专题1.2 平行线及其判定（高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级下册

本讲义聚焦平行线及其判定核心知识点，系统梳理平行线定义（强调“同一平面内”“不相交”）、平行公理（过直线外一点有且只有一条平行线）及推论（平行于同一直线的两直线平行），并详解三种核心判定方法（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），形成从概念到应用的学习支架。 资料通过画图对比突破“同一平面内”“直线外一点”等难点，培养几何直观（数学眼光）。题型分层设计，规范推理步骤书写，提升推理意识（数学思维）与表达能力（数学语言）。课中辅助教师授课，课后练习题助学生巩固，弥补推理逻辑不严谨等问题。

专题1.2 平行线及其判定 教学目标 1.理解平行线的定义，明确 “同一平面内”“不相交的两条直线” 这两个核心条件，掌握平行线的表示方法。 2.掌握平行公理（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）及其推论（平行于同一条直线的两条直线互相平行），能准确表述并简单应用。 3.熟练掌握平行线的3 种核心判定方法，以及2 种拓展判定方法。 4.能结合三线八角的识别，运用平行线的判定方法解决简单的角度推理与直线平行判定问题，并能规范书写基本的推理步骤 教学重难点 1.重点 （1）平行线的定义（强调 “同一平面内” 和 “不相交” 两个条件）与平行公理及其推论。 （2）平行线的3 种核心判定方法（同位角相等→两直线平行；内错角相等→两直线平行；同旁内角互补→两直线平行）。 （3）运用平行线的判定方法，结合三线八角的识别，解决简单的直线平行判定问题。 2.难点 （1）对平行线定义中“同一平面内”条件的理解：学生易忽略该条件，无法区分平面内的平行线与空间中的异面直线 （2）平行公理中“过直线外一点”的条件辨析：学生易误记为“过一点”，忽略“直线外” 的限制，需通过画图对比（过直线上一点无法作平行线）突破难点。 （3）平行线判定方法的灵活运用：当图形复杂（如多条直线相交、截线不明显）时，学生难以快速确定截线、被截线，以及对应的同位角、内错角、同旁内角，导致无法正确选择判定方法。 （4）初步的逻辑推理步骤书写：学生能口头判断直线平行，但难以规范书写 “已知→角的关系→判定平行” 的推理过程，易出现步骤缺失、逻辑不严谨的问题。 知识点01 平行线的定义及画法 平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 【即学即练】 1．如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 知识点02 平行线公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 【注意】 (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性 【即学即练】 1．如图，P是直线l外一点，若经过点P画4条互不重合的直线，与直线l相交的直线至少有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是平行公理（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）；解题的关键是利用平行公理，分析出过点的条直线中最多有条与直线平行，进而确定相交直线的最少数量． 【详解】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 过点的条直线中最多有条与直线平行，至少有条与直线相交． 故选C． 2．若，，则与的关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查了平面内的两直线的位置关系，只有当直线a、b、c位于同一平面内时，垂直于同一条直线的两条直线平行关系成立，即可得到答案． 【详解】解：当直线a、b、c在同一平面内时，，，则． 当直线a、b、c不在同一平面内时，，，与的关系不一定平行． 故选：D． 3．若a，b，c，d为互不重合的四条直线，则下列推理正确的是（   ） A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，所以 D．因为，，所以 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理的推论，属于基础题型．根据平行公理的推论逐项判断即得答案． 【详解】解：A、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意； B、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意； C、由，，能推出，所以本选项推理正确，符合题意； D、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意． 故选：C． 知识点03 平行线的判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【即学即练】 1．如图，，与互为补角．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了补角的性质：同角的补角相等，平行线的判定等知识；熟悉这些知识是关键；由题意得，再由平行线的判定即可证明． 【详解】证明：∵，与互为补角， ∴， ∴． 题型01平面内两直线的位置关系 【典例1】在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直 【答案】C 【分析】本题考查了同一平面内直线的位置关系，解题的关键是明确“无公共点”对应的直线位置关系． 同一平面内直线的位置关系分为相交（有且只有一个公共点）和平行（无公共点）；垂直是相交的特殊情况，因此无公共点的两条直线的位置关系是平行． 【详解】解：同一平面内，直线的位置关系为相交（有公共点）和平行（无公共点）；垂直属于相交的特殊情况． 只有平行的直线无公共点； 故选：C． 【变式1】将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面上直线的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两直线的位置关系解答即可． 【详解】解：观察图形可知，将一张长方形纸片对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行． 故选：A． 【变式2】在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据平行线的传递性，如果两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行. 由于所有相邻直线均平行，因此与平行. 【详解】解：∵，，，，…，， ∴由平行线的传递性，. 故选：B 【变式3】如图，直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不平行也不相交 【答案】B 【分析】本题主要考查了同一平面内两条直线的位置关系，掌握在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种情形是解题的关键． 根据在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种进行判断即可． 【详解】解：如图中，直线c和直线d的位置关系是相交． 故选：B． 题型02 用尺子，三角板画平行线 【典例2】已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可． 【详解】解：过AC的中点D作AB的平行线， 正确的图形是选项B， 故选：B． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式2】下面不能检验直线与平面垂直的工具是（　　） A．铅垂线 B．三角尺 C．长方形纸片 D．合页型折纸 【答案】C 【分析】根据直线与平面垂直的意义进行判断即可． 【详解】解：铅垂线、三角尺、合页型折纸可以检验直线与平面垂直，而长方形纸片比较单薄，不适合支撑检测直线与面之间的垂直度， 故选：C． 【点睛】本题考查垂线，掌握直线与平面垂直的意义是正确判断的前提． 【变式3】如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】先过B，C两点画直线BC，再根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行可求解． 【详解】解：如图， 根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行， 故选：B． 【点睛】本题主要考查直线，射线，线段，平行线，掌握过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行的性质是解题的关键． 题型03 平行公理的应用 【典例3】被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【变式1】已知直线a、b、c在同一平面内，如果，，那么直线a、b的位置关系是 ． 【答案】（或垂直）． 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂线的性质，解题的关键是根据平行和垂直的传递性判断直线、的位置关系． 利用平行线的性质和垂线的定义，通过分析直线、与直线的关系，得出直线、的位置关系． 【详解】 ，， ，即直线、的位置关系是垂直． 故答案为：（或垂直）． 【变式2】三条直线a、b、c，若，则a与c的位置关系是（     ）． A．a与c相交 B．a与c平行 C．a与c重合 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理的推论：平行于同一直线的两直线平行． 根据平行公理的推论直接得出结论． 【详解】解：∵，， ∴． 故选B． 【变式3】如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：根据题意，可知当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上； 依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 故选：C 题型04 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【典例4】如图，木工师傅在一块长方形木板上画两条平行线的方法：用角尺画木板边缘的两条垂线a，b．关于这样画的理由给出下列4种说法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平面内垂直于同一条直线的两条直线平行．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法解答即可． 【详解】解：如图 ， ， （同旁内角互补，两直线平行）； ， （同位角相等，两直线平行）； ，， （平面内垂直于同一直线的两条直线平行）． 故①③④正确． 故选：C． 【变式1】下列各图中，能画出的是（   ） A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项判断即可得出答案，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：根据同旁内角互补，两直线平行，可得①正确； 根据在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，可得②③正确； 根据内错角相等，两直线平行，可得④正确； 综上所述，能画出的是①②③④， 故选：D． 【变式2】在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”即可作出判断． 【详解】解：∵在同一平面内，过直线外一点作的垂线，即， 又∵过作的垂线，即， ∴， ∴直线与的位置关系是平行， 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的判定．掌握平行线判定的方法是解题的关键． 【变式3】用适当的方法验证下列各图中的直线，的位置关系，其中的有 ．（请填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定平行线，掌握判断步骤是解题的关键．将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③ 故答案为：①②③． 题型05 同位角相等，两直线平行 【典例5】如图，如果于点于点为的平分线，为的平分线，那么．请写出说理过程． 【答案】过程见详解 【分析】本题主要考查平行线的判定、垂线的定义及角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定、垂线的定义及角平分线的定义是解题的关键；由题意易得，，则有，然后问题可求解． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴（垂线的定义）， ∵为的平分线，为的平分线（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 【变式1】如图，．与平行吗？请说明理由． 【答案】；理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行，是解题的关键．根据同位角相等，两直线平行，进行求解即可． 【详解】解：；理由如下： ∵． ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 【变式2】请完成平行线的判定定理2的证明： 已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补．求证：． 证明：与互补（已知）， ________（互补的定义）， ________（等式的性质）． ________（________）， ________（等式的性质）， （等量代换）， （________）． 【答案】180；180；180；平角的定义；180；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据补角的定义，等量代换，同位角相等，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：与互补（已知）， （互补的定义）， （等式的性质）． （平角的定义）， （等式的性质）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 【变式3】如图，平分，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由角平分线得到，然后得到，即可证明出． 【详解】证明：平分，， ． ， ． ． 题型06 内错角相等，两直线平行 【典例6】如图，已知直线被直线所截，．请说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平角的定义可求出的度数，根据内错角相等，两直线平行即可推出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】完成下面的证明． 如图，，，分别平分和，求证． 证明：， （___________________）． ，分别平分和， __________（___________________）． 又， __________（___________________）． （__________________________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据垂直定义可得，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换可得，从而利用平行线的判定，即可解答． 【详解】证明：， （垂直的定义）． 分别平分和， ∴， （角平分线的定义）． 又， （等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 【变式2】如图，与平行吗？为什么？与呢？ 【答案】见解析，; 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握运用这些判定是解题关键． 根据同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，进行判定即可； 【详解】解：∵ ∴， 又∵ ∴ 又∵，， ∴． 【变式3】如图，已知、分别垂直于，且，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查垂直的定义及平行线的判定，熟练掌握垂直的定义及平行线的判定是解题的关键；由题意易得，则有，进而问题可求证． 【详解】证明：∵、分别垂直于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型07 同旁内角相等，两直线平行 【典例7】已知：如图，直线，被直线所截，，，说明：． 解：因为与直线相交于点E，， 所以________． 因为， 所以________， 所以________________（________________）（填推理的依据）． 【答案】；；；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据题中思路解答即可． 【详解】解：因为与直线相交于点E，， 所以 ． 因为， 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；；；；同旁内角互补，两直线平行． 【变式1】完成下面的证明： 如图，平分，平分，且，求证． 证明：平分（已知）， （______）， 平分（已知）， ______（______）， （______）， （已知）， ______（______）， （______）． 【答案】角平分线的定义；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】此题主要考查了平行线的判定，首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案． 【详解】证明：平分（已知）， （角平分线的定义）， 平分（已知）， （角平分线的定义）， （等量代换）， （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：角平分线的定义；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 【变式2】如图所示，一束光线在两面垂直的玻璃墙内进行传播，路径为．若，，探究直线与是否平行？为什么？ 【答案】，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据光线反射得到，，再利用平角的定义得到，，则，于是根据同旁内角互补，两直线平行可判断直线两直线平行． 【详解】解：．理由如下： 根据光的反射定律和等角的余角相等得到，， ∴，， ∴， ∴． 【变式3】如图①是一个落地书架，图②是其部分示意图．已知，，试说明与，与的位置关系． 【答案】，，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，对顶角的定义，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 利用平行线的判定方法进行判定求解即可． 【详解】解：∵和是内错角，， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 1.根据语句“直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M．”画出的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．根据直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A．直线不经过点M，故本选项不合题意； B．点M在直线上，故本选项不合题意； C．点M在直线上，故本选项不合题意； D．直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M，故本选项符合题意； 故选：D． 2．在同一平面内两条直线的位置关系可能是（   ） A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．平行或相交或重合 【答案】D 【分析】本题主要考查了两直线的位置关系，根据两条直线有一个交点是相交线，没有交点是平行线，在同一平面内，两条直线也可能重合，可得答案． 【详解】解：在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交； 在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行， 在同一平面内，两条直线也可能重合， 故D正确； 故选：D． 3．如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是：（    ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理，根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判定即可． 【详解】解∶ ，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故选∶D． 4．在如图所示的平面内，点P是直线l外一点，过点P可作a条直线l的垂线和b条直线l的平行线，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查平面内垂线和平行线的基本性质．熟练掌握过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直以及经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行这两个重要性质，是解题的关键． 先分别依据垂线和平行线的性质确定、的值，再将其代入计算出结果． 【详解】在平面内，根据垂线的性质，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 。所以过点作直线的垂线，． 在平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。所以过点作直线的平行线， ． 将，代入，可得 ． 故选：C． 5．如图，由能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 和不是同位角，也不是内错角，无法得到，故原选项不合题意； B. ∵，∴，故原选项正确，符合题意； C. ∵，∴，故原选项错误，不合题意； D. 和不是同位角，也不是内错角，无法得到，故原选项不合题意． 故选：B 6．在同一平面内，若，，则与的关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查了平面内的两直线的位置关系，熟练掌握垂直和平行线的判定是解题关键．根据垂直的定义、平行线的判定即可得． 【详解】解：在同一平面内，若，则； 在同一平面内，若与相交但不垂直，则与相交但不垂直； 在同一平面内，若，则； 综上，在同一平面内，与的关系可能平行，也可能相交，还可能垂直， 故选：D． 7．将一块含有、、的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中：①，②，③，④，⑤，，能判断的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到，从而可以解答本题． 【详解】解：，， 不一定等于， 和n不一定平行，故①不符合题意； ，， 不一定等于， 和n不一定平行，故②不符合题意； 过点C作， ， ，， ， ， ，故③符合题意； ， ， ，故④符合题意； ，，， ， ，故⑤符合题意； 故选：C． 8．如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 【答案】 相交 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行与相交，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 根据不平行于，来判定与的关系． 【详解】解：∵不平行于，， ∴不平行于（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行） 即所在的直线与地面相交． 故答案为：相交；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 9．如图，直线、被直线所截，交点分别为点F、D，添加一个条件，使得，你添加的是 ．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一，正确即可） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法即可求解． 【详解】解：添加的条件，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得． 故答案为：（答案不唯一） 10．如图，点E在AC的延长线上．给出下列条件：①；②；③；④．能判定的条件是 （填序号） 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴，不符合题意； ∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，符合题意； 综上可知，能判断的有． 故答案为：． 11．补全下列过程： 如图，已知，则可推得．理由如下： （已知）， _______（_____________________________________）． （已知）， ________（________）， （_____________________________）． 【答案】D  两直线平行，同旁内角互补  D  等量代换  同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及同旁内角互补定理，熟练掌握平行线相关的定理是解题的关键； 通过已知条件推导出结论即可. 【详解】解：根据“两直线平行，同旁内角互补”可知 与互补的是； 所用到的定理即两直线平行，同旁内角互补； 通过可得： ， 利用的是等量代换； 最后根据“同旁内角互补，两直线平行”得出； 所以答案为：D；两直线平行，同旁内角互补；D；等量代换；同旁内角互补，两直线平行. 12．如图，平分，若，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据角平分线的定义得出，进而得出，根据同位角相等两直线平行，即可得证． 【详解】证明：平分，， 角平分线定义， ，已知， 等量代换， 同位角相等两直线平行． 13．综合与实践．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中． (1)若，求的度数； (2)求证； (3)若按住三角板不动，三角板绕顶点转动一周，当时，请在备用图中画出示意图，并求出的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定，角度的和差计算，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． （1）依据，即可得到的度数，即可求解； （2）依据，即可得到的度数，即可得证； （3）依据平行线的判定，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ， 。 （2）证明：， 。 （3）分两种情况： ①如图1所示，当时，，所以， ②如图2所示，当时，，所以， 综上所述，的度数等于或时，． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 平行线及其判定 教学目标 1.理解平行线的定义，明确 “同一平面内”“不相交的两条直线” 这两个核心条件，掌握平行线的表示方法。 2.掌握平行公理（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）及其推论（平行于同一条直线的两条直线互相平行），能准确表述并简单应用。 3.熟练掌握平行线的3 种核心判定方法，以及2 种拓展判定方法。 4.能结合三线八角的识别，运用平行线的判定方法解决简单的角度推理与直线平行判定问题，并能规范书写基本的推理步骤 教学重难点 1.重点 （1）平行线的定义（强调 “同一平面内” 和 “不相交” 两个条件）与平行公理及其推论。 （2）平行线的3 种核心判定方法（同位角相等→两直线平行；内错角相等→两直线平行；同旁内角互补→两直线平行）。 （3）运用平行线的判定方法，结合三线八角的识别，解决简单的直线平行判定问题。 2.难点 （1）对平行线定义中“同一平面内”条件的理解：学生易忽略该条件，无法区分平面内的平行线与空间中的异面直线 （2）平行公理中“过直线外一点”的条件辨析：学生易误记为“过一点”，忽略“直线外” 的限制，需通过画图对比（过直线上一点无法作平行线）突破难点。 （3）平行线判定方法的灵活运用：当图形复杂（如多条直线相交、截线不明显）时，学生难以快速确定截线、被截线，以及对应的同位角、内错角、同旁内角，导致无法正确选择判定方法。 （4）初步的逻辑推理步骤书写：学生能口头判断直线平行，但难以规范书写 “已知→角的关系→判定平行” 的推理过程，易出现步骤缺失、逻辑不严谨的问题。 知识点01 平行线的定义及画法 平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 【即学即练】 1．如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    知识点02 平行线公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 【注意】 (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性 【即学即练】 1．如图，P是直线l外一点，若经过点P画4条互不重合的直线，与直线l相交的直线至少有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．若，，则与的关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 3．若a，b，c，d为互不重合的四条直线，则下列推理正确的是（   ） A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，所以 D．因为，，所以 知识点03 平行线的判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【即学即练】 1．如图，，与互为补角．求证：． 题型01平面内两直线的位置关系 【典例1】在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直 【变式1】将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 【变式2】在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【变式3】如图，直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不平行也不相交 题型02 用尺子，三角板画平行线 【典例2】已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下面不能检验直线与平面垂直的工具是（　　） A．铅垂线 B．三角尺 C．长方形纸片 D．合页型折纸 【变式3】如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 题型03 平行公理的应用 【典例3】被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 【变式1】已知直线a、b、c在同一平面内，如果，，那么直线a、b的位置关系是 ． 【变式2】三条直线a、b、c，若，则a与c的位置关系是（     ）． A．a与c相交 B．a与c平行 C．a与c重合 D．无法确定 【变式3】如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 题型04 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【典例4】如图，木工师傅在一块长方形木板上画两条平行线的方法：用角尺画木板边缘的两条垂线a，b．关于这样画的理由给出下列4种说法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平面内垂直于同一条直线的两条直线平行．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式1】下列各图中，能画出的是（   ） A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【变式2】在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定 【变式3】用适当的方法验证下列各图中的直线，的位置关系，其中的有 ．（请填写序号） 题型05 同位角相等，两直线平行 【典例5】如图，如果于点于点为的平分线，为的平分线，那么．请写出说理过程． 【变式1】如图，．与平行吗？请说明理由． 【变式2】请完成平行线的判定定理2的证明： 已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补．求证：． 证明：与互补（已知）， ________（互补的定义）， ________（等式的性质）． ________（________）， ________（等式的性质）， （等量代换）， （________）． 【变式3】如图，平分，，．求证：． 题型06 内错角相等，两直线平行 【典例6】如图，已知直线被直线所截，．请说明的理由． 【变式1】完成下面的证明． 如图，，，分别平分和，求证． 证明：， （___________________）． ，分别平分和， __________（___________________）． 又， __________（___________________）． （__________________________）． 【变式2】如图，与平行吗？为什么？与呢？ 【变式3】如图，已知、分别垂直于，且，求证：． 题型07 同旁内角相等，两直线平行 【典例7】已知：如图，直线，被直线所截，，，说明：． 解：因为与直线相交于点E，， 所以________． 因为， 所以________， 所以________________（________________）（填推理的依据）． 【变式1】完成下面的证明： 如图，平分，平分，且，求证． 证明：平分（已知）， （______）， 平分（已知）， ______（______）， （______）， （已知）， ______（______）， （______）． 【变式2】如图所示，一束光线在两面垂直的玻璃墙内进行传播，路径为．若，，探究直线与是否平行？为什么？ 【变式3】如图①是一个落地书架，图②是其部分示意图．已知，，试说明与，与的位置关系． 1.根据语句“直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M．”画出的图形是（   ） A． B． C． D． 2．在同一平面内两条直线的位置关系可能是（   ） A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．平行或相交或重合 3．如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是：（    ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 4．在如图所示的平面内，点P是直线l外一点，过点P可作a条直线l的垂线和b条直线l的平行线，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 5．如图，由能得到的是（   ） A． B． C． D． 6．在同一平面内，若，，则与的关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 7．将一块含有、、的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中：①，②，③，④，⑤，，能判断的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 9．如图，直线、被直线所截，交点分别为点F、D，添加一个条件，使得，你添加的是 ．（添加一个即可） 10．如图，点E在AC的延长线上．给出下列条件：①；②；③；④．能判定的条件是 （填序号） 11．补全下列过程： 如图，已知，则可推得．理由如下： （已知）， _______（_____________________________________）． （已知）， ________（________）， （_____________________________）． 12．如图，平分，若，，求证：． 13．综合与实践．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中． (1)若，求的度数； (2)求证； (3)若按住三角板不动，三角板绕顶点转动一周，当时，请在备用图中画出示意图，并求出的度数． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $