17.1 一元二次方程-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(沪科版·新教材)  安徽专版

该教案聚焦一元二次方程的概念及一般形式，通过蔬菜产量年平均增长率、矩形空地修筑小路面积两个实际问题引导学生列方程，类比一元一次方程抽象定义，搭建新旧知识学习支架。 特色在于情境驱动与素养融合，用实际问题培养数学眼光，类比定义发展推理意识，例题训练符号表达与整体思想，提升学生抽象能力和应用意识，助力教师高效落实重难点。

17.1 一元二次方程 课题 一元二次方程 课型 新授课 教学内容 教材第18-23页的内容 教学目标 1.了解一元二次方程的概念. 2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式. 3.经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一种数学模型. 教学重难点 教学重点：一元二次方程的概念及一般形式. 教学难点：探求问题中的等量关系，建立方程模型. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 问题1 某蔬菜队2019年全年无公害蔬菜产量为100 t，计划2021年无公害蔬菜的产量比2019年翻一番(即为200 t).要实现这一目标，2020年 和2021年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少? 【师生活动】教师展示问题，学生独立思考，小组内进行交流，若学生存在困难，教师可通过出示填空形式，让学生进行解答. 设这个队2020~2021年无公害蔬菜的年平均增长率是x,那么：2020年无公害蔬菜产量为t，2021年无公害蔬菜产量为t. 【教师提问】你能根据题意，列出方程吗？ 根据题意，得. 整理，得 x2+2x-1=0 . 问题2 如图，在一块宽20 m、长32 m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的6块，建成小花坛.要使花坛的总面积为570 m2，问小路的宽应是多少？ 【师生活动】教师接着提出问题2，提示只列算式.学生尝试独立解决，若发现存在问题，可让学生先小组内交流，最后找一位代表进行解答. 设小路的宽是x m，那么横向小路的面积 32x m2，纵向小路的面积是 2×20x m2,两者重叠的面积是 2x2 m2.【教师提问】由于花坛的总面积是570 m2.你能根据题意，列出方程吗？ 32×20-（32+2×20x）+ 2x2=570. 整理，得 x2-36x+35=0 . 2.类比发现，探索新知 观察方程：x2+2x-1=0，x2-36x+35=0. 【教师提问】以上两个方程以前都没有学习过.对比一元一次方程，有什么相同之处和不同之处？ 【师生活动】学生先独立思考（注意思考“一元”“一次”的意义），然后小组内讨论、交流，汇报.引导学生得出方程的共同特点，并进行板书. 【归纳总结】（1）都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）；（2）只含一个未知数；（3）未知数的最高次数是2. 【教师追问】类比一元一次方程的定义，以及对“元”“次”的理解，能不能给以上方程下一个定义？ 【师生活动】学生口答，师生共同归纳出一元二次方程的定义.教师引导学生认识二次项及系数，一次项及系数，常数项. 【归纳总结】 ①一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. ②一元二次方程的一般形式是其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项. 【教师追问】你能说出x2+2x-1=0，x2-36x+35=0的一次项及系数、二次项及系数、常数项吗？ 【师生活动】此问题较简单，可找基础较弱的学生进行回答. 【教师追问】为什么要求二次项系数？b和c能不能是0？ 【师生活动】学生独立思考并回答，教师针对学生的回答进行补充、归纳、强调.①当二次项系数a为0时，未知数的最高次数不是2，此时，方式不是一元二次方程，所以二次项系数；②b和c可以为任何实数. 3.学以致用，应用新知 【例1】判断下列方程，哪些是一元二次方程？ 【师生活动】引导学生根据一元二次方程的定义进行判断，学生独立思考后，进行回答. 解：（1）（2）（3）（4）（7）（8）是一元二次方程. 【教师追问】要判断一个方程是一元二次方程，那么它应该满足哪些条件？ 【师生活动】根据例题先让学生自己独立思考总结，然后小组交流，汇报.引导学生总结出判断是否为一元二次方程的标准. 【归纳总结】首先看是不是整式方程；如果是整式方程，再进一步化简整理使方程等号右边为0，最后再观察其是否还具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数是2”这两个条件，若具备，则是一元二次方程，否则不是. 【例2】a为何值时，下列方程为一元二次方程？ ； 【师生活动】学生先独立思考，然后同桌交流，教师组织进行展示，然后师生共同总结解决这一类问题的方法. 解：(1)将方程转化为一般形式，得, 所以当，即时，原方程是一元二次方程. (2)由，且知，当时， 原方程是一元二次方程. 【归纳总结】用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值. 【例3】已知方程3x(x-1)=2(x+2)+4. （1）把方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项； （2）判断-1是否为该方程的根. 【师生活动】教师先引导学生确定二次项，一次项以及常数项首先要把方程化为一般式.学生独立思考，学生代表回答. 解：详见教材P21. 【教师追问】解决此类问题需要注意什么？ 【师生活动】学生独立思考总结，并回答. 【归纳总结】①一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的；②系数和项均包含前面的符号. 【例4】已知a是方程x2+2x-2=0的一个实数根,求3a2+6a+ 2 023的值. 【师生活动】先让学生尝试解决，如果学生有困难，教师可通过以下问题引导学生思考. 【教师追问1】什么是一元一次方程的解？类比一元一次方程的解的定义能不能说出什么是一元二次方程的解？ 【教师追问2】下面哪些数是方程的解? -2，0，1，2，3，4. 【师生活动】学生口答，归纳出一元二次方程根的定义，使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.教师进行板书，根据定义教师引导学生尝试解决问题，并及时归纳总结. 解：由题意，得即 【归纳总结】已知方程的解求代数式的值，一般先把已知解代入方程，得到等式，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值. 4.随堂训练，巩固新知 （1）判断下列方程中，哪些是关于x的一元二次方程？ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 解：当时，⑤是一元二次方程；⑥是一元 二次方程. （2）将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项: ① ② ③ ④ 解：① ② ③ ④ （3）将48张桌子排成若干行，且每行的桌子的数目相同，已知每一行的桌子数比总行数多2，设这些桌子排成了x行，写出排成的行数所满足的方程，并将其化为标准形式. 解：因为这些桌子排成了x行，则每一行的桌子数， 依题意，得方程， 整理，得. （4）下面哪些数是方程组根？ -3，-2，-1，0，1，2，3 答案：-2，1 5.课堂小结，自我完善 先让学生独立思考，进行总结，教师补充概括. 6.布置作业 教科书P23习题17.1第1~3题 问题1在老师的引导示范下，共同探索，得到方程. 先让学生自己尝试列出方程，然后提醒学生进行化简，观察所列方程的特征. 问题2由学生自主探究，训练了学生及时学习的能力，为引出一元二次方程的定义做好准备. 类比一元一次方程可以使学生对概念的理解更深刻. 教师需要强调“一元”“二次”真正含义 让学生自己给出定义就是对过去所学一元一次方程的定义的类比和对比，概括一般形式是对一元二次方程另一个角度的理解，是对数学符号语言的应用能力的提升. 特别强调：二次项系数，要说出项的系数必须先化成标准形式. 反馈学生对一元二次方程定义的理解程度，要紧扣定义进行判断.但是有些方程需要化成一般形式后才能进行判断，比如例1（3）（4）. 通常要先将式子化为一般形式再判断.此类问题大部分学生能想到，往往忽略最高项的次数为2的条件，导致漏解，教师应对此进行强调，避免漏解. 在形式比较复杂的方程面前，通过辨析方程的元、次、项看清方程的本质，深化理解，淡化对一元二次方程概念的记忆．这里注意项和系数的区别. 对一元二次方程（根）得考查，学生刚接触可能会比较懵，但通过类比一元一次方程的解，学生应不难理解一元二次方程的解. 体会整体思想在代入求值问题中的应用 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. . 通过引导学生对本节课知识进行总结回顾，进一步巩固所学知识，教师要对易错点进行强调. 加深认识，深化提高. 板书设计 17.1 一元二次方程 一、一元二次方程 1.都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）； 2.只含一个未知数； 3.未知数的最高次数是2. 二、一般形式 ，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项. 三、一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根 提纲挈领，重点突出. 教后反思 在教学过程中，注重重难点的体现.在本节课的教学中，先通过实际问题引入课题，让学生掌握利用方程解决问题的方法，从而顺利过渡到后面的问题.然后让学生观察得到的方程，并通过类比一元一次方程的定义和一般形式，从而获得本课的新知识.最后强化学生所学知识，并运用到实际问题中去.教学过程中，应随时注意学生们出现的问题，及时进行反馈，使学生熟练掌握所学知识. 教后反思，累积经验. 学科网（北京）股份有限公司 $