6.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时）教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时）

一、教材分析

本节课是高中数学计数原理的开篇内容，隶属于排列组合与概率统计模块，是后续学习排列、组合、二项式定理以及概率计算的基础。教材从学生熟悉的生活计数问题入手，通过探究具体实例，抽象出分类加法计数原理和分步乘法计数原理两大核心内容，搭建起从 “列举计数” 到 “原理计数” 的桥梁，实现了计数方法从感性到理性、从具体到抽象的提升。同时，本节课的学习能让学生体会数学抽象和逻辑推理的思维过程，培养学生运用数学原理解决实际计数问题的能力，为后续复杂计数问题的解决奠定理论基础。

二、学情分析

本节课的授课对象为高中学生，学生在小学和初中阶段已经接触过简单的计数问题，掌握了 “列举法” 这一基本计数方法，具备一定的生活常识和简单的逻辑推理能力。但面对数量较大或步骤较复杂的计数问题时，列举法的局限性凸显，学生需要更高效、系统的计数方法。此外，学生正处于抽象思维发展的关键阶段，能够从具体实例中归纳概括出一般规律，但对 “分类” 与 “分步” 的本质区别理解可能存在困难，容易在实际应用中混淆两个计数原理，需要通过具体实例辨析和针对性练习突破难点。

三、核心素养目标

1.                            数学抽象：通过对具体计数问题的分析，抽象出分类加法计数原理和分步   乘法计数原理的概念，体会从具体到抽象的数学思维过程。
2.                            逻辑推理：能根据计数问题的特征，准确判断是 “分类” 还是 “分步” 问 题，运用两大原理进行逻辑推理并解决计数问题。
3.                            数学运算：熟练运用两个计数原理进行简单的计数运算，提升数学运算的准确性和效率。
4.                            数学建模：能将实际生活中的计数问题转化为数学模型，运用计数原理求解，培养数学建模意识和应用数学解决实际问题的能力。
5.                             

四、教学目标及重难点

授课人个案修改记录：

（一）教学目标

1.                                理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的含义，掌握两个原理的基本表达形式。
2.                            能准确区分 “分类” 和 “分步” 问题，熟练运用两个计数原理解决简单的实际计数问题。
3.                                通过探究实例、归纳原理、应用练习的过程，培养学生的抽象概括、逻辑推理和数学应用能力。
4.                            感受数学与生活的密切联系，体会数学原理的简洁性和实用性，激发学生学习数学的兴趣。

（二）教学重点

1.                                分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解和表述。
2.                                运用两个计数原理解决简单的实际计数问题。

（三）教学难点

1.                                准确区分计数问题中的 “分类” 与 “分步”，把握 “类类独立”“步步相依” 的本质特征。
2.                                综合运用两个计数原理解决需要先分类后分步的复杂计数问题。
3.                             

五、教学过程

（一）导入新课（5 分钟）

教师提问：同学们在生活中经常会遇到计数问题，比如从家到学校有几种出行方式，买文具时有几种选择，大家通常是怎么数的？（学生回答：一个一个列举）教师引导：列举法是计数的基本方法，但如果问题中的数量很大，列举法就会很麻烦。比如从北京到长沙有 7 趟航班和 9 列火车，要数出所有出行方案，有没有更巧妙的方法？今天我们就来学习两种高效的计数原理 —— 分类加法计数原理和分步乘法计数原理。

（二）探究新知 —— 分类加法计数原理（15 分钟）

1.                            探究具体实例
   1.                                                     问题 1：春节放假，小兰从北京回长沙，当天有 7 趟航班和 9 列火车。思考：①小兰的出行方案有几类？②每类方案各有几种方法？③总共有多少种不同方法？学生思考回答：两类（飞机、火车）；乘飞机 7 种，坐火车 9 种；共 7+9=16 种。
   2.                                                     问题 2：用一个大写英文字母或一个阿拉伯数字给教室座位编号，总共能编出多少种不同号码？学生分析：英文字母 26 个，阿拉伯数字 10 个，共 26+10=36 种。
2.                            归纳基本环节教师引导学生总结上述计数过程的基本环节：①确定分类标准；②分别计算各类的方法数；③将各类方法数相加。
3.                            抽象出原理一般地，完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有m

种不同的方法，在第 2 类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。

4.                            原理推广如果完成一件事有n类不同方案，在第 1 类方案中有m1种不同方法，第 2 类方案中有m2种不同方法，…，第n类方案中有mn种不同方法，那么完成这件事的方法总数为N=m1+m2+…+mn​。
5.                            学以致用
   1.                                                     例 1：高考志愿填报，A 大学有生物学、化学、医学、物理学、工程学 5 个强项专业，B 大学有数学、会计学、信息技术学、法学 4 个强项专业，同学只能选一个专业，有多少种选择？（学生解答：5+4=9 种）
   2.                                                     拓展题：从甲地到乙地，可乘火车、汽车、轮船，一天中火车 4 班、汽车 2 班、轮船 3 班，共有多少种不同走法？（学生解答：4+2+3=9 种）教师强调：分类加法计数原理的关键是 “类类独立”，每类中的任意一种方法都能独立完成这件事。

（三）探究新知 —— 分步乘法计数原理（15 分钟）

1.                            探究具体实例
   1.                                                     问题 3（1）：小明从北京经成都到重庆，北京到成都飞机有 4 班，成都到重庆火车有 3 班，共有多少种不同走法？学生思考回答：4×3=12 种。
   2.                                                     问题 3（2）：用前 6 个大写英文字母和 1~9 九个阿拉伯数字，以 A1、A2… 的方式给座位编号，共能编出多少种不同号码？教师引导用树状图列举，学生得出：6×9=54 种。
2.                            归纳基本环节教师引导学生总结计数环节：①完成这件事要分步骤；②分别计算各步的方法数；③将各步方法数相乘。
3.                            抽象出原理一般地，完成一件事需要分成两个步骤，做第 1 步有m种不同的方法，做第 2 步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。
4.                            原理推广：如果完成一件事有n个步骤，做第 1 步有m1种不同方法，做第 2 步有m2种不同方法，…，做第n步有mn​种不同方法，那么完成这件事的方法总数为N=m1×m2×…×mn​。
5.                            学以致用
   1.                                                     例 2：某班有男生 30 名，女生 24 名，选男、女生各一名代表班级参赛，有多少种不同选法？学生分析解答：分两步，选男生 30 种，选女生 24