卷9 第18章 矩形、菱形与正方形 上分专题（六） 正方形中常见的几何模型-【初中上分卷】2025-2026学年八年级下册数学配套课件（华东师大版·新教材）
2026-05-04
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦八年级下册正方形中的几何模型，涵盖手拉手、对角互补、十字架、半角四大类型。通过典型例题导入，从正方形性质出发，逐步构建模型应用脉络，以例题解析和步骤引导为学习支架，帮助学生衔接前后知识。
其亮点在于以模型归类为核心，结合几何直观与推理能力，通过旋转构造全等（如手拉手模型）、线段转化（如半角模型）等实例，培养学生数学思维。采用例题驱动与总结归纳的教学方法，助力学生提升空间观念与应用意识，也为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。
内容正文：
数 学
八年级下册 华东师大版
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上分专题（六）
正方形中常见的几何模型
重难上分 攻克难点
3
类型1 手拉手模型
类型2 对角互补模型
类型3 十字架模型
类型4 半角模型
目 录
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类型1 手拉手模型
1.[2025湖北武汉武昌区月考，难]如图，在正方形外取一点，连结, ,
.过点作的垂线交于点，， .下列结论：
；②点到直线的距离为； .其中正确结
论的序号是( )
A
A.①③ B.①②③ C.②③ D.①②
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【解析】 四边形是正方形， ，
， ，
， ，
，， 是等腰直角三角
形， ， ，
， ，
，， 正确.在
中,， 不正确.
， ， ，
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,，， 正确.故选A.
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2.[2024广东惠州惠阳区月考]如图（1），已知正方形和正方形 有公共
顶点，连结， .
图（1）
图（2）
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（1）请判断与 的数量关系与位置关系，并证明你的结论.
图（1）
【解】，.证明：如图（1），连结 ,
设与交于点 四边形和四边形 为正方形，
，， ，
， ，
， ，
.
综上，， .
在中， ，
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（2）如图（2），已知，，当点在边上时，求 的长.
【解】如图（2），过点作于 .
图（2）
四边形和四边形 为正方形，
， ，
,
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为等腰直角三角形.
， ，
， .
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类型2 对角互补模型
3.[2024广东茂名期中]如图，在四边形中， ， ，
垂足为，且,，则四边形 的面积为____.
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【解析】把绕点逆时针旋转 ，如图. 旋转不改变
图形的形状和大小，与重合， ，
， 在四边形 中，
， ， ， 点 ,
,在同一直线上. ，, 四边形 是
正方形,
.故四
边形 的面积为25.故答案为25.
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4.[2024福建莆田期末,难]如图，点在第一象限的角平分线
上，，点在轴正半轴上，点在 轴正半轴上.
（1）求点 的坐标.
【解】 点在第一象限的角平分线 上，
，
， .
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（2）当绕点 旋转时.
① 的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值.
【解】不变.如图,过点作轴于，于 ,
， ，
四边形 是正方形，
，
.
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在和中，
，， ,
.
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②请求出 的最小值.
【解】连结,如图. ， ，
，.当最小时， 也
最小.根据垂线段最短可知，的最小值为2， 的最小值为8.
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类型3 十字架模型
5.[2024重庆九龙坡区期末]如图，在正方形中，点， 分别
在边，上，且，连结，，平分交
于点，若 ，则 的度数为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 四边形是正方形，， ，
，， ，
平分， ， .故
选A.
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6.[2025山西太原月考]如图（1），在正方形中，为上一点，连结 ，
过点作于点，交于点 ．
图（1）
图（2）
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（1）求证： .
【证明】 四边形 为正方形，
， .
， ，
， .
在与中，
， ．
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（2）如图（2），连结，，点，，，分别是，，， 的中
点，试判断四边形 的形状，并说明理由.
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【解】四边形 为正方形.理由如下：
点，，，分别是，，， 的中点，
为的中位线，是的中位线，为的中位线， 为
的中位线，
，，，，， ，
，，， ，
四边形 为平行四边形．
，， 四边形 为菱形.
，， .
又，， 四边形 为正方形．
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类型4 半角模型
7.[2024安徽合肥月考]如图，正方形的边长为4，点，分别在边，
上，若 ，则 的周长等于___.
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【解析】 四边形为正方形， ，
， 把绕点顺时针旋转 可以得到
，如图，，， ，
, ， 点在 的延
长线上. ， ，
.在和 中，
， .又
，， 的周长为
.故答案为8.
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8.[2024江苏宿迁宿豫区期中,难]在正方形中，点在边上，作射线 ，
并将射线绕点逆时针旋转 ，交边于点，连结 .
图（1）
图（2）
图（3）
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（1）如图（1），若，，则 的值为__________；
（用含, 的代数式表示）
图（1）
【解】延长至，使,连结,如图（1）.∵四边形
是正方形，， ，
，， ，
射线绕点逆时针旋转 ，交边于点 ,
，
，
， ，
在 中，
，.故答案为 .
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（2）如图（2），若过点作，垂足为，求证： ；
【证明】延长至，使，连结 ,如图（2）.由（1）可知，
，， .又
,， .
图（2）
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（3）如图（3），若过点作，垂足为，连结,求 的度数.
图（3）
【解】过点作交于，延长交于 ，如图（3），
， 四边形是矩形， ,
, ，
，
， ， 是等腰直角三角形，
，， ，
，为等腰直角三角形， ， .
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