专题1.1 相交线和三线八角（高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级下册

专题1.1 相交线和三线八角 教学目标 1.理解对顶角、邻补角、垂线、三线八角（同位角、内错角、同旁内角）的定义，能准确识别图形中的各类角。 2.掌握对顶角相等、邻补角互补的性质，以及垂线的两个基本事实（过一点有且只有一条直线与已知直线垂直、垂线段最短），能运用性质解决简单角度计算和距离问题。 3.熟练掌握三线八角的识别方法，为后续平行线的判定与性质学习奠定基础 教学重难点 1.重点 （1）对顶角、邻补角的定义与性质，以及运用性质进行角度计算。 （2）垂线的定义、基本事实，以及点到直线距离的概念。 （3）三线八角的识别（核心是准确确定截线和被截线，区分同位角、内错角、同旁内角） 2.难点 （1）三线八角的识别：学生易因混淆截线与被截线，导致角的类型判断错误。 （2）对顶角、邻补角的判定：忽略 “公共顶点”“两边互为反向延长线” 等关键条件，仅通过角度相等或互补判断。 （3）垂线段最短与点到直线距离的理解：易将 “垂线段” 与 “点到直线的距离”（长度）混淆 知识点01 相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 注意：两个角互为对顶角的特征是： （1）角的顶点公共； （2）角的两边互为反向延长线； （3）两条相交线形成2对对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 5．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 【注意】 (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 6．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 7．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 【注意】 （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【即学即练】 1．下面各图中∠1和∠2是对顶角的是（    ） A．B． C． D． 2．如图，用量角器测得的度数为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，，是一条射线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，，，下列说法不正确的是（ ） A．点B到的垂线段是线段 B．点C到的垂线段是线段 C．线段是点D到的垂线段 D．线段是点B到的垂线段 知识点02 三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如下图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 【即学即练】 1．如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线、被直线所截，和是内错角的是（   ） A． B． C． D． 题型01对顶角的定义及性质 1【典例1】下列图形中，与是对顶角的是（　　） A．B．C．D． 【变式1】下列图形中，和是对顶角的是（   ） A．B． C． D． 【变式2】下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A．B． C． D． 【变式3】如图，直线，相交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型02 垂线的定义及有关角综合计算 【典例2】如图，直线、相交于点，平分，，，求的度数． 【变式1】如图：直线、相交于点O，平分，，，求：的度数． 【变式2】如图，直线相交于点，，若，求的度数． 【变式3】如图，直线、相交于点，平分，于，且，求的度数． 题型03 画垂线 【典例3】如图，过点P作OA，OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式1】利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A．B．C．D． 【变式2】如图，已知直线和点E，过点E分别画出直线的垂线． 【变式3】如图，已知钝角三角形，． (1)画出点到的垂线段； (2)过点画的垂线． 题型04 垂线段最短 【典例4】如图，某村庄旁有一条铁路，现要建一火车站．为了使居民乘车最方便，火车站应建在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【变式1】下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A．B．C． D． 【变式2】如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段PC去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ． 【变式3】在，，，，．点是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 题型05 点到直线的距离 【典例5】如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树，小明在处测得米，米，则点到的距离可能为（   ） A．6.4米 B．7.2米 C．8米 D．9米 【变式1】在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知为直线外一点，为直线上三点，且，则点到直线的距离（　　） A．等于 B．等于 C．等于 D．不大于 【变式3】如图所示，下列说法不正确的有（   ）个 （1）点B到的距离是垂线段 （2）点C到的垂线段是线段 （3）线段是点D到的垂线段     （4）线段的长度是点B到的距离 A．1 B．2 C．3 D．4 题型06 同位角，同旁内角和内错角 【典例6】如图． （1）与是直线，被直线所截形成的 角； （2）与是直线 被直线 所截形成的 角； （3）与是直线 被直线 所截形成的 角； （4）与是直线 被直线 所截形成的 角． 【变式1】如图，与 是直线a和直线b被直线c所截的 角． 【变式2】下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图所示，下列说法错误的是（   ） A．和是同位角 B．和是对顶角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 1．下列各图中，和是对顶角的是（　　） A．B．C． D． 2．如图，要把水渠中的水引到点，在渠岸的（   ）处开沟，才能使沟最短 A．点 B．点 C．点 D．点 3．如图，直线与相交于点O，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连接．若，点A到所在直线的距离为3，则的长度不可能为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．如图，过点P作，，则与重合，其理由是（   ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 6．下列手势中，两只手的大拇指和食指所成的角为同旁内角的是（   ） A．B．C． D． 7．如图所示，直线相交于点O，于O，若，则（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，相交于点O，，下列说法错误的是（    ） A．与互余 B．与互余 C．与互补 D．与互补 9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，，于，，，，则点到的距离是 ，点到的距离是 ，的依据是 ． 11．如图，三条直线相交于O，且，，若平分，则 度． 12．如图，点A，O，E在同一条直线上，于点O，．有如下4个结论：①；②；③与互为余角；④与互为补角．上述结论中，所有正确结论的序号有 ． 13．（1）在图1上过A点画出直线、直线的垂线． （2）在图2上过B点画出直线的垂线，过C点画出直线的垂线．    14．如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 15．如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 相交线和三线八角 教学目标 1.理解对顶角、邻补角、垂线、三线八角（同位角、内错角、同旁内角）的定义，能准确识别图形中的各类角。 2.掌握对顶角相等、邻补角互补的性质，以及垂线的两个基本事实（过一点有且只有一条直线与已知直线垂直、垂线段最短），能运用性质解决简单角度计算和距离问题。 3.熟练掌握三线八角的识别方法，为后续平行线的判定与性质学习奠定基础 教学重难点 1.重点 （1）对顶角、邻补角的定义与性质，以及运用性质进行角度计算。 （2）垂线的定义、基本事实，以及点到直线距离的概念。 （3）三线八角的识别（核心是准确确定截线和被截线，区分同位角、内错角、同旁内角） 2.难点 （1）三线八角的识别：学生易因混淆截线与被截线，导致角的类型判断错误。 （2）对顶角、邻补角的判定：忽略 “公共顶点”“两边互为反向延长线” 等关键条件，仅通过角度相等或互补判断。 （3）垂线段最短与点到直线距离的理解：易将 “垂线段” 与 “点到直线的距离”（长度）混淆 知识点01 相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 注意：两个角互为对顶角的特征是： （1）角的顶点公共； （2）角的两边互为反向延长线； （3）两条相交线形成2对对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 5．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 【注意】 (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 6．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 7．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 【注意】 （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【即学即练】 1．下面各图中∠1和∠2是对顶角的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的定义，两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角． 根据对顶角的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； B．∠1和∠2是对顶角，故此选项符合题意； C．∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； D．∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．如图，用量角器测得的度数为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是对顶角的性质，根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：由对顶角相等可得， 故选：B． 3．如图，，是一条射线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，几何图形的角度运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，结合，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图所示，，，下列说法不正确的是（ ） A．点B到的垂线段是线段 B．点C到的垂线段是线段 C．线段是点D到的垂线段 D．线段是点B到的垂线段 【答案】C 【分析】此题主要考查学生对点到直线距离概念的理解和掌握，根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，结合图示对各个选项逐一分析即可作出判断． 【详解】解；A、点B到的垂线段是线段，正确，故本选项不符合题意； B、点C到的垂线段是线段，正确，故本选项不符合题意； C、线段是点A到的垂线段，原说法错误，故本选项符合题意； D、线段是点B到的垂线段，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 知识点02 三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如下图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 【即学即练】 1．如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角的概念，熟练掌握概念是解题的关键． 根据在截线的同旁，在被截线之间的角是同旁内角进行判断即可． 【详解】解：根据同旁内角的概念可得：和是同旁内角． 故选：D． 2．如图，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 根据同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，解答即可． 【详解】解：由同位角的定义可知选项A符合题意， 故选：A． 3．如图，直线、被直线所截，和是内错角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查内错角，熟练掌握内错角的定义是解决本题的关键． 根据内错角的定义解决此题即可． 【详解】解：由图可知，与互为内错角的是． 故选：A 题型01对顶角的定义及性质 1【典例1】下列图形中，与是对顶角的是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，关键是运用知识准确识别； 如果两个角有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角，根据对顶角的定义进行判断即可． 【详解】解：选项A：有公共顶点，一边不互为反向延长线，此选项不符合题意； 选项B：无公共顶点，一边不互为反向延长线，此选项不符合题意； 选项C：有公共顶点，两边互为反向延长线，此选项符合题意； 选项D：有公共顶点，两边不互为反向延长线，此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列图形中，和是对顶角的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的判断，根据对顶角的定义 “有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角”逐项进行判断即可． 【详解】解：A、两角的两条边其中一条不互为反向延长线，不符合题意； B、符合对顶角的定义，是对顶角，符合题意； C、两角的两条边其中一条不互为反向延长线，不符合题意； D、两角没有共同顶点，不是对顶角，不符合题意； 故选：B． 【变式2】下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角的概念及识别，掌握对顶角的概念，图形结合分析是解题的关键．根据对顶角的概念“一个角的两边分别是另一个角的反向延长线”即可求解． 【详解】解：A：没有公共顶点，不是对顶角，故A错误，不符合题意； B：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故B错误，不符合题意； C：根据概念可知和互为对顶角，故C正确，符合题意； D：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3】如图，直线，相交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴    ， 故选：B． 题型02 垂线的定义及有关角综合计算 【典例2】如图，直线、相交于点，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的意义、垂直的意义、对顶角的性质等知识；根据角平分线的意义、垂直的意义、对顶角的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式1】如图：直线、相交于点O，平分，，，求：的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差，对顶角的性质，角平分线的定义． 根据余角的定义得到，根据对顶角的定义得到，根据角平分线的定义作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 【变式2】如图，直线相交于点，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差倍运算，属于基础题；由对顶角相等得，进而求得，再由即可求解． 【详解】解： 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 【变式3】如图，直线、相交于点，平分，于，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，对顶角，根据，得到，角平分线得到，平角的定义，求出的度数，进而得到的度数，对顶角相等，即可得出结果． 【详解】解：由，得． 由平分，得． ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 由对顶角相等，得． 题型03 画垂线 【典例3】如图，过点P作OA，OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】采用三角板的直角辅助作图：利用三角板的直角，使其一边与目标直线重合，另一边经过点P，沿该边画出过P的垂线． 【详解】解： 【点睛】本题考查过一点作已知直线的垂线的作图方法，掌握利用三角板的直角边辅助作垂线的操作方法是解题的关键． 【变式1】利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 【变式2】如图，已知直线和点E，过点E分别画出直线的垂线． 【答案】作图见详解 【分析】本题考查了垂线的概念和基本作图方法，属于初中几何的基础知识点，解题的关键是理解垂线的定义（两条直线相交成角），并掌握过一点作已知直线垂线的操作步骤；易错点在于作图时可能未准确保证垂直关系，或垂线未经过给定点，导致作图失误．明确垂线的几何性质：过点作直线的垂线，需作一条通过点且与垂直的直线；同理作的垂线． 【详解】 作的垂线： ①将三角板的一条直角边紧贴直线； ②平移三角板，使另一直角边恰好经过点； ③沿三角板的这条直角边画直线，该直线即为过点且垂直于的垂线． 作的垂线： ①将三角板的一条直角边紧贴直线； ②平移三角板，使另一直角边经过点； ③沿直角边画直线，该直线即为过点且垂直于的垂线． 最终，两条垂线应分别通过点，且与、垂直（相交成角）． 【变式3】如图，已知钝角三角形，． (1)画出点到的垂线段； (2)过点画的垂线． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了垂线段，垂线定义，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）画出点到的垂线段； （）过点画的垂线即可． 【详解】（1）解：如图， ∴即为所求； （2）解：如图， ∴即为所求． 题型04 垂线段最短 【典例4】如图，某村庄旁有一条铁路，现要建一火车站．为了使居民乘车最方便，火车站应建在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【答案】A 【分析】此题主要考查了垂线段最短的性质，解题的关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短． 从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短可得答案． 【详解】解：根据垂线段最短可得：应建在A处， 故选：A． 【变式1】下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间线段最短，解题的关键是掌握相关知识．根据线段的性质，直线的性质和垂线段最短分别判断即可． 【详解】解：A、跳远测量成绩用到的是“垂线段最短”； B、两钉子固定木条用到的是两点确定一条直线； C、木板上弹墨线用到的是两点确定一条直线； D、弯曲河道改直用到的是两点之间，线段最短； 故选：A． 【变式2】如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段PC去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】根据题意可直接进行求解． 本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是理解题意． 【详解】解：由题意可知运用到的数学知识是：直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【变式3】在，，，，．点是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段，利用垂线段最短是解题关键． 从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短，可得答案． 【详解】解：如图，，点是边上的动点， ，即． ， 的长不可能为． 故选：A． 题型05 点到直线的距离 【典例5】如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树，小明在处测得米，米，则点到的距离可能为（   ） A．6.4米 B．7.2米 C．8米 D．9米 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题关键．根据垂线段最短即可得． 【详解】解：∵小明在处测得米， ∴点到的距离米（当时，等号成立）， 观察四个选项可知，只有选项A符合要求， 故选：A． 【变式1】在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离的定义判定解答即可． 本题考查了点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，得A符合题意，其余错误， 故选：A． 【变式2】已知为直线外一点，为直线上三点，且，则点到直线的距离（　　） A．等于 B．等于 C．等于 D．不大于 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线段最短．根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：因为垂线段最短，， 所以点P到直线l的距离不大于． 故选：D 【变式3】如图所示，下列说法不正确的有（   ）个 （1）点B到的距离是垂线段 （2）点C到的垂线段是线段 （3）线段是点D到的垂线段     （4）线段的长度是点B到的距离 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查了垂线段，点到直线的距离，准确识图，熟练掌握点到直线的距离是解决问题的关键．根据垂线段，点到直线的距离逐项分析即可． 【详解】解：A．点到的距离是垂线段的长度，故原说法错误，故选项符合题意； B．点到的垂线段是线段，故原说法正确，故选项不符合题意； C．线段是点到的垂线段，故原说法错误，故选项符合题意； D．线段的长度是点到的距离，故原说法正确，故选项不符合题意； 综上，不正确的有2个． 故选：B． 题型06 同位角，同旁内角和内错角 【典例6】如图． （1）与是直线，被直线所截形成的 角； （2）与是直线 被直线 所截形成的 角； （3）与是直线 被直线 所截形成的 角； （4）与是直线 被直线 所截形成的 角． 【答案】 内错 同位 同旁内 内错 【分析】本题考查的知识点是同位角，内错角，同旁内角的概念，解题关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的位置关系． （1）利用内错角的概念进行判断填空即可； （2）利用同位角的概念进行判断填空即可； （3）利用同旁内角的概念进行判断填空即可； （4）利用内错角的概念进行判断填空即可． 【详解】解：（1）与是直线，被直线所截形成的内错角； 故答案为：内错； （2）与是直线被直线所截形成的同位角； 故答案为：，，同位； （3）与是直线被直线所截形成的同旁内角； 故答案为：，，同旁内； （4）与是直线被直线所截形成的内错角． 故答案为：，，内错． 【变式1】如图，与 是直线a和直线b被直线c所截的 角． 【答案】同旁内角 【分析】根据两直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，被截线的同一方向的两个角是同位角；在截线的两侧，被截线的内部的两个角是内错角；在截线的同一侧，被截线的内部的两个角是同旁内角，结合图形解答. 【详解】解：∵直线a和直线b被直线c所截， ∴与 是同旁内角， 故答案为：同旁内角. 【变式2】下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角的边构成“”形． 根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可． 【详解】解：A、是内错角，正确； B、不是内错角，错误； C、不是内错角，错误； D、不是内错角，错误； 故选：A． 【变式3】如图所示，下列说法错误的是（   ） A．和是同位角 B．和是对顶角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 【答案】A 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角以及对顶角，正确识图，掌握这些角的定义是解题的关键．根据同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义判断，即可得答案． 【详解】解：A、和不是同位角，故符合题意； B、和是对顶角，故不符合题意； C、和是同旁内角，故不符合题意 D、和是内错角，故不符合题意； 故选 ：A． 1．下列各图中，和是对顶角的是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键．根据对顶角的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、和不是对顶角，是邻补角，故本选项不符合题意； B、和不是对顶角，故本选项不符合题意； C、和是对顶角，故本选项符合题意； D、和不是对顶角，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．如图，要把水渠中的水引到点，在渠岸的（   ）处开沟，才能使沟最短 A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段的性质（直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短），解题的关键是将“引水到C点使沟最短”的实际问题转化为“找直线上到点C的垂线段的垂足”的几何问题． 要使沟最短，需依据垂线段最短的性质，找到直线上与点C连接形成垂线段的点；由题意知E是点C到直线的垂足，即为垂线段，故在E处开沟最短． 【详解】解：点E是点C到直线的垂足，连接的线段是垂线段，根据“垂线段最短”，在此处开沟最短； 故选：B． 3．如图，直线与相交于点O，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是对顶角相等，根据对顶角的性质可得答案. 【详解】解：∵直线相交于点O，， ∴， 故选：C． 4．如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连接．若，点A到所在直线的距离为3，则的长度不可能为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线段最短，根据垂线段最短可得，据此可得答案． 【详解】解：∵点A到所在直线的距离为3， ∴， ∴的长度不可能为2， 故选：D． 5．如图，过点P作，，则与重合，其理由是（   ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】此题主要考查了垂线的定义与性质，根据垂线的定义结合图形得出是解题关键．利用同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可． 【详解】解：，，则与重合， 其理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 故选：A． 6．下列手势中，两只手的大拇指和食指所成的角为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同位角、内错角和同旁内角的定义，熟练掌握同旁内角定义是解题的关键．根据同旁内角定义，即两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，即可进行求解． 【详解】解：A、图中两个角不是同旁内角，故本选项不符合题意； B、图中两个角是同位角，故本选项不符合题意； C、图中两个角是同旁内角，故本选项符合题意； D、图中两个角是内错角，故本选项不符合题意． 故选：C． 7．如图所示，直线相交于点O，于O，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线，角的和差计算，解题的关键是掌握以上知识点． 根据垂直的定义与角的和差计算即可． 【详解】解：于点O， ， ， ， 故选：C． 8．如图所示，相交于点O，，下列说法错误的是（    ） A．与互余 B．与互余 C．与互补 D．与互补 【答案】C 【分析】本题主要考查互余、互补的概念及计算，掌握互余、互补的概念，结合图形分析是关键． 互余：在同一平面内，两角之和为，那么我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角；互补：在同一平面内，两角之和为，那么我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角；根据定义，结合图形分析即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴与互余，故正确； B、∵， ∴， ∴与互余，故正确； C、∵， ∴与互补， ∵无法确定， ∴与不一定互补，故错误； D、∵， ∴与互补， ∵， ∴与互补，故正确； 故选：C． 9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得到，通过角度的和差关系可得到，根据对顶角相等可得到，最后根据角平分线的定义可得到的度数．也可以根据可得到，通过角度的和差关系得到，再根据邻补角的定义得到，最后根据角平分线的定义可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵OE平分， ∴． 一题多解法∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵OE平分， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线，利用邻补角的定义和角平分线的定义是解题的关键． 10．如图，，于，，，，则点到的距离是 ，点到的距离是 ，的依据是 ． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，由，求出，然后根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离是，点到的距离是， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴， 故答案为：，，垂线段最短． 11．如图，三条直线相交于O，且，，若平分，则 度． 【答案】 【分析】根据垂直的定义，对顶角相等，角的平分线定义，解答即可． 本题考查了垂直的定义，对顶角相等，角的平分线定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：55． 12．如图，点A，O，E在同一条直线上，于点O，．有如下4个结论：①；②；③与互为余角；④与互为补角．上述结论中，所有正确结论的序号有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键． 根据余角和补角的定义，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：由且、、共线，可知，故①正确； ∵，，则，故②正确； ∵，它们互为余角，故③正确； ∵，它们互为补角，故④正确； 综上，①②③④均成立； 故答案为：①②③④； 13．（1）在图1上过A点画出直线、直线的垂线． （2）在图2上过B点画出直线的垂线，过C点画出直线的垂线．    【答案】（1）图见解析（2）图见解析 【分析】本题考查画垂线，借助三角板画出垂线即可，熟练掌握画垂线的方法，是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意，画图如下：    （2）由题意，画图如下：    14．如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【答案】(1) (2)的所有内错角为，，同旁内角， 【分析】（1）根据对顶角相等，得，结合平分， 求的度数即可； （2）确定的所有内错角，同旁内角，计算各角的度数，再求和即可． 本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：根据对顶角相等，得， ∵平分， ∴． （2）解：根据题意，得的所有内错角为，， 同旁内角， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解角度之间的和差关系． （1）先由角平分线求出，即可求解，再结合垂直的定义求解即可； （2）由题意可设，则，则，然后表示出，再由垂直的定义建立方程求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $