第17讲 全等三角形（复习讲义，2考点6题型3重难）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习资料聚焦“全等三角形”专题，覆盖全等判定与性质、角平分线及线段垂直平分线等中考核心考点，以考情剖析为引领，知识网络构建为基础，通过考点解析、命题洞悉、重难突破及分层练习，形成“梳理-方法-训练”系统复习链，助力学生突破证明与模型应用难点。 亮点在于重难模型专项突破与分层训练设计，如通过倍长中线模型典例，引导学生构造全等三角形，培养推理能力与几何直观。设置基础巩固、能力提升、全国新趋势三级练习，配合真题限时训练，确保高效复习，教师可依此精准把控节奏，提升学生应考能力。

第四章 三角形 第17讲 全等三角形 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 19 命题点一 全等三角形的判定与性质 题型01 添加条件证明全等 题型02 灵活选用判定方法证全等 题型03 全等三角形判定和性质综合题 命题点二 角平分线与线段垂直平分线 题型01 角平分线的性质定理的应用 题型02 线段垂直平分线的性质 题型03角平分线与线段垂直平分线的综合应用 05·重难突破·思维进阶难 44 突破一 倍长中线模型 突破二 旋转模型 突破三 垂线模型 06·优题精选·练能提分 67 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 全等三角形及其性质 山东淄博T17 山东青岛T22 山东济南T5 山东潍坊T16 / 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角. 全等三角形的判定 山东淄博T17 山东潍坊T18山东烟台T23 山东德州T14 山东淄博T17 山东青岛T23 山东济南T18山东潍坊T24 山东青岛T24 山东淄博T17 山东潍坊T16 山东卷T17 掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等； 证明定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等； 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 角平分线的性质与判定 山东滨州T13 山东东营T17 山东德州T10 山东青岛T16 山东泰安T9 山东威海T23 山东聊城T24 山东滨州T22 探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 垂直平分线的性质与判定 山东东营T10 山东德州T5 山东济南T9 山东威海T8 山东卷T17 山东济南T9 山东潍坊T10 山东泰安T9 山东青岛T17 山东泰安T11 山东枣庄T9 探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等。反之，到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 命题预测 在中考中，全等三角形主要以选择题、填空题和解答题的简单类型为主．常结合四边形综合考查。 考点一 全等三角形及其性质 全等图形概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形. 特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等. 全等三角形概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 【补充】两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”.书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上. 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换. 全等三角形的性质：1）对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． 3）全等三角形的周长相等、面积相等． 1．（2025·山东济南·模拟预测）如图，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和性质，先根据，得，再结合三角形内角和为180度进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， ∴； 故选：D． 2．（2025·山东淄博·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转60°得到，点，的对应点分别为，，延长交于点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，线段的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据旋转性质以及角的运算或线段的运算得出逐项判断即可． 【详解】解：设和交于点H， 绕点顺时针旋转得到， ， ， ，故D选项正确，不符合题意； ， ， 故A选项正确，不符合题意； 仅根据已知条件，，无法得出相等，也就无法证明， 故B选项不一定正确，符合题意； 根据旋转的性质，旋转前后的对应边相等，绕点旋转得到， ， 故C选项正确，不符合题意． 故选：B． 3．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 【答案】（1）a；（2）满足，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，勾股定理，分式的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）直接按照新定义计算即可； （2）按照新定义结合分式的混合运算法则分别计算等号左边和右边，进行验证即可； （3）由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，则，然后展开求出，再由完全平方公式变形得到，求出，最后按照新定义结合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由新定义得，； （2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下： 左边：， 右边：， ∴左边右边， ∴对正实数，，，运算“”满足结合律； （3）由题意得，， ∴， ∵，，且，正方形的面积为26， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴， 故答案为：． 考点二 全等三角形的判定 全等三角形的判定 1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5.对于特殊的直角三角形：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 1．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形的中位线，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质； （1）证明是的中位线，即可得到，进而得到，然后利用证明三角形全等； （2）根据全等三角形的对应角相等得到，即可得到，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等得到结论即可． 【详解】（1）证明：∵，分别为边，的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点分别是边的中点，则有，，所以，，从而可得，然后根据性质即可求证； （）连接，，证明四边形为平行四边形，所以，，又，为中点，故有，所以，，然后通过“”证明即可． 【详解】（1）证明：∵点分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，， ∵点分别是边的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵，为中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 3．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】(1)证明见解析 (2)条件①，四边形为矩形；条件②，四边形为菱形，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形和矩形的判定，熟练掌握各四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行得到，，再由，即可由证明全等； （2）先证明四边形为平行四边形，再根据选择的条件结合菱形和矩形判定证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴ （2）解：选择条件①，四边形为矩形，理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 选择条件②，四边形为菱形，理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 考点三 角平分线的性质与判定 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 1．（2025·山东菏泽·二模）如图，在中，，平分，交于点D，则点D到的距离为（　　）    A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，角平分线的性质与定义，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理和角平分线的定义可得，再解直角三角形求出，据此由角平分线的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴在中，， ∵平分，， ∴， ∴点D到的距离为， 故选：B．    2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在中，以点C为圆心、任意长为半径作弧，分别交于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线交于点G．若，，的面积为9，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，过点G作于点M，于点N．利用角平分线的性质定理证明，利用三角形面积公式求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点G作于点M，于点N． 由作图可知平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·山东济南·一模）如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点． (1)求证：平分； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质定理得到，根据平行线的判定定理得到，得到，得到，即可得到结论； （2）证明，求出，证明，求出． 【详解】（1）证明：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， 平分． （2）解：， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 考点四 线段垂直平分线的性质与判定 线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等。 线段垂直平分线判定定理：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，根据旋转知，则和，可知垂直平分，有，设，则和，利用勾股定理列出代入求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由旋转可知， ∴，，， ∴点F、B、C三点共线， ∵ ， ∴ H为的中点， ∴垂直平分， ∴， 设， ∵，， ∴正方形的边长为3， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、中垂线的判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟悉旋转的性质和利用勾股定理列方程． 2．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识； 根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明可判断B、C选项，由，不能判断，即可判断D选项，进而可得答案. 【详解】解：A、∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形； B、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是筝形； C、∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形； D、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形； 故选：D. 3．（2025·山东济宁·三模）如图，在矩形中，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N．作直线与，分别交于点E，F，连接．已知，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，垂直平分线的性质以及勾股定理，解题关键是熟练掌握几种尺规作图，在直角三角形中长度不能直接求的可通过方程思想根据勾股定理求解． 根据尺规作图，可知是的垂直平分线，则可得，再利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：由题意知是的垂直平分线， ∴， 在矩形中，， 设， 则， ∴由得， 解得：． 故选：B． 命题点一 全等三角形的判定与性质 ►题型01 添加条件证明全等 / 1. 已有2边→补夹角（SAS）或第3边（SSS） 2. 已有1边1邻角→补另一边（SAS）或另一邻角（ASA）或对角（AAS） 3. 已有1边1对角→补任意一角（AAS） 4. 已有2角→补任意一组对应边（ASA/AAS） 小技巧：先标已知条件，锁定对应顶点，再匹配判定定理。 【典例】（2025·山东济宁·一模）如图，为中边上一点，，，请你补充一个条件 ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和平行线的性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据已知条件，，可得，再添加，可以判定两三角形全等． 【详解】解：欲证，已有条件：， ， ， ， ， 所以补充便可以根据证明． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式】1．（2024·山东德州·中考真题）如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键． 要使，已知，，则可以添加一对边，从而利用来判定其全等，或添加一对夹角，从而利用来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）． 【详解】解：∵C是的中点， ∴， ∵， ∴添加或， 可分别根据判定（填一个即可，答案不唯一）． 故答案为：或． 2．（2025·山东聊城·二模）如图，已知，点，在线段上，且． (1)请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．你添加的条件是：（填写序号）_____（只需选一个条件，多选不得分），请说明理由； (2)利用（1）的结论，求证：． 【答案】(1)①或②，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定． （1）利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解， （2）根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可． 【详解】（1）解：可选取①或②； 证明：当选取①时， 在与中， ， ； 当选取②时， 在与中， ， ； （2）证明：当选取①时， ∵， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 当选取②时， ∵， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ． ►题型02 灵活选用判定方法证全等 / 1. 先标已知边角、锁定对应顶点，再匹配判定定理 2. 有三边找SSS；两边优先SAS（避SSA）；两角随便配一边（ASA/AAS） 3. 直角三角形直接优先HL，也能用普通判定 小技巧：缺条件先想公共边/角、对顶角，秒补隐藏条件 【典例】（2025·山东青岛·一模）如图正方形的边长为，、分别为、的中点，连接、，交点为．将沿对折，得到，延长与线段的延长线交于点，如下结论： ①；②；③；④；⑤， 其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】利用正方形的性质证得，通过角的关系求得，即可得①正确；利用翻折的性质推得，求出的长度，通过即可证得②正确；证得，可得，利用勾股定理求得，代入，求出、的值，即可得证③正确；利用正方形的性质结合翻折的性质证得，设，在中，利用勾股定理构建方程，解方程，求出，通过即可证得④错误；通过即可得证⑤错误． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 、分别为、的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， 沿对折，得到， ，， 在和中， , , , ，故②正确； 在中，， ， 由①得：，， ，， ， ， ， 由②得：， ， ， 解得：，， ， ，， ，故③正确； 四边形是正方形， ， ， 沿对折，得到， ，，，， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ，则， 在中，，故④错误； 由③得：，， ，故⑤错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数，熟练掌握相关知识点是解题关键． 【变式】1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在中，点D，E分别是边，的中点，过点C作，交的延长线于点F． (1)求证： (2)连接，，已知 （从以下三个条件中选择一个作为已知，填写序号），证明四边形是矩形． 条件①：平分； 条件②：； 条件③：； （注：如果选择条件①，条件②，条件③分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】(1)见解析 (2)选择条件①，证明见解析 【分析】（1）根据点D，E分别是边，的中点，可得，，根据可得内错角相等，进而可以证明； （2）由（1）可知，进而可得，可证四边形是平行四边形，再证明，选择条件①，利用三角形内角和定理求得，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵在中，点E是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴； （2）证明：由（1）得，，， ∴， ∴四边形为平行四边形， 选择条件①，平分． ∴， ∵点D，E分别是边，的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； 选择条件③：． ∵点D是边的中点， ∴，即， ∴四边形为矩形． 选择条件②：，不能证明四边形为矩形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、矩形的判定以及三角形中位线的判定与性质，灵活应用相关性质和判定定理是解答本题的关键． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在平行四边形中，，分别为边，的中点，延长至点G，使，连接． (1)求证：； (2)从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形的形状，并证明你的结论． ①；②． 选择的条件：______（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】(1)见详解 (2)选条件①，四边形是矩形；选条件②，四边形是菱形 【分析】（1）根据已知条件可证，然后用边角边证明全等即可； （2）选条件①，四边形是矩形，先证明四边形是平行四边形，再证明即可；选条件②，四边形是菱形，先证明四边形是平行四边形，再证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， 分别为边的中点， ， ， ， ； （2）条件①，四边形是矩形， 证明：∵四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 是矩形． 条件②，四边形是菱形， 证明：∵四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 是菱形． ►题型03 全等三角形判定和性质综合题 / 1. 先找要证的边/角所属的两个三角形，标已知+隐藏条件（公共边/角等） 2. 选判定证全等，写清条件和依据 3. 全等后直接得对应边/角相等，再结合题干推最终结论 4. 多三角形题先找中间全等，层层推导 【典例】（2025·山东青岛·一模）如图，在中，，分别是边和的中点，，在对角线上，且，连接，． (1)求证：； (2)连接，，当与满足怎样的数量关系时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，求得，得到，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）由（1）知，，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，当时，求得，推出，于是得到四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∵E，F分别是边和的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：当时，四边形是矩形． 证明：连接交于O，如图， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，即， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判断，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形中位线性质，熟练掌握矩形的判断、平行四边形的性质、三角形中位线性质是解题的关键． 【变式】1．（2025·山东烟台·一模）如图，中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）直接利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，利用三线合一性质得出，，在中，利用正弦定义求出，即可求解． 【详解】（1）证明：由作图知：． 在和中， ． （2）解：，， ． 又， ，． ， ， ． 2．（2025·山东济南·模拟预测）如图，在菱形中，，，为等边三角形，点、分别在菱形的边、上滑动（、不与、、重合），求面积的最大值． 【答案】面积的最大值为． 【分析】连接，利用菱形性质及角度条件证得为等边三角形，得到．通过角的等量代换，证明，从而推出四边形（定值）．依据“垂线段最短”，当时，最短，此时等边面积最小．结合四边形，求出面积的最大值． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴, 由勾股定理得：， ∵为等边三角形， ∴，，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴是定值， ∴， 由“垂线段最短”可知：当等边的边与垂直时，边最短， 此时，， ∴的面积会随着的变化而变化，且当最短时，等边的面积最小， 又∵， 等边的面积最小时，的面积最大， 此时，， ∴面积的最大值为． 命题点二 角平分线与线段垂直平分线 ►题型01 角平分线的性质定理的应用 / 角平分线性质（角平分线上点到两边距离相等）+判定（到两边距离相等的点在角平分线上），解题抓2点： 1. 用性质：先作角平分线上点到两边的垂线段，直接得线段相等，常结合全等/等角代换 2. 证角平分线：作点到两边垂线段，证线段相等，即可判定在角平分线上 3. 综合题常和全等联用：先借角平分线得相等线段，再用SAS/AAS证全等，推其他结论 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，正方形的对角线与相交于点，的角平分线分别交、于、两点．若，则线段的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质． 作于，如图，根据正方形的性质得，则为等腰直角三角形，所以，再根据角平分线性质得，则，于是利用正方形的性质得到，，所以，然后证明，再利用相似比可计算出的长． 【详解】解：作于，如图， 四边形为正方形， ，， 为等腰直角三角形， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， ． 故选：B． 【变式】1．（2025·山东济南·三模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线交于点D；②作垂直于点E；③以点D为圆心，以为半径作弧，交于点F，再以点A为圆心，为半径作弧，交于点G．若，则与的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，角平分线的性质及其尺规作图，勾股定理，由角平分线的性质得到，设，则，，解直角三角形求出，则由勾股定理可得，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可得平分， ∵，， ∴， ∵， ∴可设， ∴，， 在中，， ∴在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， 由作图方法可得，则， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025·山东聊城·二模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线交于点D，于点E，则的长为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据作图可判断出平分，根据角平分线性质得到，从而判断出，得到，利用勾股定理得到，再进一步利用勾股定理求出最后结果即可． 【详解】解：由作图可得，平分， ， ， ， ， ， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ． 故选：C． ►题型02 线段垂直平分线的性质 / 核心：性质（线上点到线段两端距离相等）+判定（到两端等距的点在线上） 1. 用性质：遇中垂线→连端点得等腰（线段相等），直接导边/角相等 2. 证中垂线：证两点到线段两端都等距，两点连线就是中垂线 3. 综合题常联动：中垂线得等边→配已知证全等→再推角/边结论 【典例】（2025·山东聊城·三模）如图，在中，，，，点P为上一点，点Q为上一点，且，分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，若恰好经过的中点，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形、垂直平分线的性质、等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设的中点为，连接，由，得到，根据中点的定义得到，由作图可得直线是的垂直平分线，则有，通过计算可得，推出是等边三角形，得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，设的中点为，连接， ，， ， 的中点为， ， 由作图可得，直线是的垂直平分线， 恰好经过的中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 故答案为：2． 【变式】1．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，点在正方形的边上，延长至点，使，连接和，取的中点，连接并延长，与交于点．若，，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】先证明，得到是的垂直平分线，则，设，则，，在中，由勾股定理得，解方程即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵的中点为， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 设，则，， ∴在中，由勾股定理得， 解得： 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 2．（2025·山东德州·二模）如图，在中，．射线平分，直线垂直平分，垂足为，直线交于点，于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】先利用三角形面积公式与角平分线的性质求得，再根据垂直平分线的意义求得，然后证明，列出比例式求出的长． 【详解】解：如图， ∵在中，平分， ∴，，， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴，解得：， ∵直线垂直平分， ∴， ∴， 又在中，直线垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， 故答案为：． ►题型03 角平分线与线段垂直平分线的综合应用 / 1. 先辨图形：角平分线作双垂线（得等线段），中垂线连两端点（得等腰） 2. 抓核心性质：角平分线上点到两边等距，中垂线上点到两端等距 3. 搭全等桥梁：用上述等线段+已知条件，选SAS/AAS/SSS证全等 4. 层层推导：先由角分线/中垂线得边相等，再全等推角/边，终得结论 【典例】（2025·山东临沂·二模）中，．根据作图痕迹，点是射线和直线的交点．连接，若的面积为15，则的周长为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了作图一复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．过点作于点，根据作法可得垂直平分，平分，从而得到，，再由△的面积为15，可求出的长，再由勾股定理可得的长，然后根据三角形的周长公式计算，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 根据作法得：垂直平分，平分，设于点， ，， ， △的面积为15，， ， 解得：； ， ， △的周长为． 故选：D． 【变式】1．（2025·山东济宁·二模）如图，已知． (1)请确定一点D，满足，且点D到直线和的距离相等（要求：尺规作图，不写做法，保留清晰的作图痕迹）； (2)连接和，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图和性质，线段垂直平分线的尺规作图和性质，全等三角形的性质与判定等待，熟知角平分线的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）由可得点D在线段的垂直平分线上，由点D到直线和的距离相等可得点D在的角平分线上，据此作图即可； （2）可证明，得到，则可证明，求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，作线段的垂直平分线和的角平分线，二者交于点D，则点D即为所求； （2）解：连接，过点D作，垂足分别为E，F， 由角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 在四边形中，∵， ∴， ∴． 2．（2025·山东菏泽·二模）小明同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点；分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线交边于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】本题考查了基本作图，三角形的面积公式和相似三角形的判定和性质． （1）利用角平分线的定义结合平行线的性质求得，再利用等角对等边，即可证明； （2）由作图得垂直平分，再根据三角形面积公式求出和的面积关系，再根据相似三角形的性质求解． 【详解】（1）证明：由题意得平分， ， 又四边形是平行四边形， ，，， ， ， ； （2）解：， 设，则， ， 由作图知，垂直平分线段， ， ． ∵， ，， ． ， ， ． 突破一 倍长中线模型 【典例】如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 延长至，使，连接．由证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接． 则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ， 故选：A． 【变式】1．（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____； （2）如图②，在中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：； （3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、角的和差等知识点，通过作辅助线，构造两个全等三角形是解题关键． （1）延长至，使，连接，证明，得出，再利用三角形三边关系即可得出答案； （2）延长至点，使，连接，，同（1）得，，得出再证明，得出，最后再利用三角形三边关系即可得出答案； （3）延长至点，使，连接，证明得出，再证明，得出，即可得证． 【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，，如图所示， 同（1）得，， ，， ∴， 在中，由三角形的三边关系得， ； （3）， 证明如下：延长至点，使，连接，如图所示， ，， 在和中， ， ∴， ， ， ， 在和中， ∴， ． ， ． 2．（1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点，使得．连结，求证：四边形是平行四边形． （2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点（不与点、点重合），过点、点分别作， ，连结，，求证：四边形是平行四边形． （3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点是的中点，点是直线上的动点，且，，当取得最小值时，求线段的长度． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，倍长中线构造全等三角形及运用等面积法是解题的关键． （1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明； （2）延长到点，使，连接，利用证明，得，，可说明四边形是平行四边形，得，即可证明结论； （3）延长到点，使，连接，由（2）知，，，则取最小值时，最小，故时，最小，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：是的中线， ， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：延长到点，使，连接，如图2， ，是的中线， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：延长到点，使，连接，如图3， 由（2）知，，， 则取最小值时，最小，故时，最小， 是的中线， ， ， 在中， 突破二 旋转模型 【典例】已知和都是等腰直角三角形，． （1）如图1：连，求证：； （2）若将绕点O顺时针旋转， ①如图2，当点N恰好在边上时，求证：； ②当点在同一条直线上时，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②或 【分析】（1）利用证明即可； （2）①连接，证明，得，结合等腰直角三角形的性质，即可证；②分当点在线段上时，和当点在线段上时，两种情况分类讨论．情况一：当点在线段上时，连接，过点作于，根据，得，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，先算出，，再根据计算即可；情况二：当点在线段上时，连接，过点作于，先利用证，得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，算出，，最后根据计算即可． 【详解】解：（1）证明：， ， 即， 和是等腰直角三角形， ，， 在和中， ； （2）①如下图，连接，   ， ， 即， 和是等腰直角三角形， ，，， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． ②或． 情况一：如下图，当点在线段上时，连接，过点作于，   由（1）得， ， 和都是等腰直角三角形，，，， ，， ， ， ； 情况二：如下图，当点在线段上时，连接，过点作于，   ， ， 即， 和都是等腰直角三角形，，，， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 综上，线段的长为或． 【变式】1．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，将△ABC绕着点C旋转，连接BD，AE，M是BD的中点． (1)如图①，当CA与CD重合，CB与CE重合时，线段AE，CM的数量关系是 　 　； (2)当△ABC的位置如图②和图③时，线段AE，CM又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择图②或图③其中一种情况进行证明． 【答案】(1)CMAE (2)CMAE，证明见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC＝BC，DC＝EC，∠ADE＝∠BED＝45°，求得AD＝BE，根据全等三角形的性质得到BD＝AE，等量代换得到CMAE； （2 ）如图②，证明：如图2中，延长CM到N使得CM＝MN．如图③中，延长CM到N使得CM＝MN．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：CM＝AE； 理由：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AC＝BC，DC＝EC，∠ADE＝∠BED＝45°， ∴CD﹣AC＝CE﹣BC， 即AD＝BE， 在△ADE与△BED中， ， ∴△ADE≌△BED（SAS）， ∴BD＝AE， ∵M是BD的中点， ∴CM＝BD， ∴CM＝AE； 故答案为：CM＝AE； （2）解：CM＝AE； 理由：如图④，证明：如图④中，延长CM到N使得CM＝MN． ∵BM＝DM，∠CMB＝∠DMN， ∴△CMB≌△NMD（SAS）， ∴BC＝DN＝CA，∠CBM＝∠NDM， ∴DN∥BC， ∴∠CDN+∠DCB＝180°， ∵∠DCE＝∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠DCB＝180°， ∴∠ACE＝∠CDN， ∵DC＝EC，AC＝DN， ∴△CDN≌△ECA（SAS）， ∴CN＝EA， ∴AE＝2CM ∴CM＝AE 如图⑤，证明：如图⑤中，延长CM到N使得CM＝MN． ∵BM＝DM，∠CMB＝∠DMN， ∴△CMB≌△NMD（SAS）， ∴BC＝DN＝CA，∠CBM＝∠NDM， ∴DNBC， ∴∠CDN+∠DCB＝180°， ∵∠DCE＝∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠DCB＝180°， ∴∠ACE＝∠CDN， ∵DC＝EC，AC＝DN， ∴△CDN≌△ECA（SAS）， ∴CN＝EA， ∴AE＝2CM． ∴CM＝AE 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．【模型特征】小亮发现：如果两个等腰三角形顶角相等且顶角的顶点重合，就能构造出全等三角形．例如图①，与均为等腰直角三角形，，易证．应用此模型可以解决一些几何问题． 【模型应用】问题：如图②，四边形中，，求线段的长．小亮尝试作出辅助线：如图③，过点作的垂线交的延长线于点，连结．请你接着完成下面的问题： （1）求证：； （2）的长为_____； 【拓展应用】如图④，四边形中，，，，则线段的长为_____． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质； （1）先证明和是等腰直角三角形，即可证明； （2）由可得，，得到，在根据勾股定理计算即可； （3）在延长线上取一点，使，连接，过作于，先证明和是等边三角形，即可证明，得到，，，再在中，利用勾股定理得到，在中， 得到，则，最后在中根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）如图③，∵过点作的垂线交的延长线于点， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴； （2）∵， ∴，， ∴， ∴中； （3）在延长线上取一点，使，连接，过作于， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴中，，， ∴中， ， ∴， ∴中，， 故答案为：． 突破三 垂线模型 【典例】如图，在中，，D为线段上一点（不与点 B，C重合），连接并延长到点E， 使得，连接．过点B作 的垂线交直线于点F，连接，若 ，，的面积为 ． 【答案】50 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 过A 作交于S，交于L，延长线于Q，先证明，继而可证，可推导出是中位线， ，则，即可解答． 【详解】解：过A 作交于S，交于L，延长线于Q，如图 ∵ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∵ ∵ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴是中位线， ∴ ． 故答案为：50． 【变式】1．李老师带领数学社团的同学们探究下面的问题： 在等边中，． 【初步感知】 (1)如图1，点是边上一点，若，则_____；若，则_____（用含的代数式表示）． 【深入探究】 (2)如图2，点是边上一点，以点为旋转中心，将直线逆时针旋转交直线于点，顺时针旋转交直线于点． ①求证：； ②若，求． (3)点是直线上一点，将直线按照（2）中方式旋转，若，请直接写出此时的长． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；② (3)1或2 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，若，则有，利用三线合一性质可得，利用勾股定理即可求解；若，过点作于点，解得出、的长，再在利用勾股定理即可求解； （2）①作交延长线于点，作于点，根据旋转的性质可得，利用角平分线的性质定理得出，利用全等三角形的判定推出，再利用全等三角形的性质即可证明；②在中利用余弦的定义得到，同理可得，利用全等三角形的性质和线段的和差推出，结合（1）中的结论即可求解； （3）分①点在线段上；②点在延长线上；③点在延长线上三种情况讨论，画出对应的示意图，利用全等三角形和相似三角形的性质与判定即可求解． 【详解】（1）解：等边， ，， 若，则， 点是的中点， ， ， 在中，， ； 若，过点作于点，如图， 在中，，， ，， ， ； 故答案为：；． （2）①证明：如图，作交延长线于点，作于点， 由旋转的性质得，， 平分，， 又，， ，， 四边形的内角和为， ， 等边， ， ， ，即， ， ； ②解：在中，， ， 同理可得，， 由①得，， ， ， 由（1）得，若，则， ． （3）解：①若点在线段上，如图， 由（2）得，，， ， ， ， 等边， ，， ， ， ， ， ； ②若点在延长线上，作交延长线于点，作于点，如图， 同理（2）中的方法可得，， ， ， ， 同理①可得，， ， ； ③若点在延长线上，如图， 此时，不符合题意，舍去； 综上所述，的长为1或2． 2．在中，，将线段绕点逆时针旋转一定角度至线段，连接交线段于点． (1)如图1，若，，，求的长． (2)将线段绕点逆时针旋转至线段；点是延长线上一点；连接，交于点，且，连接，交于点； ①如图2，若，请猜想、之间的数量关系并证明； ②如图3，若，，分别是线段上的动点，且满足，连接，，当取得最小值时，直接写出此时的面积． 【答案】(1)9 (2)①，证明见解析；② 【分析】（1）过点作于点，由旋转的性质可得，设，利用等边对等角表示出和，利用角的和差求出，通过解求出、的长，再利用勾股定理求出的长，即可求出的长； （2）①作于点，同理（1）中的方法可得，通过证明得到，设，则，利用等腰直角三角形的性质与判定表示出，得到，再通过证明和得到，，最后利用比例的性质即可证明；②作且，作于点，连接、，由题意得是等边三角形，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理推出，通过证明得到，分析可得当三点共线时，有最小值；作于点，作于点，作于点，利用解直角三角形的知识求出、、的长，利用三角形的面积公式得到，，再利用比例的性质即可求出． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设， ， ， ， 由旋转的性质得，， ， ， ， ， ， 在中，，， ，， ， ． （2）解：①，证明如下： 如图，作于点， 由旋转的性质得，，， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 同理（1）中的方法可得，， ， ， 是等腰直角三角形，，， ， 又， ， ，，， ， ， ， 设，则， ， ，， 是等腰直角三角形，，， ， ， ， ，， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 点是的中点， ． ②作且，作于点，连接、，如图： ， 是等边三角形， ， ， 由①得，，， ， ，， 是等腰直角三角形，，， 又， ， ， ， 在中，， ， ，，， ， ， ， 当三点共线时，有最小值； 作于点，作于点，作于点，如图： ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ，，， ， ， ， ． 1．（2025·山东威海·三模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B．∠D=900 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质．如图，连接交于点O．证明，推出，再证明当时符合题意即可． 【详解】解：如图，连接交于点O． 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，同法可证， 故选项B符合题意． 当或或时都不符合题意． 故选：B． 2．（2025·山东青岛·三模）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．若，，则的长是（  ） A．3 B．12 C．10 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 连接，证明，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】∵正方形中，E是边上一点，将沿翻折至， ∴， 连接，    ∵， ∴， ∴ 设， 则， ∴， 解得， 故选：A． 3．（2025·山东临沂·二模）如图，已知，求作，使． 作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径作，分别交，于点E，F，连接； （2）以F为圆心，的长为半径作弧，交于点C，连接，； （3）作射线，即为所求作的角．下列结论正确的个数是（） ①作图构造的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等； ②；③；④是等腰三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的定义，根据作图可得，，根据证明两三角形全等判断①；根据全等得到，即可判断②；利用圆周角定理判断③；根据等腰三角形的定义判断④解答即可． 【详解】解：由作图可得，， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴是等腰三角形，故④正确； 故选：C． 4．（2025·山东枣庄·二模）如图，在中，，，．点在上，且．连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质，利用旋转的性质可知、，利用可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可证，根据和，可知，，根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：在中，，， ，， ， ， ， ， ， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ． 故选：B． 5．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G（点G在正方形内部），连接并延长交于点K．若，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，过点作于点，在上取一点，使得，连接．证明，设，根据，构建方程求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，在上取一点，使得，连接． 由作图可知垂直平分线段， ∵四边形是正方形， ， 垂直平分线段， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ∴正方形的边长． 故答案为． 6．（2025·山东淄博·一模）如图，在平行四边形中，E，F分别是边，上的点，连接，，使，． (1)上面是小明和小颖两位同学的对话，请选择其中一位同学的说法，并证明； (2)在（1）的条件下，若，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)选择小明同学的说法，见解析 (2)18 【分析】（1）根据平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质证明即可； （2）根据直角三角形的性质，平行四边形的性质和面积公式解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：选择小明同学的说法，证明如下： ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴； 解：选择小颖同学的说法，证明如下： ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，平行四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积． 7．（2025·山东泰安·一模）如图，已知．    ①以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点M、N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P； ③作射线交BC于点D； ④分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点； ⑤作直线，分别交，于点E，F，依据以上作图，若，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作图方法得平分，垂直平分，所以，，，再证明四边形为菱形得到，然后利用平行线分线段成比例定理计算的长． （2）根据，得，所以，同理：，设，则，，菱形的面积为，，即可求出答案． 【详解】（1）解：连接，，如图，    由作法得平分，垂直平分， ，，， ， ， ， 同理可得， 四边形为平行四边形， 又∵， 四边形为菱形， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ∴， ， ， 同理：， 设，则，， 菱形的面积为， ， ， ． 【点睛】本题考查了作图复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、平行线分线段成比例定理、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 8．（2025·山东德州·模拟预测）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容． 如图（1），先把一张矩形纸片上下对折，设折痕为；如图（2），再把点叠在折痕线上，得到，过点向右折纸片，使、、三点仍保持在一条直线上，得折痕． （1）求证：∽． （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【问题解决】 （1）对教材中的第一问写出证明过程． （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【结论应用】 （3）在图的基础上，将纸片按图所示翻折，点恰好落在直线上，得到．若，则的长为______． 【答案】（1）见解析；（2）相似，证明见解析；（3） 【分析】由余角的性质可得，由两组对角对应相等的两三角形相似可证∽； 作的斜边上的中线，可证为等边三角形，可得，可求，由两组对角对应相等的两三角形相似可证∽； 由“”可证≌，可得，由折叠的性质和直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】证明：四边形为矩形， ． ． 点、、共线， ． ． ． ， ∽． ∽． 证明：作的斜边上的中线，如图所示，则． 由题意得， ． 为等边三角形， ， ， ， 由翻折可知．， ，， ， ， 又， ∽． 解：， ， 又，， ≌， ， ， 由折叠可得， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 9．（2025·山东青岛·一模）已知：如图，在平行四边形中，分别是边上的点，且，直线分别交的延长线、的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，见解析 【分析】（1）先证明，，，，结合，即可得到结论； （2）证明，四边形是平行四边形，结合，可得四边形是菱形，可得，证明，可得，再进一步可得结论． 【详解】（1）证明：， ∴，，， ， ，， ， ∵， ； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ，， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， 四边形为平行四边形， 为菱形； 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟记特殊四边形的判定方法是解本题的关键． 10．（2025·山东济南·模拟预测）将下列三幅图中的的边绕其顶点A逆时针旋转α得到线段． 【观察猜想】 （1）如图1，将边绕点A逆时针旋转α得到线段，连接，猜想并直接写出与的数量关系； 【探究证明】 （2）如图2，连接，点F在上，且满足，连接，点G为上一点，连接交于点M，若，求证：． 【深入研究】 （3）如图3，连接，若，是等边三角形，P，Q两点分别在，上，且满足，请探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），见解析 【分析】（1）由旋转的性质证出，根据可证明，从而得出结论； （2）延长到，使，连接，则，证明，由全等三角形的性质得出，证出，，则可得出结论； （3）过点作交于点，过点作交的延长线于点，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出，证出，则可得出结论． 【详解】解：（1），理由如下： 边绕其顶点A逆时针旋转得到线段， ， 将边绕点A逆时针旋转α得到线段， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：延长到，使，连接， 则， ， ， 由旋转可知， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， （3），理由如下： 过点作交于点，过点作交的延长线于点， 是等边三角形，， ∴是等边三角形， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 1．（2025·山东泰安·一模）如图，正方形中，M是上一点，于点P，延长交于点Q，且，求的值（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形相似的性质和判定，三角形全等的性质和判定，正方形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点E，可证，则，可证，则，则题目可解． 【详解】解：延长交于点E，如图， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ． 故选：A． 2．（2025·山东·模拟预测）如图，已知和都是等腰三角形，，绕点A旋转，，，交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④的最大值为6．其中正确结论是 ．（填序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定定理等知识点，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 作于M，于N，设交于O，证明，即可判断①；由全等三角形的性质与三角形内角和定理即可判断②；根据等面积法可得，即；假设③平分成立，则，利用角度关系即可判断③；根据三角形的三边关系可判断④． 【详解】解：如图：作于M，于N，设交于O， 由题意得：， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确， ∵， ∴， ∴， ∴， 若平分成立， ， ， 则， ∴， ∴， 由题意知，，则平分不成立，故③错误； ∵， ∴当且仅当B、A、D三点共线时，有最大值，即④错误． 综上，正确为①②． 故答案为：①②． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在边长为的菱形中，，对角线和交于点O，E为线段上一动点，连接，的垂直平分线交于点M，交于点N，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，30度角的直角三角形的性质．连接，由线段垂直平分线的性质求得，要求线段的最大值，就是求线段的最小值，当线段时，有最小值，则线段有最大值，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴，要求线段的最大值，就是求线段的最小值， ∴当线段时，有最小值，则线段有最大值， ∵菱形中，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴线段的最大值为， 故答案为：． 4．（2025·山东济南·模拟预测）探究式学习是目前倡导的重要学习方式之一，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F． 【初步感知】 （1）如图1，当时，兴趣小组连接，易得__________，从而易得线段之间的数量关系为_____________________． 【深入探究】 （2）如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明． 【拓展运用】 （3）如图3，当，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长． 【答案】（1），（2），见解析（3） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，正确地画出图形，作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键． （1）连接，当时，，即，证明，从而得到即可解答； （2）过的中点作的平行线，交于点，交于点，当时，，根据，可得是等腰直角三角形，，根据（1）中结论可得，再根据，，即可得到； （3）如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，可利用建系的方法表示出的坐标，再利用中点公式求出，最后利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】证明：如图，连接，    当时，，即， ， ，，， ，，即， ， ， 在与中， ， ， ， ； 故答案为：，． （2） 如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点，    当时，，即， 是的中点， ，， ， ，， ， 是等腰直角三角形，且， ， 根据（1）中的结论可得， ； 故线段之间的数量关系为； (3)如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，    如图，以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，过点作的垂线段，交于点，过点作的垂线段，交于点，   ， ，， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ∴， 根据（2）中的结论，同理可得， ， ， ， ， ，即， ． 5．（2025·山东泰安·一模）受物理课上发声物体的振动实验启发，兴趣小组做了如下操作：选取一个支架，在横杆点处悬挂小球，它可以自由摆动，如图，小球静止时的位置用表示．用发声物体靠近小球，小球从摆动到位置，如图，过点作于点；当小球摆到位置时，（图中点共面），过点作，垂足为点． (1)若测得，．请判断的数量关系并直接写出的长． (2)如图，在中，，直线经过点，且． ①请判断之间的数量关系，并说明理由． ②若，的面积为，请你直接写出的面积______． 【答案】(1)，的长为； (2)①，理由见解析；②的面积为． 【分析】（）证明，可得，继而得到，再代入数据计算可得答案； （）①利用三角形外角的性质分别证明，即可证明，得到，可得结论； ②设的面积为，根据全等三角形的性质可得，继而得到，根据可得，，再根据可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴此时的长为； （2）①，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②设的面积为， 由①知：，且的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 1．（2025·福建·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为、、的延长线与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】连接，交于点O，根据旋转的性质，得到，，证明，得到垂直平分，得到，，根据直角三角形的面积解答即可． 本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 【详解】解：连接，交于点O， 根据旋转的性质，得到，， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025·海南·中考真题）如图，在菱形中，对角线、相交于点．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，尺规作图作角平分线，角平分线的性质定理． 作交于I，根据菱形的性质可知，由作图可知平分，即，进而根据三角形面积公式计算即可． 【详解】如图，作交于I， ∵菱形， ∴，即， 由作图可知平分， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为 ． 【答案】5 【分析】如图，在中，得出，根据是等边三角形，得出，连接，证明，得出，则，作的平分线交于点，证明是等边三角形，得出，根据，得出直线和直线重合，确定点在上运动，根据的面积，得出最大时，的面积最大，当点与点重合时，的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得，则，得出． 【详解】解：如图，在中，，，， 则， ∵是等边三角形， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的平分线交于点， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴直线和直线重合， 即点在上运动， ∵的面积， 则最大时，的面积最大， 根据题意可得当点与点重合时，最大，即的面积最大， 此时，如图， 则， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】该题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形等知识点，确定点的轨迹是解题的关键． 4．（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转-最短路线问题，三角形全等的判定，菱形的性质以及等边三角形的性质．通过将绕点A顺时针方向旋转的点，此时证明和全等后找到对应的线段，的最小值即为点B，，P，D四点共线时，线段的长度即为所求． 【详解】如图，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，，， 由题意知，在菱形中，，， ∴和为等边三角形， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点B，，P，D四点共线时，的最小， 此时最小值的长度为． 故答案为：． 5．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形的对角线交于点，．若_________，则． 从①，②，③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】①（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由边的关系与角的关系得到三角形全等是解决本题的关键． 选择①：根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”可得，再由角边角的证明方法即可证明与全等，由此可得结论； 选择②：根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”可得，再由角角边的证明方法即可证明与全等，由此可得结论． 【详解】解：选择①， ∵， ∴， ∵，且， 在与中， 由， ∴≌， ∴； 故答案为：①． 选择②， ∵， ∴， ∵， 在与中， 由， ∴≌， ∴． 故答案为：②． 6．（2025·浙江·中考真题）【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． (2)若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，据此可利用证明； （2）由正方形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（2025·广西·中考真题）如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 【详解】（1）证明：的半径为， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 8．（2025·江苏南京·中考真题）如图，是的对称中心，与相切于点． (1)求证：直线是的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明； (2)当与相切时，是菱形吗？说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)是菱形，理由见详解 【分析】（1）先理解题意，结合两位同学的想法，作图，再根据平行四边形的性质以及切线的性质，证明三角形全等，然后结合全等三角形的性质进行分析，即可作答． （2）先理解题意，作图，证明，得，因为四边形是平行四边形，得，即，得，故，运用一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答． 【详解】（1）解：左边同学的思路： 过点O作，连接，，如图所示： ∴， ∵是的对称中心， ∴三点共线，且，， ∴， ∵与相切于点， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴直线是的切线； 右边同学的思路： 连接，并延长交于点F，如图所示： ∵是的对称中心， ∴三点共线，且，， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是切点， 即直线是的切线； （2）解：是菱形，理由如下： 当与相切时，记切点为点，如图所示： ∵与相切于点．与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．（2025·四川·中考真题）和中，，． 【初步感知】 （1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程） 【深入探究】 （2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长． 【答案】（1），；（2）数量关系：，位置关系：，理由见解析；（3） 【分析】（1）证明，则，，再由对顶角结合互余的性质证明； （2）证明，则，，，再由对顶角结合互余的性质证明； （3）先求出，，过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点，证明，则，求出，即可证明，则，证明，则，求出，，则，那么由勾股定理得，再对运用面积法求解，最后由求解即可． 【详解】（1）解：如图， ， ，， 又， ， 即， 在△和△中， ， ， ，， 设与交于点， ，， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：数量关系：，位置关系：． 理由如下：， ，即， 又， ， ，， ，， ， 则， 即； （3）解：∵，， ∴，， 过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则在中，由勾股定理得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，解题的关键是正确运用类比的思想条件并添加辅助线求解． 10．（2025·福建·中考真题）已知，是半径为的的弦，的另一条弦满足，且于点（其中点在圆内，且，）． (1)在图中用尺规作出弦与点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)连接，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度； (3)如图，延长至点，使得，连接，的平分线交的延长线于点，点为的中点，连接，若．求证：． 【答案】(1)见详解 (2)不变， (3)证明见详解 【分析】本题考查了垂直平分线的作法，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形中位线的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，直径所对的圆周角为直角，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）作线段的垂直平分线，与圆交于点 、，再作线段的垂直平分线，并在上截取，在直线上截取线段，作线段的垂直平分线，与圆交于点、，与线段交于点，即为所求． （2）连接，连接并延长交于，连接，，过作于，于，证明四边形是正方形，则可证是等腰直角三角形，则，继而证明是等腰直角三角形，继而求得线段的长度是定长，及其值． （3）延长、，交点为，证明是的中位线，得到，继而得到，通过证明，继而证明，作的外接圆，延长交外接圆于点，连接、，通过证明，得到，继而得到． 【详解】（1）解：如图，以，为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，与交点为，，与交点为，则，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，则，以为圆心，长为半径画弧与交点为，则，以为圆心，长为半径画弧，交直线于，以，为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，则，与交点为，，与交点为，即、点即为所求． ； （2）如图，连接，连接并延长交于，连接，，过作于，于， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵、是同弧所对的圆周角， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴线段的长是定长，值为； （3）证明：如图，延长、，交点为， ∵， ∴点为的中点， 又∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 如图，作的外接圆，延长交外接圆于点，连接、， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 第17讲 全等三角形 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 全等三角形的判定与性质 题型01 添加条件证明全等 题型02 灵活选用判定方法证全等 题型03 全等三角形判定和性质综合题 命题点二 角平分线与线段垂直平分线 题型01 角平分线的性质定理的应用 题型02 线段垂直平分线的性质 题型03角平分线与线段垂直平分线的综合应用 05·重难突破·思维进阶难 17 突破一 倍长中线模型 突破二 旋转模型 突破三 垂线模型 06·优题精选·练能提分 36 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 全等三角形及其性质 山东淄博T17 山东青岛T22 山东济南T5 山东潍坊T16 / 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角. 全等三角形的判定 山东淄博T17 山东潍坊T18山东烟台T23 山东德州T14 山东淄博T17 山东青岛T23 山东济南T18山东潍坊T24 山东青岛T24 山东淄博T17 山东潍坊T16 山东卷T17 掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等； 证明定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等； 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 角平分线的性质与判定 山东滨州T13 山东东营T17 山东德州T10 山东青岛T16 山东泰安T9 山东威海T23 山东聊城T24 山东滨州T22 探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 垂直平分线的性质与判定 山东东营T10 山东德州T5 山东济南T9 山东威海T8 山东卷T17 山东济南T9 山东潍坊T10 山东泰安T9 山东青岛T17 山东泰安T11 山东枣庄T9 探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等。反之，到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 命题预测 在中考中，全等三角形主要以选择题、填空题和解答题的简单类型为主．常结合四边形综合考查。 考点一 全等三角形及其性质 全等图形概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形. 特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等. 全等三角形概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 【补充】两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”.书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上. 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换. 全等三角形的性质：1）对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． 3）全等三角形的周长相等、面积相等． 1．（2025·山东济南·模拟预测）如图，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 2．（2025·山东淄博·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转60°得到，点，的对应点分别为，，延长交于点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 考点二 全等三角形的判定 全等三角形的判定 1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5.对于特殊的直角三角形：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 1．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证： (1)； (2)． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明： (1)； (2)． 3．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 考点三 角平分线的性质与判定 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 1．（2025·山东菏泽·二模）如图，在中，，平分，交于点D，则点D到的距离为（　　）    A． B． C． D．2   2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在中，以点C为圆心、任意长为半径作弧，分别交于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线交于点G．若，，的面积为9，则的面积为 ． 3．（2025·山东济南·一模）如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点． (1)求证：平分； (2)若，求线段的长． 考点四 线段垂直平分线的性质与判定 线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等。 线段垂直平分线判定定理：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为 ． 2．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．（2025·山东济宁·三模）如图，在矩形中，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N．作直线与，分别交于点E，F，连接．已知，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 命题点一 全等三角形的判定与性质 ►题型01 添加条件证明全等 / 1. 已有2边→补夹角（SAS）或第3边（SSS） 2. 已有1边1邻角→补另一边（SAS）或另一邻角（ASA）或对角（AAS） 3. 已有1边1对角→补任意一角（AAS） 4. 已有2角→补任意一组对应边（ASA/AAS） 小技巧：先标已知条件，锁定对应顶点，再匹配判定定理。 【典例】（2025·山东济宁·一模）如图，为中边上一点，，，请你补充一个条件 ，使． 【变式】1．（2024·山东德州·中考真题）如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使． 2．（2025·山东聊城·二模）如图，已知，点，在线段上，且． (1)请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．你添加的条件是：（填写序号）_____（只需选一个条件，多选不得分），请说明理由； (2)利用（1）的结论，求证：． ►题型02 灵活选用判定方法证全等 / 1. 先标已知边角、锁定对应顶点，再匹配判定定理 2. 有三边找SSS；两边优先SAS（避SSA）；两角随便配一边（ASA/AAS） 3. 直角三角形直接优先HL，也能用普通判定 小技巧：缺条件先想公共边/角、对顶角，秒补隐藏条件 【典例】（2025·山东青岛·一模）如图正方形的边长为，、分别为、的中点，连接、，交点为．将沿对折，得到，延长与线段的延长线交于点，如下结论： ①；②；③；④；⑤， 其中正确的是 （填序号）． 【变式】1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在中，点D，E分别是边，的中点，过点C作，交的延长线于点F． (1)求证： (2)连接，，已知 （从以下三个条件中选择一个作为已知，填写序号），证明四边形是矩形． 条件①：平分； 条件②：； 条件③：； （注：如果选择条件①，条件②，条件③分别进行解答，按第一个解答计分） 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在平行四边形中，，分别为边，的中点，延长至点G，使，连接． (1)求证：； (2)从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形的形状，并证明你的结论． ①；②． 选择的条件：______（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） ►题型03 全等三角形判定和性质综合题 / 1. 先找要证的边/角所属的两个三角形，标已知+隐藏条件（公共边/角等） 2. 选判定证全等，写清条件和依据 3. 全等后直接得对应边/角相等，再结合题干推最终结论 4. 多三角形题先找中间全等，层层推导 【典例】（2025·山东青岛·一模）如图，在中，，分别是边和的中点，，在对角线上，且，连接，． (1)求证：； (2)连接，，当与满足怎样的数量关系时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【变式】1．（2025·山东烟台·一模）如图，中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．（2025·山东济南·模拟预测）如图，在菱形中，，，为等边三角形，点、分别在菱形的边、上滑动（、不与、、重合），求面积的最大值． 命题点二 角平分线与线段垂直平分线 ►题型01 角平分线的性质定理的应用 / 角平分线性质（角平分线上点到两边距离相等）+判定（到两边距离相等的点在角平分线上），解题抓2点： 1. 用性质：先作角平分线上点到两边的垂线段，直接得线段相等，常结合全等/等角代换 2. 证角平分线：作点到两边垂线段，证线段相等，即可判定在角平分线上 3. 综合题常和全等联用：先借角平分线得相等线段，再用SAS/AAS证全等，推其他结论 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，正方形的对角线与相交于点，的角平分线分别交、于、两点．若，则线段的长为（    ） A． B．1 C． D． 【变式】1．（2025·山东济南·三模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线交于点D；②作垂直于点E；③以点D为圆心，以为半径作弧，交于点F，再以点A为圆心，为半径作弧，交于点G．若，则与的比值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东聊城·二模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线交于点D，于点E，则的长为（   ） A． B． C． D．5 ►题型02 线段垂直平分线的性质 / 核心：性质（线上点到线段两端距离相等）+判定（到两端等距的点在线上） 1. 用性质：遇中垂线→连端点得等腰（线段相等），直接导边/角相等 2. 证中垂线：证两点到线段两端都等距，两点连线就是中垂线 3. 综合题常联动：中垂线得等边→配已知证全等→再推角/边结论 【典例】（2025·山东聊城·三模）如图，在中，，，，点P为上一点，点Q为上一点，且，分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，若恰好经过的中点，则的长为 ． 【变式】1．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，点在正方形的边上，延长至点，使，连接和，取的中点，连接并延长，与交于点．若，，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 2．（2025·山东德州·二模）如图，在中，．射线平分，直线垂直平分，垂足为，直线交于点，于点．若，，则的长为 ． ►题型03 角平分线与线段垂直平分线的综合应用 / 1. 先辨图形：角平分线作双垂线（得等线段），中垂线连两端点（得等腰） 2. 抓核心性质：角平分线上点到两边等距，中垂线上点到两端等距 3. 搭全等桥梁：用上述等线段+已知条件，选SAS/AAS/SSS证全等 4. 层层推导：先由角分线/中垂线得边相等，再全等推角/边，终得结论 【典例】（2025·山东临沂·二模）中，．根据作图痕迹，点是射线和直线的交点．连接，若的面积为15，则的周长为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【变式】1．（2025·山东济宁·二模）如图，已知． (1)请确定一点D，满足，且点D到直线和的距离相等（要求：尺规作图，不写做法，保留清晰的作图痕迹）； (2)连接和，若，求的度数． 2．（2025·山东菏泽·二模）小明同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点；分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线交边于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 突破一 倍长中线模型 【典例】如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____； （2）如图②，在中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：； （3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 2．（1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点，使得．连结，求证：四边形是平行四边形． （2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点（不与点、点重合），过点、点分别作， ，连结，，求证：四边形是平行四边形． （3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点是的中点，点是直线上的动点，且，，当取得最小值时，求线段的长度． 突破二 旋转模型 【典例】已知和都是等腰直角三角形，． （1）如图1：连，求证：； （2）若将绕点O顺时针旋转， ①如图2，当点N恰好在边上时，求证：； ②当点在同一条直线上时，若，请直接写出线段的长． 【变式】1．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，将△ABC绕着点C旋转，连接BD，AE，M是BD的中点． (1)如图①，当CA与CD重合，CB与CE重合时，线段AE，CM的数量关系是 　 　； (2)当△ABC的位置如图②和图③时，线段AE，CM又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择图②或图③其中一种情况进行证明． 2．【模型特征】小亮发现：如果两个等腰三角形顶角相等且顶角的顶点重合，就能构造出全等三角形．例如图①，与均为等腰直角三角形，，易证．应用此模型可以解决一些几何问题． 【模型应用】问题：如图②，四边形中，，求线段的长．小亮尝试作出辅助线：如图③，过点作的垂线交的延长线于点，连结．请你接着完成下面的问题： （1）求证：； （2）的长为_____； 【拓展应用】如图④，四边形中，，，，则线段的长为_____． 突破三 垂线模型 【典例】如图，在中，，D为线段上一点（不与点 B，C重合），连接并延长到点E， 使得，连接．过点B作 的垂线交直线于点F，连接，若 ，，的面积为 ． 【变式】1．李老师带领数学社团的同学们探究下面的问题： 在等边中，． 【初步感知】 (1)如图1，点是边上一点，若，则_____；若，则_____（用含的代数式表示）． 【深入探究】 (2)如图2，点是边上一点，以点为旋转中心，将直线逆时针旋转交直线于点，顺时针旋转交直线于点． ①求证：； ②若，求． (3)点是直线上一点，将直线按照（2）中方式旋转，若，请直接写出此时的长． 2．在中，，将线段绕点逆时针旋转一定角度至线段，连接交线段于点． (1)如图1，若，，，求的长． (2)将线段绕点逆时针旋转至线段；点是延长线上一点；连接，交于点，且，连接，交于点； ①如图2，若，请猜想、之间的数量关系并证明； ②如图3，若，，分别是线段上的动点，且满足，连接，，当取得最小值时，直接写出此时的面积． 1．（2025·山东威海·三模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B．∠D=900 C． D． 2．（2025·山东青岛·三模）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．若，，则的长是（  ） A．3 B．12 C．10 D．5 3．（2025·山东临沂·二模）如图，已知，求作，使． 作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径作，分别交，于点E，F，连接； （2）以F为圆心，的长为半径作弧，交于点C，连接，； （3）作射线，即为所求作的角．下列结论正确的个数是（） ①作图构造的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等； ②；③；④是等腰三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·山东枣庄·二模）如图，在中，，，．点在上，且．连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G（点G在正方形内部），连接并延长交于点K．若，则正方形的边长为 ． 6．（2025·山东淄博·一模）如图，在平行四边形中，E，F分别是边，上的点，连接，，使，． (1)上面是小明和小颖两位同学的对话，请选择其中一位同学的说法，并证明； (2)在（1）的条件下，若，，求平行四边形的面积． 7．（2025·山东泰安·一模）如图，已知．    ①以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点M、N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P； ③作射线交BC于点D； ④分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点； ⑤作直线，分别交，于点E，F，依据以上作图，若，，． (1)求的长； (2)求的值． 8．（2025·山东德州·模拟预测）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容． 如图（1），先把一张矩形纸片上下对折，设折痕为；如图（2），再把点叠在折痕线上，得到，过点向右折纸片，使、、三点仍保持在一条直线上，得折痕． （1）求证：∽． （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【问题解决】 （1）对教材中的第一问写出证明过程． （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【结论应用】 （3）在图的基础上，将纸片按图所示翻折，点恰好落在直线上，得到．若，则的长为______． 9．（2025·山东青岛·一模）已知：如图，在平行四边形中，分别是边上的点，且，直线分别交的延长线、的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论． 10．（2025·山东济南·模拟预测）将下列三幅图中的的边绕其顶点A逆时针旋转α得到线段． 【观察猜想】 （1）如图1，将边绕点A逆时针旋转α得到线段，连接，猜想并直接写出与的数量关系； 【探究证明】 （2）如图2，连接，点F在上，且满足，连接，点G为上一点，连接交于点M，若，求证：． 【深入研究】 （3）如图3，连接，若，是等边三角形，P，Q两点分别在，上，且满足，请探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 1．（2025·山东泰安·一模）如图，正方形中，M是上一点，于点P，延长交于点Q，且，求的值（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东·模拟预测）如图，已知和都是等腰三角形，，绕点A旋转，，，交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④的最大值为6．其中正确结论是 ．（填序号） 3．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在边长为的菱形中，，对角线和交于点O，E为线段上一动点，连接，的垂直平分线交于点M，交于点N，则线段的最大值为 ． 4．（2025·山东济南·模拟预测）探究式学习是目前倡导的重要学习方式之一，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F． 【初步感知】 （1）如图1，当时，兴趣小组连接，易得__________，从而易得线段之间的数量关系为_____________________． 【深入探究】 （2）如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明． 【拓展运用】 （3）如图3，当，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长． 5．（2025·山东泰安·一模）受物理课上发声物体的振动实验启发，兴趣小组做了如下操作：选取一个支架，在横杆点处悬挂小球，它可以自由摆动，如图，小球静止时的位置用表示．用发声物体靠近小球，小球从摆动到位置，如图，过点作于点；当小球摆到位置时，（图中点共面），过点作，垂足为点． (1)若测得，．请判断的数量关系并直接写出的长． (2)如图，在中，，直线经过点，且． ①请判断之间的数量关系，并说明理由． ②若，的面积为，请你直接写出的面积______． 1．（2025·福建·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为、、的延长线与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 2．（2025·海南·中考真题）如图，在菱形中，对角线、相交于点．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则 ． 3．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为 ． 4．（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 5．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形的对角线交于点，．若_________，则． 从①，②，③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 6．（2025·浙江·中考真题）【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． (2)若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 7．（2025·广西·中考真题）如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 8．（2025·江苏南京·中考真题）如图，是的对称中心，与相切于点． (1)求证：直线是的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明； (2)当与相切时，是菱形吗？说明理由． 9．（2025·四川·中考真题）和中，，． 【初步感知】 （1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程） 【深入探究】 （2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长． 10．（2025·福建·中考真题）已知，是半径为的的弦，的另一条弦满足，且于点（其中点在圆内，且，）． (1)在图中用尺规作出弦与点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)连接，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度； (3)如图，延长至点，使得，连接，的平分线交的延长线于点，点为的中点，连接，若．求证：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $