卷8 第21章 四边形 上分专题（四） 正方形中常见的几何模型-【初中上分卷】2025-2026学年八年级下册数学配套课件（冀教版·新教材）

该初中数学课件聚焦八年级下册正方形中的手拉手、对角互补、十字架、半角四种几何模型，通过典型例题导入，先回顾正方形性质，再衔接全等三角形判定，搭建从基础性质到综合模型应用的学习支架，帮助学生梳理几何证明脉络。 其亮点在于精选各地期末、月考真题，以真实问题情境培养数学眼光，如对角互补模型中通过正方形构造全等解决OA+OB定值问题，发展几何直观与空间观念。解析注重推理步骤，如十字架模型中辅助线构造平行四边形证线段相等，强化推理意识，规范符号语言表达。学生能掌握模型通法提升解题能力，教师可直接用于分层教学，提高备课效率。

数 学 八年级下册 冀教版 1 2 上分专题（四） 正方形中常见的几何模型 重难上分 攻克难点 3 类型1 手拉手模型 类型2 对角互补模型 类型3 十字架模型 类型4 半角模型 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 类型1 手拉手模型 1.[2025湖北武汉武昌区月考，难]如图，在正方形外取一点，连接, , .过点作的垂线交于点，， .下列结论： ；②点到直线的距离为； .其中正确结 论的序号是( ) A A.①③ B.①②③ C.②③ D.①② 1 2 3 4 5 6 7 8 5 【解析】 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角 形， ， ， ， ， ，， 正确.在 中,， 不正确. ， ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 6 ,，， 正确.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 2.[2024广东惠州惠阳区月考]如图（1），已知正方形和正方形 有公共 顶点，连接， . 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 8 （1）请判断与 的数量关系与位置关系，并证明你的结论. 图（1） 【解】，.证明：如图（1），连接 ,设 与交于点 四边形和四边形 为正方形， ，， ， ，， ， ， 在中， ，.综上，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）［难］如图（2），已知，，当点在边上时，求 的长. 图（2） 【解】如图（2），过点作于 四边形 和四边 形为正方形， ， ， ,为等腰直角三角形. ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 10 类型2 对角互补模型 3.[2024广东茂名期中]如图，在四边形中， ， ， 垂足为，且,，则四边形 的面积为____. 25 1 2 3 4 5 6 7 8 11 【解析】把绕点逆时针旋转 ，如图. 旋转不改变 图形的形状和大小，与重合， ， ， 在四边形 中， ， ， ， 点 , ,在同一直线上. ，, 四边形 是 正方形, .故四 边形 的面积为25.故答案为25. 1 2 3 4 5 6 7 8 12 4.[2024福建莆田期末,难]如图，点在第一象限的角平分线 上，，点在轴正半轴上，点在 轴正半轴上. （1）求点 的坐标. 【解】 点在第一象限的角平分线 上， ，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 13 （2）当绕点 旋转时. ① 的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值. 1 2 3 4 5 6 7 8 14 【解】不变.如图,过点作轴于，于 , ，， 四边形 是正方形， ， . 在和中， ，， , . 1 2 3 4 5 6 7 8 15 ②请求出 的最小值. 【解】连接,如图. ， ， ， . 当最小时，也最小.根据垂线段最短可知， 的最小值为2， 的最小值为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 16 类型3 十字架模型 5.[2024重庆九龙坡区期末]如图，在正方形中，点， 分别 在边，上，且，连接，，平分交 于点，若 ，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 【解析】 四边形是正方形， ， ，， ， ，平分 ， ， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 17 6.[2025河北石家庄月考]已知正方形 . 图（1） 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 18 （1）如图（1），点,分别在,上，且，垂足为 ，求证： . 【证明】 四边形是正方形， ， , , ， ， . 在和中， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 19 （2）［难］如图（2），如果点,,分别在,,上，且，那么 与 相等吗？证明你的结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 20 【解】.证明：如图（1），过点作交于 . 图（1） 四边形 是正方形， ， 四边形是平行四边形， . ， . 同（1）可得 ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 21 （3）［难］如图（3），如果点，，，分别在，，， 上，且 ，那么与 相等吗？证明你的结论. 图（2） 【解】.证明：如图（2），分别过点，作交 于，交于 . 四边形 是正方形， ， ， 四边形、四边形 为平行四边形， ， . ， . 同（1）可得 ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 22 类型4 半角模型 7.[2024安徽合肥月考]如图，正方形的边长为4，点，分别在边， 上，若 ，则 的周长等于___. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 【解析】 四边形为正方形， ， ， 把绕点顺时针旋转 可以得到 ，如图，，， ， , ， 点在 的延 长线上. ， ， .在和 中， ， .又 ，， 的周长为 .故答案为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 24 8.[2024江苏宿迁宿豫区期中,难]在正方形中，点在边上，作射线 ， 并将射线绕点逆时针旋转 ，交边于点,连接 . 图（1） 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 25 （1）如图（1），若，，则 的值为__________； （用含, 的代数式表示） 图（1） 【解析】延长至，使,连接 ,如图（1）.∵四边形 是正方形，， ， ，， ， 射线绕点逆时针旋转 ，交边于点 , ， ， ， ， 在 中， ，.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 26 （2）如图（2），若过点作，垂足为，求证： ； 【解】【证明】延长至，使，连接 ,如图（2）.由（1）可知， ，， .又 ,， . 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 27 （3）如图（3），若过点作，垂足为，连接,求 的度数. 【解】过点作交于，延长交于 ，如图（3）， 图（3） ， 四边形是矩形， , , ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 28 ， ， 是等腰直角三角形， ，， , ，， 为等腰直角三角形， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 $