17.1 一元二次方程-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(沪科版·新教材)  安徽专版

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根，通过复习一元一次方程等旧知，结合蔬菜产量增长率、长方形空地修路两个实际问题引入新知，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是以实际问题为载体，引导学生用数学眼光观察现实，抽象出方程模型，通过对比方程共同特点培养推理意识，例题和演练强化应用。帮助学生发展抽象能力和模型意识，教师可提升教学效率。

17.1 一元二次方程 第17章 一元二次方程及其应用 学习目标 1．了解一元二次方程的概念.(重点) 2．掌握一元二次方程的一般形式为常数，，能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式.(重点) 3．能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型.(难点) 复习导入 1、我们曾学过哪些方程？ 一元一次方程、 二元一次方程、 分式方程 2、什么是一元一次方程？ 一元一次方程具有哪些特点？ 只含有一个未知数 (元) ， 叫作一元一次方程. 并且未知数的最高次数是 1 的 整式方程 ③ 方程两边都是整式 ① 只含有一个未知数 (元) ② 未知数的次数是 1 一元一次方程的一般形式： ax+b=0 (a≠0) 3、什么是方程的解(或根)? 使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解(或根). 新知引入 思考：根据以往的经验，你想用什么方法来解决这个实际问题？ 方程 问题 1 某蔬菜生产基地去年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划 明年无公害蔬菜的产量比去年翻一翻（即为 200 t）.要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？（精确到1%） 知识点1 一元二次方程的概念 100(1+x)+100(1+x)x=100(1+x)2(t). 解：设这个生产基地无公害蔬菜产量的年平均增长率是x， 根据题意，得 100（1+x）2 =200 . 整理，得 （1+x）2 =2 . 那么，今年无公害蔬菜产量为 100+100x=100(1+x)(t)， 明年无公害蔬菜产量为 化简，得 x2+2x-1=0. 用图表示为： 下节课讨论求解. 问题２ 如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上，修筑三条等宽的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成6块，建成小花坛.要使花坛的总面积为 570 m2，小路的宽应是多少？ 32 20 x (单位：m) 新知引入 1、若设小路的宽是 x m，则横向小路的面积是______m2，纵向小路的面积是 m2,两者重叠的面积是 m2. 32x 2、由于花坛的总面积是 570 m2.你能根据题意，列出方程吗？ 2×20x 32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570. 2x2 整理，得 x2-36x＋35=0. 思考 (单位：m) 32 20 x 还有其他的列法吗？试说明原因. (32-2x)(20-x)=570. 32-2x 20-x 32 20 整理，得 x2-36x＋35=0. 想一想 (单位：m) x2+2x-1＝0 x2-36x+35＝0 观察上面所列的方程，这两个方程之间有什么共同的特点？ ③ 方程两边都是整式 ① 只含有一个未知数 (元) ② 未知数的最高次数是 2 特点： 只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2的 整式方程， 叫作 一元二次方程. 观察 概念学习 一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0 其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c是常数项． （a，b，c为常数，a≠0）, 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0， 当 a ≠ 0，b = 0 时 ax2＋c = 0， 当 a ≠ 0，c = 0 时 ax2＋bx = 0， 当 a ≠ 0，b = c =0 时 ax2 = 0， 总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数. 不符合定义； 符合定义； 符合定义； 符合定义． 想一想 知识点2 一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的根. 练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4. 解： 3 和 -2. 你注意到了吗？一元二次方程不止一个根. 例 已知方程. （1）把该方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项； （2）判断-1是否为该方程的根. 解：（1）去括号，得. 移项、合并同类项，得方程的一般形式：. 它的二次项系数是3，一次项系数是-5，常数项是-8. 教材例题 （2）把代入原方程的左右两边，得 . . 因为左边=右边，所以-1是该方程的根. 注意：不要忘记前面的符号. 例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理为 x2 - 3x + 2 = 0 少了先决条件 a ≠ 0 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程，若是则进一步化简整理后再作判断. 例题解读 例2 a 为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1) ax2－x = 2x2 ； (2) (a－1)x|a|+1－2x－7 = 0. 解：(1) 将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0，所以当 a - 2 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，原方程是一元二次方程. (2) 由 |a| + 1 = 2，且 a - 1 ≠ 0 知，当 a = -1 时，原方程是一元二次方程. 方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，根据未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可得解． 例3 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化为一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2 - 3x = 5x + 10. 移项、合并同类项，得该方程的一般形式为 3x2 - 8x - 10 = 0. 其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是 -8x，系数是 -8；常数项是 -10. 系数和项均包含前面的符号. 注意 例4 已知 a 是方程 x2 + 2x－2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值. 解：由题意得 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值. 随堂演练 1. 下列哪些是一元二次方程？ 是 不是 是 不是 不是 是 3x + 2 = 5x - 2； x2 = 0； (x + 3)(2x - 4) = x2； 3y2 = (3y + 1)(y - 2)； x2 = x3 + x2 - 1； 3x2 = 5x - 1. 2. 填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 3. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值. 解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得 32 + 3a + a = 0， 9 + 4a = 0， 4a = -9， 课堂小结 一元二次方程 概念 一般形式 ①是整式方程； ②含一个未知数； ③未知数最高次数是2 ax2 + bx + c = 0 (a,b,c为常数，a ≠ 0) 根 使方程左右两边相等的未知数的值 绿卡图书—走向成功的通行证 $