专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型（几何模型讲义）数学新教材浙教版八年级下册

该初中数学讲义通过故事引入、模型提炼与真题分析系统构建胡不归模型知识体系，用流程图呈现“BC + kAC最小值”的转化步骤，明确点到线距离垂线段最短的核心依据，梳理特殊平行四边形中动态最值问题的解题脉络。 讲义亮点在于分层设计的例题与练习题，如九年级例2“在△ABC中，AB=AC=4，∠CAB=30°，求PA + 2PB的最小值”，通过构造含30°角的直角三角形转化问题，培养推理能力与模型意识。从基础折叠问题到中考压轴题，满足不同层次学生需求，教师可依托资料实施精准复习，提升学生解决动态最值问题的能力。

专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.胡不归模型（最值模型） 6 17 胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点，总时间可缩短（公式为 ，这便催生了求“BC + k·AC最小值”的几何问题，其中k为速度比 （0<k<1）。这则故事因情感真挚，成为初中数学经典模型，常被用于讲解路径优化和三角构造技巧。 （2024·四川成都·模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 一动点在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC，将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 模型1.胡不归模型（最值模型） 例1（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 例2（25-26九年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 例3（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（    ） A． B． C． D． 例4（2025·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____． 例5（25-26八年级下·浙江宁波·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________． 1．（25-26八年级下·湖北·期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．       2．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是______． 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___． 4．（2025九年级·全国·专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___． 5．（2025·陕西·模拟预测）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____． 6．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______. 7．（25-26九年级·河南安阳·自主招生）如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是__________．    7．（25-26八年级上·陕西西安·期中）（1）如图①，已知，，，若，，则________； （2）如图②，等腰中，，，点为边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转至，连接、，求证：； （3）如图③，等边中，，于，为线段的中点，点为边的中点，点为线段的中点．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，，，当的值最小时求的面积．      8．（2023九年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系，，直线经过，点在直线上运动，求最小值． 9．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）已知在矩形中，，，点是边上一动点． (1)连接，若点是边上的中点，求的长； (2)如图1，在（1）的条件下，作的垂直平分线分别交，，于点，，，求的长； (3)如图2，点为边上一点，连接，将沿折叠得到，点的对应点恰好落在边上，为上一动点，连接，过点作交于点，若，是否存在点，使得的值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 10．（2025·山东临沂·二模）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上的点． (1)当点是与的交点时，如图1，求的度数； (2)如图2，若点是上任意一点时，将绕点逆时针旋转得到，连接，，求证：； (3)当点在何处时，的值最小，说明理由． 11．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在边长是的正方形中，、分别是边、上的动点，且满足，与交于点，是的中点，是边上的点，，则 的最小值是 _____ ． 12．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，以矩形的顶点A建立平面直角坐标系，点B，D分别在x轴，y轴上，点C的坐标为，M，N分别是，上的动点，且，当取最小值时，点M的坐标为______． 13．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，沿翻折矩形，A对应M，D落在上的N处，作于H，，，则的最小值为________． 14．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知菱形，，点P在边上运动，连接，取中点Q，连接． （1）当P为中点时，的长为________； （2）在P从点B运动到点C的过程中，的最小值为________． 15．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，已知，，为中点，点在上，且，动点从点出发沿射线运动，动点从点出发沿射线运动，两点同时出发，并且速度相同，连接、，当、运动时，则的最小值为______． 16．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，． （1）_______． （2）的最小值是________． 17．（2025·陕西榆林·二模）如图，正方形的边长为4，点在边上，点在的延长线上，，连接、，则的最小值为_____． 18．（24-25八年级下·重庆·期中）如图所示，在正方形中，，、、分别为、、边上的动点，且，则的最小值为_______________． 19．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在正方形中，，E，F，G分别为，，上的点，连接，，若，则的最小值为___________． 20．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，正方形的边长为3，在的延长线上存在两个动点、（点在点的左侧），以为边作正方形，且与正方形在延长线的同侧．在线段上有一动点，过点作，射线恒过点、射线恒过点．连接，点是的中点，连接、，若，则的最小值为________． 21．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图1所示，四边形是矩形，，点O位于对角线上，将分别沿，翻折，使点、点都恰好落在点处． (1)求证：四边形是菱形； (2)点是直线上的一个动点，请在图1中，作于，作于，的值会变吗？如果不变请求出这个值；如果会变，请说明理由． (3)如图2，若是线段上的动点，求的最小值． 22．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图1，正方形中，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，连接，． (1)若，求证点恰好落在正方形的对角线上； (2)过作交的延长线于，判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图2，记交于点，过作交于点，四边形是平行四边形，点在上，，且．求的最小值． 23．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知，正方形边长为a，点E，F为边上的两点，连接、并延长交于点G，连接，H为上一点，连接、． (1)如图1，若H为的中点，，且，求线段的长； (2)如图2，若，，过点A作于点I，求证：； (3)如图3，若F为射线上的动点，过C点作于点P，将沿翻折得，K为直线上一动点，连接，当面积最大时，直接写出的最小值．（用含a的式子表示）． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.胡不归模型（最值模型） 6 17 胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点，总时间可缩短（公式为 ，这便催生了求“BC + k·AC最小值”的几何问题，其中k为速度比 （0<k<1）。这则故事因情感真挚，成为初中数学经典模型，常被用于讲解路径优化和三角构造技巧。 （2024·四川成都·模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 【答案】（1）10；（2）8；（3）． 【分析】本题是三角形综合题，涉及了解特殊的直角三角形、对角互补模型、最值胡不归模型、角平分线性质及判定、全等三角形的判定，解题关键是利用三角形全等转化线段和角的关系，由30度角、45度角的解直角三角形，求边长，构造胡不归模型利用垂线段最短求出最值． （1）易证，从而可得，，进而由含30度直角三角形性质可得； （2）如图2，取的中点O，连接、， 由直角三角形斜边中线等于斜边一半可证明是等腰直角三角形，，即可求出． （3）由已知可以求得证明，，再构造含30度的直角三角形求出，再利用胡不归模型构造的折线段，根据垂线段最短，得出的最小值即可求解． 【详解】解：（1）∵，，； ∴； ∴， ∴， ∴． （2）如图②，取的中点O，连接、， ∵， ∴，， ∴，， ∴，； ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， （3）如图③，过点A作， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点A作交于点Q， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图④，作，过点P作，垂足为H，过点D作，垂足为N，交于M， ∴，， ∴，， ∵，当点P在点M位置时，点H与N重合，取最小值，最小值为， ∴的最小值为， ∴最小值为． 补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 一动点在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC，将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 模型1.胡不归模型（最值模型） 例1（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】连接，，延长到J，使得，连接，证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：连接，，延长到J，使得，连接． 由翻折变换的性质可知垂直平分线段，， ， ，G，N三点共线， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，翻折变换，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换的性质解决最短问题． 例2（25-26九年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长． 【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示： 在中，， ∴， ∵ ＝， ∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为12， 故选：D． 【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题． 例3（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点A关于BC的对称点A'，连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E，易得2DE = CD，AD= A'D，从而得出AD+ DE = A'D+ DE，当A'，D, E在同一直线上时，AD + DE的最小值等于A' E的长是3，进而求出2AD十CD的最小值． 【详解】如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E ∵∠BAC = 90o，∠B = 60o，AB= 2 ∴BH=1,AH=,AA'=2，∠C= 30o ∴DE =CD,即2DE = CD ∵A与A'关于BC对称 ∴AD= A'D ∴AD+ DE = A'D+ DE ∴当A'，D, E在同一直线上时 AD + DE的最小值等于A' E的长, 在Rt△AA' E中：A' E= sin60o×AA'=×2= 3 ∴AD十DE的最小值为3 ∴2AD十CD的最小值为6 故选B 【点睛】本题主要考查了三角形的动点最值问题，做完辅助线后先求出AD + DE的最小值是解题关键． 例4（2025·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____． 【答案】4 【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2＝＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果． 【详解】解：如图， 在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P， 此时PA+2PB最小， ∴∠AFB＝90° ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠BAD＝， ∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°， ∴PF＝， ∴PA+2PB＝2＝＝2BF， 在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°， ∴BF＝AB•sin45°＝4， ∴（PA+2PB）最大＝2BF＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线． 例5（25-26八年级下·浙江宁波·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________． 【答案】6 【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝AC，则，即当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点， ∴点A（3，0），点， ∴AO＝3，， ∴， 作点B关于OA的对称点，连接 ，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵CH⊥AB， ∴， ∴， ∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值， 此时，，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴2BC＋AC的最小值为6． 故答案为：6． 【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键． 1．（25-26八年级下·湖北·期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解． 【详解】如图，过点作，交的延长线于，       四边形是平行四边形， ， ∴ ∵PH丄AD ∴ ∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，， ∴ ， 则最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键． 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】作∠OCE=120°，过点P作PG⊥CE于点G，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得PG=PC；当A、P、G在同一直线时，AP+PC= AP+PG= AG的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)， ∴OA=3，OC=3， 作∠OCE=120°， ∵∠OCB=60°， 则∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°， 过点P作PG⊥CE于点G，如图： 在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°， ∴CG=PC，由勾股定理得PG=PC， ∴AP+PC= AP+PG， 当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小， 延长AG交y轴于点F， ∵∠FCG=60°，∠CGF=90°， ∴∠CFG=30°， ∴CF=2CG，GF=CF， 在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°， ∴AF=2OA=6，OF=， ∴CF=OF-OC=， ∴GF=()=， ∴AG=AF-FG=， 即AP+PC的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线，得到当A、P、G在同一直线时，AP+PC= AP+PG= AG的值最小是解题的关键． 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___． 【答案】4 【详解】思路引领：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PDPB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论． 答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D， ∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点， 令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3， ∴A（0，﹣3），B（3，0）， ∴AO＝BO＝3， 又∵∠AOB＝90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD， ∴△BDP是等腰直角三角形， ∴PDPB， ∴PC+PB（PCPB）（PC+PD）， 当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长， 此时，△ACD是等腰直角三角形， 又∵点C（0，1）在y轴上， ∴AC＝1+3＝4， ∴CDAC＝2， 即PC+PD的最小值为， ∴PC+PB的最小值为4， 故答案为：4． 4．（2025九年级·全国·专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___． 【答案】3 【详解】思路引领：在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易证ETAE，推出AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解决问题． 答案详解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∴tan∠CAB， ∴∠CAB＝30°， ∴AC＝2BC＝2， 在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H． ∵ET⊥AM，∠EAT＝30°， ∴ETAE， ∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2， ∴CH＝AC•sin6°＝23， ∵AE+EC＝CE+ET≥CH， ∴AE+EC≥3， ∴AE+EC的最小值为3， 故答案为3． 5．（2025·陕西·模拟预测）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____． 【答案】4 【分析】如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH＝BM，于是可得AM+BM的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形的知识求解即可． 【详解】解：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H． ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠DBC＝∠ABC＝30°， ∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°， ∴MH＝BM， ∴AM+BM＝AM+MH， ∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°， ∴AT＝AB•sin60°＝4， ∵AM+MH≥AT， ∴AM+MH≥4， ∴AM+BM≥4， ∴AM+BM的最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键． 6．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______. 【答案】 【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE=PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6. 【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠EDC=∠DAB＝30°， ∴PE=PD， ∵2PB+ PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)， ∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上， ∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6， ∴PB+PE的最小值=AB=3， ∴2PB+ PD的最小值等于6， 故答案为：6. 【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键. 7．（25-26九年级·河南安阳·自主招生）如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是__________．    【答案】 【分析】过点D作于，过点C作于，首先通过勾股定理及求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出，然后通过锐角三角函数得出，进而可得出，最后利用即可求值． 【详解】解：如图，过点D作于，过点C作于．    ∵， ∴， ∵， 设，， ∴， ∴， ∴或（舍弃）， ∴， ∵，，， ∴（等腰三角形两腰上的高相等） ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键． 7．（25-26八年级上·陕西西安·期中）（1）如图①，已知，，，若，，则________； （2）如图②，等腰中，，，点为边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转至，连接、，求证：； （3）如图③，等边中，，于，为线段的中点，点为边的中点，点为线段的中点．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，，，当的值最小时求的面积．      【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据勾股定理求出的长，再求出结果即可； （2）根据等腰三角形的性质求出，证明，得出，求出，即可得出结论； （3）取的中点，连接、，，，，证明，得出，说明点在直线上，以点H为角的顶点，为角的一条边，在下方作，交于点M，过点G作于点K，证明，过点C作于点，延长，交于点，连接，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当点G在点处时，最小，即最小，求出此时的面积，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转至， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵为等边三角形，点E为的中点，点H为的中点，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， 取的中点，连接、，，，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转得线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∵H为的中点， ∴，， ∴， ∴点在直线上， 以点H为角的顶点，为角的一条边，在下方作，交于点M，过点G作于点K， 则， ∴， ∴， 过点C作于点，延长，交于点，连接， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点G在点处时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：，负值已舍去， ∴， 即当的值最小时求的面积为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积计算，含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，线段垂直平分线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 8．（2023九年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系，，直线经过，点在直线上运动，求最小值． 【答案】 【分析】先求出点坐标；过点作轴的垂线与轴交于点，点作轴的平行线，过点作该平行线的垂线，两条线相交于点，与直线的交点为；直线与轴的交点，，，则可求，则，，求出的长即可． 【详解】解：经过， ， ， ， 过点作轴的垂线与轴交于点，点作轴的平行线，过点作该平行线的垂线，两条线相交于点，与直线的交点为； 直线与轴的交点，， ， ， ， ， ， ， 当、、三点共线时，值最小， ， ， 值最小为． 【点睛】本题考查一次函数的图像及性质,点到直线垂线段最短；能够利用三角形函数将转化为长是解题的关键． 9．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）已知在矩形中，，，点是边上一动点． (1)连接，若点是边上的中点，求的长； (2)如图1，在（1）的条件下，作的垂直平分线分别交，，于点，，，求的长； (3)如图2，点为边上一点，连接，将沿折叠得到，点的对应点恰好落在边上，为上一动点，连接，过点作交于点，若，是否存在点，使得的值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，折叠，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，折叠的性质，进行解答，即可． （1）根据勾股定理，进行解答，即可； （2）连接，，设，则，根据勾股定理，则，求出，得到的值；作，垂足为，，则四边形是矩形，根据，求出； （3）由折叠可得，可得，根据勾股定理，求出，根据所对的直角边是斜边的一半的逆定理，可得，，过点作交于点，根据矩形的判定和性质，可得，根据所对的直角边是斜边的一半，，连接，以点为顶点，在的左侧作，过点作交于点，根据等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，求出，，当，，三点在同一条直线上且时，有最小值，最小值为的长；根据等腰直角三角形的判定和性质，求出，过点作交于点，利用勾股定理求出，，同理求出，，根据线段的等量关系，，，，即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， 是边的中点， ， 在中，． （2）解：如图1，连接，， ∵，为的中点， ∴， 设，则， 由（1）知，在中，， ∴，解得， ∴， 作，垂足为，，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得． （3）解：存在，依题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 如图2，过点作交于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， ∵， ∴， 连接，以点为顶点，在的左侧作，过点作交于点， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当，，三点在同一条直线上且时，有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 过点作交于点， 在中，， ∴， ∴，由勾股定理得，， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴，由勾股定理得，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 10．（2025·山东临沂·二模）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上的点． (1)当点是与的交点时，如图1，求的度数； (2)如图2，若点是上任意一点时，将绕点逆时针旋转得到，连接，，求证：； (3)当点在何处时，的值最小，说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当点位于，交点时，的值最小，理由见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质和正方形的性质得出∠BCE，进而利用三角形外角性质解答即可； （2）根据SAS证明△BMC和△BNE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可； （3）当M点位于BD，CE交点时，BM+2CM的值最小，根据SAS证明△ENB和△AMB全等，进而利用全等三角形的性质解答． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 四边形是正方形， ，， ，， ， 是正方形的对角线， ， 是的外角， ； （2）证明：由旋转可知，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）当点位于，交点时，的值最小，理由如下： 如图，连接 在和中， ， ， ， 将绕点旋转，得到， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， 即，，，四点共线时，有最小值． 【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点． 11．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在边长是的正方形中，、分别是边、上的动点，且满足，与交于点，是的中点，是边上的点，，则 的最小值是 _____ ． 【答案】5 【分析】先证明得到，进而得到，则由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得，在延长线上截取，连接，则有，然后可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5． 12．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，以矩形的顶点A建立平面直角坐标系，点B，D分别在x轴，y轴上，点C的坐标为，M，N分别是，上的动点，且，当取最小值时，点M的坐标为______． 【答案】 【分析】过点作交于点，延长使得，连接，先证明，得到为等腰直角三角形，，再证明，得到，，那么，可推出三点共线时，取得最小值，最小值为，接着证明，从而得出答案． 【详解】解：如图，过点作交于点，延长使得，连接， ∵四边形是矩形，点C的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当且仅当三点共线时，取得最小值，最小值为， ∴的最小值为， 如下图所示，三点共线，此时在轴上： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，沿翻折矩形，A对应M，D落在上的N处，作于H，，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】利用翻折的对称性得出垂直平分，进而将转化为，将转化为，把求的最小值转化为求的最小值，再通过轴对称求最短路径． 【详解】连接， 沿翻折矩形，对应，落在上的处， 为线段的垂直平分线， ， 又， ， 与都过点， 点，，在同一直线上， 为的中点， ， 点与点关于对称，点与点关于对称， ， ， 作点 A 关于直线的对称点，连接 在上， ， ， 四边形为矩形， ，，， 点为点A关于直线的对称点， ，， ， ， 当D，N，三点共线时取等号， 此时 N为直线与 的交点，在上， 的最小值为 ． 14．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知菱形，，点P在边上运动，连接，取中点Q，连接． （1）当P为中点时，的长为________； （2）在P从点B运动到点C的过程中，的最小值为________． 【答案】 4 【分析】（1）根据菱形的性质可知是等边三角形，再由三线合一可知，然后利用勾股定理求得，再求，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答； （2）连接、、，交于点O，则点O是、的中点，取的中点N、M，连接，根据三角形中位线的性质推出，点P运动过程中，点Q在线段上运动，然后根据三线合一证得垂直平分，则，进而根据两点之间线段最短可求得答案． 【详解】解：（1）如图，连接、， 四边形是菱形，， ，，， ∴是等边三角形， ∴， 为中点， ，，， ∴， ∴， ∴， 又∵点Q是的中点， ∴； （2）如图，连接、、，交于点O，则点O是、的中点，取的中点N、M，连接， 同理是等边三角形， ∴，， ∵点Q是的中点，点M是的中点，点N是的中点，点O是、的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，点N、Q、O三点共线，即点P运动过程中，点Q在线段上运动， 设交于点E， ∵，点M是的中点， ∴， 又∵点N是的中点，点O是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴当B、D、Q三点共线时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为4． 15．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，已知，，为中点，点在上，且，动点从点出发沿射线运动，动点从点出发沿射线运动，两点同时出发，并且速度相同，连接、，当、运动时，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．以点为原点，所在直线为轴，方向为正方向，所在的直线为轴，方向为正方向，建立坐标系，设，则，，，以为斜边作等腰直角三角形，作轴于，作于，可证得，从而，，进而得出，当、、共线时，最小，进一步得出结果． 【详解】解：如图， 以点为原点，所在直线为轴，方向为正方向，所在的直线为轴，方向为正方向，建立坐标系， 设，则，，， 以为斜边作等腰直角三角形，则， 作轴于，作于， ，， ，， ， ， ，， 当、、共线时，最小值为 即的最小值为 故答案为：． 16．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，． （1）_______． （2）的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键． （1）先证明，得到，再利用和三角形的外角知识推出； （2）延长至点N，使得，连接，，先利用直角三角形的性质和垂直平分线的性质推出， 再利用勾股定理求线段长，综合可得结果． 【详解】（1）在边长为8的正方形中， ，， 又由题知， ， ， 又， ， ． （2）延长至点N，使得，连接，，如下图所示： 由（1）知，又点M是的中点， ， ， ， 又， 垂直平分， ， ， 正方形的边长为8，， ，，， 在中，由勾股定理得， ， 的最小值是． 故答案为：；． 17．（2025·陕西榆林·二模）如图，正方形的边长为4，点在边上，点在的延长线上，，连接、，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】分别取、的中点E、F，连接、，延长到点，使得，延长到点，使得，连接，延长到点，使得，连接、，结合正方形的性质及三角形中位线定理，由可判定，由全等三角形的性质得，， 当、、三点共线时，取得最小值，由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，分别取、的中点E、F，连接、，延长到点，使得，延长到点，使得，连接，延长到点，使得，连接、， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 当、、三点共线时，取得最小值， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定及性质，勾股定理等，掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定及性质，能找出取得最小值的条件，并能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 18．（24-25八年级下·重庆·期中）如图所示，在正方形中，，、、分别为、、边上的动点，且，则的最小值为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．延长至，使，延长至，使，延长至，使，连接，，，，证明和，推出和，由两点之间线段最短，知当共线时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， 延长至，使，延长至，使，延长至，使，连接，，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴， 故答案为：． 19．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在正方形中，，E，F，G分别为，，上的点，连接，，若，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】作，，证明，，得到，在中，应用勾股定理，即可求解，． 【详解】解：延长到点H，使，延长到点I，使，延长到点J，使，连接，， ∵正方形， ∴，， ∵，， ∴四边形是正方形，， ∵，，， ∴，， ∴，即：， ∵， ∵的最小值为的长度， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，两点之间，线段最短等知识，解题的关键是：构造全等三角形得到． 20．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，正方形的边长为3，在的延长线上存在两个动点、（点在点的左侧），以为边作正方形，且与正方形在延长线的同侧．在线段上有一动点，过点作，射线恒过点、射线恒过点．连接，点是的中点，连接、，若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】延长至，使，连接，连接并延长交于点，连接，，延长交于点，证明是线段的垂直平分线，推出，利用直角三角形的性质求得，推出，当三点共线时， 的最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：延长至，使，连接，连接并延长交于点，连接，，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∴， ∵，， ∴是等腰三角形， ∴和都是等腰三角形， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 当三点共线时，， ∴的最小值为的长， ∵四边形和都是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直垂直平分线的判定和性质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 21．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图1所示，四边形是矩形，，点O位于对角线上，将分别沿，翻折，使点、点都恰好落在点处． (1)求证：四边形是菱形； (2)点是直线上的一个动点，请在图1中，作于，作于，的值会变吗？如果不变请求出这个值；如果会变，请说明理由． (3)如图2，若是线段上的动点，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)是定值，定值为2 (3) 【分析】（1）先由矩形性质与折叠全等，推出垂直关系与线段等量关系，证得一组对边平行且相等判定平行四边形，再结合对角线互相垂直，证出平行四边形为菱形． （2）利用菱形四边相等的特点，把大三角形面积拆分为两个小三角形面积之和，代入面积公式化简，消去边长后直接求出两条垂线段长度之和为定值． （3）如图所示，连接，，点在上运动时，根据折叠的性质可得，，根据点到各顶点距离最小，可知，当时，的值最小，根据（1）中菱形的性质，可得，运用含的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵将分别沿翻折，点，点都恰好落在点处， ∴，， ∴，，，， ∴， ∵点是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵与相互垂直平分，即对角线相互垂直平分， ∴四边形是菱形； （2）解：的值不会发生变化，为定值2． 连接 由（1）可知四边形是菱形， ． ，， ，． ， ． 又， ． 由矩形性质可知，以为底边时，这条边上的高等于， ． ． 综上，的值不变，定值为． （3）如图所示，连接，， 点在上运动时，根据折叠的性质可得，， ∴， ∴根据点到各顶点矩离最短，可知，当时，的值最小， 由（1）可知，四边形是菱形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作于点，且，， ∴， ∴，， ∴，，即， ∴． 22．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图1，正方形中，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，连接，． (1)若，求证点恰好落在正方形的对角线上； (2)过作交的延长线于，判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图2，记交于点，过作交于点，四边形是平行四边形，点在上，，且．求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）通过正方形的性质结合旋转的性质证明，推出，即可得证； （2）过点作交于，证明，得出，再通过四边形的内角和证明，推出，最后根据平行线的判定定理即可得证； （3）如图，连接，先证明四边形是正方形，得到，过点作交延长线于，过点作交于，连接，证明，得到，是等腰直角三角形，推出，作点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，得到当，，三点共线时，最小，最小值为的长，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：由旋转可知，， 四边形是正方形，是对角线， ，，， 在和中， ， ， ， ， 与重合，即点恰好落在正方形的对角线上； （2）解：，理由如下： 如图，过点作交于，设交于点， 四边形是正方形， ，， ，即， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ，即， ， ， ， ； （3）解：如图，连接， ，，， ， ，， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，，， 四边形是正方形， ，， ，， ， 过点作交延长线于，过点作交于，连接， ， ， ， ，，， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ，即， ， 是等腰直角三角形， ， ， 作点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则，， 是等腰直角三角形， ， ， 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即最小值为． 23．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知，正方形边长为a，点E，F为边上的两点，连接、并延长交于点G，连接，H为上一点，连接、． (1)如图1，若H为的中点，，且，求线段的长； (2)如图2，若，，过点A作于点I，求证：； (3)如图3，若F为射线上的动点，过C点作于点P，将沿翻折得，K为直线上一动点，连接，当面积最大时，直接写出的最小值．（用含a的式子表示）． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据勾股定理可知，再根据直角三角形的斜边上中线是斜边的一半即可求解； （2）根据角度关系可知，进而可知是等腰直角三角形，证明，再根据线段和差关系可知，可知是等腰直角三角形，进而可证明垂直； （3）由题可知当时，的面积最大，过点作，过点作 ，可知，当三点共线时，取最小值． 【详解】（1）解：在正方形中，, ∴ ∵, ∴ ∵H为的中点， ∴, （2）证明：过点作于点, ∵ ∴ ∵ ∴, ∵,, ∴, , ∴是等腰直角三角形， ∴,, ∵,, ∴, 在和中， , ∴， ∴, ∴, ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴, ∴， （3）解：根据题意可得，取的中点，连接,, ∵， ∴, ∴, ∴当时，的面积最大， 则此时点与点重合，为的中点， 过点作，过点作 ， ∵, ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴, ∴当三点共线时，取最小值， 则点与点重合时，取最小值， ∴, ∴为矩形， ∴ ∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $