卷6 第21章 四边形 上分专题（四） 正方形中常见的几何模型-【初中上分卷】2025-2026学年八年级下册数学配套课件（人教版·新教材）河北专用

该初中数学课件聚焦八年级下册正方形中的手拉手、对角互补、十字架、半角四大几何模型，通过典型例题导入，衔接正方形性质与模型应用，搭建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于以例题解析驱动推理能力培养，如十字架模型通过全等证明EF=BG发展数学思维，分类总结模型类型提升抽象能力（数学眼光），旋转转化策略（半角模型旋转△ABE）强化模型意识（数学语言）。学生可提升几何直观与解题能力，教师能借助系统框架高效备课。

数 学 八年级下册 人教版 1 2 上分专题（四） 正方形中常见的几何模型 重难上分 攻克难点 3 类型1 手拉手模型 类型2 对角互补模型 类型3 十字架模型 类型4 半角模型 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 类型1 手拉手模型 1.［难］如图，在正方形外取一点，连接,,.过点作 的垂线交 于点，，.下列结论：；②点到直线 的 距离为； .其中正确结论的序号是( ) A A.①③ B.①②③ C.②③ D.①② 1 2 3 4 5 6 7 8 5 【解析】 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角 形， ， ， ， ， ，， 正确.在 中,， 不正确. ， ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 6 ,，， 正确.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 2.如图（1），已知正方形和正方形有公共顶点，连接， . 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 8 （1）请判断与 的数量关系与位置关系，并证明你的结论. 图（1） 【解】，.证明：如图（1），连接 , 设与交于点 四边形和四边形 为 正方形， ， ， ，， ， ，， 在中， ，.综上，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）如图（2），已知，，当点在边上时，求 的长. 【解】如图（2），过点作于 四边形和四边形 为正方 形， ， ， , 为等腰直 角三角形.，， ， . 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 10 类型2 对角互补模型 3.如图，在四边形中， ，，垂足为 ，且 ,，则四边形 的面积为____. 25 1 2 3 4 5 6 7 8 11 【解析】把绕点逆时针旋转 ，如图. 旋转不改变 图形的形状和大小，与重合， ， ， 在四边形 中， ， ， ， 点 , ,在同一直线上. ，, 四边形 是 正方形, .故四 边形 的面积为25.故答案为25. 1 2 3 4 5 6 7 8 12 4.［难］如图，点在第一象限的角平分线上， ， 点在轴正半轴上，点在 轴正半轴上. （1）求点 的坐标. 【解】 点在第一象限的角平分线 上， ，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 13 （2）当绕点 旋转时. ① 的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值. 【解】不变.如图,过点作轴于，于 , ，， 四边形 是正方形， ， .在 和中， ， ，, . 1 2 3 4 5 6 7 8 14 ②请求出 的最小值. 【解】连接,如图. ， ， ，.当最小时， 也 最小.根据垂线段最短可知，的最小值为2， 的最小值为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 15 类型3 十字架模型 5.如图，在正方形中，点，分别在边， 上，且 ，连接，，平分交于点 ，若 ，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 【解析】 四边形是正方形，， ， ，， ， 平分， ， .故 选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 16 6. 图（1） （1）如图（1），在正方形中，,相交于点且 ,则 和 的数量关系为_________. 【解析】由题意得 , , ， ， . 在和中， ，.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 17 图（2） （2）如图（2），在正方形中，,,分别是边,, 上的 点，，垂足为.求证： . 图（1） 【证明】如图（1），过点作于点，则四边形 为矩 形，则.在正方形中， ， ， ， ，.在和 中， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 18 图（3） （3）［难］如图（3），在正方形中，,,分别是边, , 上的点，，，，将正方形沿 折叠， 点的对应点恰好与边上的点重合，求 的长度. 图（2） 【解】如图（2），连接，关于对称，.过点 作于点，过点作于点，则 .由（2）同 理可得，， ， .又 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 19 上分心得 十字架模型 类型 过顶点型 不过顶点型 图示 ________________________ _________________________ 条件 在正方形中,点, 分别在边 ,上, 在正方形中,点,,, 分别在 边,,,上, 结论 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 20 类型4 半角模型 7.如图，正方形的边长为4，点，分别在边， 上，若 ，则 的周长等于___. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 【解析】 四边形为正方形， ， ， 把绕点顺时针旋转 可以得到 ，如图，，， ， , ， 点在 的延长线上. ， ， . 在和中， ， .又，， 的周长为 . 故答案为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 8.［难］在正方形中，点在边上，作射线，并将射线绕点 逆时针 旋转 ，交边于点,连接 . 图（1） 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 23 （1）如图（1），若，，则 的值为__________； （用含, 的代数式表示） 图（1） 【解】延长至，使,连接,如图（1）.∵四边形 是正方形，， ， ，， ， 射线绕点逆时针旋转 ，交边于点 , ， ， ， ， 在 中， ，.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 24 （2）如图（2），若过点作，垂足为，求证： ； 【证明】延长至，使，连接 ,如图（2）.由（1）可知， ，， .又 ,， . 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 25 （3）如图（3），若过点作，垂足为，连接,求 的度数. 图（3） 【解】过点作交于，延长交于 ，如图（3）， ， 四边形是矩形， , , ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ，为等腰直角三角形， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 26 $