精品解析：湖北省荆州市2026届高三上学期1月质量检测数学试题

荆州市2026届高三元月质量检测 数学试卷 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若对，直线与圆总有2个公共点，则m的取值范围是（ ） A. B. C D. 5. 已知偶函数在上是增函数，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 科技公司为破解某密码锁的密码，采用技术手段测得其密码键盘1、2、4、6这4个数字键磨损较大，于是判断密码由这4个数字组成，且每个数字至少出现1次.通过密码锁生产厂家了解得知，该密码是6位数，且连续输入错误5次就会被永久锁定.若以上判断和信息均正确且再无其他线索，科技公司随机尝试5次不同的密码，能成功破解该密码的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面上的点，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校教学比武活动有7名评委现场打分，7名评委对某位选手的评分分别为a，b，c，d，e，f，g.设这组数据的平均数、标准差、中位数、众数分别为，s，m，z，根据计分规则，去掉一个最高分和一个最低分后，余下数据的平均数、标准差、中位数、众数分别为，，，，则以下判断一定正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在直三棱柱中，，，且，点D在线段上运动，则下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 与不可能平行 C. 与不可能垂直 D. 四棱锥外接球面积为 11. “局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究.函数就是一个“局部周期递归函数”.则下列说法正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. 函数在上单调递减 C. 方程有5个不同的解 D. 若方程有10个不同的解，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，（i为虚数单位），则函数的最大值为______. 13. 已知抛物线，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，点是与在第一象限的一个交点，且（为原点）.则椭圆的方程是______. 14. 已知等差数列首项为2，公差为2，前项和为，数列前项和为，且满足.若对于任意，成立，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，且.点E为线段的中点. （1）在线段上取一点F，使得平面，求此时线段的长； （2）对于（1）中所求的点F，求二面角的余弦值. 16. 如图，在中，，，D，E分别是边，的中点，且. （1）求的面积； （2）求. 17. 某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则如下：参加活动的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台家电；活动甲设有4个不同的选择题、3个不同的填空题，活动乙设有3个不同的选择题、2个不同的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2个不同的题目作答，若两题都答对，则享受按2折购买的优惠，答对一题可享受按5折购买的优惠，全部答错只能享受按8折购买的优惠.小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.4，每次答题相互独立. （1）若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率； （2）该款家电原价为a元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由. 18. 如图，，分别为双曲线的左、右焦点.分别为双曲线左、右支上位于轴上方的点，且满足，设直线与相交于点. （1）若，求直线的斜率； （2）当点在双曲线上运动时， （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）证明：点在一个椭圆上运动，并求出该椭圆方程. 19 设函数. （1）若对，成立，求实数a的取值范围； （2）（ⅰ）当时，比较与的大小； （ⅱ）证明；当，时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州市2026届高三元月质量检测 数学试卷 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，结合包含关系即可得结果. 【详解】因，则， 又集合，，可得， 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 2. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性判断比较即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由，，判断充分性成立；由，，判断必要性成立即可. 【详解】，，， ，， 由，通分整理得：， ，，即， ，， ，， 故选：C 4. 若对，直线与圆总有2个公共点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据方程表示圆的条件得到，再利用直线过定点且与圆有两个公共点，分类分析得定点在圆内，计算即可. 【详解】记直线直线为，则直线恒过定点， 记已知圆为，圆的方程 ， 配方得：， 所以圆心为，半径，，即. 当点在已知圆外时，总存在，使得直线与圆没有公共点，不合题意； 当点在已知圆上时，代入圆的方程得，此时圆的半径为，圆心与轴的距离为，所以圆与轴不相切，所以一定存在，使得直线与圆相切，即只有一个公共点，不合题意； 当点在圆内部时，对于，直线与圆都相交，即有2个公共点，符合题意. 点在圆内部时， ，解得：， 综上，的取值范围是. 故选：D. 5. 已知偶函数在上是增函数，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数性质以及单调性可得，进而运算求解即可. 【详解】因为函数为偶函数，则不等式即为， 又因为函数在上增函数，且，， 则，整理可得，解得或， 所以满足的x的取值范围是. 故选：B. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数图象的平移变换，可求出的表达式，结合正弦函数性质，求出该函数的单调递增区间，即可判断A，结合正弦函数的单调性可一一判断BCD，即得答案. 【详解】由题意知将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 故， 令，即， 即函数的单调递增区间为， 当时，的单调递增区间为，A正确； 对于B，当时，， 由于在上不单调，故不是的单调增区间，B错误； 对于C，时，， 由于在上不单调，故不是的单调增区间，C错误； 对于D，时，， 由于在上单调递减，故是的一个单调减区间，D错误； 故选：A 7. 科技公司为破解某密码锁的密码，采用技术手段测得其密码键盘1、2、4、6这4个数字键磨损较大，于是判断密码由这4个数字组成，且每个数字至少出现1次.通过密码锁生产厂家了解得知，该密码是6位数，且连续输入错误5次就会被永久锁定.若以上判断和信息均正确且再无其他线索，科技公司随机尝试5次不同的密码，能成功破解该密码的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算 6 位密码的总数（由 1、2、4、6 组成，每个数字至少出现 1 次），进而求得成功破解该密码的概率. 【详解】根据题意，6位数由4个数字组成，那么总可能数为种， 排除“缺少1个数字”的情况：选1个数字不出现，剩余3个数字组成6位数，共 种； 补回“缺少2个数字”的情况（容斥原理）：选2个数字不出现，剩余2个数字组成6位数，共 种； 排除“缺少3个数字”的情况：选3个数字不出现，剩余1个数字组成6位数，共 种； 根据容斥原理，符合条件的密码数为. 所以能成功破解该密码的概率为. 故选：B. 8. 已知平面上的点，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知点在直线上，点在曲线上，结合导数的几何意义运算求解. 【详解】因为点在直线上，点在曲线上， 又因为，， 令，解得，可得， 的最小值即为点到直线的距离. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校教学比武活动有7名评委现场打分，7名评委对某位选手的评分分别为a，b，c，d，e，f，g.设这组数据的平均数、标准差、中位数、众数分别为，s，m，z，根据计分规则，去掉一个最高分和一个最低分后，余下数据的平均数、标准差、中位数、众数分别为，，，，则以下判断一定正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用平均数、标准差、中位数、众数的定义求解. 【详解】选项A，设，则， ，无法比较的大小，故选项A错误； 选项B，，，去掉一个最高分和一个最低分后，数据的波动性减小，故，故选项B正确； 选项C，原数据的中位数，去掉一个最高分和一个最低分后的新数据的中位数为，故，故选项C正确； 选项D，众数是数据中出现次数最多的数，去掉一个最高分和一个最低分后，众数可能发生变化，可能不发生变化，故不一定有，故选项D错误. 故选：BC. 10. 如图，在直三棱柱中，，，且，点D在线段上运动，则下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 与不可能平行 C. 与不可能垂直 D. 四棱锥的外接球面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面垂直可对A判断求解；建立空间直角坐标系，并设，，假设与平行，利用向量法即可求解对B判断；利用向量求出即可对C判断；利用补形法将直三棱柱补成长方体，即可求出长方体外接球半径，即可对D判断求解. 【详解】A：由题平面，平面，所以， 又因，且，平面， 所以平面，因平面，所以， 又，则四边形为正方形，所以， 因，平面，所以平面，故A正确； B：如图，以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， ，，，，， 设，，得， 所以，， 假设与平行，则，即，则，无解， 所以假设不成立，故与不可能平行，故B正确； C：，， 若与垂直，则，则，即， 又因，所以假设成立，故C错误； D：四棱锥的外接球就是直三棱柱的外接球， 因为，可将直三棱柱补成长方体，则长方体外接球即为直三棱柱的外接球， 长方体体对角线长为(为外接球半径)，解得， 所以外接球面积为，故D正确. 故选：ABD. 11. “局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究.函数就是一个“局部周期递归函数”.则下列说法正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. 函数在上单调递减 C. 方程有5个不同的解 D. 若方程有10个不同的解，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出函数的图象，结合图象判断ABC；令，将问题转化为方程有两个不相等的实数根，且这两个根分别在、内，进而求解判断D. 【详解】当时，； 当时，，则； 当时，，则； 当或时，， 作出函数的图象如下： 由图可知，函数的值域为，故A错误； 函数在上单调递减，故B正确； 由于函数与有5个交点， 则方程有5个不同的解，故C正确； 对于D，令， 因为方程有10个不同的解， 所以方程有两个不相等的实数根， 设，显然， 则这两个根分别在、内， 有，解得，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，（i为虚数单位），则函数的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据复数的运算法则求出的值，再将函数化简，最后根据三角函数的性质求出最大值即可. 【详解】因为，整理得， 所以，解得：，， 所以， 利用辅助角公式化简得， 又因为余弦函数的值域是， 所以当时，取得最大值， 即. 故答案为：. 13. 已知抛物线，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，点是与在第一象限的一个交点，且（为原点）.则椭圆的方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，由求得点坐标，结合椭圆的定义即可求解. 【详解】由抛物线方程可得， 因为点是与在第一象限的一个交点，且，所以轴， 设，代入解得， 由题意可得椭圆的左焦点为，右焦点为， 则， 所以，，， 所以椭圆的方程是， 故答案为：. 14. 已知等差数列首项为2，公差为2，前项和为，数列前项和为，且满足.若对于任意，成立，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据等差数列通项公式和前项和公式求出，利用裂项相消法求出，再利用导数求的最大值即可. 【详解】因为数列是首项为2，公差为2的等差数列， 所以，， 所以， 所以 ， 对于任意，成立，只需即可， 令，则， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，取最大值， 所以，即， 所以的最小值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，且.点E为线段的中点. （1）在线段上取一点F，使得平面，求此时线段的长； （2）对于（1）中所求的点F，求二面角的余弦值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）建系并标点，设，可得，平面的一个法向量为，利用空间向量运算求解； （2）分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角. 【小问1详解】 因为底面，， 以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，，可得， 且平面的一个法向量为， 若平面，则，可得，解得， 所以线段的长为1. 【小问2详解】 由（1）可知：， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 由图可知：二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 16. 如图，在中，，，D，E分别是边，的中点，且. （1）求的面积； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，由题意列方程可求出的值，根据三角形面积公式，即可求得答案； （2）求出，根据三角形面积求解，即可得答案. 【小问1详解】 以点A为坐标原点，为x轴，过点A作垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 则，设，由于，则， 则，故， 而，故， 即，即， 结合，得，即得，则， 故的面积为； 【小问2详解】 结合（1）的分析可知， 的面积为,则，即, 故. 17. 某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则如下：参加活动的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台家电；活动甲设有4个不同的选择题、3个不同的填空题，活动乙设有3个不同的选择题、2个不同的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2个不同的题目作答，若两题都答对，则享受按2折购买的优惠，答对一题可享受按5折购买的优惠，全部答错只能享受按8折购买的优惠.小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.4，每次答题相互独立. （1）若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率； （2）该款家电原价为a元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由. 【答案】（1） （2）应该选择参加乙活动，理由见解析 【解析】 【分析】（1）结合题意，分第1题抽到选择题、第1题抽到填空题两种情况求解即可； （2）分别求出小黄参加甲、乙活动花费金额的数学期望，进而判断即可. 【小问1详解】 由题意，小黄第1题抽到选择题的概率为，第1题抽到填空题的概率为， 则小黄第二题抽到的题目是填空题的概率为. 小问2详解】 由题意，小黄答对每道选择题的概率均为，答对每道填空题的概率均为， 若小黄选择参加甲活动，设答对题目数为，则的可能取值为， 所以， ， ， 则小黄参加甲活动花费金额的数学期望为； 若小黄选择参加乙活动，设答对题目数为，则的可能取值为， 所以， ， ， 则小黄参加乙活动花费金额的数学期望为. 由于， 所以小黄应该选择参加乙活动. 18. 如图，，分别为双曲线的左、右焦点.分别为双曲线左、右支上位于轴上方的点，且满足，设直线与相交于点. （1）若，求直线的斜率； （2）当点在双曲线上运动时， （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）证明：点在一个椭圆上运动，并求出该椭圆方程. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先由平行关系得到线段比例与纵坐标关系，设出直线方程并联立双曲线方程，再通过消元与代数运算求出直线斜率. （2）（ⅰ）利用双曲线的对称性得到线段等量关系，设直线方程并联立双曲线，结合韦达定理与两点距离公式，化简证明表达式为定值. （ⅱ）先由(i)的结论得到线段长度关系，再结合双曲线定义与平行线分线段成比例，推出点P到两焦点的距离之和为定值，最后根据椭圆定义确定椭圆方程. 【小问1详解】 双曲线两个焦点坐标为， 由可知，，故， 两条平行线设为， 分别与联立，得， 进而有 将②-①×9得，，代入①式得， 因为，所以，故，所求斜率为. 【小问2详解】 （ⅰ）分别延长线段与双曲线交于，由于， 由双曲线的对称性可知，，四边形是平行四边形，其中心为原点， 关于原点对称，故， 设，且， 联立，，， 所以. 由两点距离公式，， 所以， 由韦达定理，， （ⅱ）设，由(i)知，即：， 由双曲线的定义知，， 由于，根据平面几何知识，， 所以， ， 由椭圆定义知，点在以为焦点，长轴长为的椭圆上， 由得，其方程为， 所以当点在双曲线上运动时，点在椭圆上运动. 19. 设函数. （1）若对，成立，求实数a的取值范围； （2）（ⅰ）当时，比较与的大小； （ⅱ）证明；当，时，. 【答案】（1） （2）（ⅰ）当时，；（ⅱ）证明见详解 【解析】 【分析】（1）求导，根据题意结合端点效应可得，解得，并代入检验其充分性即可； （2）（ⅰ）设，，利用导数法得在区间上单调递减，进而可得结果；（ⅱ）由（1）可知：当时，，当，时，可得，由（ⅰ）可得，进而放缩可得，利用裂项相消法求和即可证明. 【小问1详解】 因为，则， 若对，成立，注意到， 则，解得， 若，则， 可知在内单调递减，则，即符合题意； 综上所述：实数a的取值范围为. 【小问2详解】 （ⅰ）设，，则， 令，，则， 可知在区间上单调递减，则， 即，可知在区间上单调递减， 则，所以当时，； （ⅱ）由（1）可知：当时，，等价于， 当，时，可得， 又因为当时，，可得， 则， 即， 则， 所以当，时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $