17.4 一元二次方程的根与系数的关系-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(沪科版·新教材)  安徽专版

课题

一元二次方程的根与系数的关系

课型

新授课

教学内容

教材第36-38页的内容

教学目标

1.掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会初步应用;

2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题;

3.通过由特殊到一般，培养学生观察、分析、猜测规律的能力.

教学重难点

教学重点：一元二次方程的根与系数的关系及其推导.

教学难点：正确理解根与系数的关系和推导．

教  学  过  程

备  注

1.创设情境，引入课题

法国数学家弗朗索瓦·韦达在1615年出版的《论方程的识别与订正》一书中建立了方程根与系数的关系.今天我们就跟随数学家韦达的脚步一起来探究一下：一元二次方程的根与系数的关系.（课件展示）

大家知道ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，不仅表示系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系.那么，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他的表示方法吗？

2.合作探究，探索新知

【探究】填写下表，解出下列各方程的两根x1和x2，并计算x1+x2和x1·x2的值.

通过数学文化的引入，让学生了解要探究的内容，助于对新知的引入和学习.

通过回顾求根公式，使学生明确方程的根与系数存在一定的关系，同时也为后面推导根与系数的关系奠定基础.

【师生活动】教师引导学生独立完成表格.

【教师追问1】从上面表格中观察以上方程，方程中的两根之和（x1+x2）、两根之积（x1·x2）与该方程的各项系数之间有怎样的关系？你能猜想一般的一元二次方程的根与系数存在什么样的关系呢？

【猜想】一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0)的两根为x1、x2，则x1+x2=, x1x2=.

【教师追问2】你能证明上面的猜想吗？

学生尝试证明：

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根如果是x1，x2 ，

则，，

所以，

，

这就是一元二次方程根与系数的关系，它是由法国的数学家韦达发现的，所以我们又称之为韦达定理.

通过填表计算，使学生有一个具体的印象，然后让学生猜想根与系数的关系，教师进行总结，形成相应的知识点.

通过推理证明，加深学生对根与系数关系的理解和记忆，体会数学的严谨性和严密性.

【归纳】

如果的两根为x1、x2，那么，

.这个关系通常称为韦达定理.

【注意】

在使用根与系数的关系时，应注意：

(1) 不是一般式的要先化成一般式；

(2) 在使用时， 注意“－ ”号不要漏写；

(3) 不要漏除二次项系数．

【思考】当一元二次方程的二次项系数为1时，根与系数关系有什么特点？

当一元二次方程的二次项系数为1时，设标准形式为方程x2+px+q=0.设它的两个根为x1，x2 ，

即x2+px+q= ，

则，.

3.学以致用，应用新知

【例1】已知关于x的方程有两个根，其中一个根是−4，求它的另一根及k的值.

(学生独立求解，除了教材上的解法，思考是否还有其他方法解题)

教师展示：

解法1：设方程的另一个根是x2，那么

应用韦达定理的前提条件是强调a≠0且b2-4ac≥0，教学时要特别强调.

通过探究二次项系数为1时，根与系数的关系，使得理解这种常见情况

通过例题教学，加深对根与系数关系的理解，培养学生的应用意识及能力，同时感受到数学的美，从