数学一模突破卷02（江苏专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 粉 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][CI[D] 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分) 相 12. 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) C D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.己知命题p:e0),simx<x<tanr则p的否定是() sinx >x>tanx B.e) sinx<x<tanx c.e(-oyu5tm: sinr≥x≥tanx sinx≥x或x≥tanx 2.已知z= 2+i ∈R)在复平面内对应的点的横坐标为3，则m=() 1+i A.4 B.-4 C.3 D.-3 3.已知直线1：y=+m与圆C:r+y=4交于A,8两点，0为坐标原点，且∠AOB-牙，则实数m的 值为() A.±W2 B.±V5 C.±2 D.±V6 4.记Sn为数列{an}的前n项和，己知2a,=an-1+a+1(n≥2)，41=9，S,=45.当Sn最大时，n=（) A.9 B.10 C.9或10 D.10或11 5.设函数f(x)=√3sim(ar+,w>0在区间(0，)内恰有三条对称轴、两个零点，则o的取值范围是() 6 1/6 回学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A B.号 c.36 717 1310 D. 6'3 6.已知事件A,B,C的概率均不为0，下列说法正确的是() A.若P(AUB)=P(A)+P(B),则事件A与B为对立事件 B.若P(AUC)=P(BUC),则事件A与B为相互独立事件 C.若P(AB)=P(B卧A),则P(A)=P(B) D.若P(AB)=P(AB),则P(A)=P(B) 7.平面上到两个定点距离之比为常数(1>0，≠1)的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线 上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知平面向量a,i,。,满足日-=2，且1a+-2万， a++c1,则5+d+a+d的最小值为() A.5 B.√15 c.17 D.7 2 8.已知函数f(x)= 1-1,若对任意的正实数a,b满足了a+f(2b-2)=-2,则2+30中4的最小 2x1+1 a b 值是() B. 2 C.3 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列说法正确的有() A.等差数列{an}的前n项和Sn,若S。=100,S2o=300,则So=500 B.等比数列b},b=3,b=6,前n项和Tn=3(2”-1) C.数列{an}的前n项和S=2”-1,则{an}是等比数列 D.等差数列{a,}公差d≠0，若a,4,a成等比，则公比为 10.已知函数f)-ac-,其中a>0,则下列正确的是（) A.若a=1,则f(x)的单调减区间为(-o,1) B.f(x)的极小值为a(e--1),无极大值 C.当a∈(0,1)时，函数f(x)无零点 D.若方程e-a=x有两个实数解，则a>1 11.如图，正四棱锥P-ABCD与正四棱锥Q-ABCD的底面重合，且AP=AB=AO=2,M为棱BC上一 216 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 点，则() A.AP∥平面BCQ B.正四棱锥P-ABCD的体积为4 C.PM+OM的最小值为2√3 D.点D到平面PAB的距离为2y6 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数g(x)=ax-lnx+2,当xe(0,e]时，8(x)的最小值为4，实数a的值为一 13.如图是由九个半径相同的圆构成的图形（该图形不能旋转和翻转），若将1,2，，9九个数字分别填 入这九个圆中，且有阴影的圆中填的数字大于相邻的三个圆中所填的数字，则填法一共有种， 14、已知双曲线C誉若=1a0b>0的左、右焦点分划为只和只，O为坐标原点，过区作新近线 b y=bx的垂线，垂足为P,若∠PP0=工，则双曲线的离心率为 ;又过点P作双曲线的切线交另一 6 条渐近线于点O,且△OP2的面积S△oo=2√3，则该双曲线的方程为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=bcosA+√5 asinB,且a=2 (1)求A: (2)若点D在线段BC上，且满足AD= AB AC 求△ABC的面积. 316 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 16.(15分)为了了解全市高中学生体育锻炼情况，现准备在某高中进行抽样调查.已知该高中共有学生 1200人，其中男生720人.现按学生性别采用分层抽样方法抽取60人进行调查.调查中把每天锻炼时间 超过60分钟的学生称为锻炼积极者”，否则称为“锻炼不积极者”.已知在样本中：男性“锻炼积极者”共24 人，女性“锻炼积极者”共12人. (1)求抽取的60人中男生、女生各多少人， (2)从抽取的60人中随机选取一人，设事件A为“选到男生”，事件B为“选到锻炼积极者”，试判断事件A、 B是否相互独立，并说明理由. (3)用上面的样本估计总体，若从全市学生中抽取3人，记抽取的3人中“锻炼积极者的人数为X,求X的 分布列和数学期望， 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥PD,△PAB为等边三角形，四边形ABCD为直角梯形， AB//CD,AB L BC,AB=2CD=2. (1)证明：AB⊥PD: (②若直线PD与平面ABCD所成的角为？ (i)求四棱锥P-ABCD的体积： (ii)求二面角P-AD-C的余弦值. 4/6 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 8,(17分)已知曲线C+y=0<0.C+60v20,两曲线的离心率均为y 2 ,其中 1<a<4,A,A分别是C的左、右顶点. (1)分别求C,C2的方程. (2)已知Q是C1上一点，AQ,AQ分别交直线x=2和x=-2于M,N两点，以N为直径的圆记为圆D. ()判断圆D是否过定点，若过定点，求出定点的坐标：若不过，请说明理由. (i)P是C,上一点，当圆D的面积最小时，过点P作圆D的两条切线，切点为S,T,求△PST面积的取 值范围. 516 可学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(17分)设函数y=f(x)的定义域为D,导函数为y="(x),对于实数t,若存在x∈D,使得 f(t)=f(x)成立，则称函数y=∫(x)具有性质P(t) (1)若函数f(x)=x,请判断该函数是否具有性质P(1),并说明理由； (2)设a∈R,若函数f(x)=x3+a具有性质P(2),且x的值恰有三个，求a的取值范围； (3)若函数f(x)=e+x,求证：该函数具有性质P(t)的充要条件是t>0. 616 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知命题,则的否定是（    ） A．， B．， C．， D．，或 【答案】D 【分析】由全称命题的否定：将任意改存在并否定结论，即可写出原命题的否定. 【详解】已知命题,， 则命题的否定为：，或. 故选：D 2．已知在复平面内对应的点的横坐标为3，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法将整理为，则在复平面内对应的点为，故有，解出的值即可. 【详解】， ， 在复平面内对应的点为， 在复平面内对应的点的横坐标为3， ，. 故选：A. 3．已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，且，则实数的值为（   ） A． B． C．±2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用圆的性质，结合点到直线距离公式列式求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 由直线与圆交于两点，， 得圆心到直线的距离，则，所以. 故选：A 4．记为数列的前项和，已知.当最大时，（    ） A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 【答案】C 【分析】根据等差数列定义可判断数列为等差数列，再根据等差数列前项和公式以及二次函数性质可得结果. 【详解】由可得数列为等差数列， 又可得，因此； 所以公差满足，因此； 即， 又因为，所以当或时，取得最大为45. 故选：C 5．设函数在区间内恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过换元将视为整体，结合条件列出不等式后取交集得到的取值范围. 【详解】已知，， 当时，. 正弦函数的对称轴满足（）， 要使在内恰有三条对称轴， ，，，， 因此， 正弦函数的零点满足（）， 要使在内恰有两个零点， 则，，， 因此， 联立两式：， 解得. 故选：C 6．已知事件的概率均不为0，下列说法正确的是（    ） A．若，则事件与为对立事件 B．若，则事件与为相互独立事件 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由概率加法公式，条件概率公式，对立事件和独立事件的定义可选答案. 【详解】对于A：因为，由，只能得到，并不能得到事件与为对立事件，故A错误； 对于B：因为， 由，只能得到，并不能得到，从而不能得出事件与为相互独立事件，故B错误； 对于C：由可得或，当时不能得出，故C错误； 对于D：因为， 又，所以，故D正确. 故选：D. 7．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立直角坐标系将向量坐标化，确定点的圆轨迹；构造相似三角形转化所求表达式为线段和的形式；利用两点之间线段最短的几何性质，求出该线段和的最小值，进而得到原式的最小值. 【详解】建立如图所示的直角坐标系： 依题意设，，，，， 则，故C在以为圆心，半径为1的圆上， 如图，取点，则，，且， 因此，，故， 又， 由于， 当E，M，C三点共线且点C在线段上时，等号取到， 因此. 故选:C 8．已知函数，若对任意的正实数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知等式构造新函数，结合新函数的单调性和对称性、基本不等式进行求解即可. 【详解】构造新函数， 因为， 所以函数的图象关于点对称， ， 设是任意两个实数，且， ， 因为， 所以，， 所以，即， 所以函数是实数集上的增函数， ， 因为函数是实数集上的增函数，且函数的图象关于点对称， 所以， ， 因为，是两个正实数 所以， 即，当且仅当时等号成立，即， 即当时， 有最小值， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（   ） A．等差数列的前n项和，若，则 B．等比数列，，前n项和 C．数列的前n项和，则是等比数列 D．等差数列公差，若成等比，则公比为 【答案】ABCD 【分析】根据等差数列的前n项和的性质计算即可判断A项；求出公比，利用前n项和的公式计算判断B项；先由求得，再由等比数列的定义判断C项；先由条件求得的数量关系，再代入消元求公比判断D项. 【详解】对于A，因是等差数列的前n项和，则成等差数列， 即，因，代入解得，故A错误； 对于B，设等比数列的公比为，则，前n项和，故B正确； 对于C，因数列的前n项和，则， 当时，，显然满足，故， 又因，故是公比为2的等比数列，故C正确； 对于D，因成等比，则，即， 整理得，因，则， 此时，，即公比为，故D正确. 故选：ABCD. 10．已知函数，其中，则下列正确的是（   ） A．若，则的单调减区间为 B．的极小值为，无极大值 C．当时，函数无零点 D．若方程有两个实数解，则 【答案】BCD 【分析】利用导数的正负来分析函数的单调性，从而可以确定是否有极值，然后利用最小值大于0来确定函数没有零点，对于选项D，则利用分离参变量，构造函数求导，研究单调性及取值规律，从而可确定参数范围. 【详解】当时，，则， 由，因为定义域， 所以的单调减区间为和，故A错误； 由，可得， 由于，则可解得， 所以在上单调递增，同上可得：在和上单调递减， 则的极小值为，无极大值，故B正确； 当时，，此时函数无零点， 当时，由上可得， 因为，所以，即， 则此时函数也无零点，故C正确； 由方程可得：， 令，则， 由，可得，由，可得， 则在时单调递减，在时单调递增， 又因为，当时，，当时，， 所以要使得方程有两个实数解，则只需要，故D正确； 故选：BCD. 11．如图，正四棱锥与正四棱锥的底面重合，且，M为棱上一点，则（    ） A．平面 B．正四棱锥的体积为 C．的最小值为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】根据线面平行的判定定理，以及正棱锥的几何性质，判断选项A的正误；根据棱锥的体积计算方法，以及勾股定理和正四棱锥的性质，求出几何体的体积，判断选项B的正误；根据几何体的侧面展开图，判断线段和最小时的情况，求出结果，判断选项C的正误；根据点到面的距离的向量方法，建立空间直角坐标系，求出法向量，求出结果即可，判断选项D的正误； 【详解】对于选项A，因为正四棱锥与正四棱锥的底面重合，且，所以，所以四边形为平行四边形， 所以，因为面，面，所以平面，所以A正确； 对于选项B，连接，且，连接，如图所示， 因为，所以，， 在中，，所以， 所以正四棱锥的体积为，所以B错误； 对于选项C，展开，连接，， 此时是BC的中点，则最小，如图多面体中， 可知，所以，可得， 所以的最小值为，所以C正确； 对于选项D，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，所以， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，解得，所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为，所以D正确； 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，分和，两种情况讨论，求得函数的单调性与最小值，列出方程，即可求解. 【详解】由函数，可得， ①当时，恒成立，单调递减， 此时，解得，不满足； ②当时，令解得， （i）当时， 当时，单调递减，当时，单调递增， 此时，解得，满足； （ii）当时，在上 ，单调递减， 此时，解得，不满足， 综上可得：综上所述， 故答案为：. 13．如图是由九个半径相同的圆构成的图形(该图形不能旋转和翻转)，若将1，2，…，9九个数字分别填入这九个圆中，且有阴影的圆中填的数字大于相邻的三个圆中所填的数字，则填法一共有 种. 【答案】 【分析】将有阴影的圆中填入的数字用 表示，则为 ； 这几种情况讨论，求出相应填法种数，即可求得结果. 【详解】将三个有阴影的圆中填入的数字用 表示， 当 为9，8，7时，有 种填法； 当 为9，8，6时，则7不能与6相邻， 故7有种填法，剩余的五个数字可以任意填在空白圆中，有 种情况，有2160 种填法； 当 为9，8，5时，则与5相邻的只能是4，3，2，1中的三个数字， 有 种填法； 当 为9，8，4时，则与4相邻的只能是3，2，1，有 种填法； 当 为9，7，6时，则8与9相邻且8只有1种位置，有 种填法； 当 为9，7，5时，则8与9相邻且8只有1种位置， 6不与5相邻有2种位置选择，有 种填法； 当 为9，7，4时，则8与9相邻且8只有1种位置， 与4相邻的只能是3，2，1，故有 种填法. 所以填法共有： (种). 故答案为： 14．已知双曲线的左、右焦点分别为和，O为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，则双曲线的离心率为 ;又过点P作双曲线的切线交另一条渐近线于点Q，且的面积，则该双曲线的方程为 ． 【答案】 / 【分析】第一空：设，由题意可求得，结合求得，从而解，利用正弦定理求得，即可求得双曲线得离心率. 第二空，过P点的切线与双曲线切于点，设，表示出，利用双曲线的切线方程联立渐近线方程求得，从而根据三角形面积求得b，即可求得双曲线方程. 【详解】设，则有，又垂直于渐近线即，, ∴，而, ∴， 在中,，由正弦定理：， ∴,∴，∴， ∴，∴， 另解：依题意，可得的方程为，联立， 可得 ， ∴， 又， 在中，， 即，化简得， ∴. 如图，过P点的切线与双曲线切于点，设， 又P，Q均在双曲线的渐近线上，故设， 又，∴， ∴， 过M点的切线方程为，即， 代入，化简得， 又，∴， 即，∴， ∴， ∴，∴，故双曲线的方程为, 故答案为: , 【点睛】难点点睛:该题考查双曲线离心率的求解以及双曲线标准方程,由题意可以求得 的关系，而难点在于利用求得a或b的值，此时解答时设出，关键要利用过双曲线上一点的切线方程联立渐近线方程求得，进而利用三角形面积求得答案. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且. (1)求； (2)若点在线段上，且满足，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用正弦定理，再由三角恒等变形得，结合角的范围即可求解； （2）先应用数量积运算律及定义化简，再结合三角形面积公式及余弦定理计算求值. 【详解】（1）根据题意， 则由正弦定理得，， 因为，所以， 所以， ，则， 解得； （2）令，，则. 又，则四边形为菱形，为的角平分线. ， ， ，即， 由余弦定理可得：， 即，解得， 所以. 16．（15分）为了了解全市高中学生体育锻炼情况，现准备在某高中进行抽样调查．已知该高中共有学生1200人，其中男生720人．现按学生性别采用分层抽样方法抽取60人进行调查．调查中把每天锻炼时间超过60分钟的学生称为“锻炼积极者”，否则称为“锻炼不积极者”．已知在样本中：男性“锻炼积极者”共24人，女性“锻炼积极者”共12人． (1)求抽取的60人中男生、女生各多少人． (2)从抽取的60人中随机选取一人，设事件为“选到男生”，事件为“选到锻炼积极者”，试判断事件、是否相互独立，并说明理由． (3)用上面的样本估计总体，若从全市学生中抽取3人，记抽取的3人中“锻炼积极者”的人数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)男生36人，女生24人. (2)不相互独立，理由见解析. (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据分层抽样的概念计算男、女生的人数. （2）利用与的关系判断事件、是否相互独立. （3）利用二项分布概率模型求分布列和期望. 【详解】（1）60人中，男生人数为人，女生人数为：人. 所以抽取的60人中男生36人，女生24人. （2）由题意：，， 事件表示“选到男生且是锻炼积极者”，所以. 因为，所以事件、不相互独立. （3）从全市学生中任意抽取1人是“锻炼积极者”的概率为. 从全市学生中抽取3人，“锻炼积极者”的人数服从二项分布，， 所以，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 17．（15分）如图，在四棱锥中，，为等边三角形，四边形为直角梯形，，，． (1)证明：； (2)若直线与平面所成的角为． （ⅰ）求四棱锥的体积； （ⅱ）求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）取的中点，连接，由线面垂直得到； （2）（ⅰ）过点作，根据体积公式求解； （ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接， 则，， 又，平面，平面， 平面，． （2）（ⅰ）由（1）知，又且，平面， 平面，平面，， 又由（1）知：平面，而平面， 平面平面， 过点作，垂足为． 平面平面，平面，平面， 所以与平面所成的角为，即， ，，， 故四棱锥的体积． （ⅱ）以为坐标原点，所在直线为轴，在平面内， 与平行的线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，则，， 又平面ACD的法向量为，， 所以，二面角余弦值为． 18．（17分）已知曲线，两曲线的离心率均为，其中分别是的左、右顶点． (1)分别求的方程． (2)已知Q是上一点，分别交直线和于两点，以为直径的圆记为圆D． （i）判断圆D是否过定点．若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由． （ii）P是上一点，当圆D的面积最小时，过点P作圆D的两条切线，切点为，求面积的取值范围． 【答案】(1)曲线，曲线； (2)（i）圆过定点；（ii） 【分析】（1）根据判断曲线焦点的位置，再根据离心率，得出的值； （2）（i）首先计算出，的坐标，根据中点坐标公式得出圆心的坐标，在利用，得到圆的半径，最后将圆心与半径代入得圆的标准方程，即可得出圆过定点；（ii）根据圆的面积公式，得出圆D的面积最小时，，得出圆的标准方程，可得圆心坐标与半径，可求的取值范围，根据切线性质可求，最后再构造出函数，结合函数单调性求出面积的取值范围. 【详解】（1）因为，则，可知曲线的焦点在轴上，曲线的焦点在轴上； 对于曲线，，解得：； 对于曲线，，解得：； 即，所以曲线，曲线. （2）（i）由题意可知：，， 设，因为在上，则，可得， 直线的方程为，令得：，即； 直线的方程为，令得：，即； 则， 且， 可知圆的圆心为，半径， 则圆的方程为：，整理可得， 令得，所以圆过定点； （ii）因为，则，当且仅当时，等号成立， 所以当圆D的面积最小时，圆心为，半径，方程为， 设，，则，即； 则， 因为，是圆D的两条切线，则，， 可知，， 设，则，, 因为， 令，则，可得， 因为在内单调递减，且，， 可得，所以面积的取值范围为. 19．（17分）设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质． (1)若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； (2)设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； (3)若函数，求证：该函数具有性质的充要条件是 【答案】(1)函数具有性质，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，将问题转化为函数的零点问题，进而结合单调性与零点存在性定理求解即可； （2）根据函数定义，将问题转化为存在实数，使得有三个实数根问题，再构造函数求解即可. （3）由题将问题转化为存在实数根的充要条件为充分性的证明方面，先验证当时，函数具有性质，再讨论当且时，结合函数隐零点得存在满足，即成立；再证必要性：先说明不成立，再研究的性质得函数在严格减函数，严格增函数，进而得得矛盾即可证明. 【详解】（1）解：由得， 设， 当时，， 又 则存在，使得，即 故函数具有性质 （2）解：由得，， 因为函数具有性质， 所以存在实数，使得， 即，即， 即存在实数，使得有三个实数根 设，则， 令，解得或，列表如下： 0 0 + 0 ↘ 极小值0 ↗ 极大值 ↘ 因为函数具有性质时，的值恰有三个， 所以满足条件的的取值范围是． （3）证明：由得，， 由得，， 设， 先证充分性：当时，， 考虑函数，则， 当时，，当时，，当时，， 所以函数在上严格单调递减，在上严格单调递增，在时有极小值， 所以，当时，，函数具有性质， 当且时，， 且当时，，则， 则存在满足，即成立， 所以函数具有性质 再证必要性：即证函数具有性质，则 由得， 若，则，与已知矛盾； 若，设，则，即函数是严格减函数， 所以函数是严格增函数， 又，， 则存在使得，即， 当时，，即函数严格减函数， 当时，，即函数严格增函数， 所以， 需证， 令，则，在单调递增， 所以， 所以， 则不存在，使得成立，与具有性质矛盾； 综上，函数具有性质的充要条件为. ， 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考第一次模拟考试 高三数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 斯 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 O 第一部分（选择题共58分） : 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1. 已知命题p:x∈ ,sinr<x<tanx则P的否定是() π A. 3x∈0, sinx >x>tanx 2 B.c sinx<x<tanx C.3x∈(-,0)U .to sinx≥x≥tanr D. sinr≥x或x≥tanx : 2+i 2. 已知z= (∈R)在复平面内对应的点的横坐标为3，则m=() 1+i : A.4 B.-4 C.3 D.-3 3. 己知直线1：y=x+m与圆C:x2+y2=4交于A,B两点，O为坐标原点，且∠AOB= 2π .: 3, 则实数m的 : 值为() : A.±V2 B.±V5 C.±2 D.±6 4.记Sn为数列{an}的前n项和，已知2a。=a-1+a(n≥2)，4=9，S,=45.当Sn最大时，n=() K A.9 B.10 C.9或10 D.10或11 设函数fW=V3sim(x+,0>0在区间0，四内恰有三条对称轴、两个零点，则0的取值范围 A) a.) 717 1310 36 D. 63 : 试题第1页（共4页） .: ©学科网·学易金卷做怒德就限家是普 6.已知事件A,B,C的概率均不为0，下列说法正确的是() A.若P(AUB)=P(A)+P(B),则事件A与B为对立事件 B.若P(AUC)=P(BUC),则事件A与B为相互独立事件 C.若P(AB)=P(BA,则P(A)=P(B) D.若P(AB)=P(AB),则P(A)=P(B) 7,平面上到两个定点距离之比为常数(2>0,2≠1)的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上， 结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知平面向量ā，方，c,满足网--2，且a+b1=2W2, |a+b+c1,则b+d+a+d的最小值为() A.5 B.√15 c.7 D.V17 2 2 8.已知强数f)=11,若对任意的正实数a,b清足fa+了2b-2)=2,则2+如4的最小值 2+1 a b 是() 5 A.2 9 .2 0.片 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的有() A.等差数列{an}的前n项和Sn,若S。=100,S0=300,则So=500 B.等比数列bn},b=3,b2=6,前n项和Tn=3(2”-1) C.数列{an}的前n项和S.=2-1,则{an}是等比数列 D.等差数列{a}公差d≠0，若a,4,a,成等比，则公比为 10.已知函数f国)-e-,其中a>0,则下列正确的是《) A.若a=1,则f(x)的单调减区间为(-o,1) B.f(x)的极小值为a(ea-1),无极大值 C.当a∈(0,1)时，函数f(x)无零点 D.若方程e-a=x有两个实数解，则a>1 11.如图，正四棱锥P-ABCD与正四棱锥Q-ABCD的底面重合，且AP=AB=AQ=2,M为棱BC上一 点，则() 试题第2页（共4页） 可学科网·学易金卷做好德：就限是鲁普 A.AP∥平面BCO B.正四棱锥P-ABCD的体积为3 C.PM+OM的最小值为2√3 D.点D到平面PAB的距离为26 第二部分（非选择题共2分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知函数g(x)=ax-lnr+2,当x∈(0，e2]时，8(x)的最小值为4，实数a的值为 13.如图是由九个半径相同的圆构成的图形该图形不能旋转和翻转)，若将1,2，，9九个数字分别填入 这九个圆中，且有阴影的圆中填的数字大于相邻的三个圆中所填的数字，则填法一共有种. 14.已知双曲线C:二-术a>0.b>0的左、右焦点分别为R和，O为坐标原点，过R作渐近线 b y=x的垂线，垂足为P,若∠RPo=·则双曲线的离心率为 ；又过点P作双曲线的切线交另一 条渐近线于点O,且△OPO的面积SoQ=2√3，则该双曲线的方程为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ab=bcosA+√3 asinB,且a=2. (1)求A: (2)若点D在线段BC上，且满足AD= AB AC 求△ABC的面积. 16.（15分)为了了解全市高中学生体育锻炼情况，现准备在某高中进行抽样调查.己知该高中共有学生 1200人，其中男生720人，现按学生性别采用分层抽样方法抽取60人进行调查.调查中把每天锻炼时间超 试题第3页（共4页） 过60分钟的学生称为“锻炼积极者”，否则称为“锻炼不积极者”.己知在样本中：男性“锻炼积极者”共24 人，女性“锻炼积极者”共12人. (1)求抽取的60人中男生、女生各多少人. (2)从抽取的60人中随机选取一人，设事件A为“选到男生”，事件B为“选到锻炼积极者”，试判断事件A、 B是否相互独立，并说明理由. (3)用上面的样本估计总体，若从全市学生中抽取3人，记抽取的3人中“锻炼积极者"的人数为X,求X的分 ☑ 布列和数学期望. 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥PD,△PAB为等边三角形，四边形ABCD为直角梯形， AB//CD,AB L BC,AB=2CD=2. 0 张 ○ 游 (1)证明：AB⊥PD; (2诺直线PD与平面4BCD所成的角为号 (ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积： (ii)求二面角P-AD-C的余弦值. 7分)已知曲线Cw<0.C。+60w之0叭，两曲线的离心率均为5 ,其中 2 1<a<4,A,A,分别是C的左、右顶点， (1)分别求C,C2的方程， 世 (2)已知9是C上一点，A2,A,Q分别交直线x=2和x=-2于M,N两点，以MN为直径的圆记为圆D. .0 ()判断圆D是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由. (i)P是C2上一点，当圆D的面积最小时，过点P作圆D的两条切线，切点为S,T,求△PST面积的取值 范围 19.(17分)设函数y=f(x)的定义域为D,导函数为y=f'(x),对于实数t,若存在x。∈D,使得 席 f()=f"'(x)成立，则称函数y=∫(x)具有性质P(t). (1)若函数f(x)=x,请判断该函数是否具有性质P(I),并说明理由； (2)设a∈R,若函数f(x)=x3+a具有性质P(2),且x。的值恰有三个，求a的取值范围； (3)若函数f(x)=e+x,求证：该函数具有性质P(t)的充要条件是t>0. 试题第4页（共4页） 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知命题,则的否定是（    ） A．， B．， C．， D．，或 2．已知在复平面内对应的点的横坐标为3，则（    ） A．4 B． C．3 D． 3．已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，且，则实数的值为（   ） A． B． C．±2 D． 4．记为数列的前项和，已知.当最大时，（    ） A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 5．设函数在区间内恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 6．已知事件的概率均不为0，下列说法正确的是（    ） A．若，则事件与为对立事件 B．若，则事件与为相互独立事件 C．若，则 D．若，则 7．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若对任意的正实数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（   ） A．等差数列的前n项和，若，则 B．等比数列，，前n项和 C．数列的前n项和，则是等比数列 D．等差数列公差，若成等比，则公比为 10．已知函数，其中，则下列正确的是（   ） A．若，则的单调减区间为 B．的极小值为，无极大值 C．当时，函数无零点 D．若方程有两个实数解，则 11．如图，正四棱锥与正四棱锥的底面重合，且，M为棱上一点，则（    ） A．平面 B．正四棱锥的体积为 C．的最小值为 D．点到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 . 13．如图是由九个半径相同的圆构成的图形(该图形不能旋转和翻转)，若将1，2，…，9九个数字分别填入这九个圆中，且有阴影的圆中填的数字大于相邻的三个圆中所填的数字，则填法一共有 种. 14．已知双曲线的左、右焦点分别为和，O为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，则双曲线的离心率为 ;又过点P作双曲线的切线交另一条渐近线于点Q，且的面积，则该双曲线的方程为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且. (1)求； (2)若点在线段上，且满足，求的面积. 16．（15分）为了了解全市高中学生体育锻炼情况，现准备在某高中进行抽样调查．已知该高中共有学生1200人，其中男生720人．现按学生性别采用分层抽样方法抽取60人进行调查．调查中把每天锻炼时间超过60分钟的学生称为“锻炼积极者”，否则称为“锻炼不积极者”．已知在样本中：男性“锻炼积极者”共24人，女性“锻炼积极者”共12人． (1)求抽取的60人中男生、女生各多少人． (2)从抽取的60人中随机选取一人，设事件为“选到男生”，事件为“选到锻炼积极者”，试判断事件、是否相互独立，并说明理由． (3)用上面的样本估计总体，若从全市学生中抽取3人，记抽取的3人中“锻炼积极者”的人数为X，求X的分布列和数学期望． 17．（15分）如图，在四棱锥中，，为等边三角形，四边形为直角梯形，，，． (1)证明：； (2)若直线与平面所成的角为． （ⅰ）求四棱锥的体积； （ⅱ）求二面角的余弦值． 18．（17分）已知曲线，两曲线的离心率均为，其中分别是的左、右顶点． (1)分别求的方程． (2)已知Q是上一点，分别交直线和于两点，以为直径的圆记为圆D． （i）判断圆D是否过定点．若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由． （ii）P是上一点，当圆D的面积最小时，过点P作圆D的两条切线，切点为，求面积的取值范围． 19．（17分）设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质． (1)若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； (2)设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； (3)若函数，求证：该函数具有性质的充要条件是 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D A A C C D C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD BCD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．e 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）根据题意， 则由正弦定理得，， 因为，所以， 所以， ，则， 解得； （2）令，，则. 又，则四边形为菱形，为的角平分线. ， ， ，即， 由余弦定理可得：， 即，解得， 所以. 16．（15分） 【详解】（1）60人中，男生人数为人，女生人数为：人. 所以抽取的60人中男生36人，女生24人. （2）由题意：，， 事件表示“选到男生且是锻炼积极者”，所以. 因为，所以事件、不相互独立. （3）从全市学生中任意抽取1人是“锻炼积极者”的概率为. 从全市学生中抽取3人，“锻炼积极者”的人数服从二项分布，， 所以，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 17．（15分） 【详解】（1）取的中点，连接， 则，， 又，平面，平面， 平面，． （2）（ⅰ）由（1）知，又且，平面， 平面，平面，， 又由（1）知：平面，而平面， 平面平面， 过点作，垂足为． 平面平面，平面，平面， 所以与平面所成的角为，即， ，，， 故四棱锥的体积． （ⅱ）以为坐标原点，所在直线为轴，在平面内， 与平行的线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，则，， 又平面ACD的法向量为，， 所以，二面角余弦值为． 18．（17分） 【详解】（1）因为，则，可知曲线的焦点在轴上，曲线的焦点在轴上； 对于曲线，，解得：； 对于曲线，，解得：； 即，所以曲线，曲线. （2）（i）由题意可知：，， 设，因为在上，则，可得， 直线的方程为，令得：，即； 直线的方程为，令得：，即； 则， 且， 可知圆的圆心为，半径， 则圆的方程为：，整理可得， 令得，所以圆过定点； （ii）因为，则，当且仅当时，等号成立， 所以当圆D的面积最小时，圆心为，半径，方程为， 设，，则，即； 则， 因为，是圆D的两条切线，则，， 可知，， 设，则，, 因为， 令，则，可得， 因为在内单调递减，且，， 可得，所以面积的取值范围为. 19．（17分） 【详解】（1）解：由得， 设， 当时，， 又 则存在，使得，即 故函数具有性质 （2）解：由得，， 因为函数具有性质， 所以存在实数，使得， 即，即， 即存在实数，使得有三个实数根 设，则， 令，解得或，列表如下： 0 0 + 0 ↘ 极小值0 ↗ 极大值 ↘ 因为函数具有性质时，的值恰有三个， 所以满足条件的的取值范围是． （3）证明：由得，， 由得，， 设， 先证充分性：当时，， 考虑函数，则， 当时，，当时，，当时，， 所以函数在上严格单调递减，在上严格单调递增，在时有极小值， 所以，当时，，函数具有性质， 当且时，， 且当时，，则， 则存在满足，即成立， 所以函数具有性质 再证必要性：即证函数具有性质，则 由得， 若，则，与已知矛盾； 若，设，则，即函数是严格减函数， 所以函数是严格增函数， 又，， 则存在使得，即， 当时，，即函数严格减函数， 当时，，即函数严格增函数， 所以， 需证， 令，则，在单调递增， 所以， 所以， 则不存在，使得成立，与具有性质矛盾； 综上，函数具有性质的充要条件为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知命题,则的否定是（    ） A．， B．， C．， D．，或 2．已知在复平面内对应的点的横坐标为3，则（    ） A．4 B． C．3 D． 3．已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，且，则实数的值为（   ） A． B． C．±2 D． 4．记为数列的前项和，已知.当最大时，（    ） A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 5．设函数在区间内恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 6．已知事件的概率均不为0，下列说法正确的是（    ） A．若，则事件与为对立事件 B．若，则事件与为相互独立事件 C．若，则 D．若，则 7．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若对任意的正实数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（   ） A．等差数列的前n项和，若，则 B．等比数列，，前n项和 C．数列的前n项和，则是等比数列 D．等差数列公差，若成等比，则公比为 10．已知函数，其中，则下列正确的是（   ） A．若，则的单调减区间为 B．的极小值为，无极大值 C．当时，函数无零点 D．若方程有两个实数解，则 11．如图，正四棱锥与正四棱锥的底面重合，且，M为棱上一点，则（    ） A．平面 B．正四棱锥的体积为 C．的最小值为 D．点到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 . 13．如图是由九个半径相同的圆构成的图形(该图形不能旋转和翻转)，若将1，2，…，9九个数字分别填入这九个圆中，且有阴影的圆中填的数字大于相邻的三个圆中所填的数字，则填法一共有 种. 14．已知双曲线的左、右焦点分别为和，O为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，则双曲线的离心率为 ;又过点P作双曲线的切线交另一条渐近线于点Q，且的面积，则该双曲线的方程为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且. (1)求； (2)若点在线段上，且满足，求的面积. 16．（15分）为了了解全市高中学生体育锻炼情况，现准备在某高中进行抽样调查．已知该高中共有学生1200人，其中男生720人．现按学生性别采用分层抽样方法抽取60人进行调查．调查中把每天锻炼时间超过60分钟的学生称为“锻炼积极者”，否则称为“锻炼不积极者”．已知在样本中：男性“锻炼积极者”共24人，女性“锻炼积极者”共12人． (1)求抽取的60人中男生、女生各多少人． (2)从抽取的60人中随机选取一人，设事件为“选到男生”，事件为“选到锻炼积极者”，试判断事件、是否相互独立，并说明理由． (3)用上面的样本估计总体，若从全市学生中抽取3人，记抽取的3人中“锻炼积极者”的人数为X，求X的分布列和数学期望． 17．（15分）如图，在四棱锥中，，为等边三角形，四边形为直角梯形，，，． (1)证明：； (2)若直线与平面所成的角为． （ⅰ）求四棱锥的体积； （ⅱ）求二面角的余弦值． 18．（17分）已知曲线，两曲线的离心率均为，其中分别是的左、右顶点． (1)分别求的方程． (2)已知Q是上一点，分别交直线和于两点，以为直径的圆记为圆D． （i）判断圆D是否过定点．若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由． （ii）P是上一点，当圆D的面积最小时，过点P作圆D的两条切线，切点为，求面积的取值范围． 19．（17分）设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质． (1)若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； (2)设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； (3)若函数，求证：该函数具有性质的充要条件是 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $