第16讲 三角形的概念和性质（复习讲义，2考点6题型2重难）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学讲义聚焦“三角形的概念和性质”中考核心模块，涵盖三角形相关概念、重要线段、性质三大考点，构建“概念-性质-应用”知识网络。通过“考情剖析-考点解析-命题洞悉-分层训练”教学流程，梳理内角和、外角性质等基础内容，指导角平分线辅助线等解题方法，结合真题突破折叠问题等难点，实现系统复习。 亮点在于“命题点分层突破”策略，如角平分线综合题中总结“向两边作垂线、截长补短”辅助线方法，培养推理意识。设置新定义问题和阅读理解型探究题，发展创新意识，配合“基础-能力-新趋势”三级练习，5分钟限时测试即时反馈，助力学生高效提升应考能力，教师可据此精准把控复习节奏。

第四章 三角形 第16讲 三角形的概念和性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 13 命题点一 三角形与角相关的运算 题型01三角形内角和 题型02 三角形的外角 题型03 角平分线与三角形综合 题型04 平行线与三角形综合 命题点二 三角形与线段面积相关的运算 题型01 求面积 题型02 折叠问题 05·重难突破·思维进阶难 34 突破一 三角形中的新定义问题 突破二 三角形中的阅读理解型探究题 06·优题精选·练能提分 49 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 三角形的相关概念 / 山东德州T7 / 理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性. 三角形的重要线段 山东威海 T6 山东日照T19 山东滨州 T16 山东潍坊T16 理解三角形中线、高线、角平分线等概念，并能利用其进行简单的证明与计算。 三角形的性质 山东德州T5 山东淄博T5 山东青岛T8山东威海T5 山东卷T17 山东潍坊T5 山东济南T5 山东济宁T19 山东泰安T6 山东烟台T8 山东枣庄T14 山东烟台T24 山东青岛T6 山东淄博T4 山东日照T5 山东潍坊T10 探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 证明三角形的任意两边之和大于第三边。 命题预测 在初中几何数学中，三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础.所以，在中考中，与其它几何图形结合考察的几率比较大，特别是全等三角形的性质和判定的综合应用。考生在复习该考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和应用，还要注重转化思想在题目中的应用，同步联想，其他几何图形在什么情况下会转化成该考点的知识考察。 考点一 三角形的相关概念 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形. 三角形的表示：用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”. 三角形的分类： 1）三角形按边分类：三角形 2）三角形按角分类：三角形 三角形的稳定性: 三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了. 1．（2024·山东东营·模拟预测）一个三角形的三个内角的度数比是，其中最大的一个角是( )度，按角分，这是一个( )三角形，按边分，这是一个( )三角形． 【答案】 直角 等腰 【分析】本题主要考查了比的应用，三角形内角和定理，三角形的分类，理解题意，正确进行计算是解题的关键． 根据三角形的内角度数和是，三角形的最大的角的度数占内角和度数和的，再根据一个数乘分数的意义，求出最大角，进而判断即可． 【详解】解：， 最大的角为：， 其余两个角都是， 这是一个直角三角形， 按边分，这是一个等腰三角形， 故答案为：；直角；等腰 2．（2024·山东淄博·二模）已知三角形三个内角的度数之比为，且，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形分类，掌握三角形的内角和为是解题的关键． 设一个角的度数为，则另外两个角分别为，和，根据，再根据可得出答案． 【详解】解：设一个角的度数为，则另外两个角分别为，和， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三角形为钝角三角形． 故选：C． 考点二 三角形的重要线段 重要线段 概念 图形 性质 三角形的高 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）． ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线 ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC 三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线． ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 ∵DE是∆ABC的中位线 ∴AD=DB AE=EC DE=BC DE∥BC 1．（2025·山东威海·中考真题）如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形中线的性质以及相似三角形的判定和性质等知识； 根据三角形的中位线定理结合三角形中线的性质可得，可得，再根据相似三角形的性质进一步判断即可. 【详解】解：∵的中线交于点F， ∴， ∴，，故D选项结论正确； ∴，， ∴，，，故A、C选项结论正确，B选项结论错误； 故选：B. 2．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 3．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案； （2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明； （3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可． 【详解】（1）解：由作图可知，为的角平分线 故答案为： （2）证明：四边形为平行四边形 （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点 四边形为平行四边形， ， ， 又 ． 考点三 三角形的性质 三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边． 三角形三边关系定理及推论的应用： 1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理的应用： 1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数； 2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数； 3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数. 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较． 设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】设的长度为a，因为有两个角是，故是等边三角形， ∴； 由于和是等边三角形，设的边长为m， 可得， ∴； 丙路程中，延长与，交于点I（如图）， ∵，两边同加得， ∴，又 ∴，又， 因此，，只有D选项正确． 故选：D． 2．（2025·山东德州·中考真题）如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出和的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出，进而求出的度数，最后通过求出的度数． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：． 3．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点；再将纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的翻折问题，垂直的定义，等腰三角形的判定与性质以及直角三角形中正弦值的求解，在翻折过程中由边长和角度不变，可求解翻折前后的角度是解决本题的关键．根据是由翻折得到可求解的度数，由此判断C选项；根据翻折前后角度的求解，可求解与的度数，由“等角对等边”可判断A选项，求解的度数可判断B选项；假设结论成立，根据直角三角形中的正弦值求解边长即可判断D选项． 【详解】解：C选项，在中，，， ∴， ∵是由翻折得到， ∴，故C选项错误； A选项，∵是由翻折得到，， ∴， ∴， ∴， ∵是由翻折得到， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，故A选项正确； B选项，∵， 即， ∴与不垂直，故B错误； D选项，过点G作交于点M，如图， 假设， ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 又∵，与已知不符，故D选项错误． 故选：A． 命题点一 三角形与角相关的运算 ►题型01 三角形内角和 / 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理的应用： 1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数； 2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数； 3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数. 【典例】（2024·山东菏泽·一模）已知，小明想证明其内角和为，请在图中作出一种辅助线的作法（写出作法）． 【答案】见解析；作法见解析 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，利用平行线的性质把三个内角平移到一个顶点处构成一个平角是解题的关键．可过三角形的一个顶点作另一边的平行线，把三个内角转移到该顶点处构成平角，证得结论． 【详解】解：作法：过点A作的平行线，即；    则，（两直线平行，内错角相等）， （平角的定义）， （等量代换）． 即的内角和为． 【变式】1．（2024·山东潍坊·二模）三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种证明方法． 已知：如图， ． 求证：． 证明：作的延长线，在外部，以为一边，作． 所以，（内错角相等，两直线平行）． 所以，（ ）． 因为，，，组成一个平角， 所以，（平角的定义）， 所以，（ ）． (1)请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整； (2)该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法． 【答案】(1)、、是的三个内角；两直线平行，同位角相等；等量代换 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质： （1）在外部，以为一边，作．根据平行线的判定与性质及平角定义求解即可； （2）过点A作，根据平行线的性质°，由此证明即可． 【详解】（1）解：已知：如图，、、是的三个内角． 求证：． 证明：如图，作的延长线，在外部，以为一边，作． 所以，（内错角相等，两直线平行）． 所以，（两直线平行，同位角相等）． 因为，组成一个平角， 所以，（平角的定义）， 所以，（等量代换）． （2）证明：如图，过点A作， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． （两直线平行，同旁内角互补）． 即． ∴． 2．（2023·山东青岛·二模）如图，显示器的宽为22厘米，支架长14厘米，当支架与显示器的夹角，支架与桌面的夹角，测得长为2厘米，求显示器顶端到桌面的高度的长（，，） 【答案】器顶端到桌面的高度的长为． 【分析】作延长线于点F，再延长、交于点G，利用直角三角形性质，即可得到的长，的大小，在根据题意可判断，从而可得，再结合可求得的长，从而可得的长． 【详解】解：如图，作延长线于点F，再延长、交于点G．    ，， ． ∵，， ∴， 由题可知：， 延长线于点F， ， ∴． 在中，． ∵， ∴． 在中，． 故显示器顶端到桌面的高度的长为． ►题型02 三角形的外角 / 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 【典例】（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线性质，三角形的外角性质，先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角性质解答即可． 【详解】解：设和交于点F， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式】1．（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴； 故选：A． 2．（2025·山东·中考真题）在中，，，的平分线交于点．如图1． (1)求的度数； (2)已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F．如图2，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了三角形的外角性质，垂直平分线的作法和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）由角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求解即可； （2）由作图知是线段的垂直平分线，求得，求得，，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）解：由作图知是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． ►题型03 角平分线与三角形综合 / 1. 角平分线核心性质：角平分线上点到两边距离相等，优先作垂线 2. 遇角平分线+平行线→等腰三角形（内错角相等，得等角对等边） 3. 三角形角平分线定理：分对边的比=邻边比（AB/AC=BD/DC） 4. 辅助线常用3种：①向两边作垂线 ②截长补短造全等 ③作平行线构等腰 5. 多角平分线（内心）：内心到三边距离相等，可连内心到顶点分角 【典例】（2025·山东·模拟预测）如图，点A，B，C在上，与的平分线交于点P，点M为上不同于点B，C的一点，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质．熟练掌握角平分线有关的三角形内角和，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质是解题的关键．由角平分线的定义可得，由，可求，则，由题意知，分当在上方时，当在下方时，两种情况求解作答即可． 【详解】解：∵与的角平分线交于点P， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 当在上方时，如图， ∴， 当在下方时，如图， ∴， 综上所述，或， 故答案为：或． 【变式】1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知． (1)的度数为_______； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出的度数是解题的关键． （1）在中，利用三角形内角和定理可求出的度数； （2）结合角平分线的定义可得出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合对顶角相等可得出的度数，再在中利用三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】（1）解：∵中，， ， 故答案为：． （2）解：∵平分， ， 在中，， ， ， ， ， ． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究一】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是_____． （2）问题提出：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 结合图1猜想：与的数量关系是______． 【问题探究二】 （3）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． （4）问题提出：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 结合图2猜想：与的数量关系是______． 【拓展与应用】 （5）如图3，四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，则_____．（用含，的式子表示） （6）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则_____． 【答案】（1）；（2）；证明见解析；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，轴对称的性质； （1）在中， ，结合角平分线的含义可得，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （2）在中，，求解，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （3）求解，再进一步利用内角和定理可得答案； （4）证明，可得； （5）延长，交于点，由（4）可得：，证明，，结合外角的性质可得，，可得，进一步求解即可； （6）求解，，可得，由（2）得：． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； （2）猜想：，理由如下： 在中，， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； （3）∵与分别是的两个外角，且， ∴， ∴； （4），理由如下： ∵与分别是的两个外角， ∴， ∴； （5）延长，交于点， ∵，， 由（4）可得：， ∵为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （6）∵，结合折叠， ∴，， ∴， ∵平分，平分， 由（2）得：． ►题型04 平行线与三角形综合 / 1. 抓三线八角：同位角/内错角相等、同旁内角互补，转角度关系 2. 平行线+中点→中位线（中位线∥底边且=1/2底边），直接用边长/平行关系 3. 作平行线：缺平行就添，构等腰/全等三角形，转移边和角 4. 面积技巧：平行线间距离相等，同底等高的三角形面积相等 5. 倒角核心：三角形内角和180°/外角=不相邻两内角和，结合平行线转角 【典例】（2024·山东青岛·三模）把直角三角板和长方形纸片按如图方式摆放，使直角顶点在纸片边缘上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的公理及性质、三年级内角和，熟练掌握性质定理是解题的关键． 过点作，则，根据平行线的性质得出，再根据三角形内角和得出、，再根据角的和差得出，最后根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：过点作，则 ，，， ， 故选C． 【变式】1．（2023·山东临沂·一模）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 2．（2025·广东佛山·一模）如图，点A、B、C、D在上，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．连接，则，由平行线的性质以及等腰三角形得到，再由三角形内角和定理求出，再由角度和差计算即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 命题点二 三角形与线段面积相关的运算 ►题型01 求面积 / 1. 基础公式：S=底×高（优先找易算的底和对应高） 2. 两边及夹角：S=ab·sinC（两边a,b+夹角C，适合含角度题） 3. 特殊三角形：直角△S=½直角边乘积；等边△S=(/4)边长² 4. 等积转换：同底等高/等底等高面积相等（常结合平行线） 5. 分割法：不规则三角形拆成2个易算小三角形，面积相加 【典例】（2025·山东济南·一模）如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形中线平分三角形的面积，相似三角形的性质，解题的关键是证明，利用相似三角形的性质列方程． 由且为边的中线知，根据，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方列式求解可得． 【详解】解：∵，且为边的中线， ∴， ∵将沿边上的中线平移得到， ∴， ∴， 则，即， 解得或（舍）， 故答案为：2． 【变式】1．（2025·山东青岛·模拟预测）探索发现： （1）如图，在中，是边上的中线，若的面积为，则的面积为____________． 联系拓展： （2）在图中，、分别是的边、的中点，若的面积为，则四边形的面积为____________． （3）在图中，、分别是的边、上的点，且，，若的面积为，则四边形的面积为__________． 解决问题： （4）如图中，矩形中，（为常数，且）．是边上的一个动点，是边上的一个动点．若在两点运动的过程中，四边形的面积始终等于矩形面积的，则线段、的数量关系为_____________． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了三角形面积，矩形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）从阴影部分底边是三角形底边的一半而解得； （）同（）即可求解； （）由，则,故有，，由即可求解； （）由四边形的面积始终等于矩形面积的，四边形是矩形，则，，然后分别代入即可求解． 【详解】解：（）∵是边上的中线， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵，分别为边，的中点， ∴同理（）可得，，， ∴ ， 故答案为：； （）∵，， ∴ ∴，， ∴ ， 故答案为：； （）∵四边形的面积始终等于矩形面积的，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2024·山东青岛·一模）（1）如图1，是等腰直角三角形，，为的中点，，则________； （2）如图2，是直角三角形，，为的中点，，，则________； （3）如图3，在中，为的中点，，，则________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式； （1）过点作垂足分别为，根据三角形中点的性质可得，根据已知得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （2）过点作垂足分别为，同（1）的方法即可求解； （3）过点作垂足分别为，同（1）的方法即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，过点作垂足分别为， 依题意，是等腰直角三角形，，为的中点，则， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴； 故答案为：． （2）如图所示，过点作垂足分别为，， ∵为的中点， ∴ ∴ ∴ 同（1）可得∴ ∴， ∴； 故答案为：． （3）如图所示，过点作垂足分别为，， ∵为的中点， ∴ ∴ 同（1）可得 ∴ ∴， ∴， 故答案为：． ►题型02折叠问题 / 1. 折叠核心：折叠前后全等，对应边相等、对应角相等，先标等量 2. 抓直角/特殊角：折叠常出直角，结合三角形内角和/外角倒角 3. 勾股定理：设未知边为x，用折叠等量表示各边，直角△列方程求解 4. 等腰/等边判定：折叠后易出等角，快速定等腰，简化边长计算 5. 辅助线：连折叠对应点（折痕是中垂线），或作高构直角△ 【典例】（2025·山东青岛·二模）如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为 ． 【答案】/74度 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，根据三角形内角和可以求出的度数，由折叠性质得出，，再根据平行线性质得到，然后通过平角定义可得，最后由平行线的性质得出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式】1．（2023·山东菏泽·二模）如图，将沿对角线折叠，点落在点处，，，则的度数为 ．    【答案】/42度 【分析】根据平行四边形的性质，求出，的度数，再结合折叠的性质求出，从而利用三角形的内角和求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 由折叠的性质，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 2．（2023·山东青岛·二模）如图1为一张正三角形纸片，其中D点在上，E点在上．以为折线将点B往右折叠到点后，，分别与相交于点F、点G，如图2所示．若，，，，则的长度为 【答案】9 【分析】 本题考查等边三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，证明，从而求出的长度． 根据三角形是正三角形，可得，，即可求出，再求出，即可求出的长度． 【详解】三角形是正三角形， ， 为折线将点B往右折叠到点， ， ， ，即， ， ，，， ， ， 故答案为：9 突破一 三角形中的新定义问题 【典例】如图1，我们定义：在中，，的三角形成为“对等三角形”，在“对等三角形”的边上，有一动点，使“对等三角形”分为和四边形．将沿着直线翻折，记的对应点为． 已知为“对等三角形”． (1)如图2，当点与点重合时，求证： (2)当点在线段的延长线上时，连接，交于点F，直线经过的重心，求的值； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形的重心、梯形的判定和性质、中位线的性质和等腰三角形的性质，做出正确的辅助线是解决本题的关键． （1）根据题意可得，再结合等边对等角可得，，进而即可证明，可得，进而即可得到； （2）连接，根据中位线的性质可得，最后根据梯形的性质和判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵点关于的对称点与点重合， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． （2）解：连接，如图： ∵直线经过的重心， ∴点是的中点． ∵点是的中点， ∴． ∵不平行， ∴四边形是梯形． ∵， ∴． ∵， ∴． 【变式】1．我们定义：如图①，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”， 边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【阅读材料】 （1）如图②，在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E．使，连结，利用全等将边转化到，在△中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，则中线的取值范围是__________； 【问题探索】 （2）如图①，是的“旋补三角形”， 是的“旋补中线”，请仿照上面材料中的方法，探索图①中与的数量关系，并给予证明； 【拓展运用】 （3）如图③，当时，是的“旋补三角形”， ，垂足为点E，的反向延长线交于点D．若，，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）．理由见解析；（3） 【分析】（1）先证明可得，再结合三角形的三边关系可得答案； （2）延长至点E使，连接，证明，可得，，求出，再证，根据全等三角形的性质可得结论； （3）作于H，作交延长线于F，求出，证明，可得，同理证明，可得，求出，可证，根据全等三角形的性质可得，然后可得是的“旋补中线”，从而可得范围． 【详解】解：（1）∵是中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，而， ∴，，， 由三角形三边关系可得：，即， ∴， （2），理由如下： 如图1，延长至点E使，连接，    ∵是的“旋补中线”， ∴是的中线，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的“旋补中线”， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）如图，作于H，作交延长线于F，    ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的中线， ∵，， 结合（1）的结论可得：，即． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等，旋转的性质，三角形的中线的含义与取值范围的确定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 2．学习材料1：将一边的中点M与三角形的一个顶点连接得到中线，中线将三角形分成两个小三角形，若其中一个小三角形绕中点M旋转后的三角形与另一个小三角形拼成等腰三角形，则称是关于点M的“奇妙三角形”． 学习材料2：以下材料需根据提供的思路填写空白处． 如图①， 已知各角、、所对的边为a、b、c， 点D是的中点，连接， 求的长(用含a、b、c的代数式表示)． 分析：作于H， 设， 由题意得 ， 由 ，得 ，得 ，而 ，得 ． 这样我们得到了已知三角形三边求中线的公式． 通过以上材料的学习，完成下列学习任务： （1）等腰直角三角形是否“奇妙三角形”? (填：“是”或“否”)； （2）如图②，中，， ， N是的中点， 是关于点N的“奇妙三角形”．求的长． 【答案】学习材料2：；；；；（1）是；（2）或11 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，等腰直角三角形的性质，图形的旋转和性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定，等腰直角三角形的性质，图形的旋转和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 学习材料2：根据前后步骤之间的逻辑关系，结合图形填空即可； （1）画出图形，由旋转的性质得：点共线，，则是等腰三角形，等腰直角三角形是“奇妙三角形”； （2）由旋转的性质得：点共线，，，根据是关于点的“奇妙三角形”，得到或，据此分情况讨论，先根据求出，再由学习材料可得，代入计算即可． 【详解】解：学习材料2：以下材料需根据提供的思路填写空白处． 如图①， 已知各角、、所对的边为a、b、c， 点D是的中点，连接， 求的长(用含a、b、c的代数式表示)． 分析：作于H， ∵点是的中点， ∴， 设， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 在和中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：；；；； （1）解：等腰直角三角形是“奇妙三角形”，理由如下： 在中，，，点是的中点， 将绕点旋转得到，如图②所示： 由旋转的性质得：点共线，， ∴是等腰三角形， ∴等腰直角三角形是“奇妙三角形”； （2）∵中，， ， N是的中点， ∴将绕点旋转得到，如图所示： 由旋转的性质得：点共线，，， ∵是关于点的“奇妙三角形”， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴或， 当时，则， ∴， 由学习材料可得， ∴， 解得（负值舍去）； 当时，则， ∴， 由学习材料可得， ∴， 解得（负值舍去） 综上， 或11． 突破一 三角形中的阅读理解型探究题 【典例】阅读与思考 下面是某小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“平行四边形准中点四边形”的研究报告 研究对象：平行四边形的“准中点四边形”． 定义：如图1，分别是各边的中点，连接交于点，连接，交于点，则四边形称为的“准中点四边形”． 性质：四点共线． 结论：1．四边形为平行四边形；2．当满足什么条件时，其“准中点四边形”为菱形？ 任务一：（1）写出结论1的证明过程． 任务二：（2）直接写出结论2中满足的条件：______． 任务三：（3）如图2，已知矩形为某平行四边形的准中点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了四边形综合，平行四边形及菱形的判定和性质，三角形重心的性质，理解题意，熟练掌握三角形重心的性质是解题关键． （1）根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形均为平行四边形，进而得到，，即可得证； （2）根据菱形的性质结合图形即可得出结果； （3）连接，作直线，交于点O，然后作，，然后连接、、、即可得出点M和N分别为、的重心，据此作图即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 分别是的中点， ， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ， 同理， 四边形为平行四边形． （2）解：当平行四边形满足时，准中点四边形是菱形， 由（1）得四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴准中点四边形是菱形， 故答案为：； （3）解：连接，作直线，与交于点O，然后作，，然后连接、、、，如图所示，即为所求， 证明：矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形； 分别延长交四边于点E、F、G、H如图所示： ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 由作图得， ∴， ∴， ∴点F为的中点， 同理得：点E为的中点，点G为的中点，点H为的中点． 【变式】1．阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务 探究三角形的特殊点 通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多特殊点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获． 定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点． 性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上． 如图，已知是锐角三角形，是其外接圆，点是的垂心，分别连接并延长，交于点． 求证：点分别是点关于边的对称点． 证明：如图，连接． ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（依据）， ∴， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 任务： (1)上面日记中“依据”指的是 ； (2)下列说法正确的是 ； A．锐角三角形的垂心在三角形外    B．直角三角形的垂心在直角顶点处 C．钝角三角形的垂心在三角形内    D．等腰三角形的内心和外心重合 (3)请仿照小宇的思路证明点和点关于对称． 【答案】(1)同弧或等弧所对的圆周角相等 (2)B (3)证明过程见详解 【分析】本题主要考查三角形与圆的综合，掌握垂心，内心，外心的定义，同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键． （1）根据图示可得与所对的弧均是，由此即可求解； （2）根据垂心的定义，内心的定义，外心的定义进行判定即可求解； （3）根据材料提示方法证明即可． 【详解】（1）解：根据图示可得，与所对的弧均是， ∴依据是：同弧或等弧所对的圆周角相等； （2）解：根据图示可得， A、锐角三角形的垂心在三角形内部，故原选项错误，不符合题意； B、直角三角形的垂心在直角顶点处，正确，符合题意； C、钝角三角形的垂心在三角形外，故原选项错误，不符合题意； D、等腰三角形的内心是角平分线的交点，等腰三角形的外心是三边垂直平分线的交点，不一定重合，故原选项错误，不符合题意； 故选：B； （3）证明：如图所示，连接，设于交于点， ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（同弧或等弧所对圆周角相等）， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点与点是对应点， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 2．综合与实践 【主题】悬挂法确定匀质薄板的重心 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 【实践操作】 步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线相反方向竖直向下的重力的作用线； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点即为硬纸板的重心． 【实践探索】 (1)根据实践操作步骤，画出题图2中不规则形状硬纸板的重心； (2)我们在八年级学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，如图3，在中，、、分别是的三条中线，点是的重心； ①若的面积是6，则的面积是____________； ②通过测量，发现三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍，请用你所学的数学知识进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)①2；②见解析 【分析】本题考查了重心的概念、根据三角形中线求面积、三角形中位线定理、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）延长交于点，则重心即为所求； （2）①根据三角形中线的性质推出，，得到，即可求解； ②根据、、是的中线，可证明、、，通过等面积法可得，再次利用等面积法进行证明即可． 【详解】（1）解：如图所示，重心即为所求： （2）①解：∵、、分别是的三条中线， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； 故答案为：2； ②证明： ∵、、是的中线， ∴、，， 、、 同理可证 被三条中线分成六个面积相等的小三角形 令到的高为 ， ∴三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍． 1．（2025·山东威海·一模）如图1，在中，．点从点出发，以的速度沿运动，到达点时停止．之间的距离与时间之间的关系如图2所示，当平分时，的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查动点问题的函数图象，考查了等腰三角形判定与性质、相似三角形判定与性质，先由函数图象获取信息得到，进而等腰三角形的判定与性质求出相关角度，再由相似三角形的判定与性质列式求解即可得到答案，从函数图象中获取信息得到是解决问题的关键． 【详解】解：当平分时，如图所示： 由题意及函数图象可知，， 是等腰三角形， 在中，， ， 平分， ， ，即， 在中，由三角形内角和定理可知，， 是等腰三角形，则， ， ，， ，则， 即， 令，则， 解得或（边长为负值，舍去）， 当平分时，， 故选：D． 2．（2025·山东聊城·一模）如图，平行四边形中，对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则的面积为是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键． 由平行四边形的性质证明是等边三角形，可得，可得，由勾股定理可求的长，根据平行四边形的性质和三角形的中位线定理得，再根据三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】平分， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 在中， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 故选：B． 3．（2025·山东东营·二模）如图，，平分，以为圆心，3为半径作弧分别交、、于点、、，为上一动点，连接、．则阴影部分周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要弧长公式以及轴对称的性质来求解阴影部分周长的最小值．首先计算弧的长度，然后利用轴对称和等边三角形的性质找到的最小值，进而可求出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， 由作图可知：， ∴， 作D点关于的对称点，连接交于连接，如图∶ ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，此时的值最小， ∴阴影部分周长的最小值为 故答案为∶ ． 4．（2025·山东济南·二模）如图所示，向内部任意投掷一点P，连接，，若的面积为，的面积为，则的概率为 ． 【答案】/ 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线定理，几何概率．根据题意取边的中点，连接，证明，得出，再根据临界位置得出当点在四边形内部（包括边界）时，，即可求解． 【详解】解：取边的中点，连接， 则是的中位线， ∴， ∴， ∴，两个三角形高之比为， ∴， 当点在上时，，即， 故当点在四边形内部（包括边界）时，， 故的概率为． 故答案为：． 5．（2025·山东青岛·一模）如图，正方形和正方形的顶点，，在同一条直线上，，，下列结论：①；②；③；④的面积是．其中正确的是 ．（只填写序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，熟练掌握正方形边、角、对角线的性质是解题关键． 根据正方形对角线相等而且平分每一组对角，可得，由角的和差求出即可判定①，根据是等腰直角三角形求出，即可得出，故②正确；连接交于，过点作于，由勾股定理可求得，故③正确；过点作于，由的面积是．故④错误． 【详解】解：∵四边形、是正方形， ∴，， ∵，故①错误； ∵， ∴， ∴，故②正确； 连接交于，过点作于， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴，故③正确； 过点作于， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的面积是．故④错误； 综上所述：正确的结论是②③． 故答案为②③． 6．（2025·山东青岛·模拟预测）若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键． 先求出方程的解得到腰长，再根据底边为偶数和三角形三边关系得出底边长，然后根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴等腰三角形的腰长为2， 由它的底边长是偶数，且三角形的三边关系可得底边长为2， ∴这个等腰三角形的周长为． 故答案为：6． 7．（2025·山东青岛·模拟预测） 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小亮证明此性质的过程： 已知：如图，在中，D，E分别是边的中点，相交于点． 求证：． 证明：连接． 分别是边、的中点， ， ， ， ． 性质应用： (1)如图①，在中，点是的重心，连接并延长交于点，若，则___________； (2)如图②，在中，中线相交于点，若的面积为96，则的面积为_________． (3)如图③，在中，若的面积为，则的面积为_________． 【答案】(1)9 (2)16 (3) 【分析】本题主要考查了三角形重心性质的应用、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据重心与一边中点的连线的长是对应中线长的即可解答； （2）在中，点G是的重心，，然后求出的面积即可； （3）如图：连接，先证可得，可得可得，最后求出的面积即可． 【详解】（1）解：在中，点G是的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． （2）解：∵在中，中线相交于点G， ∴G为的重心． ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． （3）解：如图：连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2025·山东·一模）如图1，已知直线，且和之间的距离为，小明同学制作了两块直角三角形硬纸片和，其中，，，，．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： (1)如图1，点在上，边在上，边在直线上 ①将直角三角形沿射线的方向平移，当点在上时，如图2；求的度数 ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求度数； (2)将直角三角形如图3放置，若点在直线上，点在和之间（不含，上），边和与直线分别交于点，．在绕着点旋转的过程中，设，，则的取值范围为 ． 【答案】(1)；的度数为或 (2) 【分析】（1）根据直角三角形的性质，则，；根据平行线的性质，则，再根据三角形的外角求解； 根据以，，为顶点的三角形是直角三角形，则当，分类讨论求解； （2）先根据四边形的内角和为，则，求出，根据旋转的性质，当点在直线上时，点，，重合，；当点在直线上时，点，，重合，则；点在直线和之间，，综合即可解答． 【详解】（1）∵三角形和三角形是直角三角形，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵以，，为顶点的三角形是直角三角形， 当时， ∵， ∴点A与点E重合， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， 综上所述：的度数为或． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点在直线上时，点，，重合，； 当点在直线上时，点，，重合则； ∵点在直线和之间（不含，上），即， ∴， ∴， ∴的取值范围为：． 1．（2025·山东泰安·一模）如图，是的切线，连接并延长交于点，点，在上，且．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，切线的性质，三角形外角性质，圆周角定理等知识，连接，由切线性质可得，又，则，所以，则，根据是的直径，得，然后通过直角三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2025·山东济宁·一模）如图，已知． (1)在的内部求作一点D，使点D到A，B两点的距离相等，且到，两边的距离A也相等：（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹．） (2)在（1）作图中，连接，，延长交于点E．若，求的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查线段垂直平分线，角平分线的作法及性质，掌握尺规作图的方法，线段垂直平分线性质，角平分线性质是解题关键． （1）根据点到、两点距离相等，则点在的垂直平分线上；点到、两边距离相等，则点在的平分线上．所以通过尺规作的垂直平分线和的平分线，其交点即为点 ． （2）利用点在垂直平分线及平分线上的性质，先由等边对等角和角平分线定义得到角的关系，再结合外角性质推出，最后根据三角形内角和求出答案 ． 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：∵点D在的垂直平分线上， ． ． ∵平分， ． ， ． ． 3．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在等边中，点在边上，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)点关于直线的对称点为，连接，． 根据题意将图补全； 在点运动的过程中，和有什么数量关系并证明． 【答案】(1)见解析； (2)见解析；，理由见解析． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、 （1）因为是等边三角形，可得，根据三角形外角的性质可得，根据等边对等角可得，从而可证； （2）作出点关于直线的对称点，连接，即为所求； 由作图可知，点在上运动时，是等边三角形，根据等边三角形的性质可知． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， ，， ， ， ， ； （2）解：补全图形如下图所示： ， 理由如下： 点、关于直线对称， ，， 又由知， ， ， 即， ， 又， 是等边三角形， ． 4．（2025·山东青岛·二模）【模型】同高的两个三角形面积之比等于底边长度之比． 已知，如图1，中，为线段上任意一点，连接，则有：． 【模型应用】 (1)如图2，任意四边形中，E、F分别是边的中点，连接、，若四边形的面积为S，则________． (2)如图3，在任意四边形中，点E、F分别是边上离点A和点C最近的三等分点，连接，若四边形的面积为S，则________． (3)如图4，在任意四边形中，点E、F分别是边上离点B和点D最近的n等分点，连接，若四边形的面积为S，则________． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了四边形面积，三角形面积，三角形的中线性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由三角形的中线性质得，，即可解决问题； （2）连接，由模型得，，即可解决问题； （3）连接，由模型得，，，再由，，即可得出答案； 【详解】（1）解：∵分别是边的中点， ，， ，， ，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图3，连接， ∵点分别是边上离点和点最近的三等分点， ，， ，， ，， ， 故答案为：； （3）解：如图4，连接， ∵点分别是边上离点和点最近的等分点， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 5．（2025·山东潍坊·二模）【问题提出】如图1，一段楼梯共有15级台阶，在上楼梯时每一步可以跨一级也可以跨两级，那么走完这15级台阶有多少种不同的走法？ 【问题探究】解决上面的问题，我们可以先研究一些较为简单的情况，如下： 当楼梯有1级台阶时，要走完这1级台阶有1种走法，即； 当楼梯有2级台阶时，要走完这2级台阶有2种走法，即； 当楼梯有3级台阶时，要走完这3级台阶有3种走法，即； 当楼梯有4级台阶时，要走完这4级台阶有5种走法，即； …… （1）______，______． 【问题拓展】以上问题最终转化为数学中著名的“斐波那契数列”问题，请结合阅读材料回答后面问题． 阅读材料 意大利数学家莱昂纳多·斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题描述了以他名字命名的“斐波那契数列”．斐波那契数列：1，2，3，5，…，，…，这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥，又是美学和哲学的数学密码．这个数列具有以下特点：①从第三项开始的每一项都等于它前面相邻两项的和； ②随着的取值的增大，的比值越来越接近于一个定值． （2）猜想，，之间的关系，结合图2简要说明理由，并求出的值． （3）设，求的值． 【问题迁移】 （4）现有长为的铁丝，要截成小段（，为正整数），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为______． 【答案】（1），；（2），；（3）；（4） 【分析】本题考查了数字类规律探究，解一元二次方程，三角形的三边关系，找到规律是解题的关键； （1）根据前几项找到规律，即可求解； （2）根据（1）的结论，得出从第三项起，每一项等于前面两项之和，进而求得，，之间的关系，然后求得的值； （3）结合猜想设常数满足，则，得出，构造一元二次方程，解方程，即可求解； （4）根据（1）中的规律得出，结合三角形的三边关系，即可求解． 【详解】（1）解：由题中给出的前四项可知，这个“走法数”序列满足，， ， …且从第三项起，每一项等于前面两项之和 ∴， 故答案为：，． （2），， ， …且从第三项起，每一项等于前面两项之和 猜想， ∴，，，， ，，，， ； （3）设常数满足 ∴ ∴ 设是方程的两个根， ∴ （3）由（1）可得， 按““斐波那契数列”依次取 ，，，，，，，，， 这 段之和 ，再加一段 使总长 ， 共得到 段．则其中任意三小段都不能拼成三角形，， 故可得最大n=11． 故答案为：． 1．（2025·海南·中考真题）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，x，5， ∴， 即， 故选B． 2．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识．根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． ∴， ∴ 故选：C 3．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角．根据矩形的性质求得，利用斜边中线的性质求得，求得，利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，P为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则 度． 【答案】40 或60 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，理解题意，作出相应图形求解是解题关键． 根据题意分两种情况，当点D在射线上时，当点D在线段上时，作出图形，然后根据等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：当点D在射线上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在射线上，且在点B之外， ∴，即， ∴， ∴； 当点D在线段上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在线段上，且在点B之内， ∴， ∴； 故答案为：40 或60． 5．（2025·北京·中考真题）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为 °． 【答案】43 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（2025·四川·中考真题）如图，在中，，．分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接，则的大小为 °． 【答案】 【分析】本题考查了基本尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出，由作图过程可知垂直平分线段，得到，再根据等腰三角形的性质求出，由三角形外角的性质即可求得． 【详解】，， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ， 是的一个外角， ， 故答案为：． 7．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可. （1）由题意得，根据是的角平分线即可求解； （2）求出，得到；求出．．推出．即可求解； 【详解】（1）解：， ． 由作图可知，是的角平分线， ． （2）解：在中，由三角形内角和定理得， ， ， 在中，， ． ． ． ． ， ． 8．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． (1)如图1，，点与点重合，求证：； (2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）根据，得出，根据旋转可得，，进而证明四边形是平行四边形，得出，；即可得证； （2）在上取一点，使得，证明得出，，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，根据三线合一可得，进而根据，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合 ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）， 证明：如图，在上取一点，使得 ∵ ∴ ∴， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 9．（2025·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图①中，是面积最大的等腰三角形； (2)在图②中，是面积最大的直角三角形； (3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面积最大，且为等腰三角形，顶点均在格点上； （2）根据面积最大，且为直角三角形，顶点均在格点上； （3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解；如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 10．（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，． (1)若是等腰三角形，则_______； (2)已知，． ①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在中，，求的长． 【答案】(1) (2)①四边形是矩形，理由见解析；② 【分析】（1）由是等腰三角形，，，分别讨论：当时和当时，利用三角形的三边关系判断是否成立即可； （2）①利用，，得出四边形是平行四边形，再利用，即可判定四边形是矩形；②过点作于点，利用，得出是直角三角形，且，证明，得出，，利用勾股定理求出，得出，再利用勾股定理求出，得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等腰三角形，，， ∴当时，此时满足三角形三边关系，符合题意； 当时，，此时不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上，， 故答案为：； （2）解：①四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； ②过点作于点， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 第16讲 三角形的概念和性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 三角形与角相关的运算 题型01三角形内角和 题型02 三角形的外角 题型03 角平分线与三角形综合 题型04 平行线与三角形综合 命题点二 三角形与线段面积相关的运算 题型01 求面积 题型02 折叠问题 05·重难突破·思维进阶难 15 突破一 三角形中的新定义问题 突破二 三角形中的阅读理解型探究题 06·优题精选·练能提分 20 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 三角形的相关概念 / 山东德州T7 / 理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性. 三角形的重要线段 山东威海 T6 山东日照T19 山东滨州 T16 山东潍坊T16 理解三角形中线、高线、角平分线等概念，并能利用其进行简单的证明与计算。 三角形的性质 山东德州T5 山东淄博T5 山东青岛T8山东威海T5 山东卷T17 山东潍坊T5 山东济南T5 山东济宁T19 山东泰安T6 山东烟台T8 山东枣庄T14 山东烟台T24 山东青岛T6 山东淄博T4 山东日照T5 山东潍坊T10 探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 证明三角形的任意两边之和大于第三边。 命题预测 在初中几何数学中，三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础.所以，在中考中，与其它几何图形结合考察的几率比较大，特别是全等三角形的性质和判定的综合应用。考生在复习该考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和应用，还要注重转化思想在题目中的应用，同步联想，其他几何图形在什么情况下会转化成该考点的知识考察。 考点一 三角形的相关概念 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形. 三角形的表示：用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”. 三角形的分类： 1）三角形按边分类：三角形 2）三角形按角分类：三角形 三角形的稳定性: 三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了. 1．（2024·山东东营·模拟预测）一个三角形的三个内角的度数比是，其中最大的一个角是( )度，按角分，这是一个( )三角形，按边分，这是一个( )三角形． 2．（2024·山东淄博·二模）已知三角形三个内角的度数之比为，且，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 考点二 三角形的重要线段 重要线段 概念 图形 性质 三角形的高 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）． ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线 ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC 三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线． ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 ∵DE是∆ABC的中位线 ∴AD=DB AE=EC DE=BC DE∥BC 1．（2025·山东威海·中考真题）如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 3．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求的面积． 考点三 三角形的性质 三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边． 三角形三边关系定理及推论的应用： 1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理的应用： 1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数； 2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数； 3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数. 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东德州·中考真题）如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点；再将纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 命题点一 三角形与角相关的运算 ►题型01 三角形内角和 / 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理的应用： 1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数； 2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数； 3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数. 【典例】（2024·山东菏泽·一模）已知，小明想证明其内角和为，请在图中作出一种辅助线的作法（写出作法）． 【变式】1．（2024·山东潍坊·二模）三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种证明方法． 已知：如图， ． 求证：． 证明：作的延长线，在外部，以为一边，作． 所以，（内错角相等，两直线平行）． 所以，（ ）． 因为，，，组成一个平角， 所以，（平角的定义）， 所以，（ ）． (1)请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整； (2)该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法． 2．（2023·山东青岛·二模）如图，显示器的宽为22厘米，支架长14厘米，当支架与显示器的夹角，支架与桌面的夹角，测得长为2厘米，求显示器顶端到桌面的高度的长（，，） ►题型02 三角形的外角 / 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 【典例】（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东·中考真题）在中，，，的平分线交于点．如图1． (1)求的度数； (2)已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F．如图2，求的长． ►题型03 角平分线与三角形综合 / 1. 角平分线核心性质：角平分线上点到两边距离相等，优先作垂线 2. 遇角平分线+平行线→等腰三角形（内错角相等，得等角对等边） 3. 三角形角平分线定理：分对边的比=邻边比（AB/AC=BD/DC） 4. 辅助线常用3种：①向两边作垂线 ②截长补短造全等 ③作平行线构等腰 5. 多角平分线（内心）：内心到三边距离相等，可连内心到顶点分角 【典例】（2025·山东·模拟预测）如图，点A，B，C在上，与的平分线交于点P，点M为上不同于点B，C的一点，若，则 ． 【变式】1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知． (1)的度数为_______； (2)求的度数． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究一】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是_____． （2）问题提出：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 结合图1猜想：与的数量关系是______． 【问题探究二】 （3）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． （4）问题提出：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 结合图2猜想：与的数量关系是______． 【拓展与应用】 （5）如图3，四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，则_____．（用含，的式子表示） （6）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则_____． ►题型04 平行线与三角形综合 / 1. 抓三线八角：同位角/内错角相等、同旁内角互补，转角度关系 2. 平行线+中点→中位线（中位线∥底边且=1/2底边），直接用边长/平行关系 3. 作平行线：缺平行就添，构等腰/全等三角形，转移边和角 4. 面积技巧：平行线间距离相等，同底等高的三角形面积相等 5. 倒角核心：三角形内角和180°/外角=不相邻两内角和，结合平行线转角 【典例】（2024·山东青岛·三模）把直角三角板和长方形纸片按如图方式摆放，使直角顶点在纸片边缘上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2023·山东临沂·一模）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东佛山·一模）如图，点A、B、C、D在上，，，则（    ） A． B． C． D． 命题点二 三角形与线段面积相关的运算 ►题型01 求面积 / 1. 基础公式：S=底×高（优先找易算的底和对应高） 2. 两边及夹角：S=ab·sinC（两边a,b+夹角C，适合含角度题） 3. 特殊三角形：直角△S=½直角边乘积；等边△S=(/4)边长² 4. 等积转换：同底等高/等底等高面积相等（常结合平行线） 5. 分割法：不规则三角形拆成2个易算小三角形，面积相加 【典例】（2025·山东济南·一模）如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若，则 ． 【变式】1．（2025·山东青岛·模拟预测）探索发现： （1）如图，在中，是边上的中线，若的面积为，则的面积为____________． 联系拓展： （2）在图中，、分别是的边、的中点，若的面积为，则四边形的面积为____________． （3）在图中，、分别是的边、上的点，且，，若的面积为，则四边形的面积为__________． 解决问题： （4）如图中，矩形中，（为常数，且）．是边上的一个动点，是边上的一个动点．若在两点运动的过程中，四边形的面积始终等于矩形面积的，则线段、的数量关系为_____________． 2．（2024·山东青岛·一模）（1）如图1，是等腰直角三角形，，为的中点，，则________； （2）如图2，是直角三角形，，为的中点，，，则________； （3）如图3，在中，为的中点，，，则________． ►题型02折叠问题 / 1. 折叠核心：折叠前后全等，对应边相等、对应角相等，先标等量 2. 抓直角/特殊角：折叠常出直角，结合三角形内角和/外角倒角 3. 勾股定理：设未知边为x，用折叠等量表示各边，直角△列方程求解 4. 等腰/等边判定：折叠后易出等角，快速定等腰，简化边长计算 5. 辅助线：连折叠对应点（折痕是中垂线），或作高构直角△ 【典例】（2025·山东青岛·二模）如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为 ． 【变式】1．（2023·山东菏泽·二模）如图，将沿对角线折叠，点落在点处，，，则的度数为 ．    2．（2023·山东青岛·二模）如图1为一张正三角形纸片，其中D点在上，E点在上．以为折线将点B往右折叠到点后，，分别与相交于点F、点G，如图2所示．若，，，，则的长度为 突破一 三角形中的新定义问题 【典例】如图1，我们定义：在中，，的三角形成为“对等三角形”，在“对等三角形”的边上，有一动点，使“对等三角形”分为和四边形．将沿着直线翻折，记的对应点为． 已知为“对等三角形”． (1)如图2，当点与点重合时，求证： (2)当点在线段的延长线上时，连接，交于点F，直线经过的重心，求的值； 【变式】1．我们定义：如图①，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”， 边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【阅读材料】 （1）如图②，在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E．使，连结，利用全等将边转化到，在△中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，则中线的取值范围是__________； 【问题探索】 （2）如图①，是的“旋补三角形”， 是的“旋补中线”，请仿照上面材料中的方法，探索图①中与的数量关系，并给予证明； 【拓展运用】 （3）如图③，当时，是的“旋补三角形”， ，垂足为点E，的反向延长线交于点D．若，，直接写出的取值范围． 2．学习材料1：将一边的中点M与三角形的一个顶点连接得到中线，中线将三角形分成两个小三角形，若其中一个小三角形绕中点M旋转后的三角形与另一个小三角形拼成等腰三角形，则称是关于点M的“奇妙三角形”． 学习材料2：以下材料需根据提供的思路填写空白处． 如图①， 已知各角、、所对的边为a、b、c， 点D是的中点，连接， 求的长(用含a、b、c的代数式表示)． 分析：作于H， 设， 由题意得 ， 由 ，得 ，得 ，而 ，得 ． 这样我们得到了已知三角形三边求中线的公式． 通过以上材料的学习，完成下列学习任务： （1）等腰直角三角形是否“奇妙三角形”? (填：“是”或“否”)； （2）如图②，中，， ， N是的中点， 是关于点N的“奇妙三角形”．求的长． 突破一 三角形中的阅读理解型探究题 【典例】阅读与思考 下面是某小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“平行四边形准中点四边形”的研究报告 研究对象：平行四边形的“准中点四边形”． 定义：如图1，分别是各边的中点，连接交于点，连接，交于点，则四边形称为的“准中点四边形”． 性质：四点共线． 结论：1．四边形为平行四边形；2．当满足什么条件时，其“准中点四边形”为菱形？ 任务一：（1）写出结论1的证明过程． 任务二：（2）直接写出结论2中满足的条件：______． 任务三：（3）如图2，已知矩形为某平行四边形的准中点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式】1．阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务 探究三角形的特殊点 通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多特殊点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获． 定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点． 性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上． 如图，已知是锐角三角形，是其外接圆，点是的垂心，分别连接并延长，交于点． 求证：点分别是点关于边的对称点． 证明：如图，连接． ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（依据）， ∴， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 任务： (1)上面日记中“依据”指的是 ； (2)下列说法正确的是 ； A．锐角三角形的垂心在三角形外    B．直角三角形的垂心在直角顶点处 C．钝角三角形的垂心在三角形内    D．等腰三角形的内心和外心重合 (3)请仿照小宇的思路证明点和点关于对称． 2．综合与实践 【主题】悬挂法确定匀质薄板的重心 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 【实践操作】 步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线相反方向竖直向下的重力的作用线； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点即为硬纸板的重心． 【实践探索】 (1)根据实践操作步骤，画出题图2中不规则形状硬纸板的重心； (2)我们在八年级学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，如图3，在中，、、分别是的三条中线，点是的重心； ①若的面积是6，则的面积是____________； ②通过测量，发现三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍，请用你所学的数学知识进行证明． 1．（2025·山东威海·一模）如图1，在中，．点从点出发，以的速度沿运动，到达点时停止．之间的距离与时间之间的关系如图2所示，当平分时，的值为（   ） A．2 B． C． D． 2．（2025·山东聊城·一模）如图，平行四边形中，对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则的面积为是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东东营·二模）如图，，平分，以为圆心，3为半径作弧分别交、、于点、、，为上一动点，连接、．则阴影部分周长的最小值为 ． 4．（2025·山东济南·二模）如图所示，向内部任意投掷一点P，连接，，若的面积为，的面积为，则的概率为 ． 5．（2025·山东青岛·一模）如图，正方形和正方形的顶点，，在同一条直线上，，，下列结论：①；②；③；④的面积是．其中正确的是 ．（只填写序号） 6．（2025·山东青岛·模拟预测）若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为 ． 7．（2025·山东青岛·模拟预测） 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小亮证明此性质的过程： 已知：如图，在中，D，E分别是边的中点，相交于点． 求证：． 证明：连接． 分别是边、的中点， ， ， ， ． 性质应用： (1)如图①，在中，点是的重心，连接并延长交于点，若，则___________； (2)如图②，在中，中线相交于点，若的面积为96，则的面积为_________． (3)如图③，在中，若的面积为，则的面积为_________． 8．（2025·山东·一模）如图1，已知直线，且和之间的距离为，小明同学制作了两块直角三角形硬纸片和，其中，，，，．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： (1)如图1，点在上，边在上，边在直线上 ①将直角三角形沿射线的方向平移，当点在上时，如图2；求的度数 ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求度数； (2)将直角三角形如图3放置，若点在直线上，点在和之间（不含，上），边和与直线分别交于点，．在绕着点旋转的过程中，设，，则的取值范围为 ． 1．（2025·山东泰安·一模）如图，是的切线，连接并延长交于点，点，在上，且．若，则的度数是 ． 2．（2025·山东济宁·一模）如图，已知． (1)在的内部求作一点D，使点D到A，B两点的距离相等，且到，两边的距离A也相等：（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹．） (2)在（1）作图中，连接，，延长交于点E．若，求的度数． 3．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在等边中，点在边上，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)点关于直线的对称点为，连接，． 根据题意将图补全； 在点运动的过程中，和有什么数量关系并证明． 4．（2025·山东青岛·二模）【模型】同高的两个三角形面积之比等于底边长度之比． 已知，如图1，中，为线段上任意一点，连接，则有：． 【模型应用】 (1)如图2，任意四边形中，E、F分别是边的中点，连接、，若四边形的面积为S，则________． (2)如图3，在任意四边形中，点E、F分别是边上离点A和点C最近的三等分点，连接，若四边形的面积为S，则________． (3)如图4，在任意四边形中，点E、F分别是边上离点B和点D最近的n等分点，连接，若四边形的面积为S，则________． 5．（2025·山东潍坊·二模）【问题提出】如图1，一段楼梯共有15级台阶，在上楼梯时每一步可以跨一级也可以跨两级，那么走完这15级台阶有多少种不同的走法？ 【问题探究】解决上面的问题，我们可以先研究一些较为简单的情况，如下： 当楼梯有1级台阶时，要走完这1级台阶有1种走法，即； 当楼梯有2级台阶时，要走完这2级台阶有2种走法，即； 当楼梯有3级台阶时，要走完这3级台阶有3种走法，即； 当楼梯有4级台阶时，要走完这4级台阶有5种走法，即； …… （1）______，______． 【问题拓展】以上问题最终转化为数学中著名的“斐波那契数列”问题，请结合阅读材料回答后面问题． 阅读材料 意大利数学家莱昂纳多·斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题描述了以他名字命名的“斐波那契数列”．斐波那契数列：1，2，3，5，…，，…，这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥，又是美学和哲学的数学密码．这个数列具有以下特点：①从第三项开始的每一项都等于它前面相邻两项的和； ②随着的取值的增大，的比值越来越接近于一个定值． （2）猜想，，之间的关系，结合图2简要说明理由，并求出的值． （3）设，求的值． 【问题迁移】 （4）现有长为的铁丝，要截成小段（，为正整数），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为______． 1．（2025·海南·中考真题）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 2．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则 度． 5．（2025·北京·中考真题）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为 °． 6．（2025·四川·中考真题）如图，在中，，．分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接，则的大小为 °． 7．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)若，求的长． 8．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． (1)如图1，，点与点重合，求证：； (2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 9．（2025·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图①中，是面积最大的等腰三角形； (2)在图②中，是面积最大的直角三角形； (3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 10．（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，． (1)若是等腰三角形，则_______； (2)已知，． ①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在中，，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $