专题01 平行线中常见的作辅助线（九大题型）（高效培优专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

专题01 平行线中常见的作辅助线（九大题型） 【类型一 辅助线:连接两点】..............................................................1 【类型二 辅助线:延长线段】..............................................................4 【类型三 “猪蹄”型作平行线】...........................................................10 【类型四 “子弹头”型作平行线】.........................................................16 【类型五 “拐点”型图作平行线】.........................................................21 【类型六 “羊角”型图作平行线】.........................................................23 【类型七 “牛角”型图作平行线】.........................................................27 【类型八 “多拐点”型图作平行线】.......................................................35 【类型九 “复合拐点”型图作平行线】.....................................................42 【能力提升】............................................................................47 【类型一 辅助线:连接两点】 1．如图1，点在直线上，点在直线上，点在，之间，且满足．    (1)证明：； (2)如图2，若，，点在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若（为大于等于2的整数），点在线段上，连接，若，则______． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据三角形内角和定理可知，根据，可得，从而证得； （2）作，设，则，，，根据平行线的性质可得，进而得出； （3）作，设，则，根据平行线的性质可得，推得，，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵， ， ∴， ∴． （2）解：；理由如下： 作，如图，    设，则，，， ∵， ∴ ∴， ∴． 即； （3）解：作，如图，    设，则， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式． 2．如图，直线AB、CD与MN相交于M、N，∠1=105°，∠2=75°，E、F、O分别在、、上，． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若分别在、上取点、，使得平分，平分，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）∠3+∠4=90°；理由见解析（3）见解析． 【分析】（1）由、及平行线的判定定理直接得证； （2）过点O作 ，则，再由已知条件可得，进而得到，因为所以问题得解． （3）因为平分，平分，所以，由（2）中结论可知 ，因为，所以 ，所以，问题得证． 【详解】 （1）证明：∵，，∴ ∴； （2）解：过点O作，则 ∵，∴，∴ ∵，∴，即 ∴； （3）证明：∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∵ ，∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要是考查平行线的判定定理、角平分线的定义及角的和差关系，关键是由题目的条件得到线段的平行，再由平行线的性质及角的和差关系得到解题思路． 【类型二 辅助线:延长线段】 1．如图，直线，直线与分别交于点G、H，（）．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线上，． (1)若，则________； (2)若，射线在内交直线于点O，如图②．当N、M分别在点G、H的右侧，且时，求α的度数； (3)小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查平行线，角平分线．解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理，角平分线的有关计算，分类讨论，是解题关键． （1）过P作直线，根据平行公理，有，再根据平行线的性质，即可得解； （2）延长交于点K，根据，，得，根据平行线的性质，得，再根据，求出，最后再根据平行线的性质，等量代换，即可得解； （3）根据平移三角形分类讨论：①当N，M分别在点G，H的右侧；②当N，M分别在点G，H的左侧，根据平行线的性质，角平分线的性质，即可作答． 【详解】（1）过点P作直线，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）延长交于点K，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）①当N，M分别在点G，H的右侧，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴； ②当点N，M分别在点G，H的左侧，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， 综上所述，或． 2．七年级同学解决平行线问题时，遇到这样的问题，请你帮忙解决：已知AB∥CD， (1)如图1，猜想∠AEC，∠BAE，∠DCE之间有什么数量关系不必说明理由； (2)如图2，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD=40°，∠ABC=50°，求∠BED的度数； (3)将图（2）中的线段BC沿DC所在的直线平移，使得点B在点A的右侧，∠FAD=m°，∠ABC=n°，其他条件不变，得到图3，请直接写出∠BED的度数（用含m，n的式子表示）． 【答案】(1)∠AEC=∠BAE+∠DCE； (2)∠BED=45°； (3)∠BED=180°-n°+m°． 【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论； （2）先过点E作EH∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论； （3）过E作EG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论． 【详解】（1）解：∠AEC=∠BAE+∠DCE，理由如下： 如图1，作EF∥AB，则有EF∥CD， ∴∠1=∠BAE，∠2=∠DCE， ∴∠AEC=∠1+∠2=∠BAE+∠DCE； （2）解：如图2，过点E作EH∥AB， ∵AB∥CD，∠FAD=40°， ∴∠ADC=∠FAD=40°， ∵DE平分∠ADC， ∴∠EDC=∠ADC=20°， ∵BE平分∠ABC，∠ABC=50°， ∴∠ABE=∠ABC=25°， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EH， ∴∠BEH=∠ABE=25°，∠DEH=∠EDC=20°， ∴∠BED=∠BEH+∠DEH=45°； （3）解：过点E作EG∥AB，如图： ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=∠FAD=m°， ∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=m°， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EG， ∴∠BEG=180°-∠ABE=180°-n°，∠CDE=∠DEG=m°， ∴∠BED=∠BEG+∠DEG=180°-n°+m°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是正确的作出辅助线． 3．如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线、交于点E． (1)写出的度数______； (2)试求的度数（用含n的代数式表示）； (3)将线段向右平行移动，使点B在点A的右侧，其他条件不变，请直接写出的度数（用含n的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)的度数为或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义，即可得到； （2）过点E作，根据两直线平行，内错角相等可得，，根据角平分线的定义求出，，然后求解即可； （3）过点E作，点B在点A的右侧时，若点E在和之间时，根据角平分线的定义求出，，根据两直线平行，内错角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后求解即可；同理，再分别求解当点E在上方或下方时的值即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴ 故答案为：； （2）如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （3）过点E作，点B在点A的右侧时， 若点E在和之间，如图， ∵平分，平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴； 若点E在上方，如图， 同理，，， 则； 若点E在下方，如图， 同理，，， 则， 综上所述，度数为或． 【类型三 “猪蹄”型作平行线】 1．如图，，定点，分别在直线，上，平行线，之间有一动点． (1)如图1，试问，，满足怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)如图2，试问，，满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若，和的角平分线交于点，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键． （1）过点P作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得出结论． （2）当点P在的右侧时，画出图形，过P点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得出结论． （3）分两种情况讨论，①如图，当P在的左侧时，如图，当P在的右侧时，再结合（1）（2）的结论进一步求解即可． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，过点P作， 则． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：当点P在的右侧时，．理由： 如图，过P点作． 则． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）解：①如图，当P在的左侧时， ∵平分，平分， ， ． 由（1）可知，． ∴ ． 由（2）可知，． ． 解得． 如图，当P在的右侧时， ∵平分，平分， ， ． 由（1）可知，． ∴ ． 由（2）可知，， ． 解得． 综上：为或． 2．数学活动课上，李老师给出如下问题让学生探究如图，，点，分别在，上，点在，之间连接，，． (1)求的度数； (2)小红在李老师所给问题的基础上，提出如下问题：如图，作的平分线和的平分线，与的反向延长线相交于点，求的度数； (3)小张在李老师所给问题的基础上，提出如下问题：如图，在线段上取点，在射线上取点，连接，作和的平分线相交于点，判断和的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）作，证明，可得，故从而可得； （2）作，证明，设，则可得设故，又，即得，知； （3）作，，设设，，有，而，得，即可得． 本题考查平行线的判定与性质，解题的根据是作出辅助线，构造平行解决问题 【详解】（1）解：作，如图： ， ， ， ， ， ， ． ， ； （2）解：作，如图： ， ． ， ． ． ． ． 由平分，设，则． ． 由平分，设． ， 由（1）可知， ， ； （3）解：，理由如下： 作，，如图： 设，， 平分， ， 由（1）可知，． ， ， ． ． ． 3【特例探究】如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． （1）若，则的度数为____________； 【总结归纳】（2）探究与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；见解析；（3）①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算． （1）过点P作，则，可知，即可求出的度数； （2）过点P作，则，可知，进而可知与之间的数量关系； （3）①由（2）得，由角平分线可知，，同（2）可得，计算即可； ②如图，过点P作，则有，由角平分线可知，，同（2）可得 ，根据平行线的判定和性质得到，进而计算即可． 【详解】解：（1）如图1，过点P作， 故答案为：； （2）； 理由：如图1，过点P作， ， ； （3）①由（2）得． 平分平分 ． 同（2）可得 ； ②． 如图，过点P作，则有． 平分 ． 平分 ． 同（2）可得 ， ， ． 【类型四 “子弹头”型作平行线】 1．综合与实践 如图，已知，点在直线，之间，连接，． 【感知模型】 （1）如图1，若，，则的度数为 ； 【数学思考】 （2）如图2，猜想，和之间有什么样的数量关系，并证明你的结论； 【深入探究】 （3）如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若的度数为，平分，则的度数为 （用含的式子表示）． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，理解题意、作出合适的辅助线，灵活运用所学知识是解题关键． （1）过点作，则得，根据平行线的性质求得、，通过即可求解； （2）过点作，则得，根据平行线的性质求得、，通过即可求解； （3）过点作，通过题意可得、、，利用平移推得，将由（2）所得代入即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作， ，， ， ，， ，， ，， ． （2）如图，过点作， ，， ， ，， ，， ， ． （3）如图，过点作， 平分，平分， ，， 线段沿方向平移至， ， ， ，， ， ，， ， 由（2）得：，且的度数为， ． 2．如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）． 【答案】 360 540 720 180n 【分析】过点作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍； （1）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍； （2）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍； （3）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 【详解】过作（如图②）． ∵原四边形是长方形， ∴， 又∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴， 又∵， ∴；    （）分别过、分别作的平行线，如图③所示，    用上面的方法可得； （）分别过、、分别作的平行线，如图④所示，    用上面的方法可得； （）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 故答案为：；；；． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． 3.（1）如图①，若，，．求的度数． （2）如图①，在的条件下，你能得出，，之间的数量关系吗？请说明理由． （3）如图②，，根据（2）中的猜想，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）．理由见解析；（3） 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质即可求出和，进而得出答案； （2）利用（1）中所求，可得，，问题得解； （3）根据（2）中的结论，即可得到结果． 【详解】（1）解：过点向左作， ． 又， ， ， ，即， ． （2）解：．理由如下： 过点向左作， ． 又， ， ， ，即， （3）解：根据（2）中的结论，添加类似（1）中辅助线可得：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补，添加辅助线之后，将分散的角集中起来，是解决问题的关键． 【类型五 “拐点”型图作平行线】 1．如图，．    (1)如图1，请探索∠A，∠E，∠C三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2．若，求的度数； ②如图3．若和的平分线交于点G，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析； (2)①；②； 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质，即可求解； （2）①分别过点作，利用平行线的性质求解即可；分别过点作，过点作，利用平行线的性质以及角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作，如下图：    则 ∴， 又∵， ∴； （2）解：①分别过点作，如下图：    则， ∴，， 又∵， ∴ ∴； ②分别过点作，过点作，如下图：    则， ∴，， ∴， 由①可得：； ∵和的平分线交于点G， ∴， ∴ 由题意可得： ； ∴； 【点睛】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的有关性质． 【类型六 “羊角”型图作平行线】 1．已知：． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F在、之间，平分交于点G，若，求的大小； (3)如图3，点P、Q分别在、上，点M在下方，点N在两平行线之间．，请探究之间的关系． 【答案】(1)证明见解析； (2)60°； (3)5∠MPN+3∠M-∠N=360°； 【分析】（1）过点E作EF∥AB，由AB∥CD可得EF∥CD，根据两直线平行内错角相等，再计算角的和即可证明； （2）过点F作FM∥AG，由EH∥AG可得EH∥FM，根据平行线的性质和角平分线的定义由∠E依次求得∠EFM，∠MFA，∠FAG，∠BAG，∠AGC即可解答； （3）过点N作NE∥AB，过点M作MF∥AB，由AB∥CD可得NE∥CD，MF∥CD，由∠APM=3∠APN可得∠MPN=2∠APN，根据平行线的性质依次求得∠PNE，∠QNE，∠NQD，∠FMQ，再由∠APM+∠PMF=180°化简求值即可； 【详解】（1）证明：如图，过点E作EF∥AB， ∵AB∥EF， ∴∠A=∠AEF， ∵EF∥AB，AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠CEF=∠C， ∴∠AEF=∠CEF+∠AEC=∠C+∠AEC， ∴∠A=∠C+∠AEC； （2）解：如图，过点F作FM∥AG， ∵EH∥AG，FM∥AG， ∴EH∥FM， ∴∠EFM=∠E=30°， ∵∠EFA=5∠E=150°， ∴∠MFA=∠EFA-∠EFM=120°， ∵AG∥FM， ∴∠FAG=180°-∠MFA=60°， ∵AG平分∠BAF， ∴∠BAG=∠FAG=60°， ∵AB∥CD， ∴∠AGC=∠BAG=60°， ∵AG∥EH， ∴∠EHG=∠AGC=60°； （3）解：如图，过点N作NE∥AB，过点M作MF∥AB， ∠APM=3∠APN，则∠MPN=2∠APN， AB∥NE，则∠PNE=∠APN=∠MPN， ∴∠QNE=∠PNQ-∠PNE=∠PNQ-∠MPN， NE∥AB，AB∥CD，则NE∥CD， ∴∠NQD=180°-∠QNE=180°-∠PNQ+∠MPN， ∠NQD=3∠MQD，则∠MQD=（180°-∠PNQ+∠MPN）=60°-∠PNQ+∠MPN， MF∥AB，AB∥CD，则MF∥CD， ∴∠FMQ=∠MQD=60°-∠PNQ+∠MPN， ∴∠PMF=∠FMQ+∠PMQ=60°-∠PNQ+∠MPN+∠PMQ， ∵AB∥MF， ∴∠APM+∠PMF=180°， ∴∠APN+∠MPN+∠PMF=180°， ∴∠MPN+∠MPN+60°-∠PNQ+∠MPN+∠PMQ=180°， ∴∠MPN+∠PMQ-∠PNQ=120°， ∴5∠MPN+3∠PMQ-∠PNQ=360°； 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，角的和差计算等知识；正确作出辅助线是解题关键． 2．已知直线，直线 分别与 ， 交于 ， 两点，点 是直线 上的一个动点，试探究与 之间的数量关系． (1)如图①，当点在线段上运动（点不与 重合）时，若 ，则_____；猜想：此时数量关系是：_____，请说明理由； (2)如图②，当点在点的上方运动（三点不在同一直线上）时，猜想：此时与 之间数量关系是：_____，请说明理由； (3)如图③，当点在点 的下方运动（三点不在同一直线上）时，猜想：此时与 之间数量关系是：_____． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加平行线是解答的关键． （1）过作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：，此时数量关系是：， 理由：如图，过作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，． （2）解：此时数量关系是：， 理由：如图，过作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． （3）解：此时数量关系是：， 理由：如图，过作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【类型七 “牛角”型图作平行线】 1．如图，直线，BEC是一条折线段，BP平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系． (2)如图②，CQ平分，直线BP，CQ交于点F，探究和的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 要探究和的数量关系，先延长DC交BE于点K，交BP于点T，借助的平行线性质得到角的等量关系，结合平分、的条件推导角相等，再利用平角的定义得出两者的数量关系； (2) 要探究和∠F的数量关系，设角平分线分后的角为未知数，利用的性质表示，结合角的和差关系表示，进而推导两者的数量关系． 【详解】（1）解：延长DC交BE于点K，交BP于点T，如图①． ∵，∴． ∵BP平分， ∴，∴． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， 即． （2）解：延长AB交FQ于点M，延长DC交BE于点N，如图②． ∵射线BP，CQ分别平分，， ∴，． 设，， ∴，，，． ∵， ∴，， ∴， ， ∴， 即． 【点睛】本题考查平行线的性质与角平分线的定义，掌握两直线平行，内错角相等、同旁内角互补；角平分线将角分为相等的两部分是解题的关键． 2．如图，直线，是一条折线段，平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系； (2)平分，直线交于点F ①如图②，探究和的数量关系，并说明理由； ②当点E在直线之间时，若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①．理由见解析；②或或或 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质、角平分线的定义，综合较强，正确分情况讨论，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得，由此即可得； （2）①先根据角平分线的定义可得，，再过点作，过点作，则，根据平行线的性质可得，，，，从而可得，然后根据求解即可得； ②分四种情况：（Ⅰ）当点在直线之间，且为锐角，为钝角时，（Ⅱ）当点在直线之间，且和均为钝角时，（Ⅲ）当点在直线之间，且和均为锐角时，（Ⅳ）当点在直线之间，且为钝角，为锐角时，（V）当F在射线上时，参照（2）①的方法，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． （2）解：①，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， 如图，过点作，过点作， ∴， ∴，， ，， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴． ②∵平分，平分， ∴，． （Ⅰ）如图1，当点在直线之间，且为锐角，为钝角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅱ）如图2，当点在直线之间，且和均为钝角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅲ）如图3，当点在直线之间，且和均为锐角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅳ）如图4，当点在直线之间，且为钝角，为锐角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （V）如图5，当F在射线上时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， 综上，的度数为或或或． 3．在如图1，ABCD，E为直线CD下方一点，BF平分∠ABE． (1)试说明：∠ABE+∠C-∠E=180° (2)如图2，EG平分∠BEC，过点B作BHGE，当∠FBH＝15°时，求∠C的度数为 ． (3)如图3，CN平分∠ECD，若BF的反向延长线和CN的反向延长线交于点M，找出∠M与∠E的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)150° (3)∠FMN=90°-∠E 【分析】（1）过点E作EKAB，由平行线的性质得出∠ABE＝∠BEK，∠CEK+∠C＝180°，进而得出答案； （2）设∠ABF＝∠EBF＝α，∠BEG＝∠CEG＝β，由平行线的性质得出∠HBE＝∠BEG＝β，∠FBH＝∠FBE﹣∠HBE＝α﹣β，由（1）知∠ABE+∠C﹣∠BEC＝180°，即可得出答案； （3）设∠ABF＝∠EBF＝x，∠ECN＝∠DCN＝y，由（1）知∠E＝2（x+y）﹣180°，过M作PQABCD，由平行线的性质得出∠PMF＝∠ABF＝x，∠QMN＝∠DCN＝y，即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点作EK//AB，如图所示， ， ∵AB//CD， ∴EK//CD， ； （2）解：、分别平分、， ，， 设，， ∵BH//EG， ， ， 由（1）知，， 即， ； ， ． 故答案为； （3）解：、分别平分、， ，， 设，， 由知：， 即①， 过作PQ//AB， ∵AB//CD， ∴PQ//CD， 则，， ②， ①+2×②得：∠E+2∠FMN=180°， ∠FMN=90°-∠E． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线定义等知识，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解题的关键，属中考常考题型． 【类型八 “多拐点”型图作平行线】 1．如图1，，是直线、间的一条折线． (1)猜想、、的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将折一次改为折二次，若，，，则 (3)如图3，若改为折多次，直接写出，，，…，，之间的数量关系： ． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查利用平行线的判定与性质求角的度数．作辅助线构造更多的平行线，从而得到更多的角之间的数量关系是解这类题常见的手段之一． （1）过点O作，推出，根据平行线性质得出，，即可求出答案； （2）如图，过作，由（1）得：，证明，，，即可得到答案； （3）如图，过点K作，同理可得：，过点L作，同理可得：，证明，可得，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：猜想：． 理由：如图，过点O作． ∵， ∴， ∴，， ∴，即． （2）解：如图，过作， 由（1）得：， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：．　 理由：如图，过点K作， 同理可得：， 过点L作， 同理可得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．2025年央视春节联欢晚会上，一群穿卷花棉袄的人形机器人科技感爆棚，这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技求领域的重大突破， 【提出问题】 图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，借要添加辅助线构建新的图形． 【问题解决】 解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 所以． 所以（ ）． 因为． 所以 ， 所以 ． 【迁移应用】 如图③是一款手推车的平面示意图，． （1）若，，则 ． （2）请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则 ． 【答案】问题解决：两直线平行，内错角相等；；105；迁移应用：（1）130；（2），理由见解析；拓展提高： 【分析】本题考查了垂直、平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 问题解决：先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差即可得； 迁移应用：（1）过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质求解即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得； 拓展提高：过点作，过点作，先求出，，再根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，最后根据求解即可得． 【详解】解：问题解决：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 所以， 所以．（根据两直线平行，内错角相等） 因为， 所以， 所以． 迁移应用：（1）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， （2），理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 拓展提高：如图，过点作，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 3．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°； (1)若∠E＝60°，则∠F＝ ； (2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由； (3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）如图1，分别过点，作，，根据平行线的性质得到，，，代入数据即可得到结论； （2）如图1，根据平行线的性质得到，，由，，得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论； （3）如图2，过点作，设，则，根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，于是得到结论． 【详解】（1）解：如图1，分别过点，作，， ， ，， 又，， ， ， 又， ， ，， ； 故答案为：； （2）解：如图1，分别过点，作，， ， ，， 又，， ， ， 又， ， ，， ， ； （3）解：如图2，过点作， 由（2）知，， 设，则， 平分，平分， ，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 【类型九 “复合拐点”型图作平行线】 1．已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图，若，，求的度数． (2)求证： (3)如图，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质找角之间的关系． 过点作，根据平行线的性质可知，，根据角之间的关系可以求出； 过点作，过点作，设，，根据平行线的性质可证，，从而可得：，即可得到：，从而可证结论成立； 设，，可得：，，根据平行线的性质可证：，又因为，从而可得：． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如下图所示，过点作，过点作， ， ，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， 设，， 则，， 又 ，， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：设，， ，， ，， 平分，平分， ，， 如下图所示，过点作， ， ， ， ， ， ， ， 由可知，， ， ， ， 即， ． 2．已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图1，若，，求的度数． (2)求证：． (3)如图2，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法是解题关键． （1）过点作直线，根据平行线的性质得、，利用即可求解； （2）过点作直线，利用平行线的性质可得，通过角平分线的定义得、，结合（1）的即可求解； （3）过点作直线，根据题意可得，结合（1）（2）可得，利用平行线的性质得即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵由（1）得，， ∴． （3）解：如图，过点作直线， ∵，， ∴， ， ∵由（1）得：， 由（2）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【能力提升训练】 1．如图是某建筑工程施工云梯的工作示意图，其中．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，合理做出辅助线是解题的关键． 过点作，过点作，利用平行线的性质进行角的等量代换求解即可． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是平行线的综合题目，考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识；综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解题的关键． （1）由平行线的性质得，再由内错角相等得出； （2）过点N作，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论； （3）由结合前面（2）的结论，求出角度可得． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ； （2）证明：如图2，过点N作， ∵， ， ，， ∵、分别平分，, ∴设，， ，， 又， ， 又， ∴， ， ， ； （3）解：，即， ∴， ∴ ，， ，， ， ， ， ， 的角平分线交于点Q， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 3．【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 【答案】(1)①；②；③；④内错角相等，两直线平行 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定及角平分线的规律应用，解题的关键是通过作辅助线转化角的关系，利用平行线性质推导，再根据角平分线的递推规律求解． （1）利用平行公理补全推理，通过角的等量代换得到内错角相等，从而判定平行； （2）作辅助线分析角的数量关系； （3）先根据（2）的结论得到初始角的关系，再结合角平分线的定义，依次推导每次操作后角的表达式，归纳出第次操作后角与原角的数量关系，进而递推得到与的关系． 【详解】（1）解：分别过点，作， 因为，所以 由两直线平行，内错角相等，可知，， 由题知，所以 则，即 由内错角相等，两直线平行，可得 （2）解： 理由：过点作（如图）， ， ， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ， ． （3）解：由（2）的结论可知：． 第一次操作：平分，平分， 则，， 根据（2）的结论，． 第二次操作：平分，平分， 则，， 同理，． 以此类推，第次操作后，． 已知，代入得， 解得． 答：的大小为． 4．平面内和，存在一个常数，使得，则称为的k倍补角，例如，，，则为的2倍补角． (1)是的5倍补角，，则 ； (2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的3倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的k倍补角，为的k倍补角，求（用k表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了平行线的性质、余角与补角、新定义等问题． （1）根据k倍补角的定义求解即可； （2）①过点E作，所以，进而求出的度数； ②分类讨论，点F在右侧或者左侧，画出图形，利用k倍角定义建立方程从而得出关于k的关系式，即可得解． 【详解】（1）解：∵是的5倍补角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图1，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴， ∴，即； ②∵，， ∴， 由①得， ∴， ∴， 分以下两种情况讨论： 如图2，若点F在右侧， 则； 如图3，若点F在左侧，连接并延长， ∵ 是 的外角， ∴， 同理可得， ∴ ； 综上所述，或． 5．已知：，点E在直线、之间，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，平分交于点F，求的值； (3)如图3：在（2）的条件下，延长交于点G，在延长线上取一点K，连接交于点H，，若，．求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，则，根据两直线平行，内错角相等，求得，，即可得到的度数； （2）过点作，则，根据两直线平行，内错角相等，得出，，则可得出，同理可得，然后结合角平分线定义即可得出结论； （3）分别过点作的平行线，则，设，利用（2）中结论，结合平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作，则， ，， ，， ，， ； （2）解：如图，过点作，则， ，， ， 同理， 平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （3）解：分别过点作的平行线，则， 设， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ， ， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； 由（2）知： ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ． 6．已知：直线，点E、F分别在直线、上，点M为两平行线内部一点． (1)如图①写出这三个角，，的数量关系，直接写出答案． (2)如图②，和的角平分线交于点N，若，求的度数． (3)如图③，点G为直线上一点，延长交直线于点Q，点H为上一点，射线，交于点N，满足，，设，求的度数．（用含x的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，过拐点添加平行线的辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质得到，，再利用角的和差即可得出结论； （2）过点作，过点作，利用平行线的性质得到，，进而得到，再利用角平分线的定义得到，再利用平行线的性质和角的和差即可求出的度数； （3）过点作，利用平行线的性质得到，，利用角的和差得到，进而得到，再结合（1）中的结论即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图①，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，过点作，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵和的角平分线交于点N， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图③，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）中的结论得，， ∴， 整理得， ∴． 7．已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、对顶角相等、角平分线等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得； （2）过点作，先根据（1）的结论可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质、平行公理推论可得，由此即可得； （3）过点作，先参考（1）的方法可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，，然后根据代入计算即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图2，过点作， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 由对顶角相等得：， 由（2）可知， ， 所以的度数为． 8．已知，，为，上的点，是，之间的点． (1)如图1，连，，探究（均指小于平角的角）间的数量关系，并说明理由． (2)为射线，上的点，分别过点作，的平行线交于F点，分别作的角平分线，交点为，如图2． ①若，则求的大小． ②将射线沿所在直线翻折交线段于点，如图3，若，则判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】（1）过点作，由平行线的性质，从而得到； （2）①由（1）可得，再分别延长交于点，延长交于点，利用平行线的性质得到，因为分别平分，所以可以利用整体法得到，最后求得度数； ②利用（1）中结论，以及方程思想，设 ，分别表示出，代入条件，解得，根据垂直的定义判定． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作， 即 （2）解：①延长交于点，延长交于点， 有（1）知， 分别平分 ②由折叠性质得： 由题意得，， 设 . 即 【点睛】本题考查了角平分线的性质及平行线的性质和判定的综合应用，主要是对平行线拐点模型的应用，根据图形准确的找到角的和差关系是关键． 9．已知，，点C在上方，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，写出和之间的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，垂线，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间的关系． （1）过点C作，可得，再由平行线的性质得，则可求得； （2）过点C作，可证得，由，结合垂线，从而可求得； （3）延长交于点Q，过点G作，不难证得，再由角平分线的定义得，，可得，结合（2）即可求解． 【详解】（1）解：过点C作，如图1， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由： 过点C作，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）解：延长交于点Q，过点G作，如图3， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 由（2）可得：， ∴， 即． 10．已知直线，点E、F分别是直线上的点．    (1)若点P在之间， ①求证：； ②若，与的平分线交于点M，求的度数． (2)若点P在的上方，与的平分线交于点G，若，用含的代数式表示． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①过P作，利用平行线的性质得到，，即可解答； ②根据平行线的性质，可得，故可得，再利用角平分线的定义可得，结合①中结论即可解答； （2）过P作，过G作，利用平行线的性质得到和，再利用角平分线的定义，即可解答． 【详解】（1）解：①过P作，如图1：则， ， ， ， ； ②由①得：， ， 与的平分线交于点M， ，， ， 由①得：； （2）如图2，过P作，过G作， 则， ， ， ， ， 同理：， 与的平分线交于点G， ，， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，作出正确的辅助线是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平行线中常见的作辅助线（九大题型） 【类型一 辅助线:连接两点】..............................................................1 【类型二 辅助线:延长线段】..............................................................2 【类型三 “猪蹄”型作平行线】...........................................................4 【类型四 “子弹头”型作平行线】.........................................................5 【类型五 “拐点”型图作平行线】.........................................................7 【类型六 “羊角”型图作平行线】.........................................................7 【类型七 “牛角”型图作平行线】.........................................................8 【类型八 “多拐点”型图作平行线】.......................................................10 【类型九 “复合拐点”型图作平行线】.....................................................12 【能力提升】............................................................................13 【类型一 辅助线:连接两点】 1．如图1，点在直线上，点在直线上，点在，之间，且满足．    (1)证明：； (2)如图2，若，，点在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若（为大于等于2的整数），点在线段上，连接，若，则______． 2．如图，直线AB、CD与MN相交于M、N，∠1=105°，∠2=75°，E、F、O分别在、、上，． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若分别在、上取点、，使得平分，平分，求证：． 【类型二 辅助线:延长线段】 1．如图，直线，直线与分别交于点G、H，（）．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线上，． (1)若，则________； (2)若，射线在内交直线于点O，如图②．当N、M分别在点G、H的右侧，且时，求α的度数； (3)小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含α的式子表示）． 2．七年级同学解决平行线问题时，遇到这样的问题，请你帮忙解决：已知AB∥CD， (1)如图1，猜想∠AEC，∠BAE，∠DCE之间有什么数量关系不必说明理由； (2)如图2，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD=40°，∠ABC=50°，求∠BED的度数； (3)将图（2）中的线段BC沿DC所在的直线平移，使得点B在点A的右侧，∠FAD=m°，∠ABC=n°，其他条件不变，得到图3，请直接写出∠BED的度数（用含m，n的式子表示）． 3．如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线、交于点E． (1)写出的度数______； (2)试求的度数（用含n的代数式表示）； (3)将线段向右平行移动，使点B在点A的右侧，其他条件不变，请直接写出的度数（用含n的代数式表示） 【类型三 “猪蹄”型作平行线】 1．如图，，定点，分别在直线，上，平行线，之间有一动点． (1)如图1，试问，，满足怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)如图2，试问，，满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若，和的角平分线交于点，请直接写出的度数． 2．数学活动课上，李老师给出如下问题让学生探究如图，，点，分别在，上，点在，之间连接，，． (1)求的度数； (2)小红在李老师所给问题的基础上，提出如下问题：如图，作的平分线和的平分线，与的反向延长线相交于点，求的度数； (3)小张在李老师所给问题的基础上，提出如下问题：如图，在线段上取点，在射线上取点，连接，作和的平分线相交于点，判断和的数量关系并说明理由． 3.【特例探究】如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． （1）若，则的度数为____________； 【总结归纳】（2）探究与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【类型四 “子弹头”型作平行线】 1．综合与实践 如图，已知，点在直线，之间，连接，． 【感知模型】 （1）如图1，若，，则的度数为 ； 【数学思考】 （2）如图2，猜想，和之间有什么样的数量关系，并证明你的结论； 【深入探究】 （3）如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若的度数为，平分，则的度数为 （用含的式子表示）． 2．如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）． 3.（1）如图①，若，，．求的度数． （2）如图①，在的条件下，你能得出，，之间的数量关系吗？请说明理由． （3）如图②，，根据（2）中的猜想，直接写出的度数． 【类型五 “拐点”型图作平行线】 1．如图，．    (1)如图1，请探索∠A，∠E，∠C三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2．若，求的度数； ②如图3．若和的平分线交于点G，请直接写出与的数量关系． 【类型六 “羊角”型图作平行线】 1．已知：． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F在、之间，平分交于点G，若，求的大小； (3)如图3，点P、Q分别在、上，点M在下方，点N在两平行线之间．，请探究之间的关系． 2．已知直线，直线 分别与 ， 交于 ， 两点，点 是直线 上的一个动点，试探究与 之间的数量关系． (1)如图①，当点在线段上运动（点不与 重合）时，若 ，则_____；猜想：此时数量关系是：_____，请说明理由； (2)如图②，当点在点的上方运动（三点不在同一直线上）时，猜想：此时与 之间数量关系是：_____，请说明理由； (3)如图③，当点在点 的下方运动（三点不在同一直线上）时，猜想：此时与 之间数量关系是：_____． 【类型七 “牛角”型图作平行线】 1．如图，直线，BEC是一条折线段，BP平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系． (2)如图②，CQ平分，直线BP，CQ交于点F，探究和的数量关系． 2．如图，直线，是一条折线段，平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系； (2)平分，直线交于点F ①如图②，探究和的数量关系，并说明理由； ②当点E在直线之间时，若，直接写出的度数． 3．在如图1，ABCD，E为直线CD下方一点，BF平分∠ABE． (1)试说明：∠ABE+∠C-∠E=180° (2)如图2，EG平分∠BEC，过点B作BHGE，当∠FBH＝15°时，求∠C的度数为 ． (3)如图3，CN平分∠ECD，若BF的反向延长线和CN的反向延长线交于点M，找出∠M与∠E的数量关系． 【类型八 “多拐点”型图作平行线】 1．如图1，，是直线、间的一条折线． (1)猜想、、的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将折一次改为折二次，若，，，则 (3)如图3，若改为折多次，直接写出，，，…，，之间的数量关系： ． 2．2025年央视春节联欢晚会上，一群穿卷花棉袄的人形机器人科技感爆棚，这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技求领域的重大突破， 【提出问题】 图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，借要添加辅助线构建新的图形． 【问题解决】 解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 所以． 所以（ ）． 因为． 所以 ， 所以 ． 【迁移应用】 如图③是一款手推车的平面示意图，． （1）若，，则 ． （2）请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则 ． 3．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°； (1)若∠E＝60°，则∠F＝ ； (2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由； (3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数． 【类型九 “复合拐点”型图作平行线】 1．已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图，若，，求的度数． (2)求证： (3)如图，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 2．已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图1，若，，求的度数． (2)求证：． (3)如图2，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 【能力提升训练】 1．如图是某建筑工程施工云梯的工作示意图，其中．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，直接写出的值． 3．【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 4．平面内和，存在一个常数，使得，则称为的k倍补角，例如，，，则为的2倍补角． (1)是的5倍补角，，则 ； (2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的3倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的k倍补角，为的k倍补角，求（用k表示）． 5．已知：，点E在直线、之间，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，平分交于点F，求的值； (3)如图3：在（2）的条件下，延长交于点G，在延长线上取一点K，连接交于点H，，若，．求的度数． 6．已知：直线，点E、F分别在直线、上，点M为两平行线内部一点． (1)如图①写出这三个角，，的数量关系，直接写出答案． (2)如图②，和的角平分线交于点N，若，求的度数． (3)如图③，点G为直线上一点，延长交直线于点Q，点H为上一点，射线，交于点N，满足，，设，求的度数．（用含x的代数式表示） 7．已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 8．已知，，为，上的点，是，之间的点． (1)如图1，连，，探究（均指小于平角的角）间的数量关系，并说明理由． (2)为射线，上的点，分别过点作，的平行线交于F点，分别作的角平分线，交点为，如图2． ①若，则求的大小． ②将射线沿所在直线翻折交线段于点，如图3，若，则判断与的位置关系，并说明理由． 9．已知，，点C在上方，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，写出和之间的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值． 10．已知直线，点E、F分别是直线上的点．    (1)若点P在之间， ①求证：； ②若，与的平分线交于点M，求的度数． (2)若点P在的上方，与的平分线交于点G，若，用含的代数式表示． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $