专题 6.2 角（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年苏科版七年级数学上册基础知识专项突破讲练

本讲义系统梳理初中数学“角”的核心知识点，从角的两种定义（公共端点射线组成、射线旋转形成）切入，逐步展开表示方法（四种）、角度制换算（度分秒关系）、钟面角（转速与夹角计算）、补角余角（定义与性质）、角的和差、尺规作图（作等角）及角平分线等内容，构建从概念理解到性质应用再到综合运算的递进式学习支架。 该资料以分层设计为特色，基础篇聚焦角的概念辨析、表示方法等基础题型，如通过放大镜看角的度数辨析培养抽象能力（数学眼光），培优篇设置角平分线与旋转综合题提升推理能力（数学思维），同步练习分基础巩固与能力提升，覆盖选择、填空、解答题，助力学生用数学语言表达和解决问题（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题 6.2 角 目录 一.知识梳理 2 【知识点一】角的定义 2 【知识点二】角的表示方法 2 【知识点三】角度制与角的换算 3 【知识点四】钟面角 3 【知识点五】补角、余角 3 【知识点六】角的和差 3 【知识点七】尺规作图——画一个角等于已知角 4 【知识点八】角的平分线 4 二.题型精析 4 （一）基础篇 4 【★题型1】角的概念辨析 4 【★题型2】角的表示方法 6 【★题型3】角的分类 8 【★题型4】角的换算 9 【★题型5】补角、余角 11 【★题型6】补角、余角的性质简单运算 12 【★题型7】角的平分线 14 【★题型8】画一个角等于已知角 15 （二）培优篇 17 【★★题型9】角的平分线与角的和差综合运算 17 【★★题型10】三角板中的角的综合运算 19 【★★题型11】角平分线与余角补角综合运算 22 【★★题型12】角的平分线与角的旋转综合 25 二．同步练习​ 28 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 28 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 36 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】角的定义 角的第一定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.如图一，点O是这个角的顶点，OA，OB是这个角的两条边. 图一 图二 角的第二定义： 角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形.起始位置和终止位置的射线分别叫作角的始边和终边. 【特别提示】当角的终边和始边成一条直线时，这个角叫作平角.当角的终边旋转一周后与始边重合时，这个角叫作周角. 【知识点二】角的表示方法 角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 表示方法 基本图形 记法 适用范围 （1）用三个大写字母表示 或 任何情况都适用，表示顶点的字母写在中间 （2）用一个大写字母表示 以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点表示角 （3）用阿拉伯数字表示 任何情况都适用 （4）用希腊字母表示 任何情况都适用 【知识点三】角度制与角的换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 【知识点四】钟面角 钟面时针与分针有如下特点： 1.每个大格对应的角度为30度，每个小格对应的角度为5度； 2.分针每分钟转 1 小格，转速每分钟转6度；时针每小时转 1 大格，转速为每小时转30度，每分钟转0.5度； 3.转速差：分针与时针的转速差为（6-0.5）=5.5度/小时，这是计算追及类钟面角的关键。 4. 钟面角的计算公式：h时m分时针与分针夹角为： 【知识点五】补角、余角 1.补角、余角定义： （1）如果两个角的度数之和等于180°,那么这两个角互为补角； （2）如果两个角的度数之和等于90°,那么这两个角互为余角。 2.补角、余角的性质： 同角（等角）的补角相等；同角（等角）的余角相等. 【知识点六】角的和差 如图所示，是与的和，记作：；是与的差，记作：． 【知识点七】尺规作图——画一个角等于已知角 作图步骤： 1． 作一条射线； 2． 以已知角的顶点为圆心，以任意长为半径作弧，交角的两边于两点； 3． 以射线端点为圆心，相同长为半径作弧，交射线于一点，以此点为圆心，已知角两交点长为半径画弧，与前弧交于一点， 4． 过此点和以射线的端点为端点作射线， 这样就求得了我们要求的角。 【知识点八】角的平分线 如果从角的顶点出发的一条射线把这个角分成两个相等的角,那么这条射线叫作这个角的平分线。如图所示，是的角平分线，，. 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型1】角的概念辨析 【例题1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．角是两条射线组成的图形 B．延长一个角的两边 C．周角是一条射线 D．反向延长射线得到一个平角 【答案】D 【分析】本题主要考查角，熟练掌握角的相关定义是解题的关键． 根据角的定义进行判断即可． 解：对于A，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，如果两条射线的端点不同，这样的两条射线组成的图形不一定是角，故A错误； 对于B，角的两条边是射线，只能反向延长，故错误； 对于C，角应该有一个顶点，由两条射线组成，不正确； 对于D，反向延长射线，成为平角的顶点，得到一个以为顶点的平角，故正确． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·北京·月考）用一个能放大100倍的放大镜看一个的角，这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的性质，熟练掌握角的性质是解题的关键．根据角的大小与角的两边的长短粗细无关，是定值，度数不变，解答即可． 解：角的大小与角的两边的长短粗细无关，是定值，度数不变，因此用一个能放大100倍的放大镜看一个的角，这个角的度数仍然是． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列关于角的说法正确的有 （填序号）． （1）两条射线组成的图形叫做角； （2）延长一个角的两边； （3）角的两边是射线，所以角不可以度量； （4）角的大小与这个角的两边长短无关； （5）角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形； （6）平角是一条直线； （7）周角是一条射线． 【答案】（4）（5） 【分析】本题主要考查了角的相关概念以及性质，正确理解角的概念是解题的关键． 根据角的相关概念以及性质分别判断即可． 解：（1）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，原说法错误； （2）角的两边是两条射线，射线不能度量，所以不能说延长，原说法错误； （3）角的大小与这个角的两边长短无关，可以度量，原说法错误； （4）角的大小与这个角的两边长短无关，正确； （5）角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形，正确； （6）平角是由一条射线绕着它的端点旋转180度而成的角，是由处在同一直线上具有公共端点且方向相反的两条射线构成的角，不是一条直线，原说法错误； （7）周角是一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，此时终边和始边重合，但它有顶点和两条重合的边，而射线只有一个端点，周角与射线是不同的概念，原说法错误； 故答案为：（4）（5）． 【小结归纳】分析概念辨析题须紧扣角的定义与性质：明确角是有公共端点的两条射线组成的图形，也可看作射线绕端点旋转形成的图形；角的大小与两边长短无关，只与两边张开程度有关，放大镜不会改变角的度数；同时要区分平角、周角与直线、射线的本质差异，平角、周角是角，而非直线或射线。 【★题型2】角的表示方法 【例题2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，写出符合下列条件的角： （1）能用一个大写字母表示的角有 ； （2）以B为顶点的角有 （用较简洁的方法表示）； （3）以CD为边的角有 ． 【答案】 ， ，， ，， 【分析】本题主要考查角的表示方法，需要根据角的顶点处角的数量情况，选择合适的表示方法； 本题考查了角的表示方法，掌握当角的顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示；当顶点处有多个角时，需用三个大写字母或数字、希腊字母表示角，根据这些规则确定符合条件的角是解题的关键． 解：（1）能用一个大写字母表示的角：当角的顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示。图中顶点处各只有一个角，所以能用一个大写字母表示的角有，故①处填； （2）以为顶点的角：以为顶点的角有，所以②处填； （3）以为边的角：以为边的角有，所以③处填． 故答案为：，；，，；，，． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列四个图中，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的概念，熟练掌握角的表示方法是解题的关键． 结合各选项中的图形，根据角的表示方法即可解答． 解：A、图中的还可以用表示，不能用表示，不符合题意； B、图中的不可以用和表示，不符合题意； C、图中的不可以用和表示，不符合题意； D、图中的可以用和表示，符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（    ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何图形初步中“角”的相关知识，解题的关键在于准确理解图形中每个角的定义和范围，根据知识点，结合图形，对每个选项进行逐一分析． 解：选项A、不可以用表示，当点为顶点的角不止一个时，这种表示会引起歧义，A选项错误，不符合题意； 选项B、从图中可直观看出，射线更靠近射线，因此明显小于，B选项错误，不符合题意； 选项C、根据角的表示法，与都指的是由射线和组成的同一个角，C选项正确，符合题意； 选项D、根据图形，，D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【小结归纳】 角的表示方法题型须遵循角的表示规则：当顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示；顶点处有多个角时，需用三个大写字母（顶点字母在中间）表示；判断同一角的不同表示时，要确认角的两边和顶点是否完全一致，同时结合图形判断角的和差关系是否正确。 【★题型3】角的分类 【例题3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中有 个小于平角的角，写出以为一边的所有角： ． 【答案】 7 ，，， 【分析】本题考查了角的表示及分类熟练掌握角的表示及分类是解答本题的关键．根据角的表示方法及角的分类，即可得到答案． 解：题图中小于平角的角有，，，，，，，共7个；其中以为一边的角有，，，． 故答案为：7； ，，，． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）一个钝角与一个锐角的差是（   ） A．锐角 B．钝角 C．锐角或直角 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题是对钝角与锐角的取值的考查． 解：一个钝角与一个锐角的差可能是直角，也可能是锐角，也可能是钝角， 故选：D． 【点拨】本题主要考察角的计算，角的概念，解答的关键是对角的概念的掌握． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）有下列说法：①1个周角=2个平角；②1个平角=2个直角；③1个直角=2个锐角；④钝角是大于的角．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题需要根据周角、平角、直角、锐角、钝角的定义，逐一分析每个说法的正确性，从而确定正确说法的个数． 解：①周角是，平角是，，所以1个周角=2个平角，该说法正确； ②平角是，直角是，，所以1个平角=2个直角，该说法正确； ③直角是，锐角是大于而小于的角，例如两个的锐角和为，所以1个直角不一定等于2个锐角，该说法错误； ④钝角是大于而小于的角，仅说大于的角不一定是钝角（如平角、周角），该说法错误． 综上，①②说法正确， 故选：C． 【点拨】本题考查了角的分类的定义，掌握根据各类角的度数范围，判断角之间的数量关系及角的类型是解题的关键． 【小结归纳】 此类题结合两个基本事实的判断题，解题核心是明确两个基本事实的适用场景：“两点确定一条直线” 用于解释 “用钉子固定物体” 等需确定直线的情况；“两点之间线段最短”用于解释“河道改直、路线取直缩短路程” 等距离相关问题。同时需结合两点间距离、直线与射线的概念，逐一验证选项表述的准确性，区分不同几何概念的适用范围。 【★题型4】角的换算 【例题4】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）___________°___________＇； （2）___________°； （3）___________； （4）___________． 【答案】（1）49；54；（2）；（3）；（4） 【分析】此题考查了度分秒之间的转换和角度的运算，熟练掌握度分秒之间的换算关系是解题的关键． （1）将小数度转换为度分； （2）将度分转换为度； （3）进行角度加法，需从秒开始计算，满60进一位； （4）进行角度减法，不够减时需借位． 解：（1）解：， 故答案为：49；54． （2）解：， 故答案为：． （3）解： ， ， 故答案为：． （4）解：， 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·江苏常州·月考）把化成度分的形式为 ；把 化成度的形式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了度和分之间的换算，根据进行求解即可． 解：，， 故答案为：；． 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了度分秒的四则运算，掌握度、分、秒之间的进制关系，按照运算顺序进行计算是解题的关键． （1）根据角的四则运算法则求解即可； （2）根据角的四则运算法则求解即可； （3）根据角的四则运算法则求解即可； （4）根据角的四则运算法则求解即可； 解：（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【小结归纳】 此类题结合两个基本事实的判断题，解题核心是明确两个基本事实的适用场景：“两点确定一条直线” 用于解释 “用钉子固定物体” 等需确定直线的情况；“两点之间线段最短”用于解释“河道改直、路线取直缩短路程” 等距离相关问题。同时需结合两点间距离、直线与射线的概念，逐一验证选项表述的准确性，区分不同几何概念的适用范围。 【★题型5】补角、余角 【例题5】（2025七年级上·全国·专题练习）已知． （1）求的余角的度数和的补角的度数． （2）求的余角的补角的度数． 【答案】（1）余角：，补角：；（2） 【分析】本题主要考查的是余角和补角的知识点，两个角互余，则两角相加为，两个角互补，则两角相加为． （1）根据余角和补角的定义，余角为减去已知角，补角为减去已知角计算即可． （2）用减去计算即可． 解：（1）解：的余角； 的补角． （2）解：的余角的补角． 【变式1】（25-26七年级上·江苏常州·月考）已知，则的余角为 ，则的补角为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数和补角的度数，度数之和为90度的两个角互余，度数之和为180度的两个角互补，据此求解即可． 解：∵， ∴的余角为，的补角为 故答案为：；． 【变式2】（23-24七年级上·广西梧州·期末）若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查补角、余角的概念、一元一次方程的应用等知识点，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 设这个角为，根据补角和余角的定义列一元一次方程求解即可． 解：设这个角为， 由题意可得：， ， ， ． 故选B． 【小结归纳】 此类题结合两个基本事实的判断题，解题核心是明确两个基本事实的适用场景：“两点确定一条直线” 用于解释 “用钉子固定物体” 等需确定直线的情况；“两点之间线段最短”用于解释“河道改直、路线取直缩短路程” 等距离相关问题。同时需结合两点间距离、直线与射线的概念，逐一验证选项表述的准确性，区分不同几何概念的适用范围。 【★题型6】补角、余角的性质简单运算 【例题6】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，和都是直角． （1）如果，则 ； （2）找出图中一组相等的锐角为： ； （3）选择，若变小，将 ． A．变大        B．变小        C．不变        D．不确定 【答案】 A 【分析】本题考查了余角和补角，以及角的计算，解决本题的关键是掌握相关的计算． （1）根据题意得，，求出的度数，然后即可求出的度数； （2）根据同角的余角相等进行求解即可； （3）根据，可得，进而得到逐渐变小，则逐渐变大． 解：（1）根据题意得， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）∵ ， ∴， ∴逐渐变小，逐渐变大． 故答案为：A． 【变式1】（25-26七年级上·江苏常州·月考）若，，则与的关系是（   ） A．互余 B．互补 C．相等 D．没有关系 【答案】C 【分析】本题主要考查了同角的补角相等，根据同角的补角相等可得． 解：∵，， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，．请在，，，中找出相等的角，并试着说明理由． 【答案】，理由见详解 【分析】本题考查了等角的余角相等，根据，，，得出，即可作答． 解：，理由如下： ∵，， ∴ ∵，， ∴． 【小结归纳】 此类题结合两个基本事实的判断题，解题核心是明确两个基本事实的适用场景：“两点确定一条直线” 用于解释 “用钉子固定物体” 等需确定直线的情况；“两点之间线段最短”用于解释“河道改直、路线取直缩短路程” 等距离相关问题。同时需结合两点间距离、直线与射线的概念，逐一验证选项表述的准确性，区分不同几何概念的适用范围。 【★题型7】角的平分线 【例题7】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点O在直线上，是的平分线，是的平分线，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角度的计算问题，涉及平角的定义、角平分线的定义，解题的关键是熟知平角及角平分线的定义并掌握角度的运算法则． 先根据角平分线的定义及平角的定义求出，再由与互余即可解答． 解：是的平分线，是的平分线， ， ， ， 即； ， ， ． 【变式1】（2025七年级上·吉林长春·专题练习）如图，，平分，且，度数是 ． 【答案】/68度 【分析】本题考查了角平分线的定义及角的和差，关键是熟练应用知识点解题； 根据角平分线的定义可得，再将与作差即可求得结果． 解：∵平分，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）若，射线是它的二等分线，射线是的二等分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线相关的计算．根据角平分线的定义，先由平分求出，再由平分求出． 解：是的二等分线，， ． 又是的二等分线， ． 因此，的度数为． 故选：A． 【小结归纳】 此类题结合两个基本事实的判断题，解题核心是明确两个基本事实的适用场景：“两点确定一条直线” 用于解释 “用钉子固定物体” 等需确定直线的情况；“两点之间线段最短”用于解释“河道改直、路线取直缩短路程” 等距离相关问题。同时需结合两点间距离、直线与射线的概念，逐一验证选项表述的准确性，区分不同几何概念的适用范围。 【★题型8】画一个角等于已知角 【例题8】（25-26八年级上·北京海淀·期中）尺规作图：作的等于已知．（要求不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见分析 【分析】本题考查尺规作图作一个角等于已知角，解题的关键是掌握尺规作图作一个角等于已知角的方法和步骤． 利用尺规作图的基本方法，作出与已知相等的． 解：如图所示，即为所求． 【变式1】（25-26七年级上·四川成都·月考）如图，点C在的边上，用尺规作出了．以下是打乱的作图过程： ①以C为圆心，长为半径画，交于点 M． ②作射线，则． ③以M 为圆心，长为半径画弧，交于点 D． ④以O为圆心，任意长为半径画，分别交于点 E，F．则正确的作图顺序是 ． 【答案】④①③② 【分析】本题考查了作图−基本作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的作图过程．根据作一个角等于已知角的作图过程即可判断． 解：根据作一个角等于已知角的过程可知： ④以为圆心，任意长为半径画，分别交，于点，． ①以为圆心，长为半径画，交于点． ③以为圆心，长为半径画弧，交于点． ②作射线，则． 故答案为：④①③②． 【变式2】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，光线射到镜面上的点处，入射光线与镜面的夹角为，嘉琪通过尺规作图作出了经过镜面反射后的光线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角，根据作图可知，根据角之间的关系可以求出． 解：由作图可知， . 故选：C． 【小结归纳】 尺规作图题型，解题核心是掌握尺规作等角的步骤与原理：先明确作图的基本步骤，再结合题型需求，要么按步骤完成作图、要么梳理正确的作图顺序、要么利用作等角的结论结合几何关系（如镜面反射角相等）计算角度。 （二）培优篇 【★★题型9】角的平分线与角的和差综合运算 【题型9】（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）如图，已知点在直线上，在直线上方从左到右依次作射线、、，且，． (1)若，求的度数； (2)若，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角度的和差计算； （1）根据平角的定义求得，进而根据，即可求解； （2）根据，，即可求解． （1）解：因为，， 所以， 所以． （2）与的数量关系是．理由如下： 因为，， 所以． 因为，所以． 因为，所以， 即，所以． 【变式1】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的和差计算与角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质及角的和差关系是解题的关键． 先求出的度数，再利用角平分线的定义得到的度数，最后通过角的差计算． 解：∵ ，， ∴ ， ∵ OD平分， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据题意，由是直角，结合，可求得，再根据角平分线的意义得出，，再根据求解． 解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【★★题型10】三角板中的角的综合运算 【题型10】（25-26九年级上·广东·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，；） (1)若，则的度数为_____； (2)若点在的上方，设（），求．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是补角和余角的定义，掌握图形相关角的和与差的关系是解题的关键． （1）利用角的和与差的关系即可求值； （2）利用角的和与差的关系即可求值． （1）解：由题意得，， ， ． 故答案为：． （2）解：由题意得，， ， ． 【变式1】一副三角板按如图方式摆放，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了余角和补角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角板可得，根据，可得，然后代入，进而得到的度数． 解：∵，， ∴， 解得：， 根据题意可得：，即， 即：， 解得：， 故选：B． 【变式2】（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分，，将三角板绕点O旋转（旋转过程中与均大于且小于）一周，的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角板中角度的计算，余角和补角，熟练掌握角平分线定义是解题的关键．分两种情况：当点C在上方时以及当点在下方时，根据补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，结合三角板的度数计算即可． 解：当点C在上方时，如图， ， ， 平分， ， ； 当点在下方时，如图， 同理可得， ， ， 故答案为：或． 【★★题型11】角平分线与余角补角综合运算 【题型11】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，与互为补角，与互为余角，平分且．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义及余角和补角，熟练掌握角平分线的定义及余补角是解题的关键；先根据已知条件和互为余角的定义，求出，再根据互为补角的定义，求出，然后根据角平分线的定义求出，最后根据，求出答案即可． 解：∵与互为余角， ∴， 又， ∴； ∵与互为补角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知点O为直线上一点，，平分，平分． (1)求的度数； (2)若点D在直线下方且与互余，求的度数 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义及余角，熟练掌握角平分线的定义及余角是解题的关键； （1）先由角平分线得，算出，再用角平分线的定义可求解； （2）由互余得，结合（1）中角的度数，则问题可求解． （1）解：∵平分，， ∴， ∵点O在直线上， ∴， 又∵平分， ∴； （2）解：∵与互余， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， 又∵， ∴． 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，是内三条射线，平分，平分． (1)已知，，求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、余角以及角的和差计算： （1）根据角平分线的定义求出的度数，即可求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数即可； （2）根据角平分线的定义及角的和差得出，再根据与互余，即可求出的度数． 解：（1）平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ； （2）平分， ， 平分， ， ， 即， 与互余， ， 即， ． 【★★题型12】角的平分线与角的旋转综合 【题型12】（24-25七年级下·湖北黄冈·开学考试）如图，点，，在同一条直线上，，射线在直线的上方绕点旋转，记，平分． (1)若与互补，则角等于多少度？ (2)若，则为多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的和差关系、平角定义、补角定义以及角平分线定义，熟练掌握这些角的相关定义和关系是解题的关键． （1）利用平角定义可得，从而可得，再利用平角定义可得，然后根据补角的定义进行计算，即可解答； （2）利用角的和差关系可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． （1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵与互补， ∴， ∴， 解得：； （2）解：如图： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·云南昆明·期末）如图，在的内部作射线，使与互补，将射线，同时绕点O分别以每秒，每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转后的射线，分别记为，，设旋转时间为t秒，已知． (1)______°； (2)在旋转的过程中，当与互余时，求t的值． 【答案】(1) (2)当与互余时，t的值是秒或秒 【分析】本题考查了补角的定义，角的和差，一元一次方程的应用及分类讨论的数学思想．熟记补角的定义是解（1）的关键，分类讨论是解（2）的关键． （1）利用互补的定义列式计算； （2）分两种情况：利用，列方程解出即可． （1）解：∵与互补， ∴． ∵， ∴． （2）解：当时，射线在内部，射线在内部， 由题意得， 解得：； 当时，射线在外部，射线在外部， 由题意得， 解得：． 综上所述，当与互余时，的值为或． 【变式2】（24-25七年级上·浙江·期末）综合探究：探究旋转过程中角度之间的关系． 已知点O是直线上一点，．现将直角三角尺的直角顶点放在点O处，并绕着点O旋转． (1)如图1，落在直线上，若，求的度数． (2)将直角三角尺旋转至图2所示的位置，请判断和是否互补，并说明理由． (3)将直角三角尺旋转至图3所示的位置，若平分，，求的度数．（用含β的代数式表示） 【答案】(1) (2)和互补，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了余角与补角和角平分线． （1）先根据余角的定义和已知条件，求出，再根据求出答案即可； （2）先根据，，结合图形求出即可； （3）先根据，把用表示出来，再根据角平分线的定义证明，最后根据，求出即可． （1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：和互补，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴和互补； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴ ． 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·北京·月考）用一个能放大100倍的放大镜看一个的角，这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的性质，熟练掌握角的性质是解题的关键．根据角的大小与角的两边的长短粗细无关，是定值，度数不变，解答即可． 解：角的大小与角的两边的长短粗细无关，是定值，度数不变，因此用一个能放大100倍的放大镜看一个的角，这个角的度数仍然是． 故选：A． 2．（25-26七年级上·山西运城·月考）当时钟指向上午时，时针与分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的度量，掌握角的度数计算是关键．通过计算时针和分针在时的角度位置，求差并取最小夹角． 解：∵钟面，时针每小时移，每分钟移，分针每分钟移， 在时， 时针角度：， 分针角度：， ∴两针夹角为， 因， 故最小夹角为． 故选：C． 3．（24-25七年级上·天津·期末）已知，且三个角的和为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角度的计算，用三个角的和乘以所占比例即可求出的度数． 【详解】∵，且三个角的和为， ∴． 故选：A． 4．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）已知，则的补角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了补角的定义，如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角． 根据补角的定义，两个角之和为，因此用减去已知角即可求解． 解：的补角． 故选：B． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）射线是的四等分线，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角等分线的有关计算．根据射线是的四等分线，将角均分为四份，是其中的2份，即可求解． 解：∵射线是的四等分线，， ∴， ∴， 故选：B． 6．（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的余角相等，熟知同角的余角相等是解题的关键．由，利用同角的余角相等可得，即可求解． 解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 7．（24-25六年级上·上海·月考）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了角度的计算，分别计算度、分、秒，单位间进率为60，不够减时借位． 【详解】． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）已知一个角的补角比这个角大，则这个角的大小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实际问题与一元一次方程，补角的定义，根据补角的定义列出方程是解题的关键．设这个角为，则补角为，根据补角比这个角大，列出方程求解即可． 解：设这个角的度数为，则补角为， 根据题意，得， 解得． 故答案为：． 9．（2025七年级上·吉林长春·专题练习）如图，，平分，且，度数是 ． 【答案】/68度 【分析】本题考查了角平分线的定义及角的和差，关键是熟练应用知识点解题； 根据角平分线的定义可得，再将与作差即可求得结果． 解：∵平分，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图所示，一位同学把锐角的顶点放在量角器的中心，角的边、的读数分别为35、85，则的补角为 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了实际问题中角度计算问题，求一个角的补角等知识点，根据的两边在量角器上的读数求出其度数是解题的关键． 根据的两边在量角器上的读数求出其度数，然后再求其补角即可． 解：由题意可得： ， 则的补角为：， 故答案为：． 11．（20-21七年级上·山西临汾·期末）如图，点O是上一点，分别平分．则的余角为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，余角的定义，解题的关键是求出，． 先根据角平分线的定义得出，，再由余角的定义即可得出结论． 解：∵、分别是、的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴的余角是、． 故答案为：、． 12．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图所示，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且恰好平分，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角板中的角的和差计算． 根据三角板得到，由角平分线得到，再由即可求解． 解：由题意得，， ∵恰好平分， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26七年级上·河南周口·期中）如图，已知，平分，平分，求的度数． （要求：写出解题过程并注明理由） 【答案】的度数为 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键；由题意易得，，然后问题可求解． 解：∵平分（已知），（已知）， ∴（角平分线的定义） ∵平分（已知） ∴（角平分线的定义） ∴（角的和差关系）． 14．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，O是直线上一点，以O为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、平角，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得； （2）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 15．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若与互为余角，求的度数． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了余角的定义，角平分线的定义，几何图形中角度的计算； （1）根据题意得出，则，即可求解． （2）根据角平分线的定义可得，根据图形可得，进而根据平角的定义，列出方程，解方程，即可求解的度数，即可求解的度数． 【详解】（1）解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，是平角． (1)若，则的度数为________ (2)在（1）的条件下，请你求出的补角的度数． (3)若OB平分，求出的余角的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用同角的余角相等求解即可；（2）利用补角的定义直接找出，再利用同角的余角相等求解即可；（3）直接利用角平分线的定义求解即可，再利用余角定义求解． （1）解：， . , . （2）是平角， ， 是的补角． ， ， 即的补角的度数为． （3）平分， ， 的余角的度数为. 【点睛】本题考查的知识点是角的计算及余角补角，解题关键是确定角之间的关系． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（23-24七年级上·广西梧州·期末）若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查补角、余角的概念、一元一次方程的应用等知识点，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 设这个角为，根据补角和余角的定义列一元一次方程求解即可． 解：设这个角为， 由题意可得：， ， ， ． 故选B． 2．（2025六年级上·全国·专题练习）在同一平面内有，则的度数是（） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】本题考查几何图形中角度计算问题，分为射线在内、外两种情况，分别计算即可． 【分析】解：当在内时，； 当在外时，， ∵， ∴． ∴的度数为或． 故选：C． 3．（25-26七年级上·黑龙江绥化·开学考试）把钟面上的时针与分针都看作射线，时针与分针就构成一个角，从6点钟到12点钟，当分针指向12时，时针此时恰好与分针构成的角，则此时是（   ） A．7点钟 B．8点钟 C．9点钟 D．10点钟 【答案】B 【分析】本题考查了钟面角的有关知识，根据钟表上每一个大格之间的夹角是，当分针指向12，时针与分针构成的角，得出此时时针距分针是4个大格，应考虑两种情况，但从6点钟到12点钟，只有8点钟符合要求． 解：钟表上每一个大格之间的夹角是， 当分针指向12，时针与分针构成的角时，此时时针距分针是4个大格， 从6点钟到12点钟，只有8点钟符合要求， 故选：B． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据度分秒的换算，逐一计算判断即可． 解：A、∵，，， ∴，选项说法错误，不符合题意； B、，，选项说法错误，不符合题意； C、，选项说法正确，符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 5．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，点A、O、B在同一直线上，平分，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，解题的关键是根据角平分线找出角的等量关系． 由平角定义得，计算，然后利用角平分线定义即可解答． 解：因为点A、O、B在同一直线上， 所以是平角，即． 因为， 所以． 又因为平分， 所以． 故选：A． 6．已知，，平分，平分，则的度数是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线定义的应用，用了分类讨论思想．分为两种情况，当在内部时，当在外部时，分别求出和度数，即可求出答案． 解：分为两种情况： 如图1，当在内部时， ，， ， 平分，平分， ，， ； 如图2，当在外部时， ，， ， 平分，平分， ，， ； 综上，的度数是或． 故选:C． 二、填空题 7．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图所示的正方形网格中，点、、是格点，则 ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，熟练掌握网格特点和角的大小比较是解题关键．如图（见解析），根据网格特点可得，，，由此即可得． 解：如图，由网格可知，，，， 则， 故答案为：． 8．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，已知，从点引一条射线，作的角平分线，作的角平分线，的度数为 °． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，掌握“分类讨论思想”是解题的关键．射线的位置不确定，可能在内部，也可能在外部，根据位置不同，分别计算的度数即可． 【详解】当在内部时，如图所示， 平分， ， 平分， ， ， ， ； 当在外部时，如图所示， 平分， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：或 9．（24-25九年级下·河南信阳·月考）如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（22-23七年级上·山西太原·期末）如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为 ．    【答案】或 【分析】本题主要考查了垂直的定义、余角的性质、角等分线等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 先根据余角的定义可得，再根据是的三等分线可得或，据此分两种情况解答即可． 解：∵，， ∴， ∵是的三等分线， ∴或， ∵，， ∴当时，； 当时，； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 11．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，若，于点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同角的余角相等，一元一次方程． 根据，得到，，根据同角的余角相等列方程求解即可． 解：∵，， ∴，， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 12．（22-23七年级上·湖南株洲·期末）如图，点О是量角器的中心点，射线OM经过刻度线90．若．射线OA、OB分别经过刻度线40和60，在刻度线OM的右侧． 下列结论： ①； ②若与互补，则射线经过刻度线160； ③若，则图中共有5对角互为余角． 其中正确的是 （填序号） 【答案】①② 【分析】根据等式的性质可判断①，根据补角的定义求出，从而得到可判断②，算出各角的度数，找到直角，根据余角的定义和性质可判断③． 解：①∵， ∴， ∴，故正确； ②由题意可得：， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即射线经过刻度线160，故正确； ③∵， ， ∴， ∴和互为余角， ∵射线OM经过刻度线90， ∴， ∴和，和，和，和，和互为余角， 即共有6对角互为余角，故错误； ∴正确的有①②， 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查读角、余角和补角的定义、角的计算等，看清图形是解题的关键． 三、解答题 13．（2025七年级上·全国·专题练习）点O是直线上一点，线段绕点O旋转，平分，过点O作（在的右侧），平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，得到图中各角度的和差关系并准确计算是解题的关键． （1）根据题意及角平分线的定义即可解答； （2）根据题意及角平分线的定义，得到，进而得到，最后根据即可解答． （1）解：∵， ， ∵平分， ∴， ， ∴， ， ∵平分， ∴， ； （2）解：∵，， ， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 14．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点O是直线上一点，与互为余角，是的平分线． (1)求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了余角的定义，角平分线的定义，以及角的数量关系，数形结合是解答本题的关键． （1）由与互为余角得，进而可求出的度数； （2）由余角的定义求出，再由角平分线的定义求出，进而可求出的度数； （3）设的度数为，则，，然后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点是直线上一点， ∴ ， ∵与互为余角， ∴ ， ∴； （2）解：∵与互为余角，， ∴， 又∵是的平分线， ∴， ∴； （3）解：设的度数为， 则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 15．（24-25七年级下·陕西宝鸡·开学考试）以直线上一点为端点作射线使，将一个直角三角形的直角顶点放在处（注：）． (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则____________； (2)如图2，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请问所在射线是不是的平分线？ (3)将三角板绕点逆时针转动，当边与重合时停止，转动到某个位置时，若恰好，求的度数． 【答案】(1) (2)所在射线是的平分线 (3)或 【分析】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键． （1）代入求出即可； （2）根据角平分线的定义可得，再由余角的性质解答即可； （3）分两种情况，根据平角等于180°求出即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即所在射线是的平分线； （3）解：∵， ∴可设，则， 如图，若在外部， ∵， ∴， 解得， 即， ∴； 如图，若在内部，此时， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，的度数为或． 16．（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）综合探究：在数学研究中，计算观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．如图1，是直线上的一点，平分．数学兴趣小组小明和小强在活动中，通过不断探究发现： 【观察计算】（1）如图1，当，求的度数； 【类比猜想】（2）在图1中，当，试猜想的度数（用含的代数式表示），并证明你的猜想； 【拓展探究】（3）在（2）的基础上，将绕着顶点顺时针旋转，使得的两条边中至少有一条边在直线的下方，探究和之间的数量关系，请直接写出你的结论． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）或，见解析 【分析】本题考查角平分线定义，角的计算，关键是由平分线的定义，角的和差表示出有关的角． （1）先求出，由角平分线的定义可得，然后根据即可求解； （2）先表示出，由角平分线的定义可得，然后根据即可求解； （3）由角平分线定义，得到，由，分三种情况计算即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ； （3）解：，理由如下： 当在直线的下方，在直线上方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ． 当在直线的下方，在直线下方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ∴ ， 即； 当在直线的上方，在直线下方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ∴ ， 即. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 6.2 角 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】角的定义 1 【知识点二】角的表示方法 2 【知识点三】角度制与角的换算 2 【知识点四】钟面角 3 【知识点五】补角、余角 3 【知识点六】角的和差 3 【知识点七】尺规作图——画一个角等于已知角 3 【知识点八】角的平分线 4 二.题型精析 4 （一）基础篇 4 【★题型1】角的概念辨析 4 【★题型2】角的表示方法 5 【★题型3】角的分类 5 【★题型4】角的换算 6 【★题型5】补角、余角 6 【★题型6】补角、余角的性质简单运算 7 【★题型7】角的平分线 8 【★题型8】画一个角等于已知角 8 （二）培优篇 9 【★★题型9】角的平分线与角的和差综合运算 9 【★★题型10】三角板中的角的综合运算 10 【★★题型11】角平分线与余角补角综合运算 11 【★★题型12】角的平分线与角的旋转综合 12 二．同步练习​ 13 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 13 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 15 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】角的定义 角的第一定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.如图一，点O是这个角的顶点，OA，OB是这个角的两条边. 图一 图二 角的第二定义： 角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形.起始位置和终止位置的射线分别叫作角的始边和终边. 【特别提示】当角的终边和始边成一条直线时，这个角叫作平角.当角的终边旋转一周后与始边重合时，这个角叫作周角. 【知识点二】角的表示方法 角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 表示方法 基本图形 记法 适用范围 （1）用三个大写字母表示 或 任何情况都适用，表示顶点的字母写在中间 （2）用一个大写字母表示 以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点表示角 （3）用阿拉伯数字表示 任何情况都适用 （4）用希腊字母表示 任何情况都适用 【知识点三】角度制与角的换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 【知识点四】钟面角 钟面时针与分针有如下特点： 1.每个大格对应的角度为30度，每个小格对应的角度为5度； 2.分针每分钟转 1 小格，转速每分钟转6度；时针每小时转 1 大格，转速为每小时转30度，每分钟转0.5度； 3.转速差：分针与时针的转速差为（6-0.5）=5.5度/小时，这是计算追及类钟面角的关键。 4. 钟面角的计算公式：h时m分时针与分针夹角为： 【知识点五】补角、余角 1.补角、余角定义： （1）如果两个角的度数之和等于180°,那么这两个角互为补角； （2）如果两个角的度数之和等于90°,那么这两个角互为余角。 2.补角、余角的性质： 同角（等角）的补角相等；同角（等角）的余角相等. 【知识点六】角的和差 如图所示，是与的和，记作：；是与的差，记作：． 【知识点七】尺规作图——画一个角等于已知角 作图步骤： 1． 作一条射线； 2． 以已知角的顶点为圆心，以任意长为半径作弧，交角的两边于两点； 3． 以射线端点为圆心，相同长为半径作弧，交射线于一点，以此点为圆心，已知角两交点长为半径画弧，与前弧交于一点， 4． 过此点和以射线的端点为端点作射线， 这样就求得了我们要求的角。 【知识点八】角的平分线 如果从角的顶点出发的一条射线把这个角分成两个相等的角,那么这条射线叫作这个角的平分线。如图所示，是的角平分线，，. 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型1】角的概念辨析 【例题1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．角是两条射线组成的图形 B．延长一个角的两边 C．周角是一条射线 D．反向延长射线得到一个平角 【变式1】（25-26七年级上·北京·月考）用一个能放大100倍的放大镜看一个的角，这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列关于角的说法正确的有 （填序号）． （1）两条射线组成的图形叫做角； （2）延长一个角的两边； （3）角的两边是射线，所以角不可以度量； （4）角的大小与这个角的两边长短无关； （5）角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形； （6）平角是一条直线； （7）周角是一条射线． 【小结归纳】分析概念辨析题须紧扣角的定义与性质：明确角是有公共端点的两条射线组成的图形，也可看作射线绕端点旋转形成的图形；角的大小与两边长短无关，只与两边张开程度有关，放大镜不会改变角的度数；同时要区分平角、周角与直线、射线的本质差异，平角、周角是角，而非直线或射线。 【★题型2】角的表示方法 【例题2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，写出符合下列条件的角： （1）能用一个大写字母表示的角有 ； （2）以B为顶点的角有 （用较简洁的方法表示）； （3）以CD为边的角有 ． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列四个图中，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（    ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 【小结归纳】 角的表示方法题型须遵循角的表示规则：当顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示；顶点处有多个角时，需用三个大写字母（顶点字母在中间）表示；判断同一角的不同表示时，要确认角的两边和顶点是否完全一致，同时结合图形判断角的和差关系是否正确。 【★题型3】角的分类 【例题3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中有 个小于平角的角，写出以为一边的所有角： ． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）一个钝角与一个锐角的差是（   ） A．锐角 B．钝角 C．锐角或直角 D．不能确定 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）有下列说法：①1个周角=2个平角；②1个平角=2个直角；③1个直角=2个锐角；④钝角是大于的角．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【小结归纳】 此类题结合两个基本事实的判断题，解题核心是明确两个基本事实的适用场景：“两点确定一条直线” 用于解释 “用钉子固定物体” 等需确定直线的情况；“两点之间线段最短”用于解释“河道改直、路线取直缩短路程” 等距离相关问题。同时需结合两点间距离、直线与射线的概念，逐一验证选项表述的准确性，区分不同几何概念的适用范围。 【★题型4】角的换算 【例题4】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）___________°___________＇； （2）___________°； （3）___________； （4）___________． 【变式1】（25-26七年级上·江苏常州·月考）把化成度分的形式为 ；把 化成度的形式为 ． 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 【小结归纳】 此类题结合两个基本事实的判断题，解题核心是明确两个基本事实的适用场景：“两点确定一条直线” 用于解释 “用钉子固定物体” 等需确定直线的情况；“两点之间线段最短”用于解释“河道改直、路线取直缩短路程” 等距离相关问题。同时需结合两点间距离、直线与射线的概念，逐一验证选项表述的准确性，区分不同几何概念的适用范围。 【★题型5】补角、余角 【例题5】（2025七年级上·全国·专题练习）已知． （1）求的余角的度数和的补角的度数． （2）求的余角的补角的度数． 【变式1】（25-26七年级上·江苏常州·月考）已知，则的余角为 ，则的补角为 ． 【变式2】（23-24七年级上·广西梧州·期末）若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（    ） A． B． C． D． 【小结归纳】 此类题结合两个基本事实的判断题，解题核心是明确两个基本事实的适用场景：“两点确定一条直线” 用于解释 “用钉子固定物体” 等需确定直线的情况；“两点之间线段最短”用于解释“河道改直、路线取直缩短路程” 等距离相关问题。同时需结合两点间距离、直线与射线的概念，逐一验证选项表述的准确性，区分不同几何概念的适用范围。 【★题型6】补角、余角的性质简单运算 【例题6】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，和都是直角． （1）如果，则 ； （2）找出图中一组相等的锐角为： ； （3）选择，若变小，将 ． A．变大        B．变小        C．不变        D．不确定 【变式1】（25-26七年级上·江苏常州·月考）若，，则与的关系是（   ） A．互余 B．互补 C．相等 D．没有关系 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，．请在，，，中找出相等的角，并试着说明理由． 【小结归纳】 此类题结合两个基本事实的判断题，解题核心是明确两个基本事实的适用场景：“两点确定一条直线” 用于解释 “用钉子固定物体” 等需确定直线的情况；“两点之间线段最短”用于解释“河道改直、路线取直缩短路程” 等距离相关问题。同时需结合两点间距离、直线与射线的概念，逐一验证选项表述的准确性，区分不同几何概念的适用范围。 【★题型7】角的平分线 【例题7】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点O在直线上，是的平分线，是的平分线，．求的度数． 【变式1】（2025七年级上·吉林长春·专题练习）如图，，平分，且，度数是 ． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）若，射线是它的二等分线，射线是的二等分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【小结归纳】 此类题结合两个基本事实的判断题，解题核心是明确两个基本事实的适用场景：“两点确定一条直线” 用于解释 “用钉子固定物体” 等需确定直线的情况；“两点之间线段最短”用于解释“河道改直、路线取直缩短路程” 等距离相关问题。同时需结合两点间距离、直线与射线的概念，逐一验证选项表述的准确性，区分不同几何概念的适用范围。 【★题型8】画一个角等于已知角 【例题8】（25-26八年级上·北京海淀·期中）尺规作图：作的等于已知．（要求不写作法，保留作图痕迹）． 【变式1】（25-26七年级上·四川成都·月考）如图，点C在的边上，用尺规作出了．以下是打乱的作图过程： ①以C为圆心，长为半径画，交于点 M． ②作射线，则． ③以M 为圆心，长为半径画弧，交于点 D． ④以O为圆心，任意长为半径画，分别交于点 E，F．则正确的作图顺序是 ． 【变式2】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，光线射到镜面上的点处，入射光线与镜面的夹角为，嘉琪通过尺规作图作出了经过镜面反射后的光线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【小结归纳】 尺规作图题型，解题核心是掌握尺规作等角的步骤与原理：先明确作图的基本步骤，再结合题型需求，要么按步骤完成作图、要么梳理正确的作图顺序、要么利用作等角的结论结合几何关系（如镜面反射角相等）计算角度。 （二）培优篇 【★★题型9】角的平分线与角的和差综合运算 【题型9】（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）如图，已知点在直线上，在直线上方从左到右依次作射线、、，且，． (1)若，求的度数； (2)若，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【变式1】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 【★★题型10】三角板中的角的综合运算 【题型10】（25-26九年级上·广东·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，；） (1)若，则的度数为_____； (2)若点在的上方，设（），求．（用含的式子表示） 【变式1】一副三角板按如图方式摆放，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分，，将三角板绕点O旋转（旋转过程中与均大于且小于）一周，的度数为 （用含的代数式表示）． 【★★题型11】角平分线与余角补角综合运算 【题型11】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，与互为补角，与互为余角，平分且．求的度数． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知点O为直线上一点，，平分，平分． (1)求的度数； (2)若点D在直线下方且与互余，求的度数 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，是内三条射线，平分，平分． (1)已知，，求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【★★题型12】角的平分线与角的旋转综合 【题型12】（24-25七年级下·湖北黄冈·开学考试）如图，点，，在同一条直线上，，射线在直线的上方绕点旋转，记，平分． (1)若与互补，则角等于多少度？ (2)若，则为多少度？ 【变式1】（24-25七年级上·云南昆明·期末）如图，在的内部作射线，使与互补，将射线，同时绕点O分别以每秒，每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转后的射线，分别记为，，设旋转时间为t秒，已知． (1)______°； (2)在旋转的过程中，当与互余时，求t的值． 【变式2】（24-25七年级上·浙江·期末）综合探究：探究旋转过程中角度之间的关系． 已知点O是直线上一点，．现将直角三角尺的直角顶点放在点O处，并绕着点O旋转． (1)如图1，落在直线上，若，求的度数． (2)将直角三角尺旋转至图2所示的位置，请判断和是否互补，并说明理由． (3)将直角三角尺旋转至图3所示的位置，若平分，，求的度数．（用含β的代数式表示） 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·北京·月考）用一个能放大100倍的放大镜看一个的角，这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山西运城·月考）当时钟指向上午时，时针与分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·天津·期末）已知，且三个角的和为，则为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）已知，则的补角是（   ） A． B． C． D． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）射线是的四等分线，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25六年级上·上海·月考）计算： ． 8．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）已知一个角的补角比这个角大，则这个角的大小为 ． 9．（2025七年级上·吉林长春·专题练习）如图，，平分，且，度数是 ． 10．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图所示，一位同学把锐角的顶点放在量角器的中心，角的边、的读数分别为35、85，则的补角为 度． 11．（20-21七年级上·山西临汾·期末）如图，点O是上一点，分别平分．则的余角为 ． 12．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图所示，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且恰好平分，则的度数是 ． 三、解答题 13．（25-26七年级上·河南周口·期中）如图，已知，平分，平分，求的度数． （要求：写出解题过程并注明理由） 14．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，O是直线上一点，以O为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 15．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若与互为余角，求的度数． (2)若平分，，求的度数． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，是平角． (1)若，则的度数为________ (2)在（1）的条件下，请你求出的补角的度数． (3)若OB平分，求出的余角的度数． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（23-24七年级上·广西梧州·期末）若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（    ） A． B． C． D． 2．（2025六年级上·全国·专题练习）在同一平面内有，则的度数是（） A． B． C．或 D．或 3．（25-26七年级上·黑龙江绥化·开学考试）把钟面上的时针与分针都看作射线，时针与分针就构成一个角，从6点钟到12点钟，当分针指向12时，时针此时恰好与分针构成的角，则此时是（   ） A．7点钟 B．8点钟 C．9点钟 D．10点钟 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，点A、O、B在同一直线上，平分，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 6．已知，，平分，平分，则的度数是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 7．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图所示的正方形网格中，点、、是格点，则 ．（填“”，“”或“”） 8．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，已知，从点引一条射线，作的角平分线，作的角平分线，的度数为 °． 9．（24-25九年级下·河南信阳·月考）如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 10．（22-23七年级上·山西太原·期末）如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为 ．    11．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，若，于点，，，则 ． 12．（22-23七年级上·湖南株洲·期末）如图，点О是量角器的中心点，射线OM经过刻度线90．若．射线OA、OB分别经过刻度线40和60，在刻度线OM的右侧． 下列结论： ①； ②若与互补，则射线经过刻度线160； ③若，则图中共有5对角互为余角． 其中正确的是 （填序号） 三、解答题 13．（2025七年级上·全国·专题练习）点O是直线上一点，线段绕点O旋转，平分，过点O作（在的右侧），平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 14．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点O是直线上一点，与互为余角，是的平分线． (1)求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数 15．（24-25七年级下·陕西宝鸡·开学考试）以直线上一点为端点作射线使，将一个直角三角形的直角顶点放在处（注：）． (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则____________； (2)如图2，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请问所在射线是不是的平分线？ (3)将三角板绕点逆时针转动，当边与重合时停止，转动到某个位置时，若恰好，求的度数． 16．（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）综合探究：在数学研究中，计算观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．如图1，是直线上的一点，平分．数学兴趣小组小明和小强在活动中，通过不断探究发现： 【观察计算】（1）如图1，当，求的度数； 【类比猜想】（2）在图1中，当，试猜想的度数（用含的代数式表示），并证明你的猜想； 【拓展探究】（3）在（2）的基础上，将绕着顶点顺时针旋转，使得的两条边中至少有一条边在直线的下方，探究和之间的数量关系，请直接写出你的结论． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $