专题06：突破线段的中点、线段的和差计算（3大考点+8大重点常考题型）2025-2026学年苏科版七年级上学期数学期末复习最常考16大重点专题突破系列

2025-2026苏科版七上期末专题复习——16大重点专题突破系列 专题06：突破线段的中点、线段的和差计算 目录 【课标要求】 1 【突破一：考点知识突破】 1 【突破二：重点题型突破】 2 题型一：线段的和差计算（注意多解问题，易错） 2 题型二：线段中点计算（注意多解问题，易错） 4 题型三：线段的双中点问题 7 题型四：线段的计算综合问题 10 题型五：线段上的动点问题 16 题型六：线段上的三等分点问题（注意多解问题，易错） 23 题型七：线段和差是否为定值问题 （难度较大，多为压轴题） 27 题型八：线段和差、中点及尺规作图综合问题 36 【突破三：基础运用突破】 40 【突破四：能力提升突破】 46 【课标要求】 1．理解线段的中点的概念、线段和差的概念，会进行线段的和差计算；【填空题、解答题】 2．会用分类讨论的数学思想解决关于线段和差、线段的中点多解问题；【选择题、填空题、解答题】 【突破一：考点知识突破】 考点1：线段的大小比较 1.线段的大小比较方法： 方法1：度量法；方法2：叠合法. 考点2：线段的和差 线段的和与差： 【易错提醒】：线段的和差计算时，对不能确定的情况要按照点的位置不同分情况讨论，否则容易出现漏解的情况。 考点3：线段的中点： 文字语言：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点． 图形语言： 符号语言：AC=BC=AB或AB=2AC=ABC 【突破二：重点题型突破】 题型一：线段的和差计算（注意多解问题，易错） 【例题1】．如图，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查线段的和差关系及其在几何图形中的简单应用．先通过图形确定点在线段上，再利用线段和差关系得出，代入已知长度计算后选出对应答案． 【详解】解：从图中能看出点在之间， ∴ ∵，， ∴． 故选：A． 【变式1】．线段，点C在线段所在的直线上，且．则线段的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差．利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 当点在线段的右侧和在线段上，进行分类讨论，求解即可． 【详解】解：当点在线段的右侧时：； 当点在线段上时：， 综上：的长为：或． 故选：C． 【变式2】．已知线段，在线段所在的直线上画线段，则线段 ． 【答案】5或19 【分析】本题主要考查了线段的和差，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由于点C在线段所在直线上的位置不确定，需分点C在点B右侧和点C在点B左侧两种情况求解． 【详解】解：当点C在点B右侧时，； 当点C在点B左侧时，， 所以线段的长度为或． 故答案为：5或19． 【变式3】．已知点C是直线上一点，线段，．那么A、C两点的距离是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段上两点间的距离、线段的和差等知识点．分为点C在线段上和在线段的延长线上两种情况，分别画出图形，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：①如图1，点C在线段上，则； ②如图2，点C在线段的延长线上，． 故答案为：或． 【变式4】．已知线段，点是射线上一点，且，则的长等于 ． 【答案】16或 【分析】本题考查了其他问题(一元一次方程的应用)，线段的和与差，两点间的距离等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 点C在射线上，可能位于线段上或的延长线上，根据，分两种情况讨论． 【详解】解：设，则， 当点C在线段上时，， 即，解得：， 所以； 当点C在的延长线上时，， 即，解得：， 所以， 综上所述，的长为16或， 故答案为：16或． 题型二：线段中点计算（注意多解问题，易错） 【例题2】．已知C是线段上一点，下列结论中可以确定C是线段中点的条件有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查线段的中点，根据线段中点的定义和性质，判断每个条件是否足以确定C是的中点即可． 【详解】∵C是线段上一点， ∴当或或时，C是线段中点； 不能说明C是线段的中点； 故可以确定C是线段中点的条件有①②③； 故选C． 【变式1】．如图，点D是线段的中点，若，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了中点的定义及线段和差关系，先根据中点的定义得到，再由线段和差关系求出，最后将已知条件代入即可得解． 【详解】解：∵点D是线段的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】．如图，点C是线段上一点，点D是线段的中点，则下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义， 根据线段的和差可说明A，B，再根据中点的定义解答D，进而说明C即可． 【详解】解：根据题意可知． 因为点D是的中点， 所以． 因为点C是上一点， 所以，， 所以A，B，D成立，C不成立． 故选：C． 【变式3】．已知是线段中点，，若是直线上一点，且，则 ． 【答案】2或10 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据线段中点的定义可得的长，再分点E在线段上和点E在线段的延长线上两种情况，根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵是线段中点，， ∴， 当点E在线段上时，； 当点E在线段的延长线上时，； 综上所述，的长为2或10； 故答案为：2或10． 【变式4】．点在直线上，，点为的中点，则的长为 ． 【答案】3或7 【分析】此题考查了线段中点的相关计算，分情况求解是解题的关键．点C在直线上，可能在线段上或线段的延长线上，需分两种情况计算的长度即可． 【详解】解：当点在线段上时， ， 点为的中点， 故， 此时； 当点在线段的延长线上时， ， 点为的中点，， 故， 此时． 故的长为3或7. 故答案为：3或7. 题型三：线段的双中点问题 【例题3】．如果三点在同一直线上，且线段，若分别为的中点，那么两点之间的距离为（    ） A． B．或 C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差、线段中点的定义，分两种情况：点C在的延长线上和点C在上，然后画出图形，根据线段的和差、线段中点的定义分别解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，当点C在的延长线上， ∵点M，N为，的中点， ∴，， ∴； 如图，当点C在上， ∵点M，N为，的中点， ∴，， ∴； 故选：C． 【变式1】．如图，、是线段的三等分点，E是线段的中点，如果，求的长． 【答案】的长度为 【分析】本题考查线段的和差计算，根据题意得出线段之间的关系是解题的关键． 由、是线段的三等分点，得，E是线段的中点，，结合线段和差计算，得出，故可解出的长度． 【详解】解：∵、是线段的三等分点， ∴， ∵E是线段的中点， ∴， ∴， 即， 解得． 【变式2】．如图，点是线段上一点，点是的中点，． (1)若，求的长； (2)若，点是的中点，求的长． 【答案】(1)15 (2)7 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的定义． （1）根据线段中点的定义得到，进而根据计算即可； （2）根据得到，根据线段中点的定义得到，，根据计算即可． 【详解】（1）解：∵，点是的中点， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴． ∵点是BD的中点， ∴， ∴． 【变式3】．如图，，已知点在线段上，点、分别是线段、的中点． (1)若，求线段的长度； (2)若点为线段上的动点，线段的长度是否为定值？请说明理由． 【答案】(1) (2)线段的长度为定值10，理由见解析 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，熟知线段中点的定义是解题的关键． （1）先求出的长，再由线段中点的定义求出的长，最后根据线段的和差关系可得答案； （2）由线段中点的定义可得，根据，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，，且点在线段上， ∴， ∵点、分别是线段、的中点， ∴， ∴； （2）解：线段的长度为定值10，理由如下： ∵点、分别是线段、的中点， ∴， ∵， ∴， ∴线段的长度为定值10． 【变式4】．已知：如图，，点是线段的中点，点在线段上，且满足． (1)求线段的长； (2)若点为线段上一点，且，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了线段的和差，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据线段中点的定义求出，进而根据线段比即可求解； （2）分点在点左侧和右侧两种情况，根据线段的和差关系解答即可求解． 【详解】（1）解：，点是线段的中点， ， ， ； （2）解：当点在点左侧时，如图， ，， ； 当点在点右侧时，如图， ，， ； 综上，线段的长为或． 题型四：线段的计算综合问题 【例题4】．如图，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)若，求线段的长度． (2)画图：延长线段至点E，使 (3)在（2）的条件下，F是线段的中点，且，则 ． 【答案】(1)6cm (2)见解析 (3)2 【分析】本题考查线段中点的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）根据线段中点的性质得到，进而得到； （2）延长线段，在，延长线上取即可； （3）根据题意易得，根据线段中点的性质得到，进而得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：点C是线段的中点，点D是线段的中点 ； （2）解：如图，点E即为所求； （3）解：、 是线段的中点 故答案为：2． 【变式1】．如图，为线段延长线上一点，为线段上一点，． (1)图中共有________________条线段． (2)若，求的长； (3)若，为的中点，求的长． 【答案】(1)6 (2)15 (3)9 【分析】本题主要考查线段的和差关系，线段的中点问题： （1）根据线段的定义即可求解； （2）根据，可求得，据此即可求得答案； （3）先求得，进而可求得，根据线段中点的定义，可求得． 【详解】（1）解：图中有线段：共6条线段， 故答案为：6； （2）解：， ． ， ． ， ． （3）解：， ． ， ． 是的中点， ． ． 【变式2】．（1）如图，点在线段上，点、分别是，的中点． ①若，求线段的长； ②若为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能用含字母的代数式表示的长度吗？请直接写出你的答案； （2）如图，若在线段的延长线上，且满足、分别为的中点，你能用含字母的代数式表示的长度吗？写出你的结论，并说明理由． 【答案】（1）①7.5；② （2），理由见解析 【分析】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意、准确得到线段间的数量关系是解题的关键． （1）①根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解； ②根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解； （2）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）①解：分别是的中点， ， ； ②； ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 分别是的中点， ， ， ． 【变式3】．如图，已知A，B，C，D四点在同一线段上，线段． (1)若点C是线段的中点，，求线段的长度； (2)若点C满足，，求线段的长度． 【答案】(1)6 (2)2 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和与差，线段之间的数量关系等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先根据线段中点的意义求得，再根据，得出，根据，得出，从而可求得，进而求得； （2）先根据，得出，，再根据，求得，，从而可利用求解． 【详解】（1）解：∵点C是线段的中点，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴． 【变式4】．如图，已知点，分别是线段上的点（点在点的左侧），且，点为线段中点． (1)若，，求线段的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了线段的和差，能根据题意得出图中各线段的关系是解题的关键． （1）先求出的长，再进一步求出的长即可； （2）设，，由，得出m，n的关系，再用m，n表示出和即可解决问题． 【详解】（1）解：，， ， ，点为线段中点， ， ， ； （2）解：设，，则， ， ， ， ， ， ， ． 题型五：线段上的动点问题 【例题5】．如图，线段，点C是线段上的一个动点，点C从点A出发，以每秒2个单位的速度从点A运动到点B，再从点B运动到点A，然后停止，设点C运动的时间为． (1)当时， ；时， ； (2)用含t的式子表示整个运动过程中的长度； (3)设点D是线段的中点，E是线段的中点，点C从点A向点B运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由． 【答案】(1)4，6； (2)当时，；当时， (3)5． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，线段的和差以及线段中点的有关计算，分情况计算是解题关键． （1）根据题意先得出当时，点运动到点处，时，点从点处返回点，然后求出以及时的结果即可； （2）由（1）分析可知：当点从运动到点时以及当点从运动到点时，两种情况下的长度； （3）根据线段中点的相关计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知当时，点运动到点处，时，点从点处返回点， ∴ 当时，， 当时，（厘米）， 故答案为： 4，6． （2）解：由题意可知时，点C从点A运动到点B，，点C从点B处返回点A， ∴时，， 当点C从B运动到点A时，即时，； （3）解：当点C从点A向点B运动，线段的长度不变化， ∵D是线段的中点，E是线段的中点， ∴，， ∴． 【变式1】．如图，M是线段上一点，，C，D两点分别从M，B两点同时出发以，的速度沿线段向左运动．（假设C在线段上且不与点A重合，D在线段上且不与点M重合） (1)【知识技能】当点C，D运动了时，这时图中有______条线段； (2)【数学思考】当点C，D运动了时，求的值； (3)【思维延伸】当点C，D运动时，总有，求的长． 【答案】(1)10； (2)； (3)． 【分析】本题考查线段的和与差，以及动点问题， （1）确定运动1秒后点C、D的位置，以A、C、M、D、B为端点，依次找出所有线段，统计线段数量即可． （2）根据题意算出，，再由，即可解题． （3）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． 【详解】（1）运动时，点C从M向左移动，点D从B向左移动． 此时图中的线段有：、、、、、、、、、，共10条． 故答案为：10； （2）解：当点C、D运动了时，，， ， ． （3）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ； ∵， 【变式2】．如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了线段上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据题意得出，，推得，根据，，即可求出的长，即可求解； （2）由（1）可得，根据，，求出，，即可得出点为的中点； （3）由（1）可得，即，根据题意可得，推得，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设且运动时间为， ∴，， 故， 即， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则． 故答案为：． （2）解：由（1）可得， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则， 即， 故点为的中点． （3）解：由（1）可得， 即， 若点，运动到任一时刻，总有， 即， 整理得， ∴， 故的长为． 【变式3】．如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【答案】(1)①出发6秒后，；②见解析 (2)①长度不变，； 【分析】本题考查了两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键． （1）①出发秒后，则，，，建立方程，求出的值即可．②设，则，，表示出后，化简即可得出结论． （2）设，则，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：①设出发秒后， 则，， 为中点， ， ， 解得：， 出发6秒后，； ②设，则，， 为定值． （2）解：①长度不变，； 理由：如图 设， 为中点， ，， 为的中点， ①，长度不变； ②，长度变化； ①长度不变，． 【变式4】．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】本题主经考查了动点产生的线段的计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据中点，得，，根据，得； （2）①存在，当P、Q相遇时，，得，解得；当P、Q相遇后，，得，解得；②根据中点，得，得，根据，即得． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    题型六：线段上的三等分点问题（注意多解问题，易错） 【例题6】．线段的长度为12，点是的三等分点，点是的中点，求线段的长度． 【答案】10或8/8或10 【分析】本题考查了线段中点的意义，线段的和差计算，注意分类讨论是解题的关键． 根据点靠近点或点靠近点分两种情况，分别根据线段中点的意义和线段和差即可计算． 【详解】解：当点靠近点时，    ∵线段的长度为12，点是的三等分点， ∴， ∵点是的中点 ∴， ∴； 当点靠近点时，    ∵线段的长度为12，点是的三等分点， ∴， ∵点是的中点 ∴， ∴， 综上：线段的长度为10或8． 【变式1】．如图，已知线段，M、N为线段的三等分点． (1)写出图中所有线段； (2)求这些线段长度的和． 【答案】(1)线段，线段，线段，线段，线段，线段 (2) 【分析】本题主要考查了线段的定义、线段的三等分点等知识点，根据三等分点确定各线段的长度成为解题的关键． （1）根据线段的定义确定各线段即可； （2）根据线段的三等分点可得，， ，然后求出各线段的和即可． 【详解】（1）解：图中的线段有：线段，线段，线段，线段，线段，线段． （2）解：∵线段，M、N为线段的三等分点， ∴， ， ， ∴这些线段长度的和是． 【变式2】．如图，已知线段，点C是线段的中点，延长线段到点D，使． (1)求线段的长． (2)点E是线段的一个三等分点，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了线段中点的意义，线段的和差计算： （1）利用中点求出，再由求出，最后由求解即可； （2）分两种情况讨论，分别求出，再由即可求解． 【详解】（1）解：∵线段，点C是线段的中点 ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：当点为靠近点D的三等分点时，如图： 则， ∴； 当点为靠近点A的三等分点时，如图： 则， ∴， ∴的长为或． 【变式3】．已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧，若，线段在线段上移动， (1)如图1，当E为中点时，求的长； (2)当点C是线段的三等分点时，求的长． 【答案】(1)13 (2)16或12 【分析】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是需要进行分类讨论求解． （1）根据已知条件得到，，由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到； （2）当点线段的三等分点时，分两种情况：当点靠近点时，当点靠近点时，由线段的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：，， ，， 为中点， ， ， ， ； （2）解：点是线段的三等分点，， 当点靠近点时，， ， ； 当点靠近点时，， ． 【变式4】．如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)存在，画图及理由见解析 【分析】（1）根据中点定义，三等分点定义，得到，，根据，，即得； （2）以点D为圆心， 长为半径画弧，交 于点E，E即为的中点，C为的中点．理由：根据，得到，得到，得到E是的中点，根据，得到，得到C是的中点． 【详解】（1）∵点C是的中点，点D是的三等分点， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）存在，理由如下， 以点D为圆心，以长为半径画弧，交 于点E，E即为所求作，如图． 理由：∵， ∴， ∴， ∴E是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴C是的中点． 题型七：线段和差是否为定值问题 （难度较大，多为压轴题） 【例题7】．如图，已知线段，点是线段上任意一点（不与点、重合），点和点分别是线段、的中点． (1)线段是图中哪条线段的长度； (2)若，求线段的长度； (3)若点为线段的中点，则线段与线段的数量关系是______； (4)试说明，无论点如何移动，线段的长度为定值，并求出这个定值． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，数形结合是解答本题的关键． （1）由线段中点定义得，，然后根据可得答案； （2）由线段中点定义得，然后根据即可求解； （3）由（2）得，结合点为线段的中点即可求解； （4）利用（2）的过程即可解答． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点和点分别是线段、的中点， ∴， ∴； （3）解：由（2）得， ∵点为线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：； （4）解：由（2）得，． 【变式1】．如图，点A，B是数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足 (1)____，____； (2)点P从A出发以每秒2个单位向右运动，运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)C，D为数轴上两个动点（点C在点D的左侧），它们的运动方向相同，速度相同，且，若为定值的时长为3秒，为定值的时长为8秒，求点C的速度． 【答案】(1)，4 (2)4.5或9 (3)每秒个单位 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）由题意得，点P表示的数为，分别表示出、的长，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （3）利用两点间的距离求出，设，动点C，D运动的速度为，要使为定值，只有当时，才为定值，此时需要满足、分别在两侧，分析可得；要使为定值，只有当时，才为定值，此时、在之间，分析可得，联立方程即可求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，4； （2）解：由题意得，点P表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∴t的值为4.5或9； （3）解：， C，D为数轴上两个动点（点在点的左侧），它们的运动方向相同，速度相同， 长为定值， 设，动点C，D运动的速度为， 如图，要使为定值，只有当时，才为定值，此时需要满足、分别在两侧， ， 令点从出发向右运动，直到运动到时，都为定值，此时点运动的距离为的长，即， 为定值的时长为3秒， ， 如图，要使为定值，只有当时，才为定值，此时、在之间， ， 令点从出发向右运动，直到运动到时，都为定值，此时点运动的距离为的长，即， 为定值的时长为8秒， ， 即， 解得， 点的速度为每秒个单位． 【变式2】．如图，已知C，D是线段上两点；E，F两点分别是线段，上的点，且，；M，N两点分别是线段，上的点，且，． (1)如图1，已知，，若，请直接写出线段的长度：________； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求线段和的长度． (3)如图3，若，下列两个结论，①是定值，②是定值，其中只有一个是正确的，请直接写出正确结论的序号：_______，并直接写出其定值：_______． 【答案】(1)10.5 (2)； (3)①； 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差；能根据所求线段或等式用线段和差表示，并由线段中点进行等量转换是解题的关键． （1）若， 则，， 根据题意得出，可得， 再根据，即可求解． （2）若，则，，，，根据题意得出，，算出；再根据，即可算出． （3）若，则，，，，根据题意得出，表示出，得出；再根据，得出，代入①和②即可求解． 【详解】（1）解：若， 则，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：若， 则，，，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴． （3）解：若， 则，，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． ∴①，故①是定值，值为 ②不是定值； 故答案为：①，． 【变式3】．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则______________，___________，的中点所对应的数为_____________． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． ①填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为___________． ②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则当时，是否为定值？若是定值，请求出此时的定值．若不是定值，说明理由． 【答案】（1），，1.5（2）（3）①②不是定值，理由见解析 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行求解是解决问题的关键． （1）先由非负数的性质求出，进而可得的中点所对应的数； （2）求出点P表示的数为，点Q表示的数为，然后根据的中点所对应的数为，得即可； （3）①依题意可得出M对应的数； ②由（2）可知∶点P所表示的数为，点Q表示的数为，再求出点E所表示的数为，进而求出， ，从而得，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【详解】解：（1）， ，． ，． 的中点所对应的数为． （2）由题意得，点所表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得， 解得．， 当时，的中点所对应的数为． （3）①根据题意∶点M对应的数为 故答案为∶ ． ②由题意得，点E表示的数为，点F所表示的数为． ，． 当时， ； 故不是定值． 【变式4】．已知代数式是关于的二次多项式，且二次项的系数为．如图，在数轴上有点三个点，且点三点所表示的数分别为．已知． (1)求的值； (2)若动点分别从两点同时出发，向右运动，且点不超过点，点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，问代数式是否为一个定值，如果是，求出这个定值．如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，，． (2)是定值，值为2 【分析】本题考查了数轴上动点问题、多项式的定义，根据二次多项式的次数及系数，掌握数轴上两点间的距离的表示方法，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． （1）根据代数式是关于的二次多项式，得出，代数式，二次项的系数为．得出，由．可列方程求解即可； （2）设点P的出发时间为t秒，则，，，，，当时，根据线段的和差得到，，即可求出比值；当时，此时点Q与点A重合，，点F对应的数值为，点E对应的值为，进而得出，，即可求出比值． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次多项式，二次项的系数为b， ，， ， ， ， ， ， ，，． （2）设点P的出发时间为t秒， 由题意得：，，，，， 当时，如图1， ， ， ∴； 当时，此时点Q与点A重合，如图2， 此时，点F对应的数值为，点P在点O的右侧， ， 点E对应的值为， ， ， ， ； 综上，的值是定值，值是2． 题型八：线段和差、中点及尺规作图综合问题 【例题8】．如图，已知点，，，．按要求画图（尺规作图，并保留作图痕迹）； (1)画线段，画直线； (2)画射线，并在射线上取点使得； (3)画点，使的值最小． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段，两点间距离，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据线段、直线的定义画出图形； （2）根据题目要求作出图形即可； （3）根据两点之间线段最短解决问题． 【详解】（1）解：（1）如图，线段、直线即为所求； （2）解：如图，射线、点即为所求； （3）解：如图，点P即为所求． 【变式1】．如图，已知线段、，用尺规作线段，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作线段等于已知线段，熟练掌握基本作图方法是解题关键．作射线，以点为圆心，线段的长度为半径画弧交射线于点；再以点为圆心，线段的长度为半径画弧交射线于点；然后以点为圆心，线段的长度为半径画弧交线段于点，则线段即为所求． 【详解】解：如图所示，线段即为所求． 【变式2】．如图，在同一平面内有，，，四个点，利用尺规，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹，不写结论）． (1)作直线； 作射线； 连接，交于点； (2)在（1）的条件下，在射线上作线段，使得线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是解题的关键． （1）根据线、射线、线段的定义画图即可； （2）以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，则；再以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，则，因此，线段即为所求作的． 【详解】（1）解：如图所示，直线、射线、点即为所求作的； （2）解：如图所示，线段即为所求作的． 【变式3】．如图，已知线段和线段． (1)用直尺和圆规在线段上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若点是的中点，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图—线段的倍数，线段中点的性质，线段的和差等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段的倍数进行尺规作图即可； （2）根据线段的中点性质以及线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）解：如图1所示，点即为所求； （2）解：如图2． 因为点是的中点，， 所以． 因为，， 所以． 所以． 【变式4】．尺规作图：如图，已知线段，，，作一条线段，使它等于． 作法：①在线段的延长线上作线段；②在直线上作线段；③画一条直线；④在线段的延长线上作线段；⑤在线段上作线段． (1)正确的作图排序是 ； (2)在虚线框内完成作图，画出尺规界限，保留作图痕迹； (3)所求作的线段是线段 ． 【答案】(1)③②①④⑤ (2)见详解 (3) 【分析】本题考查尺规作线段的和差．熟悉根据已知线段作线段的和差的方法是解题的关键． （1）尺规作线段和差的顺序：先画直线，再依次截取线段完成“和”的构造，最后截取线段完成“差”的构造，依次排列作图的顺序即可． （2）具体的作图顺序：先确定作图的基础直线，再依次作线段、、，表示线段的和，最后在线段的内部作线段，即为从线段减去，即为所求． （3）最后得到线段即为所求． 【详解】（1）解：先画直线，再依次截取线段、、完成，最后截取线段完成，依次排列作图的顺序即为：③②①④⑤； 故答案为：③②①④⑤； （2）解：如图所示，先确定作图的基础直线，再依次作线段、、，表示线段的和，最后在线段的内部作线段，即为从线段减去，线段即为所求； （3）解：线段即为． 故答案为：． 【突破三：基础运用突破】 （本关共10题，包含期末考必考基础考点，限时15分钟） 1．如图，点A，B，C在直线l上．下列说法正确的是（   ） A．点A在线段上 B．射线与射线是同一条射线 C．点C在线段的延长线上 D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与线段的关系，线段与线段的关系，射线的判定．根据点与线段的关系，线段之间的关系，射线的判定判断即可． 【详解】解：A、点A在线段的延长线上，故本选项错误，不符合题意； B、射线与射线不是同一条射线，故本选项错误，不符合题意； C、点C在线段的延长线上，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 2．在下列现象中，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线和线段的性质，用直线的性质和线段的性质逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：A、B、D都可以用“两点确定一条直线”来解释， C可以用“两点之间，线段最短”来解释， 故选：C． 3．如图，是线段上一点，为的中点，为的中点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和与差，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键． 先根据线段中点的定义求出，再求，然后根据线段中点的定义求，最后求出即可． 【详解】解：∵为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵为的中点， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图1，已知线段，在直线上作线段，再在线段的延长线上作线段，得到线段，在线段上作线段，如图2所示，则线段的长是（   ） A．a B．b C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图-尺规作图的定义，解题的关键是掌握线段的和差定义．利用线段和差定义判断即可． 【详解】解：由作图可知，，，， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，点在线段上，点是的中点，，，在线段上取一点，使得，则线段的长是（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，与线段中点有关的计算，正确理解题意理清线段之间的关系是解题的关键． 先根据线段的和差关系求出，由线段中点的定义即可求出，再根据线段之间的关系求出的长即可得到答案． 【详解】解：，， ． ∵点是的中点， ． ， ， ． 故选：B． 6．如图，点是线段上一点，，，分别是和的中点，，，则线段的值（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是两点间的距离，关键是通过中点确定所求线段和整体线段的数量关系，进而求解． 根据线段中点的定义可得，再利用可得答案． 【详解】解：是的中点， ，． ． 是中点， ． ． 故选：D． 7．如图，点C，D在线段上，且，，下列结论正确的是（ ） A．点D是线段的中点 B．点C是线段的中点 C．点D是线段的三等分点 D．点C是线段的三等分点 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段等分点的计算．根据题干条件分析线段间的数量关系，进而判断各项，即可解题． 【详解】解：， 点C是线段的中点，故B结论错误，不符合题意； ， ， 点D是线段的中点， 故A结论错误，不符合题意； ，即点D是线段的四等分点，故C结论错误，不符合题意； 又有，即点C是线段的三等分点，故D结论正确，符合题意； 故选：D． 8．如图，点C是线段上一点，点D是线段的中点，则下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义，根据线段的和差可说明B，C，再根据中点的定义解答D，进而说明A即可． 【详解】解：根据题意可知；因为点D是线段的中点，所以；因为点C是线段上一点，所以，，所以B，C，D成立，A不成立． 故选：A． 9．如图，点是线段的中点．点在线段上，且，． (1)求线段的长度． (2)若点在射线上，且，请求出线段的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段和差，分类讨论是解题的关键． （1）首先求出，然后由线段中点的性质得到，进而求解即可； （2）首先求出，根据题意分两种情况讨论：当点在线段上时和当点在线段的延长线上，然后利用线段的和差求解即可. 【详解】（1）解：∵cm，cm， ∴， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， 如图，当点在线段上时， ∴； 如图，当点在线段的延长线上时， ∴. 综上所述，的长度为或． 10．（1）如图，已知点在线段上，且，点分别是的中点，求线段的长度． 解：（1），______ ∴______＝______ ，点N是的中点 ∴______＝______ ______ ∴线段的长度为 （2）若点C是线段上任意一点，且，，点M、N分别是，的中点，求；（用含a、b的代数式表示） 【答案】(1)点是的中点，，，，；(2) 【分析】此题考查了线段中点的性质，解题的关键是根据题干信息和图形得出各线段的关系． （1）根据题意可知，点分别是的中点，则，再根据即可求得； （2）把第一问中的具体值换成，即可解得. 【详解】解：（1），点是的中点， ， ，点是的中点， ， ， 线段的长度为， 故答案为：点是的中点，，，，； （2）， ， 点分别是的中点， ，， ， 线段的长度为． 【突破四：能力提升突破】 1．如图，点是线段的中点，点是线段的中点，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段中点定义，以及等式的转化等，熟练掌握中点的定义是解题的关键． 因为点C、D分别是线段的中点，所以线段间存在长度相等，通过替换等检验选项是否正确． 【详解】解：∵点C是线段的中点，点D是线段的中点， ∴，， A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，不正确，符合题意． 故选：D． 2．若A，B，C三点在同一直线上，线段，，点E，F分别是线段，的中点，则线段的长为（ ）． A．8 B．4 C．8或2 D．8或4 【答案】D 【分析】本题考查线段的和差计算，线段的中点，掌握相关知识是解决问题的关键．由于点A、B、C在同一直线上，但相对位置不确定，需分情况讨论：当点B在点A和点C之间时，；当点C在点A和点B之间时，． 【详解】解：∵E是的中点，， ∴， ∵F是的中点，， ∴， 情况1：点B在点A和点C之间， ∴， 情况2：点C在点A和点B之间， ∴， 综上，的长为或． 故选：D． 3．直线l上有A，B，C三个点，已知，点D是的中点，且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的有关计算和一元一次方程的应用，分类讨论是解答此题的关键．分两种情况讨论：点A在线段上或点A不在线段上，设，则，然后利用中点性质和列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ①如图，当点A在线段上时，点的顺序为B、A、C， 则， ∵点D是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点A不在线段上时，顺序为A、B、C， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 故选：C． 4．已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，则线段的长度是（   ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是线段中点的有关计算及线段的和差计算，点C在直线上，可能在线段上或延长线上，分两种情况计算的长度即可． 【详解】解：当点C在线段上时， ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴； 当点C在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴的长度为或， 故选：D． 5．已知，且点M和N分别是和的中点，现将线段和放在同一条直线上，使得点A与点C重合，则此时的为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了线段的计算，理解题意并分类讨论是解题的关键． 线段和放置时点与点重合，但点和点可能位于点的同侧或异侧，需分两种情况计算． 【详解】解：设点与点重合于点， ∵是的中点，， ∴ ， ∵ 是的中点，， ∴ ， 情况一：点与点在点同侧，如图： 则； 情况二：点与点在点异侧，如图： 则． 综上，或． 故选：D． 6．已知数轴上三点，，表示的数分别为，0，4，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为线段靠近点的三等分点，点始终为靠近点的三等分点，点在从点出发往右运动的过程中，则线段的长度为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，数轴上两点的三等分点的计算公式，设运动时间为，点的运动速度为，则点表示的数为，再根据数轴上两点的三等分点的计算公式得到点表示的数和点表示的数，再求两个数差的绝对值即可． 【详解】解：设运动时间为，点的运动速度为，则点表示的数为， ∵点始终为线段靠近点的三等分点， ∴点表示的数为 点始终为靠近点的三等分点， 点表示的数 所以 故答案为8． 7．将一根绳子对折成一条线段，C为线段上一点，，在C处将绳子剪断，得到的三根短绳中最长的一根绳子的长为，则绳子的原长为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查线段之间的和差倍分，通过分类讨论，是以A或者B为折点进行对折，即可求解，解题关键在于要进行分类讨论，不漏解． 【详解】解：对折后如图所示： 若以为对折点，最长的为， 则，， 绳子原长； 若以为对折点，最长的为， 则， 绳子原长， 故答案为：或． 8．已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差，根据题意画出图形，再分点在、之间与点在点的延长线上两种情况进行讨论．熟练掌握线段等分点的性质和线段的和差计算及分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】解：如图1， ∵为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2， ∵为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：的长是或． 9．如图，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点（），则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了中点的定义，三等分点，线段的和差，根据三等分点及可得，进而可得，得到，即可判断①；进而可得，得到，再根据中点的定义得到，即得，即可判断②；由可得，据此可判断③；由，进而可判断④，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵是的三等分点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的有②④， 故答案为：②④． 10．如图，嘉淇设计了一个电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有等距分布的A，B，C，D四点，当出现光点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，光点P就会发出红光，则从光点P沿直线l从点A出发移动到终点D的过程中，发出红光的次数最多有 次． 【答案】5 【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，利用整体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候，光点P就会发出红光， ∵图中共有线段，它们共有6个中点，其中线段和的中点重合， ∴最多亮5次红灯． 故答案为：5． 11．综合与实践 【问题背景】 已知为线段的中点，点在线段上（不与点，重合）． 【初步探究】 （1）如图1，若，；则线段的长为_____． （2）如图1，若，，求线段的长． 【拓展延伸】 （3）如图2，若，为的中点，，求线段的长． 【答案】（1）1；（2）；（3）24 【分析】本题考查线段中点的定义，线段的和差． （1）根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可； （2）根据线段中点的定义可得，再由得，进而可得答案； （3）根据线段中点的定义可得，，再根据，得到，求出即可． 【详解】解：（1）∵点D是的中点，，， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）∵点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， 即的长为； （3）∵点D是的中点， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：线段的长为24． 12．综合与探究： 问题情境： 已知：M，N分别是线段，的中点． 初步探究： （1）如图（1），点C在线段上，且，，求线段的长． 问题解决： （2）若C为线段上任意一点，且，，求出线段的长（用含有a，b的代数式表示）． 类比应用： （3）若点C在线段的延长线上，且，，请你画出图形，并直接写出线段的长（用含有a，b的代数式表示）． 拓展延伸： （4）已知：如图（2），C为线段的中点，D为线段的中点，E为线段上任意一点，M为线段的中点，，，请你直接写出线段的长（用含有m，n的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）见解析， ；（3）；（4） 【分析】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．在不同的情况下，灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． （1）根据点、分别是、的中点，先求出、的长度，再利用即可求出的长度； （2）当为线段上一点，且、分别是、的中点，可表示线段、的长度，再利用，则存在； （3）点在的延长线上时，根据、分别是、中点，可表示线段、的长度，再利用，即可求出的长度； （4）根据，，得，根据中点的性质得，所以． 【详解】解：（1） ，点是的中点， ， ，点是的中点， ， ， 线段的长度为7.5． （2）∵点，分别是线段，的中点， ，， ； （3） 当点在线段的延长线时，如图∶ 则， 是的中点， ， 点是的中点， ， ； （4）点，，分别是线段，，的中点， ，，， ，， ， ， ． 13．已知线段，P为线段的中点． (1)E为线段上一点，D为线段的中点． ①若，求线段的长． ②若，求线段的长． (2)若C为直线上一点，，Q为线段的三等分点，求的长（直接写出结果）． 【答案】(1)①或；②或 (2)8或10或20或16 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差计算以及分类讨论思想，掌握线段中点的定义，线段的和差计算以及分类讨论思想是解本题的关键，注意考虑点在不同侧的情况． （1）①由P为线段的中点，可得的长，再由在的左侧和右侧分别求出的长，进而即可求出的长；②设线段的长为，则，由可得，分两种情况讨论，即和求出x的值，进而可得线段的长； （2）分两种情况讨论，即在线段上和在线段的延长线上（B点右侧），分别计算出的长即可． 【详解】（1）解：，P为线段的中点， ， ，在线段上， 或， 为线段的中点， ，即或， 或， 答：线段的长或； ②解：设线段的长为，则， ，且， ， 分两种情况讨论： 当时，，方程， 解得：， 当时，，方程， 解得：， ， 即：当时，， 当时，， 答：线段的长或． （2）解：为直线上一点，， 分两种情况讨论： 在线段上， ，且， ， 解得，， 为线段的三等分点， 或， 为的中点，，， 点坐标（设A为原点）为18， 当时，点坐标为，， 当时，点坐标为，， 在线段的延长线上（B点右侧）： ，且， ， 解得：，， 为线段的三等分点， 或， 点坐标为， 当时，点坐标为，， 当时，点坐标为，， 答：的长为8或10或20或16． 14．如图，线段上有C，D两点，且，M，N分别是线段的中点． (1)若，，求线段的长； (2)在（1）的条件下，若E是线段上一点，且，求线段的长． 【答案】(1) (2)线段的长为或 【分析】本题考查了中点的定义及线段和差的计算； （1）根据题意得出，进而根据中点的性质，，即可求解； （2）依题意，①当点E在点C的左边时，②当点E在点C的右边时，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：因为，， 所以． 又因为M，N分别是线段的中点， 所以，， 所以． （2）解：因为， 所以． ①当点E在点C的左边时，． ②当点E在点C的右边时，． 综上，线段的长为或． 15．如图，为线段延长线上一点，为线段BC上一点，． (1)若，，求的长． (2)若，，是的中点，求的长． 【答案】(1)15 (2)9 【分析】本题主要考查线段的和差关系，线段的中点的有关计算问题，掌握线段和差关系和中点定义是本题的关键； （1）根据得到，可求得，由此可求得； （2）先求得，进而可求得，根据线段中点的定义，可求得，进而可求得的长． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为； （2）解： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴的长为． 16．如图①，点M在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； (2)如图②，若，点N是线段的二倍点，则 ；（用含a的代数式表示） (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移动，设移动的时间为，求当t为何值时，点Q恰好是线段的二倍点． 【答案】(1)是 (2)或或 (3)为或时，点恰好是线段的二倍点 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键. （1）利用中点及“二倍点”的定义，即可得出一条线段的中点是这条线段的“二倍点”； （2）设，则，根据点是线段的二倍点，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用时间路程速度，可求出点到达点及点与点相遇所需时间，当时，表示，，的长，根据点是线段的二倍点，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论. 【详解】（1）解：根据题意得：一条线段的中点是这条线段的“二倍点”， 故答案为：是； （2）解：设，则， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，或或， 故答案为：或或； （3）解：(秒)，(秒)， 当时，，，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 答：当为或时，点恰好是线段的二倍点． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026苏科版七上期末专题复习——16大重点专题突破系列 专题06：突破线段的中点、线段的和差计算 目录 【课标要求】 1 【突破一：考点知识突破】 1 【突破二：重点题型突破】 2 题型一：线段的和差计算（注意多解问题，易错） 2 题型二：线段中点计算（注意多解问题，易错） 3 题型三：线段的双中点问题 3 题型四：线段的计算综合问题 5 题型五：线段上的动点问题 6 题型六：线段上的三等分点问题（注意多解问题，易错） 9 题型七：线段和差是否为定值问题 （难度较大，多为压轴题） 10 题型八：线段和差、中点及尺规作图综合问题 13 【突破三：基础运用突破】 15 【突破四：能力提升突破】 15 【课标要求】 1．理解线段的中点的概念、线段和差的概念，会进行线段的和差计算；【填空题、解答题】 2．会用分类讨论的数学思想解决关于线段和差、线段的中点多解问题；【选择题、填空题、解答题】 【突破一：考点知识突破】 考点1：线段的大小比较 1.线段的大小比较方法： 方法1：度量法；方法2：叠合法. 考点2：线段的和差 线段的和与差： 【易错提醒】：线段的和差计算时，对不能确定的情况要按照点的位置不同分情况讨论，否则容易出现漏解的情况。 考点3：线段的中点： 文字语言：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点． 图形语言： 符号语言：AC=BC=AB或AB=2AC=ABC 【突破二：重点题型突破】 题型一：线段的和差计算（注意多解问题，易错） 【例题1】．如图，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．线段，点C在线段所在的直线上，且．则线段的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】．已知线段，在线段所在的直线上画线段，则线段 ． 【变式3】．已知点C是直线上一点，线段，．那么A、C两点的距离是 ． 【变式4】．已知线段，点是射线上一点，且，则的长等于 ． A．2 B． C． D．无法确定 题型二：线段中点计算（注意多解问题，易错） 【例题2】．已知C是线段上一点，下列结论中可以确定C是线段中点的条件有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．如图，点D是线段的中点，若，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【变式2】．如图，点C是线段上一点，点D是线段的中点，则下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．已知是线段中点，，若是直线上一点，且，则 ． 【变式4】．点在直线上，，点为的中点，则的长为 ． 题型三：线段的双中点问题 【例题3】．如果三点在同一直线上，且线段，若分别为的中点，那么两点之间的距离为（    ） A． B．或 C．或 D．无法确定 【变式1】．如图，、是线段的三等分点，E是线段的中点，如果，求的长． 【变式2】．如图，点是线段上一点，点是的中点，． (1)若，求的长； (2)若，点是的中点，求的长． 【变式3】．如图，，已知点在线段上，点、分别是线段、的中点． (1)若，求线段的长度； (2)若点为线段上的动点，线段的长度是否为定值？请说明理由． 【变式4】．已知：如图，，点是线段的中点，点在线段上，且满足． (1)求线段的长； (2)若点为线段上一点，且，求线段的长． 题型四：线段的计算综合问题 【例题4】．如图，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)若，求线段的长度． (2)画图：延长线段至点E，使 (3)在（2）的条件下，F是线段的中点，且，则 ． 【变式1】．如图，为线段延长线上一点，为线段上一点，． (1)图中共有________________条线段． (2)若，求的长； (3)若，为的中点，求的长． 【变式2】．（1）如图，点在线段上，点、分别是，的中点． ①若，求线段的长； ②若为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能用含字母的代数式表示的长度吗？请直接写出你的答案； （2）如图，若在线段的延长线上，且满足、分别为的中点，你能用含字母的代数式表示的长度吗？写出你的结论，并说明理由． 【变式3】．如图，已知A，B，C，D四点在同一线段上，线段． (1)若点C是线段的中点，，求线段的长度； (2)若点C满足，，求线段的长度． 【变式4】．如图，已知点，分别是线段上的点（点在点的左侧），且，点为线段中点． (1)若，，求线段的长； (2)若，求的值． 题型五：线段上的动点问题 【例题5】．如图，线段，点C是线段上的一个动点，点C从点A出发，以每秒2个单位的速度从点A运动到点B，再从点B运动到点A，然后停止，设点C运动的时间为． (1)当时， ；时， ； (2)用含t的式子表示整个运动过程中的长度； (3)设点D是线段的中点，E是线段的中点，点C从点A向点B运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由． 【变式1】．如图，M是线段上一点，，C，D两点分别从M，B两点同时出发以，的速度沿线段向左运动．（假设C在线段上且不与点A重合，D在线段上且不与点M重合） (1)【知识技能】当点C，D运动了时，这时图中有______条线段； (2)【数学思考】当点C，D运动了时，求的值； (3)【思维延伸】当点C，D运动时，总有，求的长． 【变式2】．如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 【变式3】．如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【变式4】．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 题型六：线段上的三等分点问题（注意多解问题，易错） 【例题6】．线段的长度为12，点是的三等分点，点是的中点，求线段的长度． 【变式1】．如图，已知线段，M、N为线段的三等分点． (1)写出图中所有线段； (2)求这些线段长度的和． 【变式2】．如图，已知线段，点C是线段的中点，延长线段到点D，使． (1)求线段的长． (2)点E是线段的一个三等分点，求线段的长． 【变式3】．已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧，若，线段在线段上移动， (1)如图1，当E为中点时，求的长； (2)当点C是线段的三等分点时，求的长． 【变式4】．如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 题型七：线段和差是否为定值问题 （难度较大，多为压轴题） 【例题7】．如图，已知线段，点是线段上任意一点（不与点、重合），点和点分别是线段、的中点． (1)线段是图中哪条线段的长度； (2)若，求线段的长度； (3)若点为线段的中点，则线段与线段的数量关系是______； (4)试说明，无论点如何移动，线段的长度为定值，并求出这个定值． 【变式1】．如图，点A，B是数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足 (1)____，____； (2)点P从A出发以每秒2个单位向右运动，运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)C，D为数轴上两个动点（点C在点D的左侧），它们的运动方向相同，速度相同，且，若为定值的时长为3秒，为定值的时长为8秒，求点C的速度． 【变式2】．如图，已知C，D是线段上两点；E，F两点分别是线段，上的点，且，；M，N两点分别是线段，上的点，且，． (1)如图1，已知，，若，请直接写出线段的长度：________； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求线段和的长度． (3)如图3，若，下列两个结论，①是定值，②是定值，其中只有一个是正确的，请直接写出正确结论的序号：_______，并直接写出其定值：_______． 【变式3】．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则______________，___________，的中点所对应的数为_____________． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． ①填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为___________． ②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则当时，是否为定值？若是定值，请求出此时的定值．若不是定值，说明理由． 【变式4】．已知代数式是关于的二次多项式，且二次项的系数为．如图，在数轴上有点三个点，且点三点所表示的数分别为．已知． (1)求的值； (2)若动点分别从两点同时出发，向右运动，且点不超过点，点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，问代数式是否为一个定值，如果是，求出这个定值．如果不是，请说明理由． 题型八：线段和差、中点及尺规作图综合问题 【例题8】．如图，已知点，，，．按要求画图（尺规作图，并保留作图痕迹）； (1)画线段，画直线； (2)画射线，并在射线上取点使得； (3)画点，使的值最小． 【变式1】．如图，已知线段、，用尺规作线段，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式2】．如图，在同一平面内有，，，四个点，利用尺规，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹，不写结论）． (1)作直线； 作射线； 连接，交于点； (2)在（1）的条件下，在射线上作线段，使得线段． 【变式3】．如图，已知线段和线段． (1)用直尺和圆规在线段上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若点是的中点，，，求的长． 【变式4】．尺规作图：如图，已知线段，，，作一条线段，使它等于． 作法：①在线段的延长线上作线段；②在直线上作线段；③画一条直线；④在线段的延长线上作线段；⑤在线段上作线段． (1)正确的作图排序是 ； (2)在虚线框内完成作图，画出尺规界限，保留作图痕迹； (3)所求作的线段是线段 ． 【突破三：基础运用突破】 （本关共10题，包含期末考必考基础考点，限时15分钟） 1．如图，点A，B，C在直线l上．下列说法正确的是（   ） A．点A在线段上 B．射线与射线是同一条射线 C．点C在线段的延长线上 D． 2．在下列现象中，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（   ） A． B． C． D． 3．如图，是线段上一点，为的中点，为的中点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图1，已知线段，在直线上作线段，再在线段的延长线上作线段，得到线段，在线段上作线段，如图2所示，则线段的长是（   ） A．a B．b C． D． 5．如图，点在线段上，点是的中点，，，在线段上取一点，使得，则线段的长是（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 6．如图，点是线段上一点，，，分别是和的中点，，，则线段的值（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，点C，D在线段上，且，，下列结论正确的是（ ） A．点D是线段的中点 B．点C是线段的中点 C．点D是线段的三等分点 D．点C是线段的三等分点 8．如图，点C是线段上一点，点D是线段的中点，则下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，点是线段的中点．点在线段上，且，． (1)求线段的长度． (2)若点在射线上，且，请求出线段的长度． 10．（1）如图，已知点在线段上，且，点分别是的中点，求线段的长度． 解：（1），______ ∴______＝______ ，点N是的中点 ∴______＝______ ______ ∴线段的长度为 （2）若点C是线段上任意一点，且，，点M、N分别是，的中点，求；（用含a、b的代数式表示） 【突破四：能力提升突破】 1．如图，点是线段的中点，点是线段的中点，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 2．若A，B，C三点在同一直线上，线段，，点E，F分别是线段，的中点，则线段的长为（ ）． A．8 B．4 C．8或2 D．8或4 3．直线l上有A，B，C三个点，已知，点D是的中点，且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 4．已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，则线段的长度是（   ） A．或 B． C．或 D．或 5．已知，且点M和N分别是和的中点，现将线段和放在同一条直线上，使得点A与点C重合，则此时的为（   ） A． B． C．或 D．或 6．已知数轴上三点，，表示的数分别为，0，4，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为线段靠近点的三等分点，点始终为靠近点的三等分点，点在从点出发往右运动的过程中，则线段的长度为 ． 7．将一根绳子对折成一条线段，C为线段上一点，，在C处将绳子剪断，得到的三根短绳中最长的一根绳子的长为，则绳子的原长为 ． 8．已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ． 9．如图，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点（），则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 10．如图，嘉淇设计了一个电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有等距分布的A，B，C，D四点，当出现光点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，光点P就会发出红光，则从光点P沿直线l从点A出发移动到终点D的过程中，发出红光的次数最多有 次． 11．综合与实践 【问题背景】 已知为线段的中点，点在线段上（不与点，重合）． 【初步探究】 （1）如图1，若，；则线段的长为_____． （2）如图1，若，，求线段的长． 【拓展延伸】 （3）如图2，若，为的中点，，求线段的长． 12．综合与探究： 问题情境： 已知：M，N分别是线段，的中点． 初步探究： （1）如图（1），点C在线段上，且，，求线段的长． 问题解决： （2）若C为线段上任意一点，且，，求出线段的长（用含有a，b的代数式表示）． 类比应用： （3）若点C在线段的延长线上，且，，请你画出图形，并直接写出线段的长（用含有a，b的代数式表示）． 拓展延伸： （4）已知：如图（2），C为线段的中点，D为线段的中点，E为线段上任意一点，M为线段的中点，，，请你直接写出线段的长（用含有m，n的代数式表示）． 13．已知线段，P为线段的中点． (1)E为线段上一点，D为线段的中点． ①若，求线段的长． ②若，求线段的长． (2)若C为直线上一点，，Q为线段的三等分点，求的长（直接写出结果）． 14．如图，线段上有C，D两点，且，M，N分别是线段的中点． (1)若，，求线段的长； (2)在（1）的条件下，若E是线段上一点，且，求线段的长． 15．如图，为线段延长线上一点，为线段BC上一点，． (1)若，，求的长． (2)若，，是的中点，求的长． 16．如图①，点M在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； (2)如图②，若，点N是线段的二倍点，则 ；（用含a的代数式表示） (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移动，设移动的时间为，求当t为何值时，点Q恰好是线段的二倍点． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $