17.2 第1课时 直接开平法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(沪科版·新教材)  安徽专版

课题

直接开平方法

课型

新授课

教学内容

教材第24页的内容

教学目标

1.会利用直接开平方法解形如的方程.

2.初步了解形如的方程的解法.

3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.

4.通过解方程及实例探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法.

教学重难点

教学重点：运用开平方的方法解形如的方程，领会-降次-转化的数学思想.

教学难点：用平方根的定义解形如或的方程.

教  学  过  程

备  注

1.回顾复习，引入课题

【教师活动】通过提问引导学生回顾已学知识.

【问题1】口答题：4 的平方根是        ，81的平方根是        ， 81的算术平方根是        .

预设答案：；；9

【问题2】我们曾学习过平方根的意义及其性质，回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质?

预设答案：

（1）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根.用式子表示：若x2＝a，则x叫做a的平方根.

回顾旧知，为新课奠定基础，感受新旧知识之间的联系．

（2）平方根有下列性质：

①一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；②零的平方根是零；

③负数没有平方根.

【师生活动】问题1、2让学生自主完成，教师归纳总结，重点强调正数有两个平方根，负数没有平方根.为后面的学习奠定基础.

2.合作探究，探索新知

解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.

（1）x2＝4；（2）x2＝0；（3）x2+1＝0.

【师生活动】教师先引导学生判定上面方程是一元二次方程，并指出二次项系数、一次项系数、常数项各是多少，再根据平方根的意义解方程.

解：（1）根据平方根的定义，由x2＝4可知，x就是4的平方根，因此x的值为2和-2，即根据平方根的定义，得x2＝4，x＝±2，即此一元二次方程的解为x1＝2，x2＝-2.

（2）根据平方根的意义，得x1=x2=0.

（3）根据平方根的意义，得x2=-1.

【教师追问1】类似地，你能给出下列方程的解吗？

（1）2x2-8＝0；  （2）3x2＝-9.

分析：第（1）题可以先将-8移项，再将两边同时除以2化为x2＝a的形式，再利用平方根的性质进行求解.

【师生活动】让学生观察式子，独立思考，小组交流讨论后给出答案. 教师根据学生回答情况总结：对于形如方程ax2-k=0(≥0)可变形为x2= (≥0)的形式，即方程左边是关于x的一次式的平方，右边是一个非负常数，可直接利用平方根的意义解此方程.

【教师追问2】上述方程有什么共同点？你能归纳一下这类

利用平方根的性质进行求解，注意正数的两个平方根互为相反数，0的平方根式0，负数没有平方根

方程的解的情况吗？

【师生活动】学生口答解方程过程，归纳出一般形式，并根据的取值范围得到方程的解的三种情况.教师板书.【归纳总结】一般地，对于方程 ,

（1）当 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根.

（2）当时，方程有两个相等的实数根.

（3）当时,因为任何实数，都有，所以方程无实数根.

【教师追问3】怎样解方程(x+2)2=25?

【师生活动】学生独立思考，并给出解法.不难想到，这一类方程与没有实质差异，也可以根据平方根的意义，直接开平方求解.教师可引导学生将解方程的过程叙述为：对方程两边开平方，将它转化为两个一元一次方程，或，可得.

【教师追问4】类似的，怎样解方程(2x-1)2=1呢?

【师生活动】类比上面的解法，学生独立完成并回答

【教师追问5】结合上面所解的方程思考，具备什么形式才能用直接开平方法以及直接开平方法的步骤.

【师生活动】学生先自己进行归纳总结，同桌之间进行交流，发表意见.教师板书.

【归纳总结】具备x2=p（p≥0）或者形式的一元二次方程可以根据平方根的意义进行直接开平方计算，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.

根据平方根的求法得到方程的解，让学生将它们对应起来，然后教师将这种方法进行总结，注意方程解的写法.

这里教师要对式子进行分析，然后类比上面的解法，进行求解，最后进行总结，用字母的式子表示，便于学生理解和记忆.

通过经历解方程的过程让学生体会转化、降次的数学思想.