20.卷12 第5章 特殊平行四边形 上分专题（四） 正方形中常见的几何模型-【初中上分卷】2025-2026学年八年级下册数学配套课件（浙教版·新教材）浙江专用

该初中数学课件聚焦八年级下册正方形中手拉手、对角互补、十字架、半角四种几何模型，通过母题学方法导入，结合正方形性质与全等三角形知识，搭建从模型特征解析到子题变式练习的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以“母题-解析-子题”结构，培养学生几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）和模型意识（数学语言）。如十字架模型通过证明垂直与相等关系，半角模型用旋转法作辅助线，提升学生解题能力，教师可借助系统专题资料提高教学效率。

数 学 八年级下册 ZJ 1 2 上分专题（四） 正方形中常见的几何模型 重难上分 攻克难点 3 类型1 手拉手模型 类型2 对角互补模型 类型3 十字架模型 类型4 半角模型 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 类型1 手拉手模型 母题学方法 上分攻略 发现两个共顶点的正方形时，可联想手拉手模型.按照“ ”检验三角形对应边角关 系，其中一个三角形绕公共点旋转 可与另一个三角形重合. 1.[2025宁波镇海区校级期末]如图,中， ，以 的每条边 为边作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且点 恰 好是的中点.若图中阴影部分面积为6，则 的长度是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 6 【解析】如图,设交于点，交 于点 ，四边形、四边形 、四边形 都是正方形，， ， ，,,三点在同一条直线上， 易得 ，.在和 中， ， 点 ， ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 7 是的中点，，.在和 中， ， ， ， ，，. ， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 类型2 对角互补模型 母题学方法 上分攻略 如图，在正方形中，点是对角线， 的交点，过 点作射线，，分别交，于点， ，且 ，，交于点 . 结论：；； 是 等腰直角三角形；④四边形的面积为正方形 面积 的 . 2.[2024广东茂名期中]如图，在四边形中， ， ， 垂足为，且,，则四边形 的面积为____. 25 （第2题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 10 【解析】把绕点逆时针旋转 ，如图. 旋转不改变 图形的形状和大小， ,, 点与点 重合， ， ， 在四边 形中， ， ， ， 点,, 在同一直线上. ，, 四边形 是正方形, .故四 边形 的面积为25.故答案为25. 1 2 3 4 5 6 7 8 11 子题练变式 （第3题图） 3.[2025温州校级模拟]如图，点为正方形的对角线 的 中点，在中，两直角边,分别交,于点, . 若正方形的边长为 ，则阴影部分的面积为( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 12 【解析】如图,连结 四边形是边长为 的正方形， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， .在 和 中， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 13 ， ， 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 （第4题图） 4.[2025宁波鄞州区校级模拟]如图，在正方形中， 为对角线 ,的交点，,分别为边,上一点，且，连结 . 若 ，，则 的长为( ) A A. B. C. D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 15 【解析】和为正方形 的对角线， ， ， ， ， ， ， ，，是等腰直角三角形. 过点 作 ，如图， ， 是等腰直角 三角 形， 易得. ， , ，， 易得 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 16 类型3 十字架模型 母题学方法 上分攻略 在正方形的对边分别取点并相连，所得两条线段若垂直，则相等；若相等，则垂直. 简记：垂直即相等；相等即垂直. ①线段过顶点时，如图（1）.若,易证 ，可得出 . 若,易证,可推出 . 图（1） 图（2） ②线段不过顶点时，如图（2），通过平移线段构造过顶点的十字架模型. 5.[2025嘉兴平湖二模]如图，正方形的边长是6，点在边 上，，连结，过点作的垂线交于点，连结 ， 线段 的长是( ) D A. B. C.7 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 19 【解析】 四边形是正方形，且边长是6， ， ， ， ， ， ， ，.在和 中， ， ， .在 中，由勾股定理得 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 20 子题练变式 6.[2025杭州临安区一模]如图，在边长为4的正方形中，，分别为边 ， 上的点，且，过点作的垂线交于 . 1 2 3 4 5 6 7 8 21 （1）求证： . 【证明】过点作于点 ，如图所示, 四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ，.在和 中， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 22 （2）请写出与 之间的数量关系并证明. 【解】.证明如下：，.又 ， ，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 23 类型4 半角模型 母题学方法 上分攻略 在正方形某一顶点处有一个 的角，且该角的边与正方形的边或边所在直线相 交，则构成半角模型.利用旋转法或截补法作辅助线，并证明三角形全等，即可得 出线段间的和差关系. 7.[2025宁波象山校级期中]如图，已知边长为1的正方形中，点, 分别在边 ,上， ,连结 . （1）猜想,, 之间的数量关系，并证明； 1 2 3 4 5 6 7 8 25 【解】.证明如下：过作，交的延长线于 ，如图. 四边形为正方形， ， ， ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 26 ， ， ， . 在和中， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）若的长为，求 的长. 【解】在中，，，, . 设 ， 则， ， 在中, ， 解得,即 . 在中，由勾股定理得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 28 子题练变式 8.[2025杭州拱墅区校级期中]已知正方形中，为线段上一点，连结 , 过作，且，连结 . 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 29 （1）如图（1），求 的度数； 图（1） 【解】如图（1），延长到，使，连结,则 .在 正方形中，， , , , ， , ， , 为等腰直角三角形, , . 1 2 3 4 5 6 7 8 30 （2）如图（2），连结交于点，连结，若， ，求 的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 31 图（2） 【解】如图（2），延长到,使,连结 , ,是等腰直角三角形， . ，， , .在 中，由 勾股定理得， , ，,, , . ，， ， , 1 2 3 4 5 6 7 8 32 $