17.2 第1课时 直接开平法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(沪科版·新教材)  安徽专版

该教案聚焦“直接开平方法解一元二次方程”，通过回顾平方根意义与性质（如4、81的平方根及平方根定义），搭建新旧知识桥梁，为新课学习奠定基础。 以问题链驱动探究，从具体方程归纳x²=p的解的三种情况，结合(x+2)²=25等例子渗透转化、降次思想，培养抽象能力与推理意识。随堂训练与错例分析强化应用，助力学生掌握方法，提升教师教学效率。

17.2 一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法 课题 直接开平方法 课型 新授课 教学内容 教材第24页的内容 教学目标 1.会利用直接开平方法解形如的方程. 2.初步了解形如的方程的解法. 3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性. 4.通过解方程及实例探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法. 教学重难点 教学重点：运用开平方的方法解形如的方程，领会-降次-转化的数学思想. 教学难点：用平方根的定义解形如或的方程. 教 学 过 程 备 注 1.回顾复习，引入课题 【教师活动】通过提问引导学生回顾已学知识. 【问题1】口答题：4 的平方根是 ，81的平方根是 ， 81的算术平方根是 . 预设答案：；；9 【问题2】我们曾学习过平方根的意义及其性质，回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质? 预设答案： （1）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根.用式子表示：若x2＝a，则x叫做a的平方根. （2）平方根有下列性质： ①一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；②零的平方根是零； ③负数没有平方根. 【师生活动】问题1、2让学生自主完成，教师归纳总结，重点强调正数有两个平方根，负数没有平方根.为后面的学习奠定基础. 2.合作探究，探索新知 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. （1） x2＝4；（2）x2＝0；（3）x2+1＝0. 【师生活动】教师先引导学生判定上面方程是一元二次方程，并指出二次项系数、一次项系数、常数项各是多少，再根据平方根的意义解方程. 解：（1）根据平方根的定义，由x2＝4可知，x就是4的平方根，因此x的值为2和-2，即根据平方根的定义，得x2＝4，x＝±2，即此一元二次方程的解为x1＝2，x2＝-2. （2） 根据平方根的意义，得x1=x2=0. （3）根据平方根的意义，得x2=-1. 【教师追问1】类似地，你能给出下列方程的解吗？ （1）2x2-8＝0； （2）3x2＝-9. 分析：第（1）题可以先将-8移项，再将两边同时除以2化为x2＝a的形式，再利用平方根的性质进行求解. 【师生活动】让学生观察式子，独立思考，小组交流讨论后给出答案. 教师根据学生回答情况总结：对于形如方程ax2-k=0(≥0)可变形为x2= (≥0)的形式，即方程左边是关于x的一次式的平方，右边是一个非负常数，可直接利用平方根的意义解此方程. 【教师追问2】上述方程有什么共同点？你能归纳一下这类方程的解的情况吗？ 【师生活动】学生口答解方程过程，归纳出一般形式，并根据的取值范围得到方程的解的三种情况.教师板书.【归纳总结】一般地，对于方程 , （1） 当 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根. （2）当时，方程有两个相等的实数根. （3）当时,因为任何实数，都有，所以方程无实数根. 【教师追问3】怎样解方程(x+2)2=25? 【师生活动】学生独立思考，并给出解法.不难想到，这一类方程与没有实质差异，也可以根据平方根的意义，直接开平方求解.教师可引导学生将解方程的过程叙述为：对方程两边开平方，将它转化为两个一元一次方程，或，可得. 【教师追问4】类似的，怎样解方程(2x-1)2=1呢? 【师生活动】类比上面的解法，学生独立完成并回答 【教师追问5】结合上面所解的方程思考，具备什么形式才能用直接开平方法以及直接开平方法的步骤. 【师生活动】学生先自己进行归纳总结，同桌之间进行交流，发表意见.教师板书. 【归纳总结】具备x2=p（p≥0）或者形式的一元二次方程可以根据平方根的意义进行直接开平方计算，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了. 直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的意义直接求解. 3.学以致用，应用新知 【例1】直接利用开平方法解下列方程： （1）3x2＝12； （2）（x+3）2=5. 【师生活动】学生独立思考后，选两名学生口答解答过程，然后师生一起进行评价. 解：（1）两边同除以3，得x2=4. 开平方，得x=±2， 所以原方程的根是x1=2，x2=-2. （2）开平方，得x+3=±. 所以原方程的根是x1=-3+，x2=-3-. 【教师追问】利用直接开平方法应该注意什么问题？ 【师生活动】教师组织小组同学交流解此类方程注意的问题，然后总结归纳，教师做出点评. 【归纳总结】1.采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为或形式的方程，可得方程的根为或. 2.利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正、负”两种情况. 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列方程可用直接开平方法求解的是（ ） A. B. C. D. 答案：A （2）对形如的方程，下列说法正确的是（ ） A.直接开平方得 B.直接开平方得 C.当时，直接开平方得 D.当时，直接开平方得 答案：C （3）若，则= . 答案：7 （4）关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是 . 答案： （5）用直接开平方法解一元二次方程 . 小明的解答如下： 移项，得.① 直接开平方，得.② 小明的解答有无错误？若有，错在第 步，原因是 ，写出正确的解答过程. 解：② 移项，得， 直接开平方，得， 所以. 5.课堂小结，自我完善 学生先自己总结本节课主要内容，然后同桌之间交流，学生代表进行总结，教师点评，并引导学生形成本节课知识框架. 6.布置作业 教科书P30习题17.2第1题. 回顾旧知，为新课奠定基础，感受新旧知识之间的联系． 利用平方根的性质进行求解，注意正数的两个平方根互为相反数，0的平方根式0，负数没有平方根 根据平方根的求法得到方程的解，让学生将它们对应起来，然后教师将这种方法进行总结，注意方程解的写法. 这里教师要对式子进行分析，然后类比上面的解法，进行求解，最后进行总结，用字母的式子表示，便于学生理解和记忆. 通过经历解方程的过程让学生体会转化、降次的数学思想. 通过例题巩固本节课所学内容. 通过随堂练习巩固新知,加深对本节课的理解及应用.在进一步巩固所学知识的同时去发现问题,以便弥补知识的漏洞. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，巩固所学知识. 加深认识，深化提高. 板书设计 第1课时 直接开平方法 1.一般地，对于方程 , （1）当 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根. （2）当时，方程有两个相等的实数根. （3）当时，因为任何实数，都有，所以方程无实数根. 2.采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为或的形式的方程，可得方程的根为或. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 一元二次方程的求解是初中数学学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视.“直接开平方法解一元二次方程”是配方法解一元二次方程的基础；同时这一节的教材编写中还突出体现了“换元”、“转化”等重要的数学思想方法.因此这一节不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课.教学过程中，在合作探究过程中给学生较充分的时间进行独立思考、小组交流，让学生的思维互相启发互相碰撞，让个人智慧与集体智慧充分交融.在探究过程中适当巡视，适时指导点拨，保证各小组探究学习的有效性.同时，及时评价.对学生发现了不同解法时首先给予表扬和肯定，从而激发学生的求知欲. 教后反思，累积经验. 学科网（北京）股份有限公司 $