第18讲 等腰三角形（复习讲义，2考点6题型3重难）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“等腰三角形与等边三角形”专题，覆盖性质判定、三线合一、旋转问题等中考核心考点，以“考情剖析-知识网络-考点解析-题型突破”为主线构建知识体系，通过真题分类讲解与分层训练，帮助学生系统梳理考点，突破存在性、动点等难点。 亮点在于“题型建模+思维进阶”教学策略，如将等腰三角形“三线合一”提炼为“判等腰-找三线-用性质”三步法，培养几何直观与推理意识，结合“基础巩固-能力提升-全国新趋势”分层练习，确保高效复习。教师可依托此资料精准把控考向，助力学生提升解题能力与应试技巧。

第四章 三角形 第18讲 等腰三角形 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 6 命题点一 等腰三角形 题型01 三线合一 题型02 等角对等边 题型03 等腰三角形的性质和判定 命题点二 等边三角形 题型01 等边三角形中的旋转问题 题型02 等边三角形中的规律性问题 题型03 等边三角形相关证明题 05·重难突破·思维进阶难 14 突破一 等腰三角形中的存在性问题 突破二 等边三角形中的动点问题 突破三 等边三角形中的最值问题 06·优题精选·练能提分 19 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 等腰三角形的性质与判定 山东德州T5 山东青岛T7 山东东营T24山东青岛T8 山东东营T24 山东济宁T15 山东泰安T24 山东威海T20 山东潍坊T17 山东日照T16山东聊城T12 山东临沂T22 1.理解等腰三角形的概念. 2.探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合. 3.探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形. 等边三角形的性质与判定 山东东营T10 山东潍坊T5山东烟台 T14 山东卷T21 山东泰安T24 山东东营T24 山东枣庄T9 1.探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°. 2.探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是 60°的等腰三角形)是等边三角形. 命题预测 该部分内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的.而数学中考中，等腰三角形单独出题的可能性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点 考点一 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形的概念：有两边相等的三角形角等腰三角形． 等腰三角形性质： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点在边上（与点，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 2．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 3．（2025·山东·中考真题）如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为2，，求的长 考点二 等边三角形的性质与判定 等边三角形的概念：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形. 等边三角形的性质：1）等边三角形的三条边相等. 2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定：1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形. 2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 2．（2025·山东烟台·中考真题）如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（2024·山东·中考真题）如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接． (1)求证：为所在圆的切线； (2)求图中阴影部分面积．（结果保留） 命题点一 等腰三角形 ►题型01 三线合一 / 1. 判等腰：确定三角形两边相等/两角相等，分清腰、底边、顶角。 2. 找三线：锁定底边的中线/高、顶角的角平分线，腰对应的线不适用。 3. 用性质：知其一推其二（如知中线→得高+角平分线；知高→得中线+角平分线）。 4. 求答案：结合勾股定理、全等三角形等，算边长/角度或证垂直、相等。 【典例】（2025·山东滨州·中考真题）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上． （1）只用无刻度的直尺在上找一点D，使得最短（保留作图痕迹） ． （2）在（1）的基础上，在边上找一点M，使得最小，最小值为 ． 【变式】1．（2025·山东济宁·一模）如图，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 2．（2025·山东济南·一模）如图，在中，，，是上的一点，连接，将沿折叠，点落在点处，交于点，若，则 ． ►题型02 等角对等边 / 核心定义：在一个三角形中，若两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，此三角形为等腰三角形。 1. 找等角：在三角形中确定两个相等的内角，明确这两个角的对边。 2. 用性质：根据“等角对等边”，直接推出两个等角所对的边长度相等。 3. 定等腰：判定该三角形为等腰三角形，确定腰（相等的两边）和底边（第三边）。 4. 解问题：结合三角形内角和、全等判定等定理，完成边长计算或关系证明。 【典例】（2025·山东济南·中考真题）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 【变式】1．（2025·山东济南·一模）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，、相交于点G，，，．求证：是等腰三角形． 2．（2025·山东临沂·一模）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两条弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交于点E，过点P作直线，交于点F． (1)判断四边形的形状； (2)若，，求四边形的面积． ►题型03 等腰三角形的性质和判定 / 1. 审题定方向 若题干给等腰三角形，优先用等边对等角或三线合一推导角相等、线垂直/平分 若题干要证等腰三角形，优先找两边相等或两角相等的条件 2. 找关键条件 找相等边/角、平行线（推等角）、角平分线、垂直平分线等 3. 选对应定理 证角相等→用等边对等角；证边相等→用等角对等边；证线关系→用三线合一 4. 结合辅助线（必要时） 证等腰常作底边的高/中线/顶角平分线，借助三线合一构造全等或直角三角形 5. 推导得结论 搭配三角形内角和、全等判定、勾股定理等完成计算或证明 【典例】（2025·山东济南·模拟预测）如图，在菱形中，，P，Q分别是边上的两个点，将沿翻折，使点B恰好与上的点重合，此时．若，则折痕的长度是 ． 【变式】1．（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接． (1)设，则 ；（用含的式子表示） (2)求证：； (3)若，求的长． 2．（2025·山东潍坊·三模）定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． (1)如图1，在“双垂四边形”中，若，则_______； (2)如图2，在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，，且，求的长． 命题点二 等边三角形 ►题型01 等边三角形中的旋转问题 / 1. 确定旋转要素 找旋转中心（通常是等边三角形的顶点）、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度（60°，与等边三角形内角一致）。 明确旋转前后的对应边、对应角，旋转后的线段与原线段相等，对应角相等。 2. 构造全等三角形 结合旋转性质，找出两组相等的对应边，再证明它们的夹角相等（夹角通常为60°，或由等边三角形内角与旋转角推导得出）。 用 SAS 判定定理证明旋转前后的三角形全等。 3. 转化等量关系 由全等得对应边相等、对应角相等，将未知线段/角度转化为已知条件。 若出现新的60°角且两边相等，可判定新三角形为等边三角形，进一步拓展条件。 4. 结合其他定理求解 搭配三角形内角和、直角三角形性质、勾股定理等，计算线段长度、角度大小，或证明线段位置关系（如垂直）。 【典例】（2025·山东日照·三模）如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为 ． 【变式】1．（2025·山东聊城·二模）在中，，，P为内的一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到． (1)如图 1，若，，求的度数； (2)若点P为的外心，判别四边形是什么特殊四边形，并说明理由； (3)如图 2，若点D为的中点，连接，当时，求证：． 2．（2025·山东烟台·二模）阅读材料，并解决问题： 【思维指引】（1）如图1等边内有一点，若点到顶点的距离分别为3，4，5，求的度数． 解决此题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是___________三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； 【知识迁移】（2）如图2，在等腰直角中，为上的点且，请判断的数量关系，并证明你的结论． 【方法推广】（3）如图3，在中，，点为等边内一点，连接，直接写出的最小值． ►题型02 等边三角形中的规律性问题 / 1. 定对象：明确要找的是边长、个数、面积还是角度的规律。 2. 算前3个：计算n=1,2,3时对应对象的数值。 3. 找规律：对比数值，看是等差、等比还是递推关系。 4. 推公式：用n写出通用式子，代入验证。 5. 求答案：把题目序号代入公式计算。 【典例】（2025·山东临沂·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上……当等边三角形翻滚2025次后点的对应点坐标是 ． 【变式】1．（2025·山东泰安·一模）如图，将边长为1的正三角形沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点，，，…，的位置，则点的横坐标为 ． 2．（2025·山东菏泽·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点的坐标为，是等边三角形，点坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……则的坐标是 ． ►题型03 等边三角形相关证明题 / 1. 析条件：提取题干中等边三角形的性质（三边相等、三角均为60°），标注已知的相等边、相等角、平行或垂直关系。 2. 定目标：明确要证明的结论（边相等、角相等、三角形全等/等边，或线段位置关系）。 3. 构模型： 证全等：优先用 SAS（两边+60°夹角）、SSS（三边相等）判定定理，必要时作辅助线（如中线、高）。 证等边：证三边相等，或证两边相等+一角为60°，或证三角均为60°。 4. 推结论：结合全等性质、等边三角形判定定理，逐步推导得出目标结论，过程中注意利用角度和差计算60°角。 【典例】（2025·山东烟台·一模）已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点E，． (1)请写出与之间的数量关系，并证明； (2)求证：点E是线段的黄金分割点． 【变式】1．（2025·山东淄博·二模）如图，已知中，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，． (1)填空：①_____； (2)探索，，之间的数量关系，并加以证明； (3)若，试求四边形的面积． 2．（2025·山东·一模）在中，，点D为线段上一点，连接． (1)如图1，若，求线段的长； (2)如图2，以为边作等边，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G． ①取的中点O，连接，求证：； ②若，探究与之间的数量关系，并说明理由． 突破一 等腰三角形中的存在性问题 【典例】如图，一次函数（b为常数）的图像与y轴交于点，与反比例函数（k为常数，且）的图像交于点B、，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点是轴上一点，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，且为等腰三角形的腰，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】1．若一个三角形中存在一个内角的两倍与另一个内角的和等于，我们称该三角形为倍角三角形： (1)a．倍角三角形一定是______________三角形（填“钝角”、“锐角”或“直角”）； b．顶角为的等腰三角形______________倍角三角形（填“是”或“不是”）； (2)如图1，为倍角三角形，，过点C作边的垂线交其延长线于点D，若，求的度数； (3)如图2，中，，，，在的延长线上是否存在一点D，使得是倍角三角形，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由． 2．对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则． (1)如图，若直线与直线为“等腰三角线”，且点的坐标分别为，求直线的解析式； (2)如图，直线与双曲线交于点，点是双曲线上的一个动点，点的横坐标分别为，直线分别与轴于点； ①求证：直线与直线为“等腰三角线”； ②过点作轴的垂线，在直线上存在一点；连接，当时，求出线段的值（用含的代数式表示）． 突破二 等边三角形中的动点问题 【典例】如图，在中，，，，D是边中点，延长至点E，使，动点P、Q分别从点E、D同时出发，点P以的速度沿向终点D运动，点Q以的速度沿运动，以为边向上方作等边三角形．设与重叠部分的面积为，点P运动的时间为． (1)________； (2)当点A落在边上时，求t的值； (3)当与重叠部分的图形是四边形时，求S与t之间的函数解析式． 【变式】1．如图1，在等边三角形中，动点P从点C出发沿C→B→A匀速运动，同时动点Q从点B出发沿B→A→C匀速运动，且速度均为每秒1个单位，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为，面积为S．图2中的曲线是动点P在边上时S与t的函数图象． (1)的长为_______；______． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数．请求出此时S与t的函数解析式． (3)在运动过程中，若存在三个时刻对应的面积均相等，且，求的值． 2．如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为以．过点作于，连接交边于．以、为边作平行四边形． (1)_____；（用含的代数式表示） (2)尺规作图：作的角平分线，交于点； 当、、在同一条直线上时，求的值； (3)发现：在点和点运动过程中，的长是一个定值，请你求出这个定值； (4)如图，取线段的中点，连接，将沿直线翻折，得到，连接，直接写出的最小值及此时的值． 突破三 等边三角形中的最值问题 【典例】【问题提出】 （1）如图1，在边长为6的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为 ； 【问题探究】 （2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】 （3）如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中E、F分别在、边上（不与点B、C、D重合），且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【变式】1．（）提出问题： 如图，在中，，，则的外接圆的半径是___________． （）问题拓展： 如图，在等边中有一点，，，，求的度数？ （）问题应用： 某校研学旅行安排在秦岭终南山下的薰衣草庄园，庄园内一块矩形薰衣草地如图所示、睿智小组给薰衣草地绘制图形并标上字母，在矩形中有、两点，在内，在内，测量米、米、，，，在四边形中种植普罗旺斯薰衣草，每平方米的费用是元．种植普罗旺斯薰衣草费用的最小值是多少？ 2．问题提出 （1）如图①，在中，，，则当点A到的距离最大时，的长为________． 问题解决 （2）如图②，四边形为某社区内休闲公园示意图，该社区为了实行动静分区，平衡喜静和喜动居民的需求，计划购买彩色地光灯带，并在公园边界，上分别取点M，N，连接，从五边形内任取一点P，连接，，使得．将P，M，N三点用彩色地光灯带无间隙地连接起来铺成一个专属喜动居民的表演场地（忽略彩色地光灯带的宽度）．为节约成本，需要彩色地光灯带的总长度尽可能的短．已知，，．试问彩色地光灯带的总长度是否存在最小值？若存在，求出铺设的彩色地光灯带总长度的最小值；若不存在，请说明理由． 1．（2025·山东临沂·一模）如图，在中，平分，交于点，，，．则的长是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东临沂·二模）在中，按以下方式作图： ①以B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交边于点M，N； ②以C为圆心，以长为半径作弧，交于点P； ③以点P为圆心，以为半径作弧，在内部交前面的弧于点Q； ④连接并延长，交于点E，交于点F． 若，． 下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东聊城·三模）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，其中一组同学的作法如图所示，以O为圆心，以任意长为半径画弧，交，于点C、D，点E是上任一点，以E为圆心，以同样长为半径画弧交于点F，以F为圆心，以长为半径画弧交于点G，连接，然后以E为圆心，以长为半径画弧交于点P，连接，即为的角平分线．根据作图过程，下列结论错误的是（） A． B． C． D．为等腰三角形 4．（2025·山东临沂·一模）如图，在中，，，E是上一点，在的右侧作等边，连接，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东济宁·一模）如图，已知P是线段上的动点（P不与点A，B重合），，分别以为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为G；连接，当动点P从点A运动到点B时，则的最小值是 ． 6．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形中，，，以点为圆心、长为半径作弧交于点；再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 7．（2025·山东济南·一模）如图，在菱形中，M，N分别是和上的点，且．求证：．    8．（2025·山东聊城·三模）如图1，在中，，． (1)将线段绕点A逆时针旋转，使点C的对应点D落在线段的延长线上，连接． ①根据题意补全图1（保留作图痕迹），并证明：； ②如图2，，，，交于点H．若，，求的长． (2)如图3，点M是线段上的动点且不与点A，C重合，将线段绕点A逆时针旋转，使点M的对应点N落在线段BA的延长线上，连接，，过点N作于点P．若，且，请直接写出的值（用含k的式子表示）． 1．（2025·山东济南·一模）如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿着折叠，得到，连接，点是的中点，，则的最小值为 ． 2．（2025·山东滨州·模拟预测）【阅读学习】 阅读1：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫做“可两分三角形”，这条线段叫做这个三角形的“两分线”． 阅读2：如果两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”．如图3，线段，将顶角为的等腰三角形分成了三个等腰三角形，则线段，是的“三分线”． (1)判断：在中，，，则 “可两分三角形”（填“是”或“不是”）； (2)画图和计算：下图中的两个三角形都是“可两分三角形”，请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数； (3)画图和计算：请你在图4中，画出顶角为的等腰的“三分线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数； (4)画图和计算：在中，，和是的“三分线”，点在边上，点在边上，且，．设，试画出示意图，并求出的值． 3．（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，中，，，是的角平分线． ①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F． ②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点G． ③以点G为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H． ④画射线． ⑤以点B为圆心，长为半径画弧，交射线于点M． ⑥连接分别交于点N，P．根据以上信息，解决以下两个问题： (1)求的度数； (2)求的值． 4．（2025·山东枣庄·三模）综合与实践 【问题情境】 在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】 (1)如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，请写出与的数量关系，请思考并证明； 【类比探究】 (2)小雨尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形中，对角线相交于点O，，点E是上一点，且．点P由点C出发，沿方向向点D匀速运动，速度为；点Q由点A出发，沿方向向点D匀速运动，速度为．点P，Q同时出发，交于F，连接，设运动时间为． (1)当t为何值时，？ (2)设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式． (3)是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 1．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 3．（2025·福建·中考真题）如图，等边的边长为，点在边上，，线段绕顺时针旋转得到线段，连接交于点，连接，下列结论：①四边形面积为；②外接圆的半径为；③；其中正确的是（   ）. A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 4．（2025·甘肃·中考真题）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形．若，则 ． 5．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是 ． 6．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． (1)求证：是菱形； (2)若，求的面积． 7．（2025·山西·中考真题）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段．   【问题解决】 问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________．   问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接．   求证：线段是线段的双关联线段． 证明：延长交于点F． 是等边三角形， ． ， （依据）． ， ， ； …    任务： (1)问题1中的________，问题2中的依据是________________； (2)补全问题2的证明过程； (3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段． （要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 8．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 9．（2025·山西·中考真题）综合与探究 问题情境：如图，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平． 猜想证明：（1）判断四边的形状，并说明理由 拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接． ①若，判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长 10．（2025·宁夏·中考真题）如图，在和中，，，．连接，点是的中点，连接． (1)如图1，当点在上时，求证：是等边三角形； (2)将图1中的绕点顺时针旋转． ①当旋转角为时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由； ②当最长时，与的交点记作．若，则_________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 第18讲 等腰三角形 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 13 命题点一 等腰三角形 题型01 三线合一 题型02 等角对等边 题型03 等腰三角形的性质和判定 命题点二 等边三角形 题型01 等边三角形中的旋转问题 题型02 等边三角形中的规律性问题 题型03 等边三角形相关证明题 05·重难突破·思维进阶难 43 突破一 等腰三角形中的存在性问题 突破二 等边三角形中的动点问题 突破三 等边三角形中的最值问题 06·优题精选·练能提分 69 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 等腰三角形的性质与判定 山东德州T5 山东青岛T7 山东东营T24山东青岛T8 山东东营T24 山东济宁T15 山东泰安T24 山东威海T20 山东潍坊T17 山东日照T16山东聊城T12 山东临沂T22 1.理解等腰三角形的概念. 2.探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合. 3.探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形. 等边三角形的性质与判定 山东东营T10 山东潍坊T5山东烟台 T14 山东卷T21 山东泰安T24 山东东营T24 山东枣庄T9 1.探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°. 2.探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是 60°的等腰三角形)是等边三角形. 命题预测 该部分内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的.而数学中考中，等腰三角形单独出题的可能性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点 考点一 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形的概念：有两边相等的三角形角等腰三角形． 等腰三角形性质： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点在边上（与点，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】由正方形的性质得出，证出，由证明，得出，①正确；证明四边形是矩形，得出，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出，③正确；证出，得出对应边成比例，得出，④正确． 【详解】解：∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ∴，故①正确； ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∴， ∴，故②正确； ， ∴，故③正确； ∵， ∴， ， ， ， ，故④正确； ∴正确的有①②③④． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 2．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，是解题的关键： （1）根据作图可知，结合，即可得证； （2）等边对等角求出的度数，根据，推出，根据，得到，进而得到，设，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：由作图可知，． 又∵， ∴． （2）解：∵，， ∴． 由（1）得． ∴． ∴， ∴， ∴． 由（1）知， ∴． ∵且， ∴． ∴． ∵，设，则，即． 解得或（舍去）． ∴的长为． 3．（2025·山东·中考真题）如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为2，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等． （1）利用等边对等角求得，由角平分线的定义求得，可证明，即可证明为的切线； （2）先证明等腰三角形，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即且为半径， ∴为的切线； （2）解：∵，又， ∴等腰直角三角形， ∵的半径为2， ∴， ∴， ∴． 考点二 等边三角形的性质与判定 等边三角形的概念：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形. 等边三角形的性质：1）等边三角形的三条边相等. 2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定：1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形. 2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由菱形的性质得出，，进而可求出，由含30度直角三角形的性质得出，结合已知条件即可判定①．根据相似三角形的判定和性质即可判定②．证明是等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由相似三角形的性质进而可判定③，过点H作与点Q，通过解直角三角形求出，，再求出，最后再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 如下图，过点H作与点Q， 设菱形的边长为，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故④正确， 故选D 2．（2025·山东烟台·中考真题）如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接、、，过点O作于点M，根据正六边形的性质得出，，，证明和为等边三角形，求出，证明，得出，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：连接、、，过点O作于点M，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴，，， ∴和为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 3．（2024·山东·中考真题）如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接． (1)求证：为所在圆的切线； (2)求图中阴影部分面积．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，扇形面积，等边三角形的性质等知识点，证明四边形是平行四边形是解题关键． （1）根据圆的性质，证明，即可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果． （2）先求出平行四边形的高，根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：连接如图， 根据题意可知：， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在以为直径的圆上， ∴， ∴为所在圆的切线． （2）过作于点， 由图可得：， 在中，，， ∴， ∴， 由题可知：扇形和扇形全等， ∴， 等边三角形的面积为：， ∴ 命题点一 等腰三角形 ►题型01 三线合一 / 1. 判等腰：确定三角形两边相等/两角相等，分清腰、底边、顶角。 2. 找三线：锁定底边的中线/高、顶角的角平分线，腰对应的线不适用。 3. 用性质：知其一推其二（如知中线→得高+角平分线；知高→得中线+角平分线）。 4. 求答案：结合勾股定理、全等三角形等，算边长/角度或证垂直、相等。 【典例】（2025·山东滨州·中考真题）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上． （1）只用无刻度的直尺在上找一点D，使得最短（保留作图痕迹） ． （2）在（1）的基础上，在边上找一点M，使得最小，最小值为 ． 【答案】 见解析 【分析】本题考查了勾股定理与网格，矩形的性质，等腰三角形的性质，轴对称求最短距离等，掌握相关知识点是解题关键． （1）由勾股定理可得，根据矩形的对角线互相平分找出的中点，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，由垂线段最短可知此时最短； （2）作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得当、、三点共线时，最小，最小值为的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图，点即为所求作， 故答案为： （2）如图，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可知，， ， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长， 过点作，由方格和为的中点知，，， ， 故答案为：． 【变式】1．（2025·山东济宁·一模）如图，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点交于点，当点在点处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：连接， ∵， ∴垂直平分， ， ， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当、、三点共线，且时，最小， 过点作于点交于点，如图所示： ∴当点在点处，点Q在点E处时，取最小值，且最小值为的长， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 2．（2025·山东济南·一模）如图，在中，，，是上的一点，连接，将沿折叠，点落在点处，交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，由等腰三角形的性质得，进而由勾股定理得，由折叠的性质得，可得，设，在中，由勾股定理得，得到，再利用等腰三角形的性质和勾股定理可得，最后利用三角形面积即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵ ，， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． ►题型02 等角对等边 / 核心定义：在一个三角形中，若两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，此三角形为等腰三角形。 1. 找等角：在三角形中确定两个相等的内角，明确这两个角的对边。 2. 用性质：根据“等角对等边”，直接推出两个等角所对的边长度相等。 3. 定等腰：判定该三角形为等腰三角形，确定腰（相等的两边）和底边（第三边）。 4. 解问题：结合三角形内角和、全等判定等定理，完成边长计算或关系证明。 【典例】（2025·山东济南·中考真题）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图−复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 根据作法得平分，垂直平分，所以，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求解． 【详解】解：连接， 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式】1．（2025·山东济南·一模）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，、相交于点G，，，．求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 2．（2025·山东临沂·一模）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两条弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交于点E，过点P作直线，交于点F． (1)判断四边形的形状； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形为菱形 (2) 【分析】（1）先判定四边形为平行四边形，再证明，可证四边形为菱形； （2）过作于，先求出，再由勾股定理求出，设，在中，由勾股定理求出，最后根据菱形面积公式求出面积． 【详解】（1）四边形为菱形． ，， 四边形为平行四边形，， 由作图得：平分， ， ， ， 四边形为菱形． （2）过作于， 平分，， ， ， ， 四边形为菱形， ， 设，在中，， 即：， 解得：， ． ►题型03 等腰三角形的性质和判定 / 1. 审题定方向 若题干给等腰三角形，优先用等边对等角或三线合一推导角相等、线垂直/平分 若题干要证等腰三角形，优先找两边相等或两角相等的条件 2. 找关键条件 找相等边/角、平行线（推等角）、角平分线、垂直平分线等 3. 选对应定理 证角相等→用等边对等角；证边相等→用等角对等边；证线关系→用三线合一 4. 结合辅助线（必要时） 证等腰常作底边的高/中线/顶角平分线，借助三线合一构造全等或直角三角形 5. 推导得结论 搭配三角形内角和、全等判定、勾股定理等完成计算或证明 【典例】（2025·山东济南·模拟预测）如图，在菱形中，，P，Q分别是边上的两个点，将沿翻折，使点B恰好与上的点重合，此时．若，则折痕的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，特殊角的三角函数，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过点P作于点M，先证明，，推导出 ，继而推导出，可得到，过点A作于点E，证明，可得到，求出，则，可求出，则，即可解答． 【详解】解∶过点P作于点M，如图 ， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折，得 ，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 过点A作于点E，如图，有 ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式】1．（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接． (1)设，则 ；（用含的式子表示） (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据内心是三角形角的平分线交点，在同圆或等圆中，同弧上圆周角相等解答即可； （2）根据内心，三角形外角性质，等腰三角形的判定证明即可； （3）设，根据题意，根据相似三角形的判定和性质，列式解答即可． 本题考查了三角形的内心，圆的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点D是的内心， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）证明：连接， ∵点D是的内心， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴． （3）解：设，根据题意， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 故的长为． 2．（2025·山东潍坊·三模）定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． (1)如图1，在“双垂四边形”中，若，则_______； (2)如图2，在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，，且，求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，理解题中定义是解题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余可得，，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质推导可证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 故答案为：； （2）解：，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 命题点二 等边三角形 ►题型01 等边三角形中的旋转问题 / 1. 确定旋转要素 找旋转中心（通常是等边三角形的顶点）、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度（60°，与等边三角形内角一致）。 明确旋转前后的对应边、对应角，旋转后的线段与原线段相等，对应角相等。 2. 构造全等三角形 结合旋转性质，找出两组相等的对应边，再证明它们的夹角相等（夹角通常为60°，或由等边三角形内角与旋转角推导得出）。 用 SAS 判定定理证明旋转前后的三角形全等。 3. 转化等量关系 由全等得对应边相等、对应角相等，将未知线段/角度转化为已知条件。 若出现新的60°角且两边相等，可判定新三角形为等边三角形，进一步拓展条件。 4. 结合其他定理求解 搭配三角形内角和、直角三角形性质、勾股定理等，计算线段长度、角度大小，或证明线段位置关系（如垂直）。 【典例】（2025·山东日照·三模）如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是证明为等边三角形． 连接，根据旋转的性质，证明为等边三角形，利用含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理，求出的长，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴为等边三角形， ∴； 故答案为：． 【变式】1．（2025·山东聊城·二模）在中，，，P为内的一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到． (1)如图 1，若，，求的度数； (2)若点P为的外心，判别四边形是什么特殊四边形，并说明理由； (3)如图 2，若点D为的中点，连接，当时，求证：． 【答案】(1) (2)菱形，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】对于（1），根据旋转的性质得，，可得，再根据周角可知，进而得，即，可得答案； 对于（2），先根据外心的性质得点P是三边垂直平分线的交点，即可，再根据旋转的性质得，然后根据“四边相等的四边形是菱形”得出答案； 对于（3），延长至E，使，连接，根据旋转可得，根据“边角边”证明，可得，然后说明，接下来根据“边角边”证明，可得答案． 【详解】（1）解：由旋转的性质得，， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， 则， 即， ∴； （2）解：四边形是菱形， 理由如下：∵点P是的外心， ∴点P是三边垂直平分线的交点， ∴． 由旋转得， ∴， ∴四边形是菱形； （3）证明：延长至E，使，连接， 根据旋转可得． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． 2．（2025·山东烟台·二模）阅读材料，并解决问题： 【思维指引】（1）如图1等边内有一点，若点到顶点的距离分别为3，4，5，求的度数． 解决此题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是___________三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； 【知识迁移】（2）如图2，在等腰直角中，为上的点且，请判断的数量关系，并证明你的结论． 【方法推广】（3）如图3，在中，，点为等边内一点，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）等边；；（2），证明见解析（3） 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证； （3）由旋转的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，即，则当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长，由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）， ，，， 依题意得旋转角， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：等边；150； （2），理由如下： 如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）如图，在内部任取一点P，连接，，， 将绕点B顺时针旋转得到， 由旋转的性质得：， ， ， ， 当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长， 如图，过点A作垂线交延长线于点D， ， ， ，， 又， ， ，即的最小值为 ． ►题型02 等边三角形中的规律性问题 / 1. 定对象：明确要找的是边长、个数、面积还是角度的规律。 2. 算前3个：计算n=1,2,3时对应对象的数值。 3. 找规律：对比数值，看是等差、等比还是递推关系。 4. 推公式：用n写出通用式子，代入验证。 5. 求答案：把题目序号代入公式计算。 【典例】（2025·山东临沂·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上……当等边三角形翻滚2025次后点的对应点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的翻转，一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，解题的关键是通过实际操作理解等边经过第次翻转与第次翻转后点处在同一个点．先令，求得点与点的坐标，从而求出、、的长度，然后结合图形的翻转知道点经过次旋转后重新落在直线：上，第次旋转点的位置不变，再结合次一循环得到翻滚次后点的坐标． 【详解】解：把代入得：， 把代入得：， ∵直线l：与两坐标轴交于、两点， ∴，， ∴，，， ∴， ∴，， 如图，等边经过第次翻转后， ∴， 而， ∴， ∴，， ∴， 过点作轴于点，则，    ∵， ∴， ， 等边经过第次翻转后，， 等边经过第次翻转后，点仍在点处， ∴每经过次翻转，点向右平移个单位，向上平移个单位， ∵，第次与第次翻转后点处在同一个点， ∴点经过次翻转后，向右平移了个单位，向上平移了个单位， ∴等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是， 故答案为：． 【变式】1．（2025·山东泰安·一模）如图，将边长为1的正三角形沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点，，，…，的位置，则点的横坐标为 ． 【答案】2008 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，等边三角形的性质，分别得出、、…的横坐标，进而得到每3次翻折为一个循环，每个循环内点P的横坐标依次增加，据此规律求解即可． 【详解】解：如图所示，过点P作x轴的垂线，垂足为E， ∵是边长为1正三角形， ∴， 观察图形结合翻转的方法可以得出、的横坐标是1，的横坐标是, 、的横坐标是，的横坐标是， …… 依此类推下去，每3次翻折为一个循环，每个循环内点P的横坐标依次增加， ∵， ∴点的横坐标为， 故答案为：2008． 【点评】本题的解答体现了由特殊到一般的数学方法，这一解答问题的方法在考查本节的知识点时经常用到，是在研究特例的过程中总结规律． 2．（2025·山东菏泽·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点的坐标为，是等边三角形，点坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求出点A的对应点，，，的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：正方形顶点M的坐标为， , 是等边三角形，点B坐标是， 等边三角形高为， 由题知，的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 继续滚动有，的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 不断循环，循环规律为以，，，，12个为一组， ， 的坐标与的坐标一样为， 故答案为：． ►题型03 等边三角形相关证明题 / 1. 析条件：提取题干中等边三角形的性质（三边相等、三角均为60°），标注已知的相等边、相等角、平行或垂直关系。 2. 定目标：明确要证明的结论（边相等、角相等、三角形全等/等边，或线段位置关系）。 3. 构模型： 证全等：优先用 SAS（两边+60°夹角）、SSS（三边相等）判定定理，必要时作辅助线（如中线、高）。 证等边：证三边相等，或证两边相等+一角为60°，或证三角均为60°。 4. 推结论：结合全等性质、等边三角形判定定理，逐步推导得出目标结论，过程中注意利用角度和差计算60°角。 【典例】（2025·山东烟台·一模）已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点E，． (1)请写出与之间的数量关系，并证明； (2)求证：点E是线段的黄金分割点． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据，得出，根据，得出，即可证明． （2）根据，得出．证出．根据为等边三角形，得出，结合，得出，证出为等边三角形，即可得，结合和，得出，即可证明点E是线段的黄金分割点． 【详解】（1）解：， 证明：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点E是线段的黄金分割点． 【变式】1．（2025·山东淄博·二模）如图，已知中，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，． (1)填空：①_____； (2)探索，，之间的数量关系，并加以证明； (3)若，试求四边形的面积． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，如图所示，由等腰三角形的性质得到垂直平分线段，从而确定，由等腰三角形的性质得到相关边及角度，等量代换即可得到答案； （2）在上截取，连接，如图所示，由等腰三角形性质、等边三角形的判定与性质得到相关边及角度，在结合两个三角形全等的判定定理得到，进而有，数形结合，即可得证； （3）过点作于点，如图所示，由题意得到，在中，解直角三角形求出，再由两个三角形全等的判定与性质得到，数形结合，由，结合三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ，， 由等腰三角形三线合一性质可知是边上的中线， 垂直平分线段， ， ， ， ，， 在中，，，则， ， 故答案为：； （2）解：， 证明如下： 在上截取，连接，如图所示： 在中，，，， ，，， ，， 是等边三角形， 由（1）知， 在中，，则， ， ， 即是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 即； （3）解：过点作于点，如图所示： 由题意知，， 在中，，，则， 在和中， ， ， 由（2）知，则． 【点睛】本题考查几何综合，综合性较强，涉及等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、三角形内角和、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形面积公式等知识．熟练掌握相关几何性质，作出恰当辅助线，灵活运用是解决问题的关键． 2．（2025·山东·一模）在中，，点D为线段上一点，连接． (1)如图1，若，求线段的长； (2)如图2，以为边作等边，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G． ①取的中点O，连接，求证：； ②若，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析，②，理由见解析 【分析】（1）在中根据，可得，再根据可得线段的长； （2）证为等边三角形得，，再根据为等边三角形得，，由此得，进而可依据“”判定和全等得，进而可证，据此即可得出结论； （3）过点作交于点，先证和全等得，，再证即可得出线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， ； （2）①证明：在中，，点为边中点， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， 即， ， 在和中， ， ， ， ， ∴； ②解：，，之间的数量关系是，理由如下： 过点作交于点，如下图所示： 则， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， 在（2）的条件下， ，， ， ∴， ， 又， ， ， 又， ， ． 突破一 等腰三角形中的存在性问题 【典例】如图，一次函数（b为常数）的图像与y轴交于点，与反比例函数（k为常数，且）的图像交于点B、，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点是轴上一点，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，且为等腰三角形的腰，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)存在，点的坐标为，， 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，等腰三角形定义．准确计算是解题的关键． （1）利用待定系数法求解； （2）分，两种情况，根据等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）将代入中，得， 一次函数的表达式为， 在一次函数图像上， ， 将代入中，得：， 反比例函数的表达式为； （2）存在，理由如下： 由（1）知：点的坐标为， 如图，过点作轴于点， 由勾股定理得：， ①如图，当时，点的坐标为，； ②如图，当时，过点作轴于点， 易证四边形为矩形，则， ，点的坐标为， 综上所述，存在满足要求的点，点的坐标为，，． 【变式】1．若一个三角形中存在一个内角的两倍与另一个内角的和等于，我们称该三角形为倍角三角形： (1)a．倍角三角形一定是______________三角形（填“钝角”、“锐角”或“直角”）； b．顶角为的等腰三角形______________倍角三角形（填“是”或“不是”）； (2)如图1，为倍角三角形，，过点C作边的垂线交其延长线于点D，若，求的度数； (3)如图2，中，，，，在的延长线上是否存在一点D，使得是倍角三角形，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)a．钝角；b．是 (2) (3)的长为或6 【分析】++此题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形，勾股定理及三角函数， （1）根据倍角三角形定义解答即可； （2）在线段上截取，连接，证明，得，，根据推出，求出，进而求出； （3）由题意知，，是倍角三角形，分两种情况讨论：①是倍角三角形且，②是倍角三角形且，根据定义求解． 【详解】（1）解：a.由倍角三角形定义得：若，则故，则倍角三角形一定是钝角三角形， 故答案为：钝角； b.顶角为的等腰三角形的底角为， ∵， 故顶角为的等腰三角形是倍角三角形， 故答案为：是； （2）如图，在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴； （3）存在， 由题意知，，是倍角三角形， ∴分两种情况讨论： ①如图，是倍角三角形且， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴平分， 过点A作于点P， ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 设，则， 在中，， 即 解得（负值已舍去）， ∴； ②如图，是倍角三角形且， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵在中， 在中， ∴，即 ∴ 综上，的长为或6 2．对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则． (1)如图，若直线与直线为“等腰三角线”，且点的坐标分别为，求直线的解析式； (2)如图，直线与双曲线交于点，点是双曲线上的一个动点，点的横坐标分别为，直线分别与轴于点； ①求证：直线与直线为“等腰三角线”； ②过点作轴的垂线，在直线上存在一点；连接，当时，求出线段的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)①见解析；② 【分析】本题考查了一次函数解析式求解、反比例函数与一次函数交点求解、新定义理解应用.三角形相似判定与性质等知识． ()利用“等腰三角线”的性质，可知，根据等腰三角形的性质求出的坐标，设直线的解析式为，将点的坐标代入计算即可； ()①先求出直线的解析式，在求出垂直平分，得，求出，即可得答案；②设交于点，求出，得，再求出，即可得答案． 【详解】（1） 解：如图，过点作轴， ∵直线与直线为“等腰三角线”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴的解析式为； （2） ①证明：如图， ∵直线与双曲线交于点，联立得： ， 解得：或， ∴、； ∵的横坐标，且在双曲线的图象上， ∴的坐标为， 设直线的解析式为，将代入得： ， 解得：， ∴的解析式为， ∴当 时，，即； ∴设直线的解析式为，将代入得： ， 解得：， ∴的解析式为为， ∴当时，，即， 过点作轴的垂线， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴直线与直线为“等腰三角线”； ②解：设交于点，如图， ∵直线与直线为“等腰三角线”， ∴平分，垂直平分， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 解得：， ∴． 突破二 等边三角形中的动点问题 【典例】如图，在中，，，，D是边中点，延长至点E，使，动点P、Q分别从点E、D同时出发，点P以的速度沿向终点D运动，点Q以的速度沿运动，以为边向上方作等边三角形．设与重叠部分的面积为，点P运动的时间为． (1)________； (2)当点A落在边上时，求t的值； (3)当与重叠部分的图形是四边形时，求S与t之间的函数解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的其他应用，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，难度较大，综合性较强，解决问题的关键是分类讨论． （1）结合直角三角形的相关性质进行列式，再把数值代入，可得出，即可作答． （2）解直角三角形得出，结合D是的中点，得，进一步得出结果； （3）分两种情形：当时，设与交于点W，作于V，则，进而得出，可求得，进而得出结果；同样求得当时的结果.. 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴ ， 即， ∴ 故答案为：； （2）解：∵以为边向上方作等边三角形． 即是等边三角形， ∴， 由（1）得 ∵， ∴ ∵D是的中点， ∴ ∴， ∴动点P、Q分别从点E、D同时出发，点P以1的速度沿向终点D运动，点Q以1的速度沿运动， ∴； （3）解：如图1， 当时，设与交于点W，作于V， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ 则 ∴ 如图2， 当时， 设与交于T，交于W， ∴ ∴ 则 ∵， ∴， ∴ ∴ 则 综上所述： ． 【变式】1．如图1，在等边三角形中，动点P从点C出发沿C→B→A匀速运动，同时动点Q从点B出发沿B→A→C匀速运动，且速度均为每秒1个单位，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为，面积为S．图2中的曲线是动点P在边上时S与t的函数图象． (1)的长为_______；______． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数．请求出此时S与t的函数解析式． (3)在运动过程中，若存在三个时刻对应的面积均相等，且，求的值． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】（1）由图2可知，时，动点P从C点运动到B点，因此，故，当时，动点P运动到的中点，动点Q运动到的中点，，因此可求出m的值； （2）过点Q作，垂足为D．当点P在边上时，． 在中，，根据即可得出答案． （3）当时，设抛物线的解析式为，将代入解析式，可求出a的值，由存在三个时刻对应的面积均相等，． 根据二次函数的对称性可知，因此，故，由即可求出答案． 【详解】（1）解：由图2可知，时，动点P从C点运动到B点， 动点P运动速度为每秒1个单位， ， 为等边三角形， ， 当时，动点P运动到的中点，动点Q运动到的中点， 过点Q作于点H， ， ， 故， 故答案为：4，； （2）过点Q作，垂足为D． 当点P在边上时，． 在中，． ． （3）由（1）可知，当时，抛物线的顶点坐标为． 当时，设抛物线的解析式为 将代入解析式，解得 ． 存在三个时刻对应的面积均相等， ． 根据二次函数的对称性可知， ． ． ∴， 解得． ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，动点问题，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为以．过点作于，连接交边于．以、为边作平行四边形． (1)_____；（用含的代数式表示） (2)尺规作图：作的角平分线，交于点； 当、、在同一条直线上时，求的值； (3)发现：在点和点运动过程中，的长是一个定值，请你求出这个定值； (4)如图，取线段的中点，连接，将沿直线翻折，得到，连接，直接写出的最小值及此时的值． 【答案】(1)； (2)见解析，； (3)； (4)为，的最小值为． 【分析】（）由等边三角形的性质可得，则有，然后应该直角三角形的性质可得； （）根据作一个角的平分线方法即可； 由为等边三角形，平分，则，，，根据平行四边形的性质可得，，故，得出，最后求出的值即可； （）作交于，证明是等边三角形，由，，，证明，所以，从而有； （）如图中，连接，则，而，故当，，在一条直线上时，最小，由，，故，所以，，从而求出的最小值为，由折叠知，，，得到，最后求出的值即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：尺规作图：如图 如图，当、、在同一直线上时， ∵为等边三角形，平分， ∴，，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 解得； （3）解：如图中，作交于， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图中，连接， 则，而， ∴当，，在一条直线上时，最小， 即：点在上，（如图） ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴的最小值为， 由折叠知，，， ∴， ∴， ∴， ∴为为时，的值最小，最小值为． 突破三 等边三角形中的最值问题 【典例】【问题提出】 （1）如图1，在边长为6的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为 ； 【问题探究】 （2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】 （3）如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中E、F分别在、边上（不与点B、C、D重合），且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）  （2）15  （3）存在一个面积最小的，其最小面积为 【分析】如图所示，过点A作于E，利用等边三角形的性质得到，，再利用勾股定理得到，即可利用求出答案； 如图所示，延长到G使得，连接，证明（SAS），得到，，再证明（SAS），得到，，则； 把绕点A顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到,则，；过点E作于M，作于N，则四边形是矩形，则，解直角三角形得到，进而得到，即，则当的面积最小时，的面积最小；如图所示，作的外接圆，圆心为O，连接，，，过点O作于H，设，由圆周角定理得到，则，推出，由于，则当最小时，的面积最小，故当A、O、H三点共线时，有最小值，最小值为，则，即存在一个面积最小的，其最小值为． 【详解】解：（1）如图1所示，过点A作于E， ∵是边长为6的等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）如图2所示，延长到G使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（SAS）， ∴，， 又∵， ∴； （3）存在一个面积最小的；理由如下： 把绕点A顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到， ∴， ∵， ∴， 过点E作于M，作于N，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当的面积最小时，的面积最小； 如图3所示，作的外接圆，圆心为O，连接，，，过点O作于H，设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当r最小时，的面积最小， ∵， ∴， ∴， ∴当A、O、H三点共线时，r有最小值，最小值为， ∴， ∴存在一个面积最小的，其最小值为． 【变式】1．（）提出问题： 如图，在中，，，则的外接圆的半径是___________． （）问题拓展： 如图，在等边中有一点，，，，求的度数？ （）问题应用： 某校研学旅行安排在秦岭终南山下的薰衣草庄园，庄园内一块矩形薰衣草地如图所示、睿智小组给薰衣草地绘制图形并标上字母，在矩形中有、两点，在内，在内，测量米、米、，，，在四边形中种植普罗旺斯薰衣草，每平方米的费用是元．种植普罗旺斯薰衣草费用的最小值是多少？ 【答案】（）；（）；（）元 【分析】（）设点为的外接圆圆心，连接，过点作于，由垂径定理得，由圆周角定理得，进而由等腰三角形的性质得，再解直角三角形即可求解； （）将绕点逆时针旋转到，连接，可得是等边三角形，即得，，再证明，得到，，由勾股定理的逆定理得，即得到，再根据全等三角形的性质即可求解； （）由勾股定理得，把顺时针旋转得到，连接，可得，，，，即得是等边三角形，得到米，得到平方米，又可得，作的外接圆，可知点在上运动（不含端点），连接，设与相交于点，当时，取最小值，的值最大，此时的面积最大，由得到，可知当的面积最大时，四边形的面积最小，此时种植普罗旺斯薰衣草的费用最小值，据此求出的面积最大值进而即可求解． 【详解】解：如图，设点为的外接圆圆心，连接，过点作于， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的外接圆的半径是， 故答案为：； （）∵是等边三角形， ∴，， 如图，将绕点逆时针旋转到，连接， 则， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴； （）解：∵米，米，， ∴米， ∵，， ∴， ∵， ∴把顺时针旋转得到，连接，则，，，， ∴是等边三角形， ∴米， ∴平方米， ∵， ∴， ∴， 如图，作的外接圆， ∵米，， ∴点在上运动（不含端点）， 连接，设与相交于点，当时，取最小值，的值最大，此时的面积最大， ∵， ∴， ∴当的面积最大时，四边形的面积最小，此时种植普罗旺斯薰衣草的费用最小值， 当时，如图，则米， ∵，， ∴， ∴， ∴米， ∴平方米， ∴种植普罗旺斯薰衣草费用的最小值为元． 2．问题提出 （1）如图①，在中，，，则当点A到的距离最大时，的长为________． 问题解决 （2）如图②，四边形为某社区内休闲公园示意图，该社区为了实行动静分区，平衡喜静和喜动居民的需求，计划购买彩色地光灯带，并在公园边界，上分别取点M，N，连接，从五边形内任取一点P，连接，，使得．将P，M，N三点用彩色地光灯带无间隙地连接起来铺成一个专属喜动居民的表演场地（忽略彩色地光灯带的宽度）．为节约成本，需要彩色地光灯带的总长度尽可能的短．已知，，．试问彩色地光灯带的总长度是否存在最小值？若存在，求出铺设的彩色地光灯带总长度的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6；（2）存在，彩色地光灯带总长度的最小值为 【分析】（1）判断出当点A到的距离最大时，为等边三角形可得的长； （2）连接，作的外接圆，过点作关于，的对称点，，连接，，，，，，易得彩色地光灯带的总长度为线段的长度，也就是的长度，当点D、P、O在同一条直线上时，最小，最小值为，分别求得和的长度，即可求得的最小值，也就求得了彩色地光灯带总长度的最小值； 本题考查解直角三角形的应用，利用轴对称的知识判断出铺设的彩色地光灯带总长度的最小值是哪条线段的长是解决本题的关键；难点是根据和的长度判断出的最小值 【详解】解：（1）∵当点A在的垂直平分线上时，点A到的距离最大， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：6； （2）如图，连接，作的外接圆，过点作关于，的对称点，，连接，，，，，，则，， ． 过点作于点， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 当、、、四点共线，且最小时，最小． 连接，，连接交于点， ， ， ，， ， ． ， ， 点在边上， ， ， ． ， 当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ， 由勾股定理得， 最小值为， 最小值为， 彩色地光灯带总长度的最小值为． 1．（2025·山东临沂·一模）如图，在中，平分，交于点，，，．则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，根据勾股定理的逆定理可得，再根据平行四边形的性质可得，，根据勾股定理可求的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 在中，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（2025·山东临沂·二模）在中，按以下方式作图： ①以B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交边于点M，N； ②以C为圆心，以长为半径作弧，交于点P； ③以点P为圆心，以为半径作弧，在内部交前面的弧于点Q； ④连接并延长，交于点E，交于点F． 若，． 下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，平行四边形的性质，作图-复杂作图．根据作图过程可判断A选项正确；证明，求得，可判断D选项正确；根据两角对应相等，得到，可判断C选项正确；根据已知条件不能求出，可判断B选项错误． 【详解】解：由作图过程可知：，故A选项正确，不符合题意； 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故D选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故C选项正确，不符合题意； 根据已知条件不能求出，故B选项错误，符合题意， 故选：B． 3．（2025·山东聊城·三模）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，其中一组同学的作法如图所示，以O为圆心，以任意长为半径画弧，交，于点C、D，点E是上任一点，以E为圆心，以同样长为半径画弧交于点F，以F为圆心，以长为半径画弧交于点G，连接，然后以E为圆心，以长为半径画弧交于点P，连接，即为的角平分线．根据作图过程，下列结论错误的是（） A． B． C． D．为等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图中的作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，等边对等角，根据作图步骤得到，，据此求解即可． 【详解】解：由作图步骤得到，， ∴，为等腰三角形， ∴A、B、D选项正确，C选项错误， 故选：C． 4．（2025·山东临沂·一模）如图，在中，，，E是上一点，在的右侧作等边，连接，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将绕逆时针旋转得到，连接并延长交于，结合旋转的性质及等边三角形的性质、等腰三角形的性质，找出全等条件，由可判定，由全等三角形的性质得，，可得，设，由直角三角形的特征得，由勾股定理得 ，即可求解． 【详解】解：将绕逆时针旋转得到，连接并延长交于， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 5．（2025·山东济宁·一模）如图，已知P是线段上的动点（P不与点A，B重合），，分别以为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为G；连接，当动点P从点A运动到点B时，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强． 分别延长交于点H，证明四边形为平行四边形，再由G为的中点，可得G正好为中点，从而得到在P的运动过程中，G始终为的中点，G的运行轨迹为的中位线，进而得到当P在中点时，的值最小，此时，即可求解． 【详解】解：如图，分别延长交于点H， ∵，均为等边三角形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分． ∵G为的中点， ∴G正好为中点， 即在P的运动过程中，G始终为的中点， ∴G的运行轨迹为的中位线， ∴，， ∵当P在中点时，， ∴当P在中点时，的值最小，此时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 此时， ∴的最小值为， 故答案为： 6．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形中，，，以点为圆心、长为半径作弧交于点；再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积的计算、矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积，如图，连接、，由题意易知是等边三角形，根据计算即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、． 由题意知， ∴， ∴点是半圆的圆心， ∴， ∴是等边三角形， ． 故答案为：． 7．（2025·山东济南·一模）如图，在菱形中，M，N分别是和上的点，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】考查了菱形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用证得三角形全等．根据四边形是菱形得到，从而证得，进一步得到，然后利用等边对等角证得结论即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， 在和中， ， ， ， ． 8．（2025·山东聊城·三模）如图1，在中，，． (1)将线段绕点A逆时针旋转，使点C的对应点D落在线段的延长线上，连接． ①根据题意补全图1（保留作图痕迹），并证明：； ②如图2，，，，交于点H．若，，求的长． (2)如图3，点M是线段上的动点且不与点A，C重合，将线段绕点A逆时针旋转，使点M的对应点N落在线段BA的延长线上，连接，，过点N作于点P．若，且，请直接写出的值（用含k的式子表示）． 【答案】(1)①图和证明见解析；②； (2) 【分析】（1）①以点A为圆心，为半径逆时针画弧，交的延长线于点D，连接 ，即为所求；由题意可知，，那么，，接着利用三角形内角和可知，从而推出，得证；②延长交于点，连接，取的中点，连接，先证明，得到，，再证明，得到，接下来证明是的中位线，不妨设，那么，在中，，，，中， ，，，那么利用，解得，然后代入即可得出答案； （2）过点作的平行线交的延长线于点，延长交于点，先利用平行，推出，然后证明，再证明，推出，接着证明，推出，不妨设， ，，，那么，从而有，得到 ，然后代入得出答案． 【详解】（1）解：①如图，即为所求： 证明：， ， 线段绕点A逆时针旋转，点C的对应点D落在线段的延长线上， ， ， ， ， ； ②解：延长交于点，连接，取的中点，连接，如图所示： ，， ，， 由①可知，， 又， ， ，， ，， ， ， ，， 是的中位线， ， 设，那么， 中，，， ， 中， ，，，， ， （舍去负值）， ； （2）解：过点作的平行线交的延长线于点，延长交于点，如图所示： ， ，，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ，不妨设，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 1．（2025·山东济南·一模）如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿着折叠，得到，连接，点是的中点，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】延长到点，使得，连接，，则是的中位线，证明是等边三角形，求出，，从而可得结论． 【详解】解：延长到点，使得，连接，， ∵是的中点 则是的中位线， ∴， 当取最小值时，有最小值， 连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ 又， ∴是等边三角形， ∴，， ∴于， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知， 又， ∴， 当，，共线时，有最小值， 此时的最小值为． 故答案为：． 2．（2025·山东滨州·模拟预测）【阅读学习】 阅读1：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫做“可两分三角形”，这条线段叫做这个三角形的“两分线”． 阅读2：如果两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”．如图3，线段，将顶角为的等腰三角形分成了三个等腰三角形，则线段，是的“三分线”． (1)判断：在中，，，则 “可两分三角形”（填“是”或“不是”）； (2)画图和计算：下图中的两个三角形都是“可两分三角形”，请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数； (3)画图和计算：请你在图4中，画出顶角为的等腰的“三分线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数； (4)画图和计算：在中，，和是的“三分线”，点在边上，点在边上，且，．设，试画出示意图，并求出的值． 【答案】(1)是； (2)画见解析； (3)画见解析； (4)的值为或． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角和定理和三角形的内角和定理，理解题目中的新定义是解题的关键． （）根据新定义画出图形即可判断； （）根据新定义画出图形即可求解； （）根据新定义画出图形即可求解； （）根据题意分情况讨论画图即可求解． 【详解】（1）解：如图，，， ∴是“可两分三角形”， 故答案为：是； （2）解：如图， （3）解：如图， （4）解：如图，当时， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴； 如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这种情况不成立， 综上可知：的值为或． 3．（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，中，，，是的角平分线． ①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F． ②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点G． ③以点G为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H． ④画射线． ⑤以点B为圆心，长为半径画弧，交射线于点M． ⑥连接分别交于点N，P．根据以上信息，解决以下两个问题： (1)求的度数； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由作图可知，，由，，是的角平分线，得，，，过M作于点K，可得四边形为矩形，得，即得； （2）设，则，由矩形及平行线的性质得，由正切关系得，在中，由正切关系求得，即可求解． 【详解】（1）解：根据作图可知，． ，， 为等腰直角三角形，， 又是的角平分线， ，， ∴， 过M作于点K，则，如图所示： 是的角平分线，， ，即， ， ， ∴四边形为矩形， ， ； （2）解：设，则， ∵四边形为矩形， ∴， ， ， 即， 在中，， 即， ． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，三角函数等知识，掌握这些知识是关键． 4．（2025·山东枣庄·三模）综合与实践 【问题情境】 在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】 (1)如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，请写出与的数量关系，请思考并证明； 【类比探究】 (2)小雨尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质得，，得出，利用全等三角形的判定证出，再利用全等三角形的性质即可证明； （2）由旋转的性质得，，得出，再利用等腰直角三角形的性质得出，推出，通过证明，得到，再根据直角三角形的性质得出，得出，最后利用平行四边形的判定即可得出结论； （3）将绕点逆时针旋转得到，作交延长线于点，连接、，根据旋转和等腰直角三角形的性质证明，得出，利用两点之间线段最短的性质，分析可得当三点共线时，有最小值，再利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出的长，即可解答． 【详解】（1）解：，证明如下： 由旋转的性质得，，， ， 为等边三角形， ， ， 又， ， ． （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由旋转的性质得，，， ，， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （3）解：将绕点逆时针旋转得到，作交延长线于点，连接、，如图所示： ，， ，， 由旋转的性质得，，， ，， 又， ， ， ， 当三点共线时，有最小值，即有最小值； ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、平行四边形的判定、线段最值问题、勾股定理，熟练掌握知识点，利用旋转的性质构造全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形中，对角线相交于点O，，点E是上一点，且．点P由点C出发，沿方向向点D匀速运动，速度为；点Q由点A出发，沿方向向点D匀速运动，速度为．点P，Q同时出发，交于F，连接，设运动时间为． (1)当t为何值时，？ (2)设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式． (3)是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）当时，，由此构建方程求解即可． （2）如图：过F作，则四边形是矩形，即；再证明可得，再根据等边对等角可得，即，易得，再根据等腰三角形的性质以及等量代换可得，然后四边形的面积为，最后代入数据整理即可解答； （3）如图：连接，由题意可得：，根据矩形性质以及勾股定理可得，再根据，运用勾股定理可得，即，最后解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， 由题意可得： ∵当时，， ∴，解得：， ∴时，． （2）解：如图：过F作，则四边形是矩形， ∴， ∵ ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵四边形的面积为 ∴，即． （3）解：存在，t的值为或． 如图：连接， 由题意可得：， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴当或时，． 1．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【详解】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 2．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质．由题意得，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，再利用，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点，如图， ∵矩形， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 3．（2025·福建·中考真题）如图，等边的边长为，点在边上，，线段绕顺时针旋转得到线段，连接交于点，连接，下列结论：①四边形面积为；②外接圆的半径为；③；其中正确的是（   ）. A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质及判定、全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定、图形的旋转、勾股定理、三角形外接圆半径的计算等知识．构造恰当的辅助线，以及对知识的熟练掌握与灵活运用是解题的关键． 首先利用旋转的性质确定是等边三角形，通过证明，得到结论①正确；利用等边三角形的性质作的高，根据勾股定理计算的长度，通过三角形全等的性质确定，利用等腰三角形的性质和三角函数计算外接圆的半径，得到结论②正确；利用相似三角形的性质确定线段的比例，得到结论③正确． 【详解】解：∵线段绕顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形面积为，故①正确； 如图，作于， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，以为底边，作等腰，使，作于， 则，， ∴的外接圆半径，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确． 故选：． 4．（2025·甘肃·中考真题）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形．若，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，折叠得到，平行线的性质，得到，进而得到，等边三角形的性质，结合三角形的外角推出，进而得到，再根据含30度角的直角三角形的性质，得到即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵平行四边形纸片， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：12 5．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是 ． 【答案】7或9/9或7 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．过点A作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则，利用勾股定理得出得长度，根据三角形面积公式得出长，设，则，表示出，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得，即， 解得或9， 即或9， 故答案为：7或9． 6．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． (1)求证：是菱形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）垂直平分，根据线段垂直平分线得到，即可证明其为菱形； （2）先由等腰三角形可设，求出，由角直角三角形得到，可得为等边三角形，再由等腰三角形的性质证明，则，由勾股定理得，最后由即可求解． 【详解】（1）证明：∵为对角线上的中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形； （2）解：如图： ∵， ∴， 设 ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 7．（2025·山西·中考真题）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段．   【问题解决】 问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________．   问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接．   求证：线段是线段的双关联线段． 证明：延长交于点F． 是等边三角形， ． ， （依据）． ， ， ； …    任务： (1)问题1中的________，问题2中的依据是________________； (2)补全问题2的证明过程； (3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段． （要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 【答案】(1)，等角的补角相等； (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）设的交点为O，利用矩形的性质及已知可证明是等边三角形，由等边三角形的性质及矩形性质即可求解．利用等角的补角相等即可完成问题2的依据． （2）利用三角形外角的性质及等边三角形的性质即可，从而问题完成； （3）作一个等边三角形即可完成． 【详解】（1）解：设的交点为O，如图； ∵四边形是矩形， ∴； ∵对角线与互为双关联线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴；    故答案为：； 问题2中的依据是：等角的补角相等；                       故答案为：等角的补角相等； （2）解：是的外角，   ． 是的外角，            ．          ， ．                即线段与线段所在直线形成的夹角中有一个角是． ， 线段与线段是双关联线段． （3）解：答案不唯一，例如： 作法一：   作法二：   如图，线段即为所求． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图等知识，掌握这些知识是解题的关键． 8．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】问题解决：①互相平行；②=；【方法应用】①见解析；②或或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 问题解决：①根据等腰三角形的性质得出，从而可得； ②证明得出，即，由可得结论； 方法应用：①根据双等四边形的定义进行证明；②分，或，或，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：[问题解决]①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ， ， ， ； 故答案为：①平行；②＝； 方法应用：①为旋转得到， ， 令，则，， ， 由旋转得，， 又， ∴， ， ， ， 四边形为双等四边形； ②作于点， ，， ，， 设，则： ， 在中，，即， 解得：， ，， 若，时，， 若，时， ， 作于点， ∴， ， ， 若，时，如图， ， ， ， ， ． 综上所述：满足条件时，或或． 9．（2025·山西·中考真题）综合与探究 问题情境：如图，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平． 猜想证明：（1）判断四边的形状，并说明理由 拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接． ①若，判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）①．理由见解析；②5或 【分析】（1）由折叠的性质可得，，再根据平行线的性质可得，进而得到，由等角对等边推出，从而证明，即可四边形是菱形； （2）①由（1）推出，由折叠的性质得到，结合已知可得，进而推出，得到，再根据三角形内角和定理即可求出，即可得到与的位置关系；②分是以为腰为底的等腰三角形和是以为腰为底的等腰三角形两种情况讨论，如图，延长交于点H，设交点为，利用三角形相似的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：①，理由如下： 由（1）知四边形是菱形， ∴， 由折叠的性质得到， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 解：②∵，，， ∴， 当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，延长交于点H，设交点为，则， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，则， 同理得，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵是以为腰为底的等腰三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查折叠的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，合理作出辅助线，构造三角形全等，结合分类讨论的思想是解题的关键． 10．（2025·宁夏·中考真题）如图，在和中，，，．连接，点是的中点，连接． (1)如图1，当点在上时，求证：是等边三角形； (2)将图1中的绕点顺时针旋转． ①当旋转角为时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由； ②当最长时，与的交点记作．若，则_________． 【答案】(1)见解析 (2)①（1）中的结论还成立，理由见解析；②3 【分析】（1）由直角三角形斜边中线性质可得在中，，在中，，得出，，再证明即可得出结论； （2）①延长交于点，分别延长相交于点，先证明，可得，同理可得，，再利用中位线的性质可得结论； ②点E在以点A为圆心，3为半径的圆上，由是等边三角形，可得，可得最大时，即取得最大值时，当三点共线时，取得最大值，此时最大，再求解即可． 【详解】（1）证明：在中， ， 在中， ， 点是的中点， 在中，，在中，， ，， ， 是等边三角形； （2）①（1）中的结论还成立，理由如下： 如图，延长交于点，分别延长相交于点， 由旋转角为可得， ， 又， ， ， ， 是的中位线， ， ， 同理可得， ， ， 是的中位线， ， ， 是等边三角形； ②如图，点E在以点A为圆心，3为半径的圆上， ， 延长至点G，使，延长至点P．使，连接、、、， ，， ， ，， ， 同理， ，，， ， ， ，， ，F为中点， ∴，， ， 同理，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， 最大时，即取得最大值时， 当三点共线时，取得最大值，此时最大， 即绕点A顺时针旋转240度时，最大， 延长交于点，分别延长相交于点， 由①得是的中位线，是的中位线， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为：3 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造中位线解决问题，属于中考压轴题． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $