8.卷4 第17章 一元二次方程及其应用 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年八年级下册数学配套课件（沪科版·新教材）

该初中数学课件聚焦八年级下册沪科版第17章一元二次方程，涵盖定义、解法、根的判别式、韦达定理及实际应用，通过各地月考、中考真题导入，搭建从一元一次方程到二次方程的知识支架，帮助学生衔接前后知识点。 其亮点是融合“上分点拨”“上分警示”等栏目，结合实际问题（如通道宽度计算、销售盈利建模）培养数学思维（推理能力）与数学语言（模型意识），助力学生掌握解题方法，教师可直接用于课堂检测与培优，提升教学效率。

数 学 八年级下册 沪科版 1 2 卷4 第17章提优验收卷（B卷） 考查内容：一元二次方程 3 一、选择题 二、填空题 三、 四、 五、 六、 七、 八、 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 时间： 满分：100分 . 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出 A,B,C,D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的. 1.[2025广西南宁青秀区月考]一元二次方程 的一次项系数是( ) A A. B.2 C. D.3 【解析】 方程的一次项为， 一次项系数为 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5 2.[2024四川凉山州中考]若关于的一元二次方程 的一 个根是，则 的值为( ) A A.2 B. C.2或 D. 【解析】 关于的一元二次方程的一个根是 ， 且，解得 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6 3.若关于的方程中 在数轴上的位置如图所示，则此方程的根的 情况是( ) C A.无法确定 B.无实数根 C.有两个不相等的实数根 D.有两个相等的实数根 【解析】由数轴得，， 此方程有两个 不相等的实数根，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7 4.[2025山东东营月考]若，，则下列方程中，以， 为根的 是( ) D A. B. C. D. 【解析】，， 方程以， 为根.故选D. 上分点拨 利用根与系数的关系倒推一元二次方程 若一元二次方程的两个根为，，则这个方程可能为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8 5.[2025河北廊坊月考]小李解方程 的步骤如图所示，则下列说法正 确的是( ) 解方程： . 解： ,① ,② ,③ .④ B A.小李解方程的过程正确 B. 也是该方程的一个解 C.小李解方程的方法是配方法 D.小李解方程的过程从第②步到第③步时出现错误 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9 【解析】，， ， ，，， 或 ，或.故小李解方程的过程错误， 也是该方程的一个解， 小李解方程的方法不是配方法，小李解方程的过程从第③步到第④步时出现错误. 故选B. 上分警示 方程变形时的注意事项 在方程两边同时除以或乘一个代数式时，必须保证这个代数式不为0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10 6.[2025湖北武汉月考]如图，某小区规划在一个长、宽 的长方形土地 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与 平行，其余 部分种花草，要使花草的面积为 ，那么通道宽应设计成多少米？设通道宽 为，则下列方程： ； ； ， 其中正确的是( ) C A.① B.② C.①② D.①②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11 【解析】 长方形土地的长为、宽为，且通道宽为， 种花草 的部分经过平移可看成长为、宽为的长方形. 花草的面积为 ， ，则①正确. ，则②正确. ，则③不正确. 正确的是①②.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12 7.[2025广东揭阳月考，中]小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程时，小 明在化简过程中写错了常数项，得到两个根分别是2和5；小红在化简过程中写错 了一次项系数，得到两个根分别是2和6，则此方程正确的解为( ) C A. B.， C.， D.此方程无实数解 【解析】由题意得， ，则可知C选项符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13 8.[2025江西南昌月考，中]科学兴趣小组的同学们将自己收集的标本向本组的其他 成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共有学生( ) A A.12名 B.12名或66名 C.15名 D.33名 【解析】设全组共有学生名.由题意得，解得 （不合题意， 舍去）， ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14 9.规律探究 [2025湖北武汉月考，中]下图是某同学在沙滩上用石子摆成的图形， 第1个图形用了6个石子；第2个图形用了10个石子；第3个图形用了16个石子；第4 个图形用了24个石子；….照此规律，第几个图形用了114个石子( ) C A.8 B.9 C.10 D.11 【解析】设第个图形用了个石子，则由题意得 ； ；； ；…； .令，则， ，解得 （舍去）或 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15 10.新考法 [2025浙江绍兴柯桥区月考，难]定义为不大于实数 的最大整数，如 ，，，则方程 的根为 ( ) B A.， B. C. D.无实数根 【解析】当时，，解得（舍去）或 （舍去）；当时，，解得，（舍去）， 方 程的根为 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 11.[2024湖南中考]若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根， 则 的值为___. 2 【解析】由题意得，解得 ,故答案为2. 上分总结 一元二次方程 根的情况 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17 12.[2025广东广州月考]用公式法解某个关于 的一元二次方程，得 ，则该一元二次方程是_________________. 【解析】由题意得，，， 该一元二次方程是 ， 故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18 13.[2025安徽合肥期中]用锤子以均匀的力敲击铁钉，使铁钉进入木板，随着铁钉 的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次受击后进入木板的铁钉长度与前 一次的比值为 .已知一个铁钉受击三次后恰好全部进入木板，且第一 次受击后进入木板部分的铁钉长度是铁钉总长度的，设铁钉总长度为1，则 的值 是_ _. 【解析】 第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是铁钉总长度的 ，铁钉总长度 为1， 第一次受击进入木板部分的铁钉长度是. 每次受击后进入木板的铁钉长 度与前一次的比值为， 第二次受击后进入木板部分的铁钉长度是 ， 第三次受击后进入木板部分的铁钉长度是， 可列方程为 ,解得或.,.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 19 上分点拨 由实际问题抽象出一元二次方程 分别得到三次受击后进入木板部分的铁钉长度，根据等量关系第一次钉入的长度 第二次钉入的长度第三次钉入的长度 铁钉总长度列方程即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 14.分类讨论 [2025江西宜春月考，难]如图所示， 中， ，，，点从点开始沿向 点 以的速度匀速移动，点从点开始沿向点以 的 速度匀速移动.如果，分别从，同时出发，那么______ 后， 线段将分成面积比为 的两部分. 2或4 【解析】设点移动时间为.根据题意知 ， . 线段将分成面积比为的两部分， 或 ，则或 ， 整理得或（无实数解），解得， .故答 案为2或4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 三、（本题满分6分） 15.[2025北京西城区月考]解方程： （1） ． 【解】，，， ， ，解得， .（3分） （2） . 【解】，，或 ，解得 ， .（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 四、（本题满分8分） 16.[2025重庆渝北区月考]百货大楼服装区管理人员发现：某品牌童装平均每天可 售出20件，每件盈利40元.为了迎接国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大 销售量，增加盈利，尽快减少库存.经市场调查发现：如果每件童装每降价1元，那 么平均每天就可多售出2件，要使平均每天销售这种童装盈利1 200元，那么每件 童装应降价多少元？ 请先填空后再列方程求解： 设每件童装降价 元， 那么平均每天就可多售出____件， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 23 现在平均每天可售出__________件， 每件盈利_________元. 【解】 每件童装降价元， 平均每天就可多售出 件，现在平均每天可售出 件，每件盈利元.故答案为，， .（3分） 平均每天销售这种童装盈利1 200元， ，即 ，（6分） 解得， 要扩大销售量，减少库存，， 每件童装应降 价20元.（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 24 五、（本题满分8分） 17.[2025江苏苏州月考]实数，满足 . （1）验证， 是否满足上述等式； 【解】当，时， ， ，，即， 满足上述等式. （3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 （2）若，，佳佳认为一定存在两个不同的 的值使得 成立，佳佳的说法正确吗？请说明理由. 【解】佳佳的说法正确.（4分） 理由：当，时， ，整理得 .（6分） ， 关于的方程有两个不相等的实数根，即一定存在两个不同的 的值使得 成立， 佳佳的说法正确.（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 26 六、（本题满分10分） 18.新情境 [2025广东广州天河区月考]如图是2024年1月 的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数， 请解答下列问题. （1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小 数. 【解】设最小数为，则最大数为 . 由题意得，整理得 ，（2分） 解得（不符合题意，舍去），， 最小数为10.（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 27 （2）［中］虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能， 请求出最小数；若不能，请说明理由. 【解】虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124.（5分） 理由如下：设最小数为，则另外三个数分别是，， .由题意得 ，整理得 （8分） 解得（不符合题意，舍去），.在最后一列， 虚线方框中最大 数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124.（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 28 七、（本题满分12分） 19.[2025湖南株洲荷塘区期中]已知实数，满足 ， ，且，则，可看成方程 的两个不相等的实 数根，由根与系数的关系就可以知道与的和，与 的积.根据上述材料，解决 以下问题： （1）___， ___； 1 -1 【解】，是方程的两个不相等的实数根， ， .故答案为1， .（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 29 （2）［中］已知实数，满足，，且 ，求 的值； 【解】，满足，，且 ， ，可看成方程 的两个不相等的实数根， ， ，（6分） .（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 （3）［偏难］已知实数，满足，，且 ， 求 的值. 【解】，满足，，且，则 ， ，和可看成方程 的两个不相等的实数 根， ，（10分） 则，即， .（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 31 八、（本题满分14分） 20.探究性问题 [2025江苏南京月考]【阅读】 已知方程，求一个关于 的一元二次方程，使它的两个根分别是已 知方程的两个根的2倍. 解：设所求方程的根为，则，所以 . 把代入已知方程，得 . 化简，得 ， 故所求方程可以为 . 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”. 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 32 【理解】 （1）已知方程，求一个关于 的一元二次方程，使它的两个根分别 比已知方程的两个根小1，则所求方程为______________（要求：方程的二次项系 数需为1）. 【解】设所求方程的根为，则， . 把代入已知方程，得 ， 化简，得，则所求方程为 . 故答案为 .（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 33 （2）已知方程，求一个关于 的一元二次方程，使它的两个根分别 是已知方程的两个根的相反数，则所求方程为 ______________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ （要求：方程的二次项系数需为1）. 设所求方程的根为 ，则 ，把代入已知方程，得 ，化简，得 ，则所求方程为.故答案为 .（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 34 【运用】 （3）［中］已知关于的一元二次方程有两个实数根， . ①若，，则关于的方程 的两根分别是多少 （用含有， 的代数式表示）？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 35 【解】设关于的方程的根为，把 代入 ，得.设关于 的一元二次方程 的根为，把代入 ，得 ，由此可见 已知关于 的一元二 次方程有两个实数根，， 关于 的方程 的两根分别是, .（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 36 ②关于的一元二次方程___________________的两个根分别是， . 【解析】由题意得该一元二次方程的两个根分别是已知方程的两个根的2倍，设所 求方程的根为，则，.把 代入已知方程，得 . 化简，得，则所求方程为 . 故答案为 .（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 37 （4）［中］关于的一元二次方程 的 两个根与哪个关于 的一元二次方程的两个根互为倒数？ 【解】设所求方程的根为，由题意得,,， . 把代入已知方程，得，化简，得 ， 则所求方程为 .（11分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 38 【延伸】 （5）［难］已知关于的一元二次方程 的两个实数根分 别为1和，那么关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为___________ ______. ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 39 【解析】由题意得 ， .根据（4）可得 ， . 关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和 ， 或,则或 ， 关于的一元二次方程 的两个实 数根分别为, . 故答案为, .（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 40 $