专题07：突破角平分线、角的和差计算（5大考点+8大重点常考题型）2025-2026学年苏科版七年级上学期数学期末复习最常考16大重点专题突破系列

2025-2026苏科版七上期末专题复习——16大重点专题突破系列 专题07：突破角平分线、角的和差计算 目录 【课标要求】 1 【突破一：考点知识突破】 1 【突破二：重点题型突破】 3 题型一：多种方法表示同一个角的问题 3 题型二：角的度量与计算 6 题型三：钟面角的计算问题 8 题型四：角平分线问题与计算 11 题型五：角的和差计算 20 题型六：余角与补角的计算与推理 25 题型七：与三角板有关的角度计算问题 31 题型八：运动中的角度问题 42 【突破三：基础运用突破】 53 【突破四：能力提升突破】 60 【课标要求】 1．理解角平分线的概念、角的和差的概念，会进行角的和差计算；【选择、填空题、解答】 2．会用分类讨论的数学思想解决关于角平分线、角的和差的多解问题；【选择题、填空题、解答题】 【突破一：考点知识突破】 考点1：角的概念、角的表示方法 1. 角的定义 （1）第一定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边； （2）第二定义：角是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 2.角的四种表示方法： 方法1：用角的符号“∠”+三个大写英文字母表示，其中表示角的顶点的字母必须写在中间； 方法2：用角的符号“∠”+表示角的顶点的大写字母表示； 方法3：用角的符号“∠”+一个数字表示，这种方法必须在图中事先标注才能使用； 方法4：用角的符号“∠”+一个小写希腊字母。 四种表示角的方法图形如下： 图1中的角可以写成∠AOB,或者∠O,或者∠1 图2中的∠COD,只能写成∠COD，不能写成∠O，∠COE,可以写成∠2，∠DOE可以写成∠α 考点2：角的度量与计算、大小比较 1.角的度量：度量单位： 1°=60′，1′=60″. 2.角的分类 锐角 直角 钝角 0＜∠A＜90° ∠A=90° 90°<∠A<180° 考点3：角平分线与角的和差运算 1.角的平分线： 文字语言：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。图形语言：见右图 符号语言： 因为OC是∠AOB的平分线， 所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 2.角的和与差： ∠AOB=∠AOC+∠COB ∠AOC=∠AOB-∠COB ∠COB=∠AOB-∠AOC 考点4：余角、补角 1．角的互余与互补： （1）互余、余角 定义：若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. 性质: 同角(或等角)的余角相等； （2）互补、补角 定义：若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. 性质：同角(或等角)的补角相等. 易错提醒： 1 余角(或补角)是两个角的关系，不能说三个角互余或互补. 2 一个角的余角(或补角)个数可以是多个，不受位置的限制，但是它们的度数是相同的. 考点5：关于角的作图 1.画指定度数的角：借助量角器能画出给定度数的角； 2.画一些特殊度数的角：借助一副三角板能画出15°的整倍数的，且在0～180°之间的所有角。 3.用尺规作图法：可以画出一个角等于已知角； 【突破二：重点题型突破】 题型一：多种方法表示同一个角的问题 【例题1】．下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的表示方法，根据角的表示方法并结合图形，逐项分析即可得解，熟练掌握角的表示方法是解此题的关键． 【详解】解：A、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； B、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； C、与表示不同的角，故不符合题意 D、，，三种方法表示的都是同一个角，故符合题意； 故选：D． 【变式1】．如图，下列说法中不正确的是（    ） A．与是同一个角 B．也可用来表示 C．图中共有三个角，， D．与是同一个角 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的概念，准确计算是解题的关键．直接利用角的概念以及角的表示方法，进而分别分析得出即可； 【详解】解：A、 与是同一个角，故该选项正确，不符合题意； B、 不可用来表示，故该选项不正确，符合题意； C、 图中共有三个角，，，故该选项正确，不符合题意；     D、 与是同一个角，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】．下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的表示方法，熟练掌握“当以某点为顶点的角只有一个时，可用该顶点字母表示这个角”是解题的关键．判断每个选项中以为顶点的角的个数，若只有一个角，则可用表示，同时结合、是否表示同一个角． 【详解】解：选项，以为顶点的角只有一个，且、、都表示这个角，故项正确； 选项，∵以为顶点的角不止一个， ∴不能用表示该角，故项错误； 选项，∵以为顶点的角有多个， ∴不能用表示该角，故项错误； 选项， ∵以为顶点的角有多个， ∴不能用表示该角，故项错误； 故选：A． 【变式3】．如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 【答案】A 【分析】本题考查的是角的表示方法．根据角的表示方法逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：甲：能用，，是同一个角，故符合题意； 乙：，是同一个角，不能用表示一个角，故不符合题意； 故选：A． 【变式4】．如图，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的表示方法，根据角的表示方法，结合图形判断即可． 【详解】解：A、选项中的图中、、表示的是同一个角，符合题意； B、选项中、表示的是同一个角，顶点B处不止一个角，该处的任意一个角都不能用表示，不符合题意； C、选项中、表示的是同一个角，顶点B处不止一个角，该处的任意一个角都不能用表示，不符合题意； D、选项中、表示的是同一个角，顶点B处不止一个角，该处的任意一个角都不能用表示，不符合题意； 故选：A． 题型二：角的度量与计算 【例题2】．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角度单位的换算和运算，涉及度与分的转换，根据角度的运算法则逐项求解判断即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B正确； C．，故C错误； D．，故D错误． 故选：B． 【变式1】．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的单位与角度制，角度的四则运算，解题关键是掌握度分秒的换算． 根据度分秒的换算和运算，对四个选项中的式子逐一判断即可． 【详解】解：， 故A错误． ∵， ∴， 故B正确． ， 故C错误． ∵， ∴， 故D错误． 故选：B． 【变式2】．已知，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了互余的定义，角度的加减计算，正确计算是解题的关键．利用进行借位计算． 【详解】解：，， . 故选：B． 【变式3】．下列计算中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角度单位的换算和计算，涉及度、分、秒之间的转换规则（，），通过直接计算每个选项，判断其正确性即可． 【详解】解：对于选项A：，正确； 对于选项B：，错误； 对于选项C：，正确； 对于选项D：，正确； 故选：B． 【变式4】．下列式子中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角的度分秒的转换和计算，熟练掌握，是解题的关键． 根据角的度分秒的转换，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项式子正确，不符合题意； B、，故此选项式子正确，不符合题意； C、，故此选项式子正确，不符合题意； D、，故此选项式子错误，符合题意； 故选：D． 题型三：钟面角的计算问题 【例题3】．现代人常常受到颈椎不适的困扰，其症状包括：酸胀，隐痛，发紧，僵硬等，而将两臂向上抬，举到10点10分处，每天连续走200米，能有效缓解症状，则10点10分时，时针与分针的夹角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了钟面角，解答此题要注意时针，分针都在移动，只是速度不一样． 由题意知，时针每小时走，10分钟走；分针每小时走，1分钟走；当10点整时，时针，分针的夹角是，当10点10分时，时针和分针的夹角，可用分针和时针的速度差加上即可求得． 【详解】解：当时间为10点整时，时针、分针的夹角是， 当10点10分时，时针走了，分针正好走了， 此时时针和分针的夹角是：， 故选：D． 【变式1】．下午14点20分，时针与分针的夹角（小于平角）的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了钟面角，下午14点20分时，分针指向数字4，那么求出数字2和数字4的夹角（锐角），再减去时针20分钟所转过的角度即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 【变式2】．钟表上显示的时间是下午2时30分，时针与分针的夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查钟面角，解题的关键是明确钟面上每个大格之间的角是，时针和分针是同时转动的，每小时分针转12个大格时，时针转动1个大格． 通过计算时针和分针在2时30分时的角度位置，求其差值得到夹角． 【详解】解：∵钟面共，60分钟，分针每分钟转，时针每分钟转， 在2时30分时， 分针指向30分钟， ∴分针角度为. 时针在2点整时为， 又因30分钟移动， ∴时针角度为， ∴两针夹角为， 故选：A． 【变式3】．当时钟指针指向3点40分时，分针与时针的夹角是（    ）度． A．120 B．130 C．140 D．150 【答案】B 【分析】本题主要考查了钟面角、绝对值、角的和差等知识点，确定时针和分针在3点40分时的角度位置是解题的关键． 先确定时针和分针在3点40分时的角度位置，求其差值的绝对值，并取小于180度的角即可解答． 【详解】解：∵ 时针每分钟移动度，分针每分钟移动6度， ∴ 在3点40分时，时针角度度，分针角度度． ∴ 两针夹角度． 故选B． 【变式4】．时钟在12点25分时，分针与时针之间的夹角度数为（   ） A．120度 B．137.5度 C．150度 D．137度 【答案】B 【分析】本题考查钟面角，根据钟面上一个大格是30度，分针一分钟走6度，时针一分钟走0.5度，进行求解即可． 【详解】解：从12点开始到12点25分时，时针和分针均走了25分钟， 故分针与时针之间的夹角度数为； 故选B． 题型四：角平分线问题与计算 【例题4】．已知，为平面内一条射线（不与，重合），平分，记，． (1)如图1，，则_____； (2)若，求的值； (3)若，直接写出此时的值和的度数． 【答案】(1) (2)或 (3)的值为，的度数为 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想、数形结合的思想解决问题是解题的关键． （1）根据垂直的定义得，得到，根据角平分线的定义得，进一步得，再根据可得答案； （2）根据题意得，然后分两种情况：当在的内部时；当在的外部时，分别画出图形求解即可； （3）根据题意得，设，然后分五种情况：①当在的内部时；②当在的外部且在直线上方时；③当在的对顶角区域时；④当在的外部且在直线下方时，且在的外部；⑤当在的外部且在直线下方时，且在的内部，分别画出图形求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，，，， ∴， 当在的内部时，如图， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 此时的值为； 当在的外部时，如图， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 此时的值为； 综上所述，的值为或； （3）解：∵，，， ∴， 设， ①当在的内部时，如图， ∵平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 该方程无解； ②当在的外部且在直线上方时，如图， ∵平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 该方程无解； ③当在的对顶角区域时，如图， ∵平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时，不符合题意； ④当在的外部且在直线下方时，且在的外部，如图， ∵平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 该方程无解； ⑤当在的外部且在直线下方时，且在的内部，如图， ∵平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 综上所述，的值为，的度数为． 【变式1】．如图，已知平分． (1)求的度数； (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线定义，几何图形中角的计算，数形结合，是解题的关键． （1）根据角平分线定义，进行求解即可； （2）根据，，得出，根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】．如图1，点O是直线上一点，，．平分． (1)求的度数． (2)过点O作射线，若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查角平分线的概念与计算，余角的定义，熟练掌握角平分线的性质和余角和补角的定义是解题的关键， （1）根据补角的定义可得，再由角平分线的性质可得，从而得到； （2）由（1）得，，根据余角的定义得到，分两种情况讨论：①当射线在射线的上方时，②当射线在射线的下方时，分别计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：由（1）得，， ∵与互余， ∴， ①当射线在射线的上方时，如图所示： ∴； ②当射线在射线的下方时，如图所示： ∴； 综上所述，的度数为或． 【变式3】．已知点在直线上，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的运算： （1）根据，，即可求得答案； （2）设，可求得，，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，． 平分， ∴． ∴． （2）解：设． 平分， ∴，． ∴，． ∴． 【变式4】．如图，为直线上一点，平分，； (1)若求和的度数； (2)猜想：是否平分？请写出你猜想的结论并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，以及角度的计算，正确理解角平分线的定义是解答本题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，再根据求解即可； （2）设，根据角平分线的性质得到，再根据，得到，再由，即可得证； 【详解】（1）解：平分，， ， ， ， ， ； （2）解：猜想平分． 理由如下：设， 平分，， ， ， ． 又， ，即平分． 题型五：角的和差计算 【例题5】．如图，已知，平分，且，求的度数． 解：因为，， 所以________ 所以________________． 因为平分， 所以________________． 所以________． 【答案】，，，，， 【分析】本题考查了角平分线的定义和角的有关计算，根据角平分线的定义和角的有关计算即可求解． 【详解】解：因为，， 所以 所以． 因为平分， 所以． 所以． 故答案为：，，，，，． 【变式1】．如图，已知与互余，与互补，射线平分．若，求的度数． 【答案】的度数为． 【分析】本题考查了余角、补角的相关计算，角平分线定义，根据余角、补角的定义求出与，再结合角平分线定义求解即可，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵与互余，与互补， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴的度数为． 【变式2】．点是直线上的一点，，是的平分线． (1)【问题探究】 如图1，当在直线上方时，若，求的度数； (2)【方法迁移】 当绕点旋转到如图2位置时，若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差． （1）利用角平分线求出，再结合角平分线求出即可； （2）用含α的式子表示，再结合角平分线求出即可． 【详解】（1）解：是的平分线， ， ，， ， ； （2）解：，， ， ， 是的平分线， . 【变式3】．如图1，是直线上一点，是的平分线，射线在内部，设． (1)若，求的度数； (2)如图2，平分，且，求的度数（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)的度数为或或 【分析】本题考查了角平分线的定义，平角的定义，角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据角平分线的定义和平角的定义求出，再根据计算即可； （2）分情况讨论：当在，之间时，当在，之外时，当在，之间时，当在，之间时，分别计算即可． 【详解】（1）解：是直线上一点，是的平分线， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 平分， ， 设，则， 当在，之间时， ， ， ， 平分， ， ， ， ； 当在，之外时， ，， 平分，， ， ， ； 当在，之间时， ， ， ， 平分， ， ， ， ； 当在，之间时， ， ， 又， 平分， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或或． 【变式4】．如图，是内部任意的一条射线，、分别是和的平分线，，，求和的度数． 【答案】； 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图中角度的计算，由角平分线的定义可得，，，，再结合几何图形计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：平分，平分， ，，，， ，． 题型六：余角与补角的计算与推理 【例题6】．如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)试说明：和互为余角． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义． （1）根据互补两角的和为进行判断即可； （2）根据角平分线的定义得到，由同角的补角相等得到，即，可知和互为余角． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴是的补角， ∵，， ∴是的补角， ∵， ∴是的补角， ∴的补角有； （2）证明：因为，分别是，的平分线， 所以， 因为，， 所以， 所以， 即和互为余角． 【变式1】．如图，已知点是直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查余角、平角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键． （1）由已知角度结合平角的定义可求解的度数，再利用角平分线的定义可求解； （2）根据余角的定义求出，再利用角平分线的定义结合角的和差可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵与互余， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式2】．如图，已知点O为直线上一点，， ，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查余角、平角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键． （1）由已知角度结合平角的定义可求解，的度数，再利用角平分线的定义可求解； （2）分两种情况：当点在上方时，当点在下方时，根据余角的定义，平角的定义可求解的度数，再利用角平分线的定义结合角的和差可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：当点在上方时， ∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分，由（1）知， ∴， ∴． 当点在下方时， ∵与互余， ∴， ∵平分，由（1）知， ∴，则， ∴． 即：的度数为或． 【变式3】．如图，直线与相交于点，平分． (1)当时，求的度数； (2)小红遇到这样一道题目：“若，试说明平分．”请你将它补充完整： ∵平分， ∴______（角平分线的定义）， ∵， ∴______（垂直的定义）， ∴______，____________， ∴（_______）， ∴平分（角平分线的定义）． 【答案】(1)； (2)同角的余角相等（或等量代换）． 【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义及判定，互余、互补的概念及计算，理解图示，掌握角度的和差即，互余、互补的计算是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，对顶角相等即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，由垂直的定义，平角为，得到，，再根据同角的余角相等得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴（角平分线的定义）， ∵， ∴（垂直的定义）， ∴，， ∴（同角的余角相等（或等量代换））， ∴平分（角平分线的定义）． 【变式4】．如图，与互为补角，，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差关系，补角的定义，角平分线的定义等： （1）根据，以及与的倍数关系，即可求解； （2）根据与互为补角可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为， 所以． （2）解：因为与互为补角， 所以． 所以． 因为平分， 所以． 所以． 题型七：与三角板有关的角度计算问题 【例题7】．如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则   ． (3)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，角平分线的有关计算，熟练掌握角平分线的有关计算并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）利用邻补角互补可求出，由平分可得，再根据即可得出答案； （2）由角的和差关系可得，，进而可得，于是可得答案； （3）分三种情况讨论：当平分时；当平分时；当平分时；分别求出旋转的角度，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 恰好平分， ， ； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分三种情况讨论： 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 综上，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是或或， 故答案为：或或． 【变式1】．【新概念】若为内一条射线，且满足时，我们把射线叫做射线、的等个性线，记作（其中为正整数，为两角的公共边）． 如图1，为内一条射线，，则称是． 【实际应用】已知：为直线上一点，过点作射线． (1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点放在处，另两条边分别为，，当是时， ；（填“是”或“不是”） (2)如图3，将三角板的顶点放在处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由； (3)将图3中的射线绕点逆时针旋转，如图4，此时是否存在正整数使是的同时，也是．若存在，求出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)是 (2)不是，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了新定义，角的和差运算，互余、互补关系，解答本题的关键是理解新定义的含义． （1）利用互补关系与互余关系即可判断； （2）由题意得，设，用含的式子将和表示出来，即可得猜想结果； （3）由题意得，，则可得，由此得，即，根据是正整数可得的度数，从而求得的值． 【详解】（1）解：是， ． ∴， ，， ，即． ． ． 即是． 故答案为：是． （2）不是，理由如下： 是， ． ． 设，则，， ． ， ． 若是， 则， 即，解得， 此时不满足题意， 不是． 与是重合的， 不是． （3）是，是， ，． ， ． ， ． ． ，且为正整数， ． ． 【变式2】．数学活动： (1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C重合在一起，． ①若，则 ； ②猜想：与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，将两块相同的直角三角尺的含角的顶点A重合在一起，，直接写出与之间的数量关系为 ； (3)如图3，将两个相同的直角三角形卡纸的相等的锐角顶点A重合在一起，，直接写出与之间的数量关系为 ． 【答案】(1)①155；②，见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了角的和差关系，熟练运用角之间的关系是解题的关键． （1）①由题意，得到的度数，结合，得到结果； ②由题意，结合图形，得到，即可得到结果； （2）由题意，得到，从而得到结果； （3）仿照第（2）题的解析过程，可得，即可得到结果． 【详解】（1）解：①，， ， ， 故答案为：； ②，理由如下： ， ； （2）解：， ， 故答案为：； （3）解：∵， ， 故答案为：． 【变式3】．将一副直角三角板，，按如图叠加放置，其中与重合，，． (1)如图1，点在直线上，且位于点的左侧，求的度数； (2)将三角板从图位置开始绕点顺时针旋转，并记，分别为，的角平分线． ①当三角板旋转至如图的位置时，求的度数． ②若三角板的旋转速度为每秒，且转动到时停止，运动时间记为（单位：秒），试根据不同的的值，求的大小． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了角度的计算，利用角平分线定义和角的和差； （1）先根据三角板的度数得到的度数，再用即可； （2）①由角平分线的定义可得，，再根据，整理可得的度数； ②当，，，，时，分情况讨论． 【详解】（1）解：，， ， ． （2）解：①，分别为，的角平分线， ，， ； ②设，依题意，三角形的运动总时间为秒， 当时，在内部， ，， ； 当时，在外部， 当时，，如图， 此时，， ∴； 当时， ∴ ； 当时， 若、在直线同侧， 则，， ，， ； 若、在直线异侧， 则，， ，， ； 综上所述，不论为何值时，的大小为或． 【变式4】．综合与探究 问题情境 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中,；三角尺中，，分别作的平分线，．试求出的度数． 初步探究 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． (1)计算：图2中的度数为___________，图3中的度数为___________（直接写出答案）． 深入探究 (2)通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________．如果设，请求出图1中的度数． 类比拓展 (3)再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据图2可知，，进而得出的值；根据图3可知，再根据特殊直角三角形的角度关系即可求得的度数． (2)根据图1设，利用角平分线的定义以及角的和差倍的关系即可得出的度数； (3)根据根据图4设，利用角平分线的定义以及角的和差倍的关系即可得出的度数． 【详解】（1）解：∵在图2中，，，仍然是的平分线， ∴，， ∴， ∵在图3中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2） 解：，理由如下： ∵在图1中， ∴， ∵平分， ∴， ∵，    ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （3）解：设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型八：运动中的角度问题 【例题8】．综合与实践 【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化，    【操作发现】如图①，且两个角重合． （1）将绕着顶点O顺时针旋转如图②，此时OB平分 ；的余角有 个，分别是： ． 【实践探究】 （2）将绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若，射线OE在内部，且请探究： ①的补角是哪几个角？ ． ②求的度数． 【答案】（1），2，和；（2）①，，；② 【分析】本题考查了旋转的性质、角平分线的定义、角度的运算、余角和补角的定义： （1）根据旋转的性质得，进而可得角平分线的答案，根据，，进而可求解； （2）①根据旋转的性质及角度之间的计算找出与相加等于的角即可；②利用角度之间的计算即可求解； 熟练掌握角度之间的计算，理解平角、余角和补角的定义是解题的关键． 【详解】解：（1）由旋转的性质得：， ， ， ， 平分， ，， 的余角有2个（本身除外），分别是和， 故答案为：；2；和； （2）①，， ， ， 的补角是， ， ， 的补角是， ， 的补角是， 综上所述，的补角分别是、、， 故答案为：、、． ②∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式1】．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则____； (2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】本题主要考查角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． (1)根据内余角可求出的度数，再根据即可求解； (2)根据旋转的性质分别用含的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； (3)根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时；当在内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，求解即可． 【详解】（1）解：∵是的内余角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：已知，绕点顺时针方向旋转一个角度得到，绕点顺时针方向旋转一个角度得到， ∴，， ∴，， ∵是的内余角， ∴， ∴， 解得，． ∴的值为； （3）解：根据题意可得，，三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒， ①当在内部时，如图所示， ∴，， ∴，， 若是的内余角时，得， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； ②当在射线下方时，如图所示， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得，（秒）； ③当在上方时，如图所示， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得，（秒）； ④当在内部时，如图所示， ∴，，， ∴， 若是的内余角， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； 综上所述，当射线，，，构成内余角时，的值为秒或秒． 【变式2】．已知O为直线上的一点，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向． ①若，则射线的方向是_________； ②与的关系为_________； ③与的关系为_________． (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)①北偏东；②相等；③互补 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了方向角的定义，以及角平分线的定义，余角与补角的性质，对定义的熟练掌握是解题关键． （1）①根据方向角的定义即可求解； ②根据同角的余角相等即可得出结论； ③先根据同角的余角相等得出，再根据两角互补的定义即可得出结果； （2）①根据同角的余角可知，又根据角平分线的定义可得，两式相减即可得出结果； （3）根据角的和差，以及角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴射线的方向是北偏东； ②∵由题意知，， ∴； ③由题意知，， ∴， 又， ∴． 即与的关系为互补． 故答案为：①北偏东；②相等；③互补； （2）由题意知，， ∴． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴． （3），理由如下： ∵为的平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【变式3】．已知∠AOB=90°，射线OC在∠AOB内部，作∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE． (1)如图①，当∠BOC=70°时，则∠DOE=________； (2)如图②，若射线OC在∠AOB内部绕O点旋转，当∠BOC=α时，求∠DOE的度数． (3)如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转且∠AOC为钝角，∠AOC的平分线是OD，∠BOC的平分线是OE，判断∠DOE的大小是否发生变化？如果不变，求∠DOE的度数；如果变化，说明理由． 【答案】(1)45° (2)∠DOE=45°； (3)∠DOE的大小不变，等于45° 【分析】（1）根据角平分线的定义，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE=∠COE+∠COD； （2）结合角的特点，根据∠DOE=∠DOC+∠COE，求得结果进行判断和计算； （3）正确作出图形，求出∠DOE的大小作出判断即可． 【详解】（1）解：∵∠BOC=70°，∠AOB=90°， ∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=20°， ∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴∠COE=∠COB=35°，∠COD=∠AOC=10°， ∴∠DOE=∠COE+∠COD=45°， 故答案为：45°； （2）解：∵∠BOC=α，∠AOB=90°， ∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-α， ∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴∠DOE=∠DOC+∠COE =∠COB+∠AOC =（∠COB+∠AOC） =（α+90°-α） =×90° =45°； （3）解：∠DOE的大小不变，等于45°， 理由：如图③，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴∠DOE=∠DOC-∠COE =∠AOC-∠COB =（∠AOC-∠COB） =∠AOB =×90° =45°． 故∠DOE的大小不变，等于45°． 【变式4】．已知：，，，是从点O引出的三条射线． (1)如图1，若平分，平分，当时， ；当射线绕点O在内部旋转时， ． (2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余． (3)如图3，当射线在外，若，平分，平分． ①当小于时，猜想与的关系，并说明理由． ②当大于而小于时，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①互余，理由见解析；② 【分析】本题考查了角平分线的定义、余角等知识，熟练掌握角平分线的计算是解题关键． （1）先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据求解即可得；先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据求解即可得； （2）先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差可得，由此即可得； （3）①先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差可得，由此即可得； ②先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差可得，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴与互余． （3）解：①与互余，理由如下： 如图，当小于时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴与互余． ②如图，当大于而小于时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 【突破三：基础运用突破】 （本关共10题，包含期末考必考基础考点，限时15分钟） 1．下列选项中，能用三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的表示，熟练掌握角的表示方法是解题的关键． 通过判断各个选项的顶点O处有多少个角，只有一个角的情况，才可用来记这个角，据此逐项判断即可解答． 【详解】解：A、顶点O处有四个角，不能用表示，错误； B、顶点O处有两个角，不能用表示，错误； C、顶点O处有三个角，不能用表示，错误； D、顶点O处有一个角，能同时用表示，正确． 故选：D． 2．当时钟指向上午时，时针与分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的度量，掌握角的度数计算是关键．通过计算时针和分针在时的角度位置，求差并取最小夹角． 【详解】解：∵钟面，时针每小时移，每分钟移，分针每分钟移， 在时， 时针角度：， 分针角度：， ∴两针夹角为， 因， 故最小夹角为． 故选：C． 3．若，，则与的关系是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了角度的大小比较，角度的换算． 比较角度大小需统一单位，将度转换为度、分、秒的形式，再比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 4．如图，在的正方形网格中，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了角的比较． 根据网格线得出，进而判断出；再由网格线得出，，进而求出，最后由网格线得出，，进而判断出，即可得出结论． 【详解】解：由图知， ， ∴； 由图知，，， ∴， 由图知，，， ∴， ∴， 故选：B． 5．有两块直角三角板按如图所示放置．已知：，，则 °． 【答案】54 【分析】本题考查了直角三角板中的角度计算，能够得到角度之间的关系是解题关键； 先通过算出，然后再通过即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 6．如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了方位角的计算，角度的计算，如图，根据题意得，由即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意：， 则， ∴， 故答案为：． 8．如图，已知，，在的内部绕点O任意旋转，若平分，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了角平分线的定义．根据角平分线的定义，设，根据，，分别表示出图中的各个角，然后再计算的值即可． 【详解】如图：∵平分， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴ . 故答案为：． 9．如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握角的运算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，则可得，代入计算即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．综合与探究 【问题情境】 我校七年级班智慧方舟小组利用一块含有角的直角三角板尝试进行玩转三角板的探究活动． 为直线上一点，过点在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点重合，射线和三角板均可以围绕点旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 （1）如图1，当三角板的直角边与重合时，若，则___________，___________； （2）在（1）的条件下，将三角板绕点逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； 【深入探究】 （3）如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，若，求的大小． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查余角和补角，角平分线的定义，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． （1）由邻补角和余角的定义即可求解； （2）由角平分线的定义可得，再根据，利用平角的定义可得，进而得到，即可说明； （3）根据，，求出，再根据平分，得到，最后根据角平分线的定义，即可求解． 【详解】（1）当三角板的直角边与重合时，， ， ，， 故答案为：，； （2）是的平分线， ， ， ， ， 也是的平分线； （3），， ， 平分， ， ． 【突破四：能力提升突破】 1．如图，直线、相交于点O，，是的角平分线． (1)直接写出的余角：______； (2)若，求的度数．下面是小林的解答过程，请你补全解答过程． 解：∵， ∴______， ∵， ∴______， ∵平分， ∴__________________． ∵， ∴， ∵直线、相交于点O， ∴____________． (3)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)90；52；；；52；；14 (3) 【分析】本题考查了垂直的定义、角平分线的定义、互为余角的定义，掌握它们的概念是解题的关键． （1）根据互为余角的定义得是的余角，再根据对顶角的性质得，则是的余角； （2）先计算出，再根据角平分线的定义得，然后根据计算，最后根据对顶角的性质可得答案； （3）根据对顶角的性质得，则，再根据角平分线的定义得，再根据解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是的余角， ∵， ∴是的余角， 综上所述，的余角有，； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵直线、相交于点O， ∴． 故答案为：90；52；；；52；；14； （3）解：， ， ， ， 平分， ， ． 2．如图1、图2和图3，，是内部的一条射线，且． (1)如图1，当时，平分，求的度数； (2)如图2，当时，是内的一条射线，满足．若平分，求的度数； (3)已知是内部的一条射线，射线在射线和射线的左侧，且． ①如图3，当射线在的内部时，判断和之间的数量关系，并说明理由； ②已知．当时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)①，理由见解析；②或 【分析】本题主要考查几何图形中角平分线的定义的计算，一元一次方程解几何问题，理解图示，掌握一元一次方程解几何问题是解题的关键． （1）根据图示，运用角平分线的定义可得，由即可求解； （2）根据题意可得，，由即可求解； （3）①，根据，，可得，即可求解； ②根据题意可得，设，则，，分射线在的内部，射线在的外部，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ． 平分， ． ． （2）解：当时，， ， ． ． ， ． 平分， ． ． （3）解：①，理由如下： ， ． ， ． ②，， ． ． 设，则， ． 当射线在的内部时， ，解得． ． 如图，当射线在的外部时， ，解得． ． 综上所述，的度数为或． 3．如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ (2)如图2，当，时，尝试发现与的数量关系． (3)如图3，当，时，猜想：与、有数量关系吗？直接写出结论即可． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，与的大小无关 【分析】本题考查角平分线、角之间的计算，熟练掌握角平分线是解题的关键． （1）根据题意求出度数，根据角平分线求出和的度数，由求出即可； （2）与（1）同理，求出、和的关系，用表示； （3）与（1）同理，求出、和的关系，用、表示． 【详解】（1）解：是直角，， ， 是的平分线，是的平分线， ， , ； （2）解：，理由如下： ，， ， 是的平分线，是的平分线， ， , , 即； （3）解：，与的大小无关，理由如下： ，， ， 是的平分线，是的平分线， ， , ， 即． 4．【特例感知】： 如图（1），已知线段，线段在线段上运动，（点不超过点，点不超过点，点和点分别是，的中点． ①若，则___________； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由． 【知识迁移】： 我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和．若，求的度数． 【答案】【特例感知】：①16；②不变，的长度始终等于；【知识迁移】：90； 【分析】本题考查了和线段中点有关的计算，和角平分线有关的计算． 特例感知：①根据线段的和差关系，得出的长度，再根据中点的定义，得出即可解答；②和①同理可得； 知识迁移：设，根据角平分线的定义得出，，根据，求出，即可解答． 【详解】解：【特例感知】： ①， ∵点和点分别是，的中点， 故答案为：16；         ②不变，的长度始终等于， 设， ∵点和点分别是，的中点， 解：【知识迁移】设， ∵射线和射线分别平分和， ，即， ， ； 故答案为：90 5．在同一平面内，将一副三角尺按图所示方式放置在一起，，，边在内部． (1)猜想与之间的等量关系，并说明理由； (2)如图，作平分平分，若，求的度数； (3)在（）的条件下，将三角尺绕点按顺时针方向旋转至图所示位置（三角尺在直线下方），若，且，试探究的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请用含的代数式表示． 【答案】(1)；证明见解析 (2) (3)，是定值． 【分析】本题主要考查三角板的特殊角度，结合角的和差运算、角平分线定义，推导角度关系． （）通过分析的角组成，利用角的和差等量代换，推导出与的和为定值； （）先根据，结合三角板特殊角算出和的度数，再依据角平分线定义求出对应半角，最后通过角的组合计算； （）针对旋转，先分析与的数量关系，再用角平分线定义表示相关半角，通过角的和差化简推导，判断是否为定值． 【详解】（1）解： 理由： ∵， ∴ 即 （2）解：∵，， ∴，， ∵平分平分， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分平分， ∴， ∴． 故是定值． 6．如图1，在内部画三条射线平分． (1)求； (2)如图2，射线和射线分别从射线和射线的位置出发，同时开始绕点旋转，其中射线以每秒的速度顺时针方向旋转．射线以每秒的速度逆时针方向旋转，射线到达射线位置时，射线和射线立即停止运动，设运动时间为秒． ①射线到达射线位置时，___________秒，此时___________度． ②求时的值． 【答案】(1) (2)①50；40； ②或 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算问题，一元一次方程的应用等知识． （1）设，则，则，由角平分线的定义得出，再根据求出x的值，进而可求出． （2）①由（1）知，即可求出射线到达射线位置所需的时间，此时走了，即，最后根据角的和差关系即可求出． ②分两种情况求解． 【详解】（1）解：设，则， 则， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴． （2）解：①由（1）知， 则射线到达射线位置时，， 此时走了：，即， ∵，， ∴， ∴． ②相遇前，， 解得：， 相遇后：， 解得：． 综上：时的值为或． 7．【问题背景】 点为直线上一点，在直线同侧作射线、（在的左侧），使得． 【问题再现】 （1）如图1，过点作射线，若平分，且，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，过点作射线、，若平分，平分，且，求的度数； 【拓展提升】 （3）若过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）的度数为或 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图中角度的计算，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）先求出，再由角平分线的定义可得，最后由平角的定义计算即可得出结果； （2）由角平分线的定义可得，，求出，最后由平角的定义计算即可得出结果； （3）分两种情况：当在的右侧时，当在的左侧时，分别计算即可得出结果． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （3）如图，当在的右侧时， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 如图，当在的左侧时， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 8．如图，，的边上有一动点，从距离点的点处出发，沿线段，射线运动，速度为；动点从点出发，沿射线运动，速度为；射线绕着点从开始以的速度顺时针旋转．已知动点，以及射线同时运动，设运动时间是． (1)当点在上运动时， ；（用含的代数式表示） (2)当点在线段上运动，为何值时，？此时射线是的平分线吗？并说明理由； (3)是否存在，使得，两点在射线上相距？若存在，请求出的值，并求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，射线是的平分线，理由见解析 (3)，或， 【分析】本题主要考查角的运算、代数式和一元一次方程的应用： （1），根据即可求得答案； （2）当时，可得，据此即可求得答案； （3）分两种情况：当，相遇前相距时，即；当，相遇后相距时，． 【详解】（1）解：当点在上运动时， 由运动知，，可得 ． 故答案为： （2）解：由（1）知，， 当时，可得， 解得， 因为射线绕着点从开始以每秒的速度顺时针旋转，可得 ， 所以． 所以． 所以射线是的角平分线． （3）解：存在，使得，两点在射线上相距，理由如下： （Ⅰ）当，相遇前相距时，即，可得 ， 解得， 所以， 所以； （Ⅱ）当，相遇后相距时，即，可得 ， 解得， 所以， 所以， 综合上述，，或，，，两点在射线上相距． 9．在平面内，将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中三角形为含角的直角三角板，三角形为含角的直角三角板． (1)如图1，若点在上，则的度数为______； (2)如图2，若，则的度数为______； (3)如图3，若，求的度数； (4)如图3，若，的度数是否改变，若改变，说出理由．若不变，求出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)的度数不变， 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由题意可得，，再根据计算即可得出结果； （2）由题意可得，，再根据计算即可得出结果； （3）由题意可得，，再根据计算即可得出结果； （4）由题意可得，，再根据，，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∴； （2）解：由题意可得：，， ∵，， ∴； （3）解：由题意可得：，， ∵，， ∴； （4）解：由题意可得：，， ∵，， ∴． 10．如图1，在同一个平面上，已知点为直线上一点，将三角板按如图所示放置，且直角顶点与重合，三角板可绕点旋转，设，点在线段上． (1)【问题探究】已知，且，通过计算说明：平分； (2)【类比探究】当三角板绕点旋转到图2位置时，平分，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系为______________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，角的计算是解决问题的关键． （1）先由，得进而得，则，继而得，再根据即可得出，由此根据角平分线的定义可得出平分； （2）由得，再由得，根据角平分线的定义得，即，由此可得的度数； （3）由（2）得，即，再根据邻补角的定义得，进而得，由此可得和存在的数量关系． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：， ， ， ， 平分， ， 即， ； （3）解：与存在的数量关系为：． 由（2）得：， ， ， 又，， ， ， 与存在的数量关系为：． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026苏科版七上期末专题复习——16大重点专题突破系列 专题07：突破角平分线、角的和差计算 目录 【课标要求】 1 【突破一：考点知识突破】 1 【突破二：重点题型突破】 3 题型一：多种方法表示同一个角的问题 3 题型二：角的度量与计算 5 题型三：钟面角的计算问题 5 题型四：角平分线问题与计算 6 题型五：角的和差计算 8 题型六：余角与补角的计算与推理 10 题型七：与三角板有关的角度计算问题 12 题型八：运动中的角度问题 17 【突破三：基础运用突破】 21 【突破四：能力提升突破】 24 【课标要求】 1．理解角平分线的概念、角的和差的概念，会进行角的和差计算；【选择、填空题、解答】 2．会用分类讨论的数学思想解决关于角平分线、角的和差的多解问题；【选择题、填空题、解答题】 【突破一：考点知识突破】 考点1：角的概念、角的表示方法 1. 角的定义 （1）第一定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边； （2）第二定义：角是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 2.角的四种表示方法： 方法1：用角的符号“∠”+三个大写英文字母表示，其中表示角的顶点的字母必须写在中间； 方法2：用角的符号“∠”+表示角的顶点的大写字母表示； 方法3：用角的符号“∠”+一个数字表示，这种方法必须在图中事先标注才能使用； 方法4：用角的符号“∠”+一个小写希腊字母。 四种表示角的方法图形如下： 图1中的角可以写成∠AOB,或者∠O,或者∠1 图2中的∠COD,只能写成∠COD，不能写成∠O，∠COE,可以写成∠2，∠DOE可以写成∠α 考点2：角的度量与计算、大小比较 1.角的度量：度量单位： 1°=60′，1′=60″. 2.角的分类 锐角 直角 钝角 0＜∠A＜90° ∠A=90° 90°<∠A<180° 考点3：角平分线与角的和差运算 1.角的平分线： 文字语言：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。图形语言：见右图 符号语言： 因为OC是∠AOB的平分线， 所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 2.角的和与差： ∠AOB=∠AOC+∠COB ∠AOC=∠AOB-∠COB ∠COB=∠AOB-∠AOC 考点4：余角、补角 1．角的互余与互补： （1）互余、余角 定义：若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. 性质: 同角(或等角)的余角相等； （2）互补、补角 定义：若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. 性质：同角(或等角)的补角相等. 易错提醒： 1 余角(或补角)是两个角的关系，不能说三个角互余或互补. 2 一个角的余角(或补角)个数可以是多个，不受位置的限制，但是它们的度数是相同的. 考点5：关于角的作图 1.画指定度数的角：借助量角器能画出给定度数的角； 2.画一些特殊度数的角：借助一副三角板能画出15°的整倍数的，且在0～180°之间的所有角。 3.用尺规作图法：可以画出一个角等于已知角； 【突破二：重点题型突破】 题型一：多种方法表示同一个角的问题 【例题1】．下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，下列说法中不正确的是（    ） A．与是同一个角 B．也可用来表示 C．图中共有三个角，， D．与是同一个角 【变式2】．下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 【变式4】．如图，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 题型二：角的度量与计算 【例题2】．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】．已知，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式3】．下列计算中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】．下列式子中错误的是（    ） A． B． C． D． 题型三：钟面角的计算问题 【例题3】．现代人常常受到颈椎不适的困扰，其症状包括：酸胀，隐痛，发紧，僵硬等，而将两臂向上抬，举到10点10分处，每天连续走200米，能有效缓解症状，则10点10分时，时针与分针的夹角度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下午14点20分，时针与分针的夹角（小于平角）的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．钟表上显示的时间是下午2时30分，时针与分针的夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．当时钟指针指向3点40分时，分针与时针的夹角是（    ）度． A．120 B．130 C．140 D．150 【变式4】．时钟在12点25分时，分针与时针之间的夹角度数为（   ） A．120度 B．137.5度 C．150度 D．137度 题型四：角平分线问题与计算 【例题4】．已知，为平面内一条射线（不与，重合），平分，记，． (1)如图1，，则_____； (2)若，求的值； (3)若，直接写出此时的值和的度数． 【变式1】．如图，已知平分． (1)求的度数； (2)如果，求的度数． 【变式2】．如图1，点O是直线上一点，，．平分． (1)求的度数． (2)过点O作射线，若与互余，求的度数． 【变式3】．已知点在直线上，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论． 【变式4】．如图，为直线上一点，平分，； (1)若求和的度数； (2)猜想：是否平分？请写出你猜想的结论并说明理由． 题型五：角的和差计算 【例题5】．如图，已知，平分，且，求的度数． 解：因为，， 所以________ 所以________________． 因为平分， 所以________________． 所以________． 【变式1】．如图，已知与互余，与互补，射线平分．若，求的度数． 【变式2】．点是直线上的一点，，是的平分线． (1)【问题探究】 如图1，当在直线上方时，若，求的度数； (2)【方法迁移】 当绕点旋转到如图2位置时，若，求的度数（用含的式子表示）． 【变式3】．如图1，是直线上一点，是的平分线，射线在内部，设． (1)若，求的度数； (2)如图2，平分，且，求的度数（用含的式子表示） 【变式4】．如图，是内部任意的一条射线，、分别是和的平分线，，，求和的度数． 题型六：余角与补角的计算与推理 【例题6】．如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)试说明：和互为余角． 【变式1】．如图，已知点是直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【变式2】．如图，已知点O为直线上一点，， ，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【变式3】．如图，直线与相交于点，平分． (1)当时，求的度数； (2)小红遇到这样一道题目：“若，试说明平分．”请你将它补充完整： ∵平分， ∴______（角平分线的定义）， ∵， ∴______（垂直的定义）， ∴______，____________， ∴（_______）， ∴平分（角平分线的定义）． 【变式4】．如图，与互为补角，，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数 题型七：与三角板有关的角度计算问题 【例题7】．如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则   ． (3)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ． 【变式1】．【新概念】若为内一条射线，且满足时，我们把射线叫做射线、的等个性线，记作（其中为正整数，为两角的公共边）． 如图1，为内一条射线，，则称是． 【实际应用】已知：为直线上一点，过点作射线． (1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点放在处，另两条边分别为，，当是时， ；（填“是”或“不是”） (2)如图3，将三角板的顶点放在处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由； (3)将图3中的射线绕点逆时针旋转，如图4，此时是否存在正整数使是的同时，也是．若存在，求出的值；若不存在请说明理由． 【变式2】．数学活动： (1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C重合在一起，． ①若，则 ； ②猜想：与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，将两块相同的直角三角尺的含角的顶点A重合在一起，，直接写出与之间的数量关系为 ； (3)如图3，将两个相同的直角三角形卡纸的相等的锐角顶点A重合在一起，，直接写出与之间的数量关系为 ． 【变式3】．将一副直角三角板，，按如图叠加放置，其中与重合，，． (1)如图1，点在直线上，且位于点的左侧，求的度数； (2)将三角板从图位置开始绕点顺时针旋转，并记，分别为，的角平分线． ①当三角板旋转至如图的位置时，求的度数． ②若三角板的旋转速度为每秒，且转动到时停止，运动时间记为（单位：秒），试根据不同的的值，求的大小． 【变式4】．综合与探究 问题情境 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中,；三角尺中，，分别作的平分线，．试求出的度数． 初步探究 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． (1)计算：图2中的度数为___________，图3中的度数为___________（直接写出答案）． 深入探究 (2)通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________．如果设，请求出图1中的度数． 类比拓展 (3)再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数． 题型八：运动中的角度问题 【例题8】．综合与实践 【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化， 【操作发现】如图①，且两个角重合． （1）将绕着顶点O顺时针旋转如图②，此时OB平分 ；的余角有 个，分别是： ． 【实践探究】 （2）将绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若，射线OE在内部，且请探究： ①的补角是哪几个角？ ． ②求的度数． 【变式1】．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则____； (2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出的值． 【变式2】．已知O为直线上的一点，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向． ①若，则射线的方向是_________； ②与的关系为_________； ③与的关系为_________． (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【变式3】．已知∠AOB=90°，射线OC在∠AOB内部，作∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE． (1)如图①，当∠BOC=70°时，则∠DOE=________； (2)如图②，若射线OC在∠AOB内部绕O点旋转，当∠BOC=α时，求∠DOE的度数． (3)如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转且∠AOC为钝角，∠AOC的平分线是OD，∠BOC的平分线是OE，判断∠DOE的大小是否发生变化？如果不变，求∠DOE的度数；如果变化，说明理由． 【变式4】．已知：，，，是从点O引出的三条射线． (1)如图1，若平分，平分，当时， ；当射线绕点O在内部旋转时， ． (2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余． (3)如图3，当射线在外，若，平分，平分． ①当小于时，猜想与的关系，并说明理由． ②当大于而小于时，直接写出的度数． 【突破三：基础运用突破】 （本关共10题，包含期末考必考基础考点，限时15分钟） 1．下列选项中，能用三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 2．当时钟指向上午时，时针与分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 3．若，，则与的关系是（    ） A． B． C． D．以上都不对 4．如图，在的正方形网格中，记，则（   ） A． B． C． D． 5．有两块直角三角板按如图所示放置．已知：，，则 °． 6．如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 7．“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为 ． 8．如图，已知，，在的内部绕点O任意旋转，若平分，则 ． 9．如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 10．综合与探究 【问题情境】 我校七年级班智慧方舟小组利用一块含有角的直角三角板尝试进行玩转三角板的探究活动． 为直线上一点，过点在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点重合，射线和三角板均可以围绕点旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 （1）如图1，当三角板的直角边与重合时，若，则___________，___________； （2）在（1）的条件下，将三角板绕点逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； 【深入探究】 （3）如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，若，求的大小． 【突破四：能力提升突破】 1．如图，直线、相交于点O，，是的角平分线． (1)直接写出的余角：______； (2)若，求的度数．下面是小林的解答过程，请你补全解答过程． 解：∵， ∴______， ∵， ∴______， ∵平分， ∴__________________． ∵， ∴， ∵直线、相交于点O， ∴____________． (3)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 2．如图1、图2和图3，，是内部的一条射线，且． (1)如图1，当时，平分，求的度数； (2)如图2，当时，是内的一条射线，满足．若平分，求的度数； (3)已知是内部的一条射线，射线在射线和射线的左侧，且． ①如图3，当射线在的内部时，判断和之间的数量关系，并说明理由； ②已知．当时，直接写出的度数． 3．如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ (2)如图2，当，时，尝试发现与的数量关系． (3)如图3，当，时，猜想：与、有数量关系吗？直接写出结论即可． 4．【特例感知】： 如图（1），已知线段，线段在线段上运动，（点不超过点，点不超过点，点和点分别是，的中点． ①若，则___________； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由． 【知识迁移】： 我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和．若，求的度数． 5．在同一平面内，将一副三角尺按图所示方式放置在一起，，，边在内部． (1)猜想与之间的等量关系，并说明理由； (2)如图，作平分平分，若，求的度数； (3)在（）的条件下，将三角尺绕点按顺时针方向旋转至图所示位置（三角尺在直线下方），若，且，试探究的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请用含的代数式表示． 6．如图1，在内部画三条射线平分． (1)求； (2)如图2，射线和射线分别从射线和射线的位置出发，同时开始绕点旋转，其中射线以每秒的速度顺时针方向旋转．射线以每秒的速度逆时针方向旋转，射线到达射线位置时，射线和射线立即停止运动，设运动时间为秒． ①射线到达射线位置时，___________秒，此时___________度． ②求时的值． 7．【问题背景】 点为直线上一点，在直线同侧作射线、（在的左侧），使得． 【问题再现】 （1）如图1，过点作射线，若平分，且，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，过点作射线、，若平分，平分，且，求的度数； 【拓展提升】 （3）若过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数．（用含的代数式表示） 8．如图，，的边上有一动点，从距离点的点处出发，沿线段，射线运动，速度为；动点从点出发，沿射线运动，速度为；射线绕着点从开始以的速度顺时针旋转．已知动点，以及射线同时运动，设运动时间是． (1)当点在上运动时， ；（用含的代数式表示） (2)当点在线段上运动，为何值时，？此时射线是的平分线吗？并说明理由； (3)是否存在，使得，两点在射线上相距？若存在，请求出的值，并求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 9．在平面内，将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中三角形为含角的直角三角板，三角形为含角的直角三角板． (1)如图1，若点在上，则的度数为______； (2)如图2，若，则的度数为______； (3)如图3，若，求的度数； (4)如图3，若，的度数是否改变，若改变，说出理由．若不变，求出的值． 10．如图1，在同一个平面上，已知点为直线上一点，将三角板按如图所示放置，且直角顶点与重合，三角板可绕点旋转，设，点在线段上． (1)【问题探究】已知，且，通过计算说明：平分； (2)【类比探究】当三角板绕点旋转到图2位置时，平分，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系为______________． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $