6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教学设计 一、教学目标 1.知识与技能：学生能准确理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念，明确两者的区别与联系；能运用两个原理解决简单的计数问题。 2.过程与方法：通过实例探究、对比分析，培养学生抽象概括、逻辑推理的能力，提升学生运用数学知识解决实际问题的素养。 3.情感态度与价值观：感受计数原理在生活和数学中的广泛应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生严谨的思维习惯。 二、教学重难点 1.重点：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解与应用。 2.难点：区分“分类”与“分步”，准确选择合适的计数原理解决问题。 三、教学准备 多媒体课件、生活中的计数实例素材 四、教学过程 （一）情境导入，引出问题 教师展示两个生活实例： 实例1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有3班，汽车有2班。那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 实例2：从甲地到乙地，需要先乘火车到丙地，再乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班。那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 引导学生思考并回答，初步感知“分类”和“分步”的不同计数方式，从而引出本节课主题——分类加法计数原理与分步乘法计数原理。 （二）探究新知，形成概念 1. 分类加法计数原理 师生共同分析实例1： 从甲地到乙地有两类不同的方案，第一类方案（乘火车）有3种方法，第二类方案（乘汽车）有2种方法。每一种方法都能独立完成从甲地到乙地这件事，所以总的走法数是 ( 3 + 2 = 5 ) 种。 教师引导学生抽象概括： 分类加法计数原理：完成一件事，有类不同的方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，……，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。 强调核心要点：分类、独立完成，即每一类中的每一种方法都能单独完成这件事。 2. 分步乘法计数原理 师生共同分析实例2： 从甲地到乙地需要分两步完成，第一步（乘火车到丙地）有3种方法，第二步（乘汽车到乙地）有2种方法。只有依次完成这两步，才能完成从甲地到乙地这件事，所以总的走法数是 种。 教师引导学生抽象概括： 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。 强调核心要点：分步、依次完成，即只有完成所有步骤，才能完成这件事。 3. 对比辨析，深化理解 原理 核心特征 计数公式 关键区别 分类加法计数原理 分类、独立完成 每类方法都能独立完成事件 分步乘法计数原理 分步、依次完成 需完成所有步骤才能完成事件 （三）例题讲解，巩固应用 例1 分类加法计数原理应用 已知集合 A = {1,2,3} ，B = {4,5} ，从集合中各取一个元素作为点的坐标，求可确定不同点的个数。 分析：分两类情况，第一类：从 A 中取横坐标，B 中取纵坐标，有种；第二类：从A 中取纵坐标，B中取横坐标，有种。根据分类加法计数原理，共有 个不同的点。 例2 分步乘法计数原理应用 用0，1，2，3这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 分析：组成三位数需分三步，第一步：确定百位数字，不能为0，有3种选择；第二步：确定十位数字，从剩下的3个数字中选，有3种选择；第三步：确定个位数字，从剩下的2个数字中选，有2种选择。根据分步乘法计数原理，共有个没有重复数字的三位数。 例3 两个原理综合应用 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有多少种？ 分析：方法一（分类）：分两类，第一类：1名女生3名男生，有种；第二类：2名女生2名男生，有种。共有 8 + 6 = 14 种。 方法二（间接法）：总选派数减去没有女生的选派数，种。 （四）课堂练习，强化技能 1.一件工作可以用两种方法完成，有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同的选法种数是多少？（答案：9） 2.从5名男生和4名女生中选出3名男生和2名女生，分别担任班长、学习委员等5个不同的职务，共有多少种不同的分配方案？ （五）课堂小结，梳理知识 1.学生自主总结：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念、核心要点、区别与联系。 2.教师补充：运用两个原理解决计数问题的关键是判断“分类”还是“分步”，分类相加，分步相乘。 （六）布置作业，拓展延伸 1.必做题：教材课后练习题1 - 5题，巩固基础知识点。 2.选做题：结合生活实际，设计一个运用分类加法或分步乘法计数原理的计数问题，并尝试求解。 1 学科网（北京）股份有限公司 $