17.4 一元二次方程的根与系数的关系-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(沪科版·新教材)  安徽专版

该教案聚焦“一元二次方程的根与系数的关系”核心知识点，以法国数学家韦达的历史贡献引入课题，通过回顾求根公式搭建新旧知识联系，引导学生从具体方程的根与系数关系入手，逐步探究一般规律。 此资料亮点在于以“观察—猜想—证明—应用”为主线，通过填表计算培养抽象能力，定理推导过程强化推理意识，例题与练习结合提升模型意识。既帮助学生掌握韦达定理，又发展数学思维，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

17.4 一元二次方程的根与系数的关系 课题 一元二次方程的根与系数的关系 课型 新授课 教学内容 教材第36-38页的内容 教学目标 1.掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会初步应用; 2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题; 3.通过由特殊到一般，培养学生观察、分析、猜测规律的能力. 教学重难点 教学重点：一元二次方程的根与系数的关系及其推导. 教学难点：正确理解根与系数的关系和推导． 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 法国数学家弗朗索瓦·韦达在1615年出版的《论方程的识别与订正》一书中建立了方程根与系数的关系.今天我们就跟随数学家韦达的脚步一起来探究一下：一元二次方程的根与系数的关系.（课件展示） 大家知道ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，不仅表示系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系.那么，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他的表示方法吗？ 2.合作探究，探索新知 【探究】填写下表，解出下列各方程的两根x1和x2，并计算x1+x2和x1·x2的值. 【师生活动】教师引导学生独立完成表格. 【教师追问1】从上面表格中观察以上方程，方程中的两根之和（x1+x2）、两根之积（x1·x2）与该方程的各项系数之间有怎样的关系？你能猜想一般的一元二次方程的根与系数存在什么样的关系呢？ 【猜想】一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0)的两根为x1、x2，则x1+x2=, x1x2=. 【教师追问2】你能证明上面的猜想吗？ 学生尝试证明： 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根如果是x1，x2 ， 则，， 所以， ， 这就是一元二次方程根与系数的关系，它是由法国的数学家韦达发现的，所以我们又称之为韦达定理. 【归纳】 如果的两根为x1、x2，那么， .这个关系通常称为韦达定理. 【注意】 在使用根与系数的关系时，应注意： (1) 不是一般式的要先化成一般式； (2) 在使用时， 注意“－ ”号不要漏写； (3) 不要漏除二次项系数． 【思考】当一元二次方程的二次项系数为1时，根与系数关系有什么特点？ 当一元二次方程的二次项系数为1时，设标准形式为方程x2+px+q=0.设它的两个根为x1，x2 ， 即x2+px+q= ， 则，. 3.学以致用，应用新知 【例1】已知关于x的方程有两个根，其中一个根是−4，求它的另一根及k的值. (学生独立求解，除了教材上的解法，思考是否还有其他方法解题) 教师展示： 解法1：设方程的另一个根是x2，那么 ，解得 答:它的另一根为， k的值是7. 解法2： ∵方程的一个根为-4, ∴2×(-4)2+k·(-4)-4=0， ∴k=7，把k=7代入原方程，得 解得x1=-2，x2=， ∴k=3,方程的另一个根为， 【追问】从上面的两种解法中你有什么启示？ 2. 方程的两个根记作x1，x2，求x1 − x2的值. 解：由韦达定理，得 4.随堂训练，巩固新知 1.下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？ (1) ；(2) ； (3) ；(4) ； (5) ；(6) ； 解: 设方程的两根分别为x1，x2. (1) ， (2) ， (3) ， (4) ， (5) ， (6) 方程化为一般式 ， 2.判断下列各方程后面括号内的两个数是不是它的两个根. (1) (2) (3) (4) (5) 解:(1) 不满足根与系数关系，即两个数不是方程的两个根. (2) 满足根与系数关系，即两个数是方程的两个根. (3) 满足根与系数关系，即两个数是方程的两个根. (4) 不满足根与系数关系，即两个数不是方程的两个根. (5) 满足根与系数关系，即两个数是方程的两个根. 3. 已知关于x的方程的一个根是1，求它的另一根及m的值. 解：设方程的另一个根是x2，那么 解得 答:它的另一根为，m的值是16. 4. 设x1，x2是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值. (1) (x1+1)(x2+1) ；(2) 解：由韦达定理，得 (1). (2) . 5.课堂小结，自我完善 回答下面的问题，说说你对一元二次方程根与系数关系的认识： （1）一元二次方程根与系数的关系是什么？ （2）根与系数关系使用的前提是什么？ 6.布置作业 教科书P38练习第2题，习题17.4第1-4题. 通过数学文化的引入，让学生了解要探究的内容，助于对新知的引入和学习. 通过回顾求根公式，使学生明确方程的根与系数存在一定的关系，同时也为后面推导根与系数的关系奠定基础. 通过填表计算，使学生有一个具体的印象，然后让学生猜想根与系数的关系，教师进行总结，形成相应的知识点. 通过推理证明，加深学生对根与系数关系的理解和记忆，体会数学的严谨性和严密性. 应用韦达定理的前提条件是强调a≠0且b2-4ac≥0，教学时要特别强调. 通过探究二次项系数为1时，根与系数的关系，使得理解这种常见情况 通过例题教学，加深对根与系数关系的理解，培养学生的应用意识及能力，同时感受到数学的美，从而建立学好数学的自信心. 进一步巩固本节课的内容.了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 板书设计 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系： 如果的两根为x1、x2， 那么， 提纲挈领，重点突出. 教后反思 为了能让学生更好的掌握一元二次方程根和系数的关系，能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积，故在设计教案时前一段通过计算填表，这样能让学生有一个感性的认识.在教学中要注意以下问题： 1.学生对于利用根与系数的关系来解决一些有关一元二次方程的问题还不够熟练，思路不清. 2.韦达定理导入时，充分挖掘、调动学生的探究精神. 3.两根和、两根积有小部分同学有些混淆. 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $