6.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时）教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 6.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时） 一、教材分析 本节课是高中数学计数原理的开篇内容，隶属于排列组合与概率统计模块，是后续学习排列、组合、二项式定理以及概率计算的基础。教材从学生熟悉的生活计数问题入手，通过探究具体实例，抽象出分类加法计数原理和分步乘法计数原理两大核心内容，搭建起从 “列举计数” 到 “原理计数” 的桥梁，实现了计数方法从感性到理性、从具体到抽象的提升。同时，本节课的学习能让学生体会数学抽象和逻辑推理的思维过程，培养学生运用数学原理解决实际计数问题的能力，为后续复杂计数问题的解决奠定理论基础。 二、学情分析 本节课的授课对象为高中学生，学生在小学和初中阶段已经接触过简单的计数问题，掌握了 “列举法” 这一基本计数方法，具备一定的生活常识和简单的逻辑推理能力。但面对数量较大或步骤较复杂的计数问题时，列举法的局限性凸显，学生需要更高效、系统的计数方法。此外，学生正处于抽象思维发展的关键阶段，能够从具体实例中归纳概括出一般规律，但对 “分类” 与 “分步” 的本质区别理解可能存在困难，容易在实际应用中混淆两个计数原理，需要通过具体实例辨析和针对性练习突破难点。 三、核心素养目标 1. 数学抽象：通过对具体计数问题的分析，抽象出分类加法计数原理和分步 乘法计数原理的概念，体会从具体到抽象的数学思维过程。 2. 逻辑推理：能根据计数问题的特征，准确判断是 “分类” 还是 “分步” 问 题，运用两大原理进行逻辑推理并解决计数问题。 3. 数学运算：熟练运用两个计数原理进行简单的计数运算，提升数学运算的准确性和效率。 4. 数学建模：能将实际生活中的计数问题转化为数学模型，运用计数原理求解，培养数学建模意识和应用数学解决实际问题的能力。 5. 四、教学目标及重难点 （一）教学目标 1. 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的含义，掌握两个原理的基本表达形式。 2. 能准确区分 “分类” 和 “分步” 问题，熟练运用两个计数原理解决简单的实际计数问题。 3. 通过探究实例、归纳原理、应用练习的过程，培养学生的抽象概括、逻辑推理和数学应用能力。 4. 感受数学与生活的密切联系，体会数学原理的简洁性和实用性，激发学生学习数学的兴趣。 （二）教学重点 1. 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解和表述。 2. 运用两个计数原理解决简单的实际计数问题。 （三）教学难点 1. 准确区分计数问题中的 “分类” 与 “分步”，把握 “类类独立”“步步相依” 的本质特征。 2. 综合运用两个计数原理解决需要先分类后分步的复杂计数问题。 3. 五、教学过程 （一）导入新课（5 分钟） 教师提问：同学们在生活中经常会遇到计数问题，比如从家到学校有几种出行方式，买文具时有几种选择，大家通常是怎么数的？（学生回答：一个一个列举）教师引导：列举法是计数的基本方法，但如果问题中的数量很大，列举法就会很麻烦。比如从北京到长沙有 7 趟航班和 9 列火车，要数出所有出行方案，有没有更巧妙的方法？今天我们就来学习两种高效的计数原理 —— 分类加法计数原理和分步乘法计数原理。 （二）探究新知 —— 分类加法计数原理（15 分钟） 1. 探究具体实例 1. 问题 1：春节放假，小兰从北京回长沙，当天有 7 趟航班和 9 列火车。思考：①小兰的出行方案有几类？②每类方案各有几种方法？③总共有多少种不同方法？学生思考回答：两类（飞机、火车）；乘飞机 7 种，坐火车 9 种；共 7+9=16 种。 2. 问题 2：用一个大写英文字母或一个阿拉伯数字给教室座位编号，总共能编出多少种不同号码？学生分析：英文字母 26 个，阿拉伯数字 10 个，共 26+10=36 种。 2. 归纳基本环节教师引导学生总结上述计数过程的基本环节：①确定分类标准；②分别计算各类的方法数；③将各类方法数相加。 3. 抽象出原理一般地，完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有m种不同的方法，在第 2 类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。 4. 原理推广如果完成一件事有n类不同方案，在第 1 类方案中有m1种不同方法，第 2 类方案中有m2种不同方法，…，第n类方案中有mn种不同方法，那么完成这件事的方法总数为N=m1+m2+…+mn​。 5. 学以致用 5. 例 1：高考志愿填报，A 大学有生物学、化学、医学、物理学、工程学 5 个强项专业，B 大学有数学、会计学、信息技术学、法学 4 个强项专业，同学只能选一个专业，有多少种选择？（学生解答：5+4=9 种） 5. 拓展题：从甲地到乙地，可乘火车、汽车、轮船，一天中火车 4 班、汽车 2 班、轮船 3 班，共有多少种不同走法？（学生解答：4+2+3=9 种）教师强调：分类加法计数原理的关键是 “类类独立”，每类中的任意一种方法都能独立完成这件事。 （三）探究新知 —— 分步乘法计数原理（15 分钟） 1. 探究具体实例 5. 问题 3（1）：小明从北京经成都到重庆，北京到成都飞机有 4 班，成都到重庆火车有 3 班，共有多少种不同走法？学生思考回答：4×3=12 种。 5. 问题 3（2）：用前 6 个大写英文字母和 1~9 九个阿拉伯数字，以 A1、A2… 的方式给座位编号，共能编出多少种不同号码？教师引导用树状图列举，学生得出：6×9=54 种。 2. 归纳基本环节教师引导学生总结计数环节：①完成这件事要分步骤；②分别计算各步的方法数；③将各步方法数相乘。 3. 抽象出原理一般地，完成一件事需要分成两个步骤，做第 1 步有m种不同的方法，做第 2 步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。 4. 原理推广：如果完成一件事有n个步骤，做第 1 步有m1种不同方法，做第 2 步有m2种不同方法，…，做第n步有mn​种不同方法，那么完成这件事的方法总数为N=m1×m2×…×mn​。 5. 学以致用 5. 例 2：某班有男生 30 名，女生 24 名，选男、女生各一名代表班级参赛，有多少种不同选法？学生分析解答：分两步，选男生 30 种，选女生 24 种，共 30×24=720 种。 5. 例 3：书架第 1 层 4 本不同计算机书，第 2 层 3 本不同文艺书，第 3 层 2 本不同体育杂志。①任取 1 本书，有多少种取法？（分类，4+3+2=9 种）②从 1、2、3 层各取 1 本，有多少种取法？（分步，4×3×2=24 种）③取 2 本不同学科的书，有多少种取法？（先分类后分步，4×3+4×2+3×2=26 种）教师强调：分步乘法计数原理的关键是 “步步相依”，每一步都完成，这件事才算完成，每一步的方法不能独立完成事件。 （四）对比辨析两个计数原理（5 分钟） 教师引导学生从相同点、不同点、注意点三个角度对比分析，完成表格： 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种数 用来计算完成一件事的方法种数 不同点 针对 “分类” 问题，类类独立；每类方法能独立完成事件；计算方法为相加 针对 “分步” 问题，步步相依；每步方法不能独立完成事件；计算方法为相乘 注意点 分类时做到不重不漏 分步时做到缺一不可 （五）课堂练习（10 分钟） 完成课本 P5 练习题，学生独立解答后教师讲解点评： 1. 填空题：①一项工作 2 种方法，5 人会第 1 种，4 人会第 2 种，选 1 人完成，不同选法种数为9；②从 A 村到 B 村 3 条路，B 村到 C 村 2 条路，A 村经 B 村到 C 村，不同路线条数为6。 2. 辨析题：例 1 中若数学也是 A 大学强项专业，认为选法为 6+4=10 种，分析错误原因（未考虑专业重复，需剔除重复项）。 3. 书架题：上层 6 本不同数学书，下层 5 本不同语文书。①任取 1 本，11种；②各取 1 本，30种。 4. 年级选人员问题：高一 3 名、高二 5 名、高三 4 名。①任选 1 人，12种；②各选 1 人，60种。 5. 六、课堂总结（5 分钟） 1. 知识梳理：本节课学习了分类加法计数原理（N=m+n，推广式N=m1+m2+…+mn）和分步乘法计数原理（N=m×n，推广式N=m1×m2×…×mn）。 2. 核心区别：分类加法计数原理针对 “分类” 问题，核心是 “类类独立、不重不漏”；分步乘法计数原理针对 “分步” 问题，核心是 “步步相依、缺一不可”。 3. 解题思路：解决计数问题时，先判断是 “分类” 还是 “分步”，再根据原理计算；复杂问题需先分类后分步，综合运用两个原理。 4. 学习意义：两个计数原理是计数问题的基础，后续将运用其解决排列、组合等更复杂的数学问题，也能解决生活中的各类计数实际问题。 5. 七、作业安排 （一）基础作业 1. 课本课后习题对应基础题，熟练运用两个计数原理解决简单分类、分步计数问题，要求写出解题思路（判断分类 / 分步 + 计算过程）。 2. 整理本节课两个计数原理的知识点，包括定义、公式、区别、注意点，形成思维导图。 （二）提升作业 1. 从甲地到丙地，需经过乙地，从甲地到乙地有 4 条公路、2 条铁路，从乙地到丙地有 3 条公路、1 条水路、2 条铁路，求从甲地到丙地共有多少种不同的走法。 2. 现有红、黄、蓝三种颜色的小旗各一面，用一面、两面或三面小旗按一定顺序挂在旗杆上表示信号，求共能表示多少种不同的信号。 （三）拓展思考 思考生活中还有哪些计数问题可以用本节课的原理解决，记录 2-3 个实例并尝试求解。 八、板书设计 6.1.1 分类加法与分步乘法计数原理（第一课时） 一、分类加法计数原理 1. 两类方案：完成一件事分两类，N=m+n 2. 推广：n类方案，N=m1+m2+…+mn​ 3. 核心：类类独立，每类方法独立完成事件 4. 注意：不重不漏例 1：5+4=9 种 拓展：4+2+3=9 种 二、分步乘法计数原理 1. 两个步骤：完成一件事分两步，N=m×n 2. 推广：n个步骤，N=m1×m2×…×mn​ 3. 核心：步步相依，分步完成才是完成事件 4. 注意：缺一不可 三、两个原理对比 分类加法 分步乘法 针对问题 分类 分步 核心特征 类类独立 步步相依 计算方法 相加 相乘 注意点 不重不漏 缺一不可 四、解题步骤 1. 判断：分类 / 分步 / 先分类后分步 2. 计算：按原理求方法数 3. 作答：写出结果 授课人个案修改记录： 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $