18.3 正方形（教学课件）数学新教材华东师大版八年级下册

18.3 正方形 正方形的性质及判定 第十八章 矩形、菱形与正方形 章节导读 18.1矩形 18.2菱形 菱形的判定定理1 菱形的定义与性质定理 矩形的性质定理的应用 矩形的定义与性质定理 菱形的性质定理的应用 菱形的判定定理2 正方形的性质及判定 18.3正方形 矩形的判定定理 矩形的判定定理的应用 直角三角形的性质 2 学 习 目 标 1 2 3 探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别； 探索并证明正方形的判定； 会运用正方形的性质及判定条件进行有关的论证和计算。 复习回顾 平行四边形、矩形和菱形的性质： 对称性 边 角 对角线 平行四边形的一般性质 中心对称 矩形的特殊性质 菱形的特殊性质 对边平行且相等 对角相等 轴对称 四个角都是直角 邻边垂直 对角线互相平分 对角线相等 轴对称 对角相等 四条边都相等 对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角 4 新知探究 正方形的定义 除了平行四边形、矩形和菱形外，生活中还常见另一种特殊的四边形——正方形。 找一找 地砖 相框 时钟 骰子 5 新知探究 正方形的定义 正方形与矩形有怎样的联系呢？ 想一想 A B C 如图所示,改变的大小,平行四边形的形状随之发生变化.当为直角时,这时的图形是_____. C' D' 矩形 我们平移边,改变的大小,矩形的形状随之发生变化.当时,图形是 . 正方形 D A B C D A B C A B C D 有一个直角 邻边相等 D 6 新知探究 正方形的定义 定义：有一组邻边相等的矩形是正方形. 正方形是一种特殊的矩形． 邻边相等 矩形 〃 〃 正方形 〃 〃 7 新知探究 正方形的定义 正方形与菱形有怎样的联系呢？ 想一想 D A B C D A B C 有一个直角 邻边相等 A B C D 如图所示,我们平移边,改变的大小,平行四边形的形状随之发生变化.当时,图形是 ; D A B C C' D' D C 改变的大小,菱形的形状随之发生变化.当为直角时,图形是 . 菱形 正方形 8 新知探究 正方形的定义 定义：有一个角是直角的菱形是正方形. 正方形是一种特殊的菱形． 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 9 新知探究 正方形的定义 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 正方形是一种特殊的平行四边形． 平行四边形 一组邻边相等 正方形 ∟ 正方形与平行四边形有怎样的联系呢？ 由于矩形、菱形是特殊的平行四边形，因此在平行四边形的基础上，再加上矩形、菱形的定义条件，即可得到正方形。 一个角是直角 〃 〃 10 归纳总结 正方形的定义 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形。所以矩形、菱形有的性质,正方形都有。 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 新知探究 正方形的性质 作为一种特殊的平行四边形、矩形和菱形，正方形具有平行四边形的一般性质，也具有菱形、矩形的特殊性质。画一个正方形，将其剪下，折叠、测量，看看它还有哪些特殊的性质，你观察到了什么？ 探索 对称性 边 角 对角线 平行四边形的一般性质 中心对称 正方形的特殊性质 对边平行且相等 对角相等 中心对称、轴对称 对角相等，四个角都是直角 对边平行、四条边都相等 对角线互相平分 对角线相等且互相垂直平分 A B C D O 12 归纳总结 正方形的对称性 作为特殊的平行四边形，正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线． 正方形的性质 ①正方形有四条对称轴； ②对称中心是两条对角线交点 O。 A B C D 归纳总结 正方形的性质1 文字表述：正方形的四条边都相等。 几何语言：∵ 四边形 是正方形， ∴. 正方形的性质 正方形的性质2 文字表述：正方形的四个角都是直角。 几何语言：∵ 四边形 是正方形， ∴. 上述结论，你能证明吗？试一试。 A B C D O 正方形的性质3 文字表述：正方形的对角线相等且互相垂直平分。 几何语言：∵ 四边形 是正方形， ∴ 新知探究 正方形的性质 对于正方形的性质，我们可以根据正方形、矩形和菱形的定义加以证明． 证一证 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠A = 90°，AB = AD（正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形， 所以四边形 ABCD 是矩形（矩形的定义）， 且四边形 ABCD 是菱形（菱形的定义）. ∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°，AB = BC = CD = AD. 已知：如图，四边形 是正方形. 求证：正方形 四条边都相等，四个角都是直角. A B C D 15 新知探究 正方形的性质 已知：如图，四边形 是正方形，对角线 相交与点 . 求证：. 证明：在四边形 中， ∵正方形是矩形， ∴. 又∵正方形是菱形， ∴. A B C D O 证一证 16 典例分析 例1 如图，已知正方形. 求的大小. 正方形的性质 分析：由正方形的特殊性质，可知 . 易证 ，从而可得 ，同理可得. A B C D O 证明: ∵ 四边形 是正方形， ∴ ， ∴ 都是等腰直角三角形， 并且 ∴ 17 归纳总结 正方形的性质 边 角 对角线 对称性 平行四边形 矩形 菱形 正方形 对边平行且相等 对角线相等且互相垂直平分 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直平分 对角线相等且互相平分 四个角都是直角 对角相等 对角相等 对边平行，四条边相等 对边平行，四条边相等 对边平行且相等 中心对称 轴对称、 中心对称 轴对称、 中心对称 轴对称、 中心对称 新知探究 正方形的判定 任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形。如何判断剪下的四边形是正方形呢？ 讨论 ① 小明剪完后，这样检验它：比较边长，发现四条边是相等的，于是就判定自己完成了这项任务，这种检验可信吗? 反例：四条边相等的四边形是菱形， 不一定是正方形. 19 新知探究 正方形的判定 任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形。如何判断剪下的四边形是正方形呢？ 讨论 ②小兵用另一种方法检验：他量的不是边，而是对角线，他发现对角线是相等的，于是就认为自己正确地剪出了正方形，这种检验对吗? 反例： 对角线相等的四边形可能是矩形或等腰梯形，不一定是正方形. 20 新知探究 正方形的判定 任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形。如何判断剪下的四边形是正方形呢？ 讨论 ③ 小英剪完后，比较了由对角线相互分成的 4 条线段，发现它们是相等的，按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形. 反例：对角线分成的 4 条线段相等的四边形是矩形，不一定是正方形. 你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？ 21 归纳总结 正方形的判定 如何判定一个四边形是正方形？ 讨论 从矩形出发： 有一组邻边相等的矩形是正方形. 对角线互相垂直的矩形是正方形. 正方形 + 先判定矩形 菱形条件(二选一) 一组邻边相等 或对角线垂直 22 归纳总结 正方形的判定 如何判定一个四边形是正方形？ 讨论 从菱形出发： 有一个角是直角的菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 正方形 + 先判定菱形 矩形条件(二选一) 一个直角 或对角线相等 23 归纳总结 正方形的判定 如何判定一个四边形是正方形？ 讨论 从平行四边形出发： 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形. 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 先判定平行四边形 平行四边形 正方形 对角线互相垂直且相等 或一组邻边相等且一内角是直角 24 归纳总结 正方形的判定 如何判定一个四边形是正方形？ 讨论 任意四边形： 有四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. 正方形 先判定为平行四边形、矩形或菱形 再利用对应的条件进行判定 任意四边形 25 典例分析 例2 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 正方形的判定 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB. ∵AC=DB, ∴ AO=BO=CO=DO, ∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形， ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴菱形ABCD是正方形. A B C D O 26 归纳总结 正方形的判定 正方形的判定解题技巧 一、先记核心：正方形=既是矩形，又是菱形. 判定思路只有三大类： 1. 先证矩形 + 再证一组邻边相等 → 正方形； 2. 先证菱形 + 再证一个角是直角 → 正方形； 3. 直接证：对角线互相垂直平分且相等 → 正方形。 二、解题通用步骤 1. 先看题干给的是：平行四边形/矩形/菱形/普通四边形 2. 选最短路径：①已知矩形：只缺一步→证邻边相等或对角线垂直； ②已知菱形：只缺一步→证一个直角或对角线相等； ③已知平行四边形：证邻边相等+一个直角或对角线相等且垂直。 3. 用全等、平行线、角平分线、勾股定理推边长/角度/对角线关系。 1.把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片. 为什么？ 随堂练习 基础过关(P138) 解：如图，由折叠知 AB = AD， ∠B =∠ADC = 90°. ∵∠BAD = 90°， ∴四边形 ABCD 是矩形，且 AB = AD， 由正方形是有一组邻边相等的矩形可知， 四边形 ABCD 是正方形. A B D C 28 随堂练习 基础过关(P138) 2.判断下列命题是否正确： （1）正方形有四条对称轴； （2）正方形的两条对角线将其分成 4 个全等的等腰直角三角形； （3）对角线互相垂直的矩形是正方形； （4）对角线相等的菱形是正方形. √ √ √ √ 29 随堂练习 基础过关(P139) 3.在下列各方格图中，有多少个正方形？有多少个矩形？ ① ② 有 5 个正方形，9 个矩形. 有 14 个正方形，36 个矩形. 30 随堂练习 基础过关(P139) 4.已知正方形纸片 的边 长 2 cm. 求这个正方形的周长、对角线长和面积.（长度精确到 0.1 cm） 解: 正方形的周长为 4×2 ＝8 (cm)， 对角线 AC ＝BD ＝ ≈ 2.8 (cm)， 正方形的面积为 2×2＝4 (cm2). A B C D 31 随堂练习 5.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 能力提升 矩形、正方形 矩形、菱形、正方形 B 菱形、正方形 菱形、正方形 32 随堂练习 能力提升 6.已知：如图，中，，平分于，于．求证：四边形是正方形. 证明：∵，于，于， ∴四边形是矩形， 又∵平分， ∴， ∴四边形是正方形.(有一组邻边相等的矩形是正方形) 33 随堂练习 能力提升 7.如图，正方形的边长为 1 cm，为对角线，平分，，求的长． 解：∵ 四边形 为正方形， ∴ ∵ . 又∵， ∴ 是等腰直角三角形. ∴ . ∵ ∴ ∴ ∴ 在 Rt 中， ∴. ∴ cm． 34 课堂小结 正方形 定义 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形 既是中心对称图形，又是轴对称图形. 可以从特殊的矩形和特殊的菱形出发进行判定. 性质 判定 1.四条边都相等；2.四个角都是直角. 对称性 性质 3.对角线相等且互相垂直平分. 感谢聆听! $