黑龙江省佳木斯市部分学校2025-2026学年高二上学期期末数学试卷

2025一2026学年度上学期期末考试高二试题 数 学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1.设x,y∈R,向量a=2,,1),b=1,-2,y),c=2,-4,4),且a1b,b∥c,则a+b等于( ) A.2√2 B.3√2 C.3 D.4 2.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的 口径AB=4V2,深度M0=2,信号处理中心F位于焦点处，以顶点0为坐标原点，建立如图2所示的 平面直角坐标系xOy,若P是该抛物线上一点，P到y轴的距 离为d1,到直线3x+4y+12=0的距离为d2,则d,+d2的最小值 为() A.4 B.3 C.2 图1 图2 D.1 3.已知随机变量x服从正态分布N(4,σ2)，P(x≤6)=0.86，则P(2<x≤6)=() A.0.72 B.0.28 C.0.74 D.0.36 4.《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下， 百人团齐声朗诵，别有韵味.若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、《念奴娇》和另外确 定的两首诗词排在后六场，且《登鹊雀楼》排在《春江花月夜》的前面，《赋得古原草送别》与《念奴 娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有() A.720种 B.360种 C.288种 D.144种 5.(x+x-2)展开式中x的系数为( A.-50 B.-100 C.-200 D.-300 6.右图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相 互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方 的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉人下方的某一个球槽内.若 小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球 最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为( B得 C.3 2 D. D②③@⑤oo 7.如图，正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为1，E为棱DD,的中点，点P在面对角线BC,上运动 (P点异于B、C,点)，以下说法错误的是() A.BD,∥平面AEC B.AP⊥BD C.二面角D,-AC-B的余弦值为-6 3 D.点P到面ACD,的距离为3 8.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A,B存在如 下美系：PA)=PP P(B) .2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的.小 红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和07.如果她 第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院 的概率为0.5，则小红同学() A.第二天去甲影院的概率为0.54 B.第二天去乙影院的概率为0.46 C.已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为努 D.已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为号 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分) 9.下列说法正确的是() A.已知直线l经过(1,2)和(2,1)两点，则1的倾斜角为3π B,不经过原点的直线都可以表示为音+若-1 C.已知直线：4x+3y+6=0与圆Cx2+y2-2x+m=0(m<1)相切，则m=-3 D.过点(1,0)的直线1与圆(x-2)+(y-1)=1有公共点且斜率最大值为T,若a+b=T, a>0,b>0,则&+号的最小值是12 10.已知抛物线y=号x的焦点为F,M(x,y),N(x2y2)是抛物线上两点，直线MN经过焦点F， 则下列结论正确的( A点F的坐标为(0，) B2=} C.若M下=3F下，则直线MN的倾斜角为60° D.题-1的最小值为-1 11.现有编号1,2,3，，n的n个学生，人座编号1,2,3，，n的n个座位，设学生所坐的座位号与 该生的编号不同的学生数为X,已知X=3时共8种坐法，则() A.n=6 BP(K=4)=君 C.E(X)=2 D.D(X)=1 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12已知直线2x-3-0是双曲线C等卡=1的一条新近线，则C的腐心率为 13.小明一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有3颗冰糖葫芦，一串有4颗冰糖葫芦， 一串有5颗冰糖葫芦.若小明每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下 吃，那么不同的吃完的顺序有 种.（结果用数字作答） 4P为椭圆客±？1上二点，曲线+E与坐标的交点分别为A,B,C,D,若PA+IPB IPCI+HPDI=8,则P到y轴的距离为. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 已知2-3x”=a。+a,x+a2x2+…+anx(neN),该二项展开式中第5项和第6项的二项式系 数最大。 (1)求正整数n的值； (2)求a,+a2+a2+…+an与二项式系数和的比值； (3)问2-3x展开式各项系数的绝对值ao,a,,2,…,a.中哪个最大，并说明理由. 16.(15分) 2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动 画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章.现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为 “青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 青年组 30 20 50 非青年组 15 35 50 合计 45 55 100 记A表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为P(4),B表示“抽取到的市民 为非青年组”，其概率为P(B), (1)给出P(A),P(B),PA的估计值； (2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组 成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒 17.(15分) 已知双曲线C的焦点在x轴上，中心在坐标原点，虚轴长为4，左、右焦点分别为F,F2,过F2的 直线L交双曲线C于A、B两点且FFAB=0,△F2BF,的面积为4v2. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点P(4,2)的直线L交双曲线C于S、T两点，且点P是线段ST的中点，求直线L,的方程 及直线L,被双曲线截得的弦长ST 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，AB=6,PC=PD=√57，二面角 P-CD-A的大小为若· (1)证明：平面PAB⊥平面ABCD; (2)求四棱锥P-ABCD的体积； (3)若点M在线段PD上，且平面MAC⊥平面ABCD,求直线AM与平面PBC所成角的正 弦值 19.(17分) 已知动点P到点F(1,0)的距离比到直线x=-2的距离小1，设动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的轨迹方程； (2)已知点Q(2,0),过点Q作直线l与曲线C交于A,B两点，直线AF,BF与C另一个交点分别为 M,N. ①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k1,直线MN的斜率为a,试判断 +经是 否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； ②求△QMN面积的最小值. 2025一2026学年度上学期期末考试高二试题 数学（答案及评分标准) 一、单选题：1一5.BCADC 6—8BCD 二、多选题：9.ACD 10.ABD 11.BD 三、填空题：12四 13.27720 14.2 四、解答题 15题（本题满分13分) 解：（1)因为(2-3x)的展开式中，第5项和第6项的二项式系数最大 所以n为奇数，且C=C,所以n=9 -2分 (2)因为n=9,所以二项式系数和为29=512 3分 令x=0,得a0=29=512 令x=1,得a0+a1+a2+…+ag=(2-3)9=-1 所以a1+a2+a3+..+ag=-513--- -5分 因此a1+a2+a3+…+an与二项式系数和的比值为-513 512 -6分 (3)laol,la1l,la2l,,lagl中lasl和la6l均为最大.-- -7分 因为(2-3x)9=a0+a1x+a2x2++agx9 (2-3x)9展开式的通项T+1=C529-r(-3x)”=C529-r(-3)x,r=0,1,2,,9 所以a0>0,a1<0,a2>0,a3<0,ag<0 Eplaol=ao>0,lal=-a1>0,la2l=a2>0,...laol=-ag>0 故判断aol,al,a2l.…ag系数中谁最大即判断(2+3x)9展开式的系数谁最大.-8分 (2+3x)9展开式的通项T+1=C29-r(3x),r=0,1,2,9 由5293≥c51.210-.31 Cg.29-r.3r≥C5+1.28-r.3r+1’ 9分 得5≤r≤6，因为r∈N,所以r=5或6. 12分 故aol,la1 L lazl,…lagl中asl和a6均为最大. -13分 16题（本题满分15分) 解：A表示抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》，B表示抽取到的市民为非青年组. (1)样本容量n=100,没看过电影的总人数55，抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》 的频率为，5=兰因此PA)的估计值为 100201 202分 选到的市民为非青年组的总人数50，抽取到的市民为非青年组的频率为品=艺 100 因此P(B)的估计值为 4分 法一：P@A)=卧-警= 20 4 P(A) 55 100 在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为告 因此P(®1A)的估计值为4 1 6分 法二：P⑧A)=阅=碧=品 n(A) 在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为音 ,因此P(⑧A)的估计值为音 ..6分 (2)按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之 魔童降世2》的有2人，则看过《哪吒之魔童降世2》的人数X的取值范围为(1,2,3} 由题意知看过《哪吒之魔童降世2》的人数X服从参数5,3,3的超几何分布，即x~H5,3,3) 的超几何分布… 7分 此时P(X=1)=cg= 101 9分 P(X=2)== .11分 P(X=3)==0 …13分 则X的分布列为： 1 2 3 3 3 1 10 5 10 e。ee。。。。。。。。。,。。。。。。。2。,。。。。。。。。e。。e。eeee。e。e。seecee。。。入 E(X)=1× +2×+3×品=或(W=兴= 9 9 N 5 …15分 17题.（本题满分15分） 解，(1)由题设双曲线C总-兰=1，>0b>0, 因为F1F2·AB=0 所以F1F2⊥AB,直线的方程为x=c 联方-1y=片放A片-片 又因为F1(-G,0,F2(G0)2b=4,b=2,所以AP2=|BF=号=手，IE1Pz=2c a 所以Sar2A,=F1F2IIBF2l=×2c×4=4V2,则c=V2a, -2分 而c2-a2=2a2-a2=4,a2=4 -4分 所以双曲线C的标准方程为-苦=1 5分 (2)法一：因为过点P4,2)的直线，与双曲线号-兰=1相交于S,T两点，直线1斜率为k 4 1)当k不存在时，直线L1的方程x=2,显然p(4,2)不是中点（舍)- -6分 2)当k存在时，设直线l1的方程为y-2=k(x-4)(k≠1)，即y=kx-4k+2, y=kx-4k+2 联立方程 --1 得(1-k3)x2+2(4k-2)kx-(4k-2)2-4=0(1-k2≠0)0 设s0xvyD,T0xy2x≠x2,则x+2=22 -8分 因为P4,2)为S,T中点，所以x1+X2=8,24-2)-8,解得k=2, k2-1 故直线L1的方程为y=2x-6,即2x-y-6=0-- -10分 将k=2代入①，得3x2-24x+40=0,△=242-4×3×40=12×8=96>0 则x1+x2=8,X1X2=0 -12分 3 I1ST1=V1+k2Vx1+x2)2-4x1X2=V1+2282-4x0w@ 33 -14分 故直线l1的方程为2x-y-6=0,弦长1ST1 -15分 3 法二：因为过点Pt4,2)的直线，与双曲线号-兰=1相交于S,T两点，P为线段sT的中点 可知，直线1的方程不是x=2, C- -6分 设S(x1,y1),T(x2,y2)(x1≠2)，直线11的斜率为k (经=1 44 =1 44 得任-)-（生-2）=0，所以2.地=1 -8分 X1-x2X1+x2 因为P4,2为ST中点，则+2二8即老×=1，K名=2， (y1+y2=4, X1-X2 X1-X2 直线l1的方程为y-2=2(x-4),y=2x-6,即2x-y-6=0- -10分 (y=2x-6 联立方程-兰=1得3x2-24x+40=0,△=24-4×3×40=12×8=96>0， 44 则x1+x2=8,x1为=号 -12分 ISTI=V1+k2(1+x2)2-4x1X2=V1+22 /82-4×404v3o 14分 33 故直线l1的方程为2x-y-6=0,弦长1ST1 3 -15分 18题（本题满分17分) 解：(1)设AB,CD的中点分别为G,H,连接PG,GH,PH. 在△PCD中，由PC=PD,所以PH⊥CD, 由CH=3,所以PH=VPC2-CH2=V57-9=43 因为GH1CD,所以二面角P-CD-A的平面角为LPHG,2PHG=若 --1分 则PG=VPH2+GH2-2PH·GH cos∠PHG= 48+36-2×6×43×c0s=2V5. --2分 因为GH OPH=H,GH,PHc平面PGH,所以CD⊥平面PGH 由PGc平面PGH,所以PG⊥CD, 3分 又PG2+GH2=(2V3)2+62=(4V3)2=PH2,所以PG1GH. -4分 CD∩GH=G,CD,GHc平面ABCD, 所以PG⊥平面ABCD,又PGc平面ABP, -5分 所以平面PAB⊥平面ABCD. -6分 (2)因为PG⊥平面ABCD,即四棱锥的高为PG, 7分 又ABCD为正方形，SABCD=6X6=36 所以四棱锥P-ABCD的体积为 V=3PG.SABCD=3x36x2V3=24V3. -10分 (3)因为PG⊥GH,PG1AB,AB1GH,所以以G为坐标原点，GB,GH,G的方向分别为x,y,z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 -11分 则A(-3,0,0),B(3,0,0),C(3,6,0),D(-3,6,0),P(0,0,2V3). 记GH∩AC=0,则0(0,3,0)，OF=(0,-3,2V3),连接OM,BD 设PM=入PD(0≤2≤1) PD=(-3,6,-2V3),PM=2PD=-31,6,-23), 0M=0P+PM=(-3元，-3+61,23-2V3),BD=(-6,6,0)--12分 因为平面MAC⊥平面ABCD,平面MAC∩平面ABCD=AC,BD⊥AC, BDC平面ABCD,所以BDL平面MAC. 因为OMc平面MAC,所以BD⊥OM 则BD·0M=-6×(-3元)+6(-3+62)=0，解得入=号 则PM=(-12,-29).又=(30,2V,所以AM=F+PW=22,)- ---14分 设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),PB=(3,0,-2V3),BC=(0,6,0) 则由m:P历=3x-232=0,取2=5，得元=20，V同- -15分 mBC=6y=0 设直线AM与平面PBC所成的角为O, sine =Icos m,AM>=ImAML 12x2+2x0+45xV51 2V210 ImllAM] 22+22+22+02+52 35’ 所以直线AM与平面PBC所成角的正弦值为220 35 -17分 19题（本题满分17分） 解：(1)法一、由题可知，设P(x,y为所求曲线上的动点， H 过P做X=-2的垂线PH,则IPF|+1=|PH 即V仪-1)2+y7+1=X+2引a.2 0F1,0) …2分 <1>x≥-2时，(x-1)2+y2=(x+1)2,y2=4x <2>x<-2时，(x-1)2+y2=(-x-3)2,y2=8x+8<0(舍) 故轨迹方程为y2=4X.… .4分 法二、因为点P到点F(1,0)的距离比到直线x=-2的距离小1 所以P在x=一1右侧，点P到点F的距离与到x=-1的距离相等，即曲线C是以F（1,0) 为焦点，直线X=一1为准线的抛物线，故轨迹方程为y2=4X4分 (2)法一、设A(X1,y1),B(X2,y2),M(X3,y3),N(X4,y4),如图， y1>0,y4>0,y2<0,y3<0,F(1,0) 由题可知B斜率不为0，令m=行设AB:x=my+2, 联立线方程粗收十之.消去×可得，-y-80, 显然△1=16m2+32>0,y1+y2=4m,y1y2=-8,… 6分 设AF:x=ny+1, 联立准线方程组二十1，消去x可得少-y-4=0, 显然△2=16n2+16>0,y1+y3=4n,y1y3=-4, 由y=-8,yg=-4得归=-是，⅓-年故y2 同理由y1y2=-8,y2y4=-4得y1=2y48分 又因为2=归=44 经-近y3+y42=8 y1+y2 k1=2= 4 y2-y2y1+y2 4 所以=2，即袋-总+=+2=定值 10分 ②设MN:x=ty+b,b>0 联立曲线方程组 2=4W°，消去x可得，y2-4y-4b=0, (x=ty+b 显然△3=16t2+16b>0, y3y4=-4b, 12分 y1y2=-8,y1y3=-4,y2y4=-4,所以y3y4=-2=-4b,b 因此MN:x=y+拒过定点G令0,1Ga2- 14分 为=片4=是2=-8，y1>0,y4>0%<0,⅓<0 所以ys4==-2,Sw0=G0I×1s-y4=x2x1,+引≥×2，：×9 y1y2 y42 当且仅当y4=是4=2，y3=-V2等号立… .16分 故AMNQ面积最小值为3 17分 2@法二、设A(,y）,B(停，y2),M(y),N(值，y4),如图，y10,y4>0y<0y<0 由题可知AB斜率不为0，令m=设AB:x=my+2, 联立曲线方程组} +2,箱去x可得-y-8=0。 显然 △1=16m2+32>0,y1+y2=4m,y1y2=-8,6分 设AF:y=) -0 y2=4x 联立曲线方程组 y=(x-1),消去x可得，y1y2-(y1-4)y-4y1=0, 则y1y3是方程的两根，42=【-(y?-4)]+16y12>0 所以y1y为==-4即y⅓=并同理y4=诗 y y2 8分 k2=y4=4 4 =-12=--8=2 立为+y是+ y1+y2 4m m 4 y1 y2 因为k1=台所以k2=2k,所以=号+片=+2=是 k2 'k1 10分 ②<1>当直线AB的斜率k1不存在，此时直线AB垂直于X轴，方程为x=2 将x=2代入y2=4x,可得y2=8,即y=±2V2 个 不妨设A(2,2√2)，B(2,-2V2),F(1,0)直线AF的方程为y=2V2(x-1),