精品解析：重庆市开州区文峰初中教育集团2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试卷

文峰初中教育集团2025年秋季学期九年级数学学科 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 6的相反数为　　 A. -6 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义进行求解. 【详解】6的相反数为：﹣6．故选A. 【点睛】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答的关键，绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了中心对称图形定义，掌握相关知识点是解题的关键． 根据绕着某一点旋转后能够与原图形完全重合的图形即是中心对称图形，逐个判断各选项的正确性，即可求解． 【详解】解：根据中心对称图形定义，可知， A、不是中心对称图形，不符合题目要求； B、是中心对称图形，符合题目要求； C、不是中心对称图形，不符合题目要求； D、不是中心对称图形，不符合题目要求． 故选：B． 3. 下列调查方式合适的是（　　） A. 为了了解市民对70周年国庆大阅兵的感受，小华在某校随机采访了8名初一学生 B. 为了了解全校学生用于做数学作业的时间，小民同学在网上向6位好友做了调查 C. 为了了解全国青少年儿童的睡眠时间，统计人员采用了普查的方式 D. 为了了解“北斗导航”卫星零部件的状况，检测人员采用了普查的方式 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：A、为了了解市民对70周年国庆大阅兵的感受，小华在某校随机采访了8名初一学生，8名初一学生不具有代表性，调查方式不合适； B、为了了解全校学生用于做数学作业的时间，小民同学在网上向6位好友做了调查，小民的6位好友不具有代表性，调查方式不合适； C、为了了解全国青少年儿童的睡眠时间，统计人员采用了普查的方式，普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，调查方式不合适； D、为了了解“北斗导航”卫星零部件的状况，检测人员采用了普查的方式，调查方式合适； 故选：D． 4. 如图，是的直径，是上两点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据邻补角互补得到，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，邻补角互补，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 5. 如图是用◆摆放而成的图案，其中第个图中有个◆，第个图中有个◆，第个图中有个◆，第个图中有个◆，，按此规律排列下去，则第个图案中◆的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形类规律探索，第个图形比第个图形多个，第个图形比第个图形多个，依次得出规律，计算即可，熟练掌握规律是解题的关键． 【详解】解：第个图中有个◆， 第个图中有个◆， 第个图中有个◆， 第个图中有个◆， ， 按此规律排列下去， 则第个图案中◆的个数为， 故选：． 6. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先确定图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小再根据性质判定大小即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． ∵， ∴点A在第三象限， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 本题可根据科学记数法的性质，将各选项中的数进行比较大小． 【详解】选项A：，其中． 选项B：，其中． 选项C：，其中． 选项D：，其中． 因为， 所以和小于和。 由于这两个数的相同，都为，此时比较的值，， 所以． 综上，四个数中最小的是， 故选：D． 8. 某药品经过连续两次降价后，每盒的零售价由40元降为元，若两次降价的百分率相等，则降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设每次降价的百分率为x ，则两次降价后的价格为元，再列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每次降价的百分率为x ，则两次降价后的价格为元，列方程得， ， 解得：， 不符合题意舍去， 则降价的百分率为． 故选：B． 【点睛】本题考查的是为一元二次方程的应用，寻找相等关系是解本题的关键． 9. 如图，在边长为2的正方形中，E在对角线上，且，连接并延长，交边于H点，过D作于F，连接．G为上一点，且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理；证明，则可得，证明，可得，设，则，利用解直角三角形和勾股定理即可得到和，即可解答，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键． 【详解】解：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， ， ， 则， ， ， ， 故选：A． 10. 已知整式，其中为正整数，，，，，，均为自然数，记，．下列说法： （1）若，，则满足条件的整式有两个； （2）若，，则满足条件的整式中有10个六次六项式： （3）若，，则可以分解为． 其中正确的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键； 对于说法（1），由，可得和的组合有两种，且中间系数均为0，因此M有两个。 对于说法（2），由，且要求六次六项式，可得到中恰好一个为0，其余为1，且和有两种组合，共个； 对于说法（3），直接计算给定分解式的乘积，验证和成立；然后问题可求解． 【详解】解：（1）∵，，且为正整数，为自然数， ∴或； 又，且，，，，均为自然数，故， ∴M为或，有两个；故正确； （2）∵，，且M为六次六项式，即恰好一个系数为0（）， 若，则（因～均大于等于1），但与矛盾，故， ∴～中恰好一个为0，其余四个均为1（因和为4且各大于等于）， 此时有5种选择； 又，即，且，， ∴或，有2种选择， ∴一共有个M；故正确； （3） ∴，，故正确； 综上，三个说法均正确； 故选A． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求概率，概率的计算公式是，其中表示事件A发生的概率，m表示事件A发生的结果数，n表示所有可能的结果数．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：袋子里一共有个球，红球有1个． ∴摸出红球的概率． 故答案为：． 12. 如图，，直线分别与交于点E，F．若，则的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等即可解答，熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：． 13. 一个多边形的每一个内角都比外角多60°，那么这个多边形的边数是____． 【答案】6##六 【解析】 【分析】此题考查了多边形的内角与外角的关系，设这个多边形的外角为，则它的内角为，由两角互补得到，求出外角度数，利用多边形的外角和求出边数，熟练掌握多边形外角和是及相邻内外角的关系是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的外角为，则它的内角为， ∴， 解得：， ∵多边形的外角和等于， ∴这个多边形的边数为：（边）． 故答案为：6． 14. 若为正整数，且满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的取值范围，得出，又因为n为正整数，且满足，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴， 故答案为：． 15. 如图，已知是圆O的直径，弦于点H，过点B作圆O的切线交的延长线于点E，连接，F为的中点，连接．若圆O的半径为2，，则____， _____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． ①连接，根据切线的性质及含角的直角三角形的性质，求出相关边长，再根据勾股定理进行求解即可； ②过点作于点，判定出是等边三角形，得出，判定是的中位线，得出相关线段的长度，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵与相切， ∴， ∵，圆O的半径为2， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴，， ∴， ∴； 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 又∵F为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 由勾股定理得； 故答案为：． 16. 如果一个四位自然数，各个数位上的数字均不为0，若它的千位数字与个位数字的乘积恰好等于它的百位数字与十位数字组成的两位数，则称这个数为“调控数”．如：3186，，是“调控数”；又如：4297，，不是“调控数”．若一个“调控数”为，则这个数为___________；对一个“调控数”，若记为，记为，且为整数，则满足条件的“调控数”M的最小值是___________． 【答案】 ①. ②. 5153 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减的应用，新定义计算，二元一次方程的解，整除的应用；根据定义可得，进而得出，即可求解；根据定义可得，根据已知可得，，则，根据整除可得能被19整除，得到或38，然后分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵是“调控数” ∴ 解得： ∴这个数为； ∵对一个“调控数”， ∴， ∴， ∴ ∵为整数， ∴为整数 ∴能被19整除 ∵，，且都为整数， ∴ ∴或38 当时，或或， ∴当时，，不符合题意； 当时，， ∴， ∴此时“调控数”M为5153； 当时，，不符合题意； 当时， ∴， ∴， ∴此时“调控数”M为7568 ∴满足条件的“调控数”M的最小值是5153． 故答案为：，5153． 三、解答题：（本大题9个小题，第17~18题每题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 用适当的方法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： ，， ∴ 解得，． 18. 如图，在中，点为边上的中点，连接． （1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接，若，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：点为边上的中点， ，在和中， ， ②________， ， ③_________ 四边形是平行四边形． 又④________． 平行四边形是菱形． 【答案】（1） 如下图所示， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、， 以点为圆心，为半径画弧，交于点， 以点为圆心，为半径，交前弧于点， 过点作射线， 则， 延长交射线于点； （2），，，． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、菱形的判定、全等三角形的判定与性质． (1)利用尺规作图作一个角等于已知角，作出 (2)根据可证，根据全等三角形的性质，根据，可证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，再根据若，可证四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，82，84，86，88，89． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 85 85 中位数 86 a 众数 b 79 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有350名学生，八年级有360名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次次安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数一共是多少？ 【答案】（1）87，86，40 （2）八年级学生竞赛成绩较好， 理由： 七、八年级的平均分均为85分，八年级的中位数高于七年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好； （3）该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是249人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布表、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键． （1）分别根据众数和中位数的定义可得、的值；用“1”分别减去其它部分占比可得的值； （2）根据平均数和中位数的意义解答即可； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【小问1详解】 解：八年级A组和B组共有人数为：（人）， 所以把八年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是86，88，故中位数， 在七年级20名学生的竞赛成绩中86出现的次数最多，故众数； ，即． 故答案为：87，86，40； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人） 答：该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是249人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，整式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．首先用完全平方公式和平方差公式进行整式的乘除法运算，同时计算括号内分式的减法，然后再算分式的除法，最后合并同类项，把x的值化简后代入求值即可． 【详解】解： ； 代入原式=． 21. （列方程解应用题）重庆作为“网红打卡城市”．吸引了大量游客前来游玩，为了给游客更好的城市体验感，重庆市政花费48万元购买“月季花”和“杜鹃花”种植在主干路上，已知“月季花”和“杜鹃花”的单价分别为150元和100元，“月季花”购买数量比“杜鹃花”购买数量多1200株． （1）“月季花”和“杜鹃花”一共购买多少株？ （2）重庆市政计划安排工人种植这批花，为缩短工期，工人实际每天种植的数量比原计划增加了，这样可以提前15天完成种植任务，则原计划每天种植多少株？ 【答案】（1）“月季花”和“杜鹃花”一共购买3600株； （2）原计划每天种植株． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设购买“杜鹃花”株，则购买“月季花”株，根据“花费48万元”列出一元一次方程，求解即可； （2）设原计划每天种植株，则实际每天种植株，根据“提前15天完成种植任务”列出分式方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设购买“杜鹃花”株，则购买“月季花”株， 根据题意得 ， 解得， 则“月季花”和“杜鹃花”一共购买株， 答：“月季花”和“杜鹃花”一共购买3600株； 【小问2详解】 解：设原计划每天种植株，则实际每天种植株， 根据题意得 ， 解得， 经检验是原方程的解， 答：原计划每天种植株． 22. 如图，在矩形中，，连接，动点从点出发沿折线方向运动，同时动点沿射线方向运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点到达点时，P，Q两点时同时停止运动，连接．设运动的时间为秒，记的面积为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）； （2） 作图如下： 当时，随着的增大而增大（答案不唯一） （3）或． 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，解直角三角形，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）分，，根据三角形的面积公式求出关于的函数表达式，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出关于的函数表达式，即可； （2）列表，描点，连线画出函数图象，根据图象写出的一条性质即可； （3）图象法求出自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， 当时，， 作，则：， ∴； ∵， ∴， 综上：；； 【小问2详解】 列表如下： 1 2 3 5 8 2 1 6 0 4 2 由图可知，当时，随着的增大而增大（答案不唯一）； 【小问3详解】 由图象可知：时的取值范围为或． 23. 2025年重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）赛事正酣，小陈与爸爸作为忠实球迷，计划从社区球迷广场A出发，前往体育场D观看一场关键比赛．已知社区球迷广场A在体育场D的南偏东方向．出发前两人商定分头行动：爸爸需先前往社区球迷广场A正西方向的球迷用品店B购买助威充气棒，随后从B向正北方向前往D，小陈则先从A沿北偏西方向步行600米到达取球票点C，再从C沿南偏西方向步行至D．（参考数据：，，） （1）求的长度．（结果保留根号） （2）若小陈步行的平均速度为100米/分，小陈爸爸步行的平均速度为80米/分，不考虑购买充气棒和取票的时间，请通过计算说明谁先到达体育场D处．（结果精确到0.1） 【答案】（1）米 （2）小陈先到达体育场D处 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得，，作于点H．然后根据三角函数可进行求解； （2）由（1）可知：，然后可得，进而问题可求解． ， 【小问1详解】 解：由图可知：，， 作于点H．如图所示： 在中，， 在中，米， 答：的长度为米． 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∴． 在中，， ， 分， 分； ∵， ∴小陈先到达体育场D处． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． （1）求拋物线的函数表达式： （2）如图1，是线段上方拋物线上的一个动点，过点作交于点，为轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在平面内，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线在平移后的新抛物线上确定一点．使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）先确定直线的解析式为，设点P横坐标为m，则， ，可得，结合，根据抛物线性质，得到点P的坐标，作点B关于y轴的对称点G，连接，再根据三角形三边关系，即可求解； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得平移后抛物线的解析式为，取的中点K，连接，交抛物线于点M，此时；过点O作，交抛物线于点，此时． 【小问1详解】 解：根据抛物线与轴交于点，， 可得，解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，过点P作轴，交于点H，垂足为点M， 由抛物线的解析式为，可知， ， ， 轴， ， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， 直线的解析式为， 设点P横坐标为m，则，， 则， ， ， 抛物线开口向下， 又， 当时，有最大值为， 点P坐标为， 如图，作点B关于y轴的对称点G，则，连接，交y轴于点N， 根据图象可知当点F与点N重合时，的值最小，此时， 根据勾股定理可知． 【小问3详解】 解：可知， 故将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度， 新抛物线的解析式为， 如图，取的中点K，连接并延长，交抛物线于点M， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得， ，符合题意， ， 点K坐标为， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， 直线的解析式为， 联立直线和新抛物线的解析式得， 解得或（不合题意，舍去）， 此时， 点M的坐标为； 过点O作，交抛物线于点， ，符合题意， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， 直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 联立直线和新抛物线的解析式得， 解得或（不合题意，舍去）， 此时， 点的坐标为； 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，构造二次函数求线段的最值，直角三角形的性质，勾股定理，锐角的三角函数，掌握抛物线的最值是解题的关键． 25. 在等腰中，，D为上一点，连接． （1）如图1，延长至点E，使，且，过点B作，垂足为点F，若，求的长度； （2）如图2，平分，过点C作，垂足为点P．证明：； （3）如图3，若将绕沿直线翻折到，点A的对应点为点Q，在直线上方有点M，满足，点N在线段上，若，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：延长交于点G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰性质，，得,根据平行线性质得，根据，得，得，由勾股定理得,得； （2）延长交于点G，根据平分， ，证明，得，根据，证明 ，结合，得，得，即得 （3）点M是在以为圆周角的上运动，得，，求出 ，得，由翻折知，四边形是正方形，作点D关于的对称点H，连接，过点O作，交直线于点I，K，得，可得，得，得，得，，根据，得，得,,得的最小值为． 【小问1详解】 解：∵等腰中，， ∴， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵， ∴点M是在以为圆周角的的圆弧上运动，设J是上与点M在另侧一点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折知，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 作点D关于的对称点H，连接， 则， 过点O作，交直线于点I，K， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴, ∴, ∵，当H、N、M、O共线时取等号， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形综合．熟练掌握等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，正方形判定和性质，矩形判定和性质，勾股定理，轴对称性质，圆周角定理，圆内接四边形性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文峰初中教育集团2025年秋季学期九年级数学学科 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 6的相反数为　　 A. -6 B. 6 C. D. 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查方式合适的是（　　） A. 为了了解市民对70周年国庆大阅兵的感受，小华在某校随机采访了8名初一学生 B. 为了了解全校学生用于做数学作业的时间，小民同学在网上向6位好友做了调查 C. 为了了解全国青少年儿童的睡眠时间，统计人员采用了普查的方式 D. 为了了解“北斗导航”卫星零部件的状况，检测人员采用了普查的方式 4. 如图，是的直径，是上两点，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图是用◆摆放而成的图案，其中第个图中有个◆，第个图中有个◆，第个图中有个◆，第个图中有个◆，，按此规律排列下去，则第个图案中◆的个数为（ ） A. B. C. D. 6. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 8. 某药品经过连续两次降价后，每盒的零售价由40元降为元，若两次降价的百分率相等，则降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为2的正方形中，E在对角线上，且，连接并延长，交边于H点，过D作于F，连接．G为上一点，且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 已知整式，其中为正整数，，，，，，均为自然数，记，．下列说法： （1）若，，则满足条件的整式有两个； （2）若，，则满足条件的整式中有10个六次六项式： （3）若，，则可以分解为． 其中正确的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是__________． 12. 如图，，直线分别与交于点E，F．若，则的度数是__________． 13. 一个多边形的每一个内角都比外角多60°，那么这个多边形的边数是____． 14. 若为正整数，且满足，则__________． 15. 如图，已知是圆O的直径，弦于点H，过点B作圆O的切线交的延长线于点E，连接，F为的中点，连接．若圆O的半径为2，，则____， _____． 16. 如果一个四位自然数，各个数位上的数字均不为0，若它的千位数字与个位数字的乘积恰好等于它的百位数字与十位数字组成的两位数，则称这个数为“调控数”．如：3186，，是“调控数”；又如：4297，，不是“调控数”．若一个“调控数”为，则这个数为___________；对一个“调控数”，若记为，记为，且为整数，则满足条件的“调控数”M的最小值是___________． 三、解答题：（本大题9个小题，第17~18题每题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 用适当的方法解下列方程： （1）． （2）． 18. 如图，在中，点为边上的中点，连接． （1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接，若，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：点为边上的中点， ，在和中， ， ②________， ， ③_________ 四边形是平行四边形． 又④________． 平行四边形是菱形． 19. 为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，82，84，86，88，89． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 85 85 中位数 86 a 众数 b 79 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有350名学生，八年级有360名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次次安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数一共是多少？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. （列方程解应用题）重庆作为“网红打卡城市”．吸引了大量游客前来游玩，为了给游客更好的城市体验感，重庆市政花费48万元购买“月季花”和“杜鹃花”种植在主干路上，已知“月季花”和“杜鹃花”的单价分别为150元和100元，“月季花”购买数量比“杜鹃花”购买数量多1200株． （1）“月季花”和“杜鹃花”一共购买多少株？ （2）重庆市政计划安排工人种植这批花，为缩短工期，工人实际每天种植的数量比原计划增加了，这样可以提前15天完成种植任务，则原计划每天种植多少株？ 22. 如图，在矩形中，，连接，动点从点出发沿折线方向运动，同时动点沿射线方向运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点到达点时，P，Q两点时同时停止运动，连接．设运动的时间为秒，记的面积为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 2025年重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）赛事正酣，小陈与爸爸作为忠实球迷，计划从社区球迷广场A出发，前往体育场D观看一场关键比赛．已知社区球迷广场A在体育场D的南偏东方向．出发前两人商定分头行动：爸爸需先前往社区球迷广场A正西方向的球迷用品店B购买助威充气棒，随后从B向正北方向前往D，小陈则先从A沿北偏西方向步行600米到达取球票点C，再从C沿南偏西方向步行至D．（参考数据：，，） （1）求的长度．（结果保留根号） （2）若小陈步行的平均速度为100米/分，小陈爸爸步行的平均速度为80米/分，不考虑购买充气棒和取票的时间，请通过计算说明谁先到达体育场D处．（结果精确到0.1） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． （1）求拋物线的函数表达式： （2）如图1，是线段上方拋物线上的一个动点，过点作交于点，为轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在平面内，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线在平移后的新抛物线上确定一点．使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 25. 在等腰中，，D为上一点，连接． （1）如图1，延长至点E，使，且，过点B作，垂足为点F，若，求的长度； （2）如图2，平分，过点C作，垂足为点P．证明：； （3）如图3，若将绕沿直线翻折到，点A的对应点为点Q，在直线上方有点M，满足，点N在线段上，若，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $