5.卷3 第17章 一元二次方程及其应用 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年八年级下册数学配套课件（沪科版·新教材）

该初中数学课件聚焦八年级下册沪科版一元二次方程，通过“上分技巧”梳理定义条件，“易错题”警示常见误区，搭建从概念理解到解法应用的学习支架，帮助学生衔接方程定义、解法及实际问题的脉络。 其亮点在于融入新情境（机器人生产增长率）、跨学科（杠杆原理称药品）和项目式学习（储物盒制作），培养数学眼光（创新意识）、数学思维（推理意识）和数学语言（模型意识）。采用分层练习与错题解析，学生能提升解题能力，教师可借助多样化素材优化教学效率。

数 学 八年级下册 沪科版 1 2 卷3 第17章基础诊断卷（A卷） 考查内容：一元二次方程 3 一、选择题 二、填空题 三、 四、 五、 六、 七、 八、 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 时间： 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出 A,B,C,D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的. 1.[2025四川成都龙泉驿区月考]下列方程中，属于一元二次方程的是( ) D A. B. C. D. 【解析】由一元二次方程的定义知 是一元二次方程.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5 上分技巧 一元二次方程满足的条件 ①等号两边都是整式； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6 2.[2025山东青岛二中月考]一元二次方程 用直接开平方法可转化为 两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 ，则另一个一元一次方程 是( ) C A. B. C. D. 【解析】，，即或 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7 3.[2025广东河源月考]已知，是一元二次方程 的两个实数根， 则 等于( ) C A.3 B. C. D. 【解析】根据根与系数的关系得 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8 4.[2025山东青岛月考]下列方程中没有实数根的是( ) B A. B. C. D. 【解析】A选项， ，方程有两个不相等的实数根，本选项不符 合题意；B选项， ，方程没有实数根，本选项符合题 意；C选项， ，方程有两个不相等的实数根，本选项不符合 题意；D选项， ，方程有两个相等的实数根，本选项 不符合题意.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9 5.易错题 [2025河南洛阳月考]已知方程，则 的值为 ( ) D A. B.0 C. D. 或0 【解析】，或，解得， . 当时，；当时， .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10 6.[2025福建厦门月考]题目：两个连续奇数的积为323，求这两个数.若设较小的奇 数为 ，则根据题意列出的方程正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】依题意得较大的奇数为，则 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11 7.[2025安徽阜阳月考]4位同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个 步骤，如图所示，其中有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是( ) D A.小张 B.小王 C.小李 D.小赵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12 【解析】 步骤 具体做法 1.移项：含未知数的项在左，常数项 在右 ， 2.配方：两边同时加上一次项系数一 半的平方 ，即 3.直接开平方 ,或 4.写出方程的两个解 解得， 5.判断错误步骤 错误的是小赵，故选D 上分警示 使用配方法的注意事项 在最后开平方时,要注意方程左右两边都要开平方. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13 8.[2024河北中考，中]淇淇在计算正数的平方时，误算成 与2的积，求得的答案 比正确答案小1,则 ( ) C A.1 B. C. D.1或 【解析】由题意得，解得或 （舍去）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14 9.新情境 [2025江西师大附中月考，中]宇树机器人亮相2025央视春晚,抛接手绢震 惊全场.机器人在多个领域辅助人类完成各种任务,某厂家2025年2月生产某型号机 器人180台并全部售出, 预测其4月接到的订单数量为461台,设该厂家生产 的机器人数量的月平均增长率为，则 与下列哪个数最接近( ) A A.0.60 B.1.60 C.2.56 D.无法计算 【解析】根据题意得，解得, （舍去），则 与选项A中的数最接近.故选A. 上分警示 平均变化率问题 平均变化率问题中的一般公式为，其中是平均变化率， 为变化的 次数，为初始数据， 是变化后的数据，变化前后的数据注意不要弄混. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15 10.新考法 [2025福建厦门期中，偏难]数学家塔比·伊本·库 拉在其研究中讨论了二次方程的几何解法.例如：可以用如 图所示图形来解关于的方程 ，其中四边形 B A.的长 B.的长 C.的长 D. 的长 【解析】设正方形的边长为 ，则 ， ，即，则方程 的其中一个 正根为 的长.故选B. 为长方形，四边形为正方形，且， ，则方程 的其中一个正根为 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 11.[2025湖北黄石月考]已知是关于 的一元二次方程， 则 的值为____. 【解析】由题意知，且，解得.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17 12.[2025湖南长沙雨花区月考]若关于的一元二次方程 的 一个解是，则 的值是_______. 2 026 【解析】 关于的一元二次方程的一个解是 ， ，即 ， ， 的值 是2 026.故答案为2 026. 上分点拨 整体思想 “整体思想”是代数式求值时的常用思想，一般在要求值的式子中寻找那个“整体”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18 13.跨学科问题 [2024浙江杭州模拟，中]小明利用杠杆原理（杠杆平衡时，动力 动力臂阻力阻力臂）称药品质量.如图，当质量为 克的药品分别放在左盘、右 盘时，另外一盘分别放质量为20克、5克的砝码时杠杆平衡，则 的值为____. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 19 【解析】如图，由第一个图可得，则 ；由第二个图可得 ，则，，解得 （负值已舍去）， 故答案为10. 上分点拨 寻找等量关系 当题中的等量关系不足以直接列出一元二次方程时，可以先把表示已知的等量关 系的等式列出来，再寻找这些等式之间的关系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 14.开放性问题 [2025安徽合肥期中，偏难]若关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程 为“倍根方程”. （1）请你写出任意一个“倍根方程”_______________________________. （答案不唯一） 【解析】设两个根为，，则 ，整理得 ，故答案为 （答案不唯一）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 （2）以下关于“倍根方程”的说法中，正确的有______（填序号）. ①若是“倍根方程”，则 ； ②若，满足，则关于的方程 是“倍根方程”； ③若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则必有 . ②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 【解析】①解方程，得， . 是“倍根方程”，或， 或 , ，故① 不正确，解方程得 ， ，，， 关于 的方程 是“倍根方程”，故②正确.③设方程的根为 ， ，则，. 关于的一元二次方程 是“倍根 方程”， 令，，，， ， ，， ,故③正确.故答案为②③. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 23 三、（本题满分6分） 15.[2025云南昭通月考]解方程： （1） . 【解】中，，， ，（1分） ，（2分） ， ， .（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 24 （2） . 【解】整理得 ， ，（4分） 或 ，（5分） ， .（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 四、（本题满分8分） 16.[2025湖北襄阳樊城区期中]老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用 手掌捂住了一部分，如图. （1）当 时，所捂部分的值为________________________________________ ________________________________________________________________； 【解】当时，所捂部分的值为 ，故答案为121.（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 26 （2）若所捂部分为，用配方法求出 的值. 【解】根据题意得，整理得 ， ，（6分） 即 ， ， 解得， .（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 27 五、（本题满分8分） 17.[2024湖北宜昌月考]已知关于的一元二次方程 ． （1）求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根； 【证明】 ， 无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根.（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 28 （2）设该方程的两个实数根为，，若，求 的值． 【解】 该方程的两个实数根为， ， ， .（4分） ， ， 整理得 ，（6分） ， ， 的值为 或1．（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 29 六、（本题满分10分） 18.新情境 [2024福建龙岩模拟，中]龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必 须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份 的销售量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售 量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔10月份到12月份销售量的月增长率； 【解】设该品牌头盔10月份到12月份销售量的月增长率为 . 依题意，得 ， 解得， （不合题意，舍去）. 答：该品牌头盔10月份到12月份销售量的月增长率为 .（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 （2）若此品牌头盔的进价为30元/个，商家经过调查发现，当售价为40元/个时， 月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为 使月销售利润达到8 000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个的售价 应定为多少元？ 【解】设该品牌头盔每个的售价为 元. 依题意，得 ， 整理，得 ， 解得， .（8分） 因为尽可能让顾客得到实惠，所以 ． 答：该品牌头盔每个的售价应定为50元．（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 31 七、（本题满分12分） 19.新定义 [2025山东济南月考，中]定义：若关于 的一元二次方程 中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫 做常数根一元二次方程． （1）已知关于的方程是常数根一元二次方程，则 的值为_______ ________； 0或 （4分） 【解析】 关于的方程是常数根一元二次方程， 方程的一个根 为.代入方程，得，解得或故答案为0或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 32 （2）如果关于的方程是常数根一元二次方程，求 的值； 【解】 关于的方程 是常数根一元二次方程， 方程的一个根为 . 代入方程，得 ， 整理，得 ， 解得或 ．（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 33 （3）若关于的常数根一元二次方程 中不含零根，求证： 关于的方程 是常数根一元二次方程． 【证明】 关于的常数根一元二次方程 中不含零根， 方程的一个根为，且，即 . 代入方程，得，即 . ， . 把代入方程，得左边右边， 是 关于的方程 的一个根， 关于的方程 是常数根一元二次方程．（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 34 八、（本题满分14分） 图（1） 20.项目式学习 [2025浙江杭州校级期中，偏难] 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 小琴家需要设置储物区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺 寸如图（1）所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 35 素材2 如图（2）、图（3）是利用闲置纸板箱拆解出的两种纸板：长方形纸板①和长方 形纸板②，其中两种纸板的宽度均为 长方形纸板① 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 36 图（3） 长方形纸板② 如图（4）、图（5），小琴将分别利用长方形纸板①和长方形纸 板②制作无盖和有盖的储物盒 长方形纸板①的制作方式 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒 图（4） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 37 长方形纸板②的制作方式 将纸板四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒 图（5） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 38 任务1 熟悉材料 若要求按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够刚好放入图（1）的储物区 域，则裁去小正方形的边长为______，长方形纸板的宽度 的值为___________ 50（4分） 【解析】 题图（1）储物区域的底面长方形的长为 ，储物盒能够刚好放入 该储物区域， 裁去小正方形的边长为 ，长方形纸板的宽度为储物区域 底面宽 小正方形的边长，即，故答案为 ，50. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 39 任务2 利用任务1计算所得的数据 ，进一步探究 初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子 四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是 时，求储物盒的容积 【解】设长方形纸板①中裁去小正方形的边长为 ，则 ， 解得， （舍去）， 储物盒的容积为 .（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 40 储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和 两边恰好重合且 无重叠部分，盒子的底面积为 ．如图（6）、图（7）是家里一个玩具机 械狗和玩具车的实物图及其尺寸大小，请通过计算判断机械狗和玩具车能否分别 完全放入该储物盒并合上盖子（不考虑倾斜放入） 图（6） 图（7） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 41 【解】设长方形纸板②中裁去小长方形的长为，宽为 .由题意得 ，整理得 . ， ， ， （舍去）, ， , ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 42 即裁去小长方形的长为，宽为，制作的储物盒的长为 ，高为 ，宽为 .（12分） ，， ， 玩具机械狗能完全放入该储物盒并合上盖子.（13分） ， 玩具车不能完全放入该储物盒并合上盖子.（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 43 $