第八章 整式乘法（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材苏科版七年级下册

第八章 整式乘法·培优卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·江西南昌·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确把握单项式乘以单项式法则是解题关键．首先利用积的乘方进行化简，进而利用单项式乘以单项式法则求出即可． 【详解】解： 故选：D． 2．（25-26八年级上·云南曲靖·月考）已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是代数式求值和单项式乘以多项式，解题关键是根据所求代数式的特征，恒等变形为已知等式的形式，整体代入求解． 根据所求代数式，将已知中的变形得到，整体代入即可得解． 【详解】解：， ， ， 又， ， 原式 ． 故选：． 3．（2025八年级上·河北·专题练习）若的计算结果中项的系数为，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式混合运算的无关型问题，掌握相关运算法则是解题关键．展开多项式乘积，找出项的系数，并令其等于，解方程求m即可． 【详解】解： ∵计算结果中项的系数为， ∴， ∴， 故选：B． 4．计算的结果是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键．通过平方差公式进行化简，再合并即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 5．（25-26八年级上·吉林长春·期末）若，则代数式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行运算，熟记完全平方公式是解题关键．将题中等式变形为，利用完全平方公式进行运算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：A． 6．（25-26八年级上·山西晋城·月考）如图，把一块原长为，宽为的长方形草坪，加长了，加宽了，则扩大后的草坪面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方形面积的计算及代数式的应用，先分别求出长和宽变化后的长度，再根据长方形面积公式计算扩大后的草坪面积． 【详解】解：原来长方形草坪长为，加长了，则扩大后草坪的长为， 原来长方形草坪宽为，加宽了，则扩大后草坪的宽为， ∴扩大后的草坪面积为， 故选：B． 7．已知，则当，的值为（    ） A．25 B．20 C．15 D．10 【答案】A 【分析】把所求的式子化简成已知式子是解此类题的关键. 【详解】 ,, ∴d=25 选A 【点睛】式子的变形，一定是加了多少就要减去多少才能保持不变. 8．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如果一个数（n为整数），那么我们称这个数a为“奇差数”．下列数中为“奇差数”的是（   ） A．66 B．88 C．94 D．126 【答案】B 【分析】先化简“奇差数”的表达式，得到，即“奇差数”是 8 的倍数，再验证各选项是否能被 8 整除． 本题考查了平方差公式的应用，化简是解题关键． 【详解】解：∵ ， ∴ “奇差数”是 8 的倍数. A. ，不能被 8 整除； B. ，能被 8 整除； C. ，不能被 8 整除； D. ，不能被 8 整除. ∴ 只有 88 是“奇差数”． 故选 B． 9．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（   ） A．43 B．33 C．38 D．48 【答案】A 【分析】此题主要考查了完全平方公式的几何应用．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，则正方形A，B的面积之和为，依题意得图1中阴影部分的面积，则，再根据图2中阴影部分的面积，得，进而得，由此即可得出答案． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∴正方形A，B的面积之和为， 如图所示： 在正方形中，， ∴，， ∴图1中阴影部分的面积为：， ∵图1中阴影部分的面积为：5， ∴，即， 在正方形中，， ∴图2中阴影部分的面积为：， 又∵图2中阴影部分的面积为：38， ∴， ∴， ∴， ∴正方形A，B的面积之和为43． 故选：A． 10．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）把整式表示成的形式，则的最小值为（    ） A．5 B．2.5 C．7 D．3.5 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算，先利用整式的混合运算法则，结合完全平方公式将化简，因为把整式表示成的形式，得出 ，故，即可作答． 【详解】解：∵ ， 又， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 当时，则有最小值，且为． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了平方差公式的应用，利用平方差公式将代数式变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 代入，得， 故答案为：1． 12．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式及求值，根据单项式乘以单项式的法则进行计算，逆用幂的乘方，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 13．已知，，，且的值与无关，则 ． 【答案】 【分析】先根据题意列出算式，再计算单项式与多项式的乘法，最后合并，由题意得关于的方程，求解即可．此题考查的是单项式乘多项式及整式的加减，掌握其运算法则是解决此题的关键． 【详解】解： ， 的值与无关， ， ． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若是一个关于x的完全平方式，则k的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查完全平方公式；将表达式与完全平方公式对比，根据一次项系数求出常数项的值. 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴它可以写成， ∴比较系数，得，解得. ∴. 故答案为：9. 15．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知，，根据前面各式的规律，可得： ． 【答案】63 【分析】本题考查了多项式乘法的规律问题． 根据已知等式规律，直接应用多项式乘法公式求解． 【详解】解：由已知等式，可得一般规律：． 中对应， 因此． 故答案为：63． 16．建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据图形中阴影部分均为三角形，利用三角形面积公式，找到底和高可求出与面积，求面积使用正方形面积减去三个三角形面积，可求得，，利用已知条件进行多项式的化简即可得出答案． 【详解】如图所示，对需要的交点标注字母： ， ， ， ∴， ， ∵， ∴， 化简得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目考察阴影部分面积的实质是对多项式之间的化简求值，求出各部分阴影面积是题目难点． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键， （1）先计算乘方，再计算乘法即可求解； （2）根据多项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（6分）（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知关于的代数式中不含项与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、积的乘方的逆运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出，即可得出m，n的值； （2）将m，n的值代入，再利用积的乘方的逆运算进行计算即可． 【详解】（1）解： =， ∵不含x项与项， ∴， 解得：； （2）． 19．（8分）（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，李大爷想在家门口用篱笆围出一块长方形的菜地，宽，长，后来发现用这些篱笆围成了一个正方形的菜地，长方形的面积大，还是正方形的面积大？相差的面积是否与的大小有关？并说明理由． 【答案】正方形的面积大，相差的面积与m的大小无关，理由见详解 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、长方形和正方形的周长和面积、求差法比较大小，解决本题的关键是综合运用相关知识．先表示出正方形的边长为，再根据求差法比较大小，即可求解． 【详解】解：正方形的面积大，相差的面积与m的大小无关，理由 ： 依题意，正方形的边长为， 设长方形的菜地的面积为，正方形的面积为 依题意， ， ∴的值与m的大小无关． 即相差的面积与的大小无关， ∵， ∴正方形的面积大， 故正方形的面积大，相差的面积与m的大小无关． 20．（8分）（25-26八年级上·北京·期中）小明在研究了两位数的平方的规律后，进一步研究两个十位数字相同的两位数和（其中，均不为0）的乘积（其中可以是0）的规律，请帮助他解决以下问题． (1)乘积的后两位数是否一定等于？答：_____（填“是”或“否”），说明理由； (2)如果乘积的后两位数等于，且前两位数等于，那么，，应满足怎样的条件？说明理由． 【答案】(1)否 (2)， 【分析】本题考查了整式的乘法计算，找到各个数位间的数字关系并掌握整式乘法运算的计算法则准确计算是解决本题的关键． （1）根据题意，举出反例，即可求解； （2）由题意可得，化简得出，即可求解． 【详解】（1）解：乘积的后两位数不一定等于， 如两个十位数字相同的两位数和分别是和时， ， 此时乘积的后两位数是，的值为， 不满足乘积的后两位数等于， 故答案为：否． （2）解：将两个十位数字相同的两位数和分别表示为和，（其中） ， 即这两个两位数的乘积为， 根据题意可得乘积的后两位数等于，且前两位数等于， 故这两个两位数的乘积可以表示为， 即， 整理，得， ∵， ∴． 故当，时，乘积的后两位数等于，且前两位数等于． 21．（10分）（25-26八年级上·山西临汾·期中）定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若的项数比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， (2)若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______． ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)①；②，理由见解析． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义，掌握多项式乘多项式法则及新定义是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“友好多项式”的定义判断； （2）①根据“特别友好多项式”的定义解答； ②根据“特别友好多项式”的定义写出多项式，根据多项式乘多项式的法则证明即可； 【详解】（1）解：是的“友好多项式”，理由如下： ， ∵的项数比多不超过项， ∴是的“友好多项式”； （2）解：①， ∵与的项数相同， ∴是的“特别友好多项式”， 故答案为：； ②， ∵与的项数相同， ∴是的“特别友好多项式”． 22．（10分）（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 【答案】(1)； (2) ① ② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握好平方差公式的结构特征并运用数形结合思想是解题关键． （1）用代数式表示图1和图2的面积即可； （2）①由得出等式； ②将转化为，然后运用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中的阴影面积可以看作两个正方形的面积差， ∴， 图2中的阴影面积为长方形的面积，其长为，宽为， ∴； （2）①∵， ∴； ②． 23．（12分）（25-26八年级上·贵州遵义·期末）阅读理解并解答： 我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． 例如：①， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式的最小值是2； ②， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式存在最小值－7． (1)知识再现：当______时，代数式的最小值是_______； (2)知识运用：若，求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3, 3 (2)当时，y有最大值 (3) 【分析】本题考查了利用配方法（完全平方公式）求解代数式的最值，解题的关键是将代数式通过配方转化为“平方项常数”的形式，再根据平方项的非负性判断代数式的最大值或最小值． （1）对代数式进行配方，补全完全平方项，转化为；利用平方项，确定当平方项为0时，代数式取得最小值，同时求出对应的值． （2）对配方，注意二次项系数为负，转化为；由平方项非负可知，即时代数式有最大值，再代入计算具体值． （3）从方程中整理出的表达式，代入得到新代数式；对新代数式配方，根据平方项非负性求最小值． 【详解】（1）解：， ， 当，即时，代数式取得最小值，最小值为． 故答案为：3，3； （2）解： ， ，； 当，即时，有最大值，最大值； （3）解：由得； 则， 当时，取得最小值，最小值为． 24．（12分）（25-26八年级上·河北廊坊·月考）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值； 【类比应用】（2）填空：①若，则 ； ②若，则 ； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 【答案】（1）；（2）①21；②7；（3）一块直角三角板的面积为30 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景、多项式乘多项式等知识点，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据完全平方公式的变形可得答案； （2）①由，则，即，然后代入计算即可；②由可得，即，然后将代入计算即可； （3）设，，由题意可得：，再由求出的值即可解答． 【详解】解：（1）， ， ， ， ； （2）①∵， ∴，即， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴． （3）设，， ，， ， ∴， ，即， ，答：一块直角三角板的面积为30． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 整式乘法·培优卷 【新教材苏科版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·江西南昌·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·云南曲靖·月考）已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·河北·专题练习）若的计算结果中项的系数为，则的值为（  ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（   ） A． B． C．0 D． 5．（25-26八年级上·吉林长春·期末）若，则代数式为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·山西晋城·月考）如图，把一块原长为，宽为的长方形草坪，加长了，加宽了，则扩大后的草坪面积为（   ） A． B． C． D． 7．已知，则当，的值为（    ） A．25 B．20 C．15 D．10 8．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如果一个数（n为整数），那么我们称这个数a为“奇差数”．下列数中为“奇差数”的是（   ） A．66 B．88 C．94 D．126 9．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（   ） A．43 B．33 C．38 D．48 10．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）把整式表示成的形式，则的最小值为（    ） A．5 B．2.5 C．7 D．3.5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若，则代数式的值为 ． 12．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若，则的值为 ． 13．已知，，，且的值与无关，则 ． 14．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若是一个关于x的完全平方式，则k的值为 ． 15．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知，，根据前面各式的规律，可得： ． 16．建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）计算： (1)； (2)． 18．（6分）（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知关于的代数式中不含项与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 19．（8分）（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，李大爷想在家门口用篱笆围出一块长方形的菜地，宽，长，后来发现用这些篱笆围成了一个正方形的菜地，长方形的面积大，还是正方形的面积大？相差的面积是否与的大小有关？并说明理由． 20．（8分）（25-26八年级上·北京·期中）小明在研究了两位数的平方的规律后，进一步研究两个十位数字相同的两位数和（其中，均不为0）的乘积（其中可以是0）的规律，请帮助他解决以下问题． (1)乘积的后两位数是否一定等于？答：_____（填“是”或“否”），说明理由； (2)如果乘积的后两位数等于，且前两位数等于，那么，，应满足怎样的条件？说明理由． 21．（10分）（25-26八年级上·山西临汾·期中）定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若的项数比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， (2)若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______． ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． 22．（10分）（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 23．（12分）（25-26八年级上·贵州遵义·期末）阅读理解并解答： 我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． 例如：①， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式的最小值是2； ②， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式存在最小值－7． (1)知识再现：当______时，代数式的最小值是_______； (2)知识运用：若，求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值； (3)知识拓展：若，求的最小值． 24．（12分）（25-26八年级上·河北廊坊·月考）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值； 【类比应用】（2）填空：①若，则 ； ②若，则 ； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $