）为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组织同学从推荐的课外读物中进行选读．活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【答案】B 【分析】根据题意，首先选取种相同课外读物，再选取另外两种课外读物，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析： 首先选取种相同课外读物的选法有种， 再选取另外两种课外读物需不同，则共有种， 所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有种． 故选：B． 12．（2024·天津南开·二模）在的展开式中，的系数为 . 【答案】/ 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对有， 则有， 即，的系数为. 故答案为：. 13．（2024·天津河西·三模）已知递增数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据的关系式，采用相减的方法，结合数列性质，即可求得答案； （2）（i）根据已知等式，结合组合数性质，利用倒序相加法，即可求得答案；（ii）求出的表达式，利用裂项相消法，即可求得答案. 【详解】（1）因为，当时，，则； 当时，，则，即， 而为递增数列，故， 即为首项为2，公差为2的等差数列， 故； （2）（i）， 所以， ， 两式相加可得， 故数列的通项公式为； （ii）， 故. 14．（2024·天津·模拟预测）在的展开式中，的系数为，则实数为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项，再求出的系数即可得解. 【详解】二项式展开式的通项， 显然是偶数，由，解得，则有的项为， 因此，所以. 故答案为： 15．（2024·全国·模拟预测）某高中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展，决定每天减少一节学科类课程，增加一节活动课，为此学校开设了传统武术、舞蹈、书法、小提琴4门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，从高一到高三3个学年将4门选修课程学完，则每位同学的不同选修方式有 种，若已知某同学高一学年只选修了舞蹈与书法两门课程，则这位同学高二学年结束后就修完所有选修课程的概率为 ． 【答案】 54 / 【分析】利用分组分配的方法，计算求值；利用样本空间的方法，求条件概率. 【详解】由题意可得三个学年修完四门选修课程，每学年至多选2门， 则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，2，2． 先将4门选修课程按1，1，2分成三组，有种方式，再分到三个学年，有种不同方式， 由分步计数原理得，不同的选修方式共有种． 同理，将4门选修课程按0，2，2分成三组，再排列，有种， 所以共有种不同的选修方式； 若将“某同学高一学年只选修了舞蹈与书法两门课程”记为事件A，将“高二学年结束后就修完所有选修课程”记为事件B． 根据题意，满足事件A的所有选课情况共4种情况，其中包含高二选修完或高三选修完其他2门，或是高二，高三各选1门，共4种情况， 其中同时满足事件B的仅有1种情况．根据条件概率公式，可知所求概率为． 故答案为：54； 学科网（北京）股份有限公司10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $