专题02 相交线与平行线的重难点题型汇编（十五大题型）（高效培优专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

专题02 相交线与平行线的重难点题型汇编（十五大题型） 【题型一对顶角及其性质】...............................................................1 【题型二 垂线段的性质】................................................................2 【题型三 点到直线的距离】..............................................................3 【题型四 同位角，内错角和同旁内角】....................................................4 【题型五 利用平行线的性质求角度】......................................................4 【题型六 利用平行线解决三角板问题】....................................................6 【题型七 利用平行线的性质解决折叠问题】................................................6 【题型八 利用平行线解决实际应用】......................................................7 【题型九 利用平行线解决拐点问题】......................................................9 【题型十 平行线与跨学科问题】..........................................................10 【题型十一 根据平行线的性质探究角的关系】..............................................11 【题型十二 平行线的判定】.............................................................12 【题型十三 平行线的性质与判定综合】..................................................13 【题型十四 利用平移的性质求角度，边长，周长和面积问题】.............................15 【题型十五 利用平移的性质解决实际问题】..............................................16 【题型一对顶角及其性质】 1．如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（   ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补 2．如图，直线相交于点O，射线平分，若，求的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线、相交于点，，垂足为，．则的度数为（  ） A． B． C． D． 4．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口增加时，（    ） A．不变 B．增加 C．减少 D．增加 【题型二 垂线段的性质】 1．体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩的依据是（    ） A．点到直线的距离相等 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 2．我们要学会用数学的眼光观察现实世界，下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A． B． C． D． 3．如图，是射线外的一点，，垂足为，，是射线上一个动点，则线段的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 4．如图是李明同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段BN的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【题型三 点到直线的距离】 1．如图，下列线段的长度与点C到AB所在直线的距离相等的是线段（   ） A．AE B．BE C．BD D．CF 2．设A，B，C是直线l上的点，P是直线l外一点，，，，则点P到直线L的距离（    ） A．等于 B．等于 C．不大于 D．等于 3．如图，点A，D与点B，C，E分别在直线a，b上，则图中能表示点到直线的距离的线段共有（   ） A．4条 B．7条 C．8条 D．12条 【题型四 同位角，内错角和同旁内角】 1．下列图形中，与的位置关系属于同旁内角的是（   ） A．B． C． D． 2．如图，下面说法错误的是（   ） A．和是对顶角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 3．如图，下列说法正确的是（    ）    A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【题型五 利用平行线的性质求角度】 1．如图，已知点C在上，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，平分，过D作交于点E，若，则（　　） A． B．1 C．3 D．6 3．如图，，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 4．如图，直线，直线分别与交于点E，F，平分，交于点G，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 5．如图，直线，点C在直线上，．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．如图，直线 ，将一个含角的三角板如图摆放，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，一束太阳光线照射直角三角板后投射在地面上得到线段，若，则（ ） A． B． C． D． 【题型六 利用平行线解决三角板问题】 1．如图所示，，将一个含有角的直角三角板如图放置，已知，则 ． 2．将一副直角三角板按如图放置（其中，使含角的三角板的较长直角边与等腰直角三角板的斜边平行，则的度数为 ． 3．一副三角板如图所示摆放，，，，则的度数为 . 4．如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过 秒边与三角板的一条直角边（边，）平行． 【题型七 利用平行线的性质解决折叠问题】 1．如图是一条对边互相平行的礼品包装丝带，若按图所示折叠，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图1，将一条对边互相平行的围巾折叠，并将其抽象成相应的数学模型如图2， ，折痕分别为，，若， ，则等于(　　)    A． B． C． D． 3．如图，把一张对边互相平行的纸条沿折叠，若∠EFB＝32°，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有(   )    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图1是的一张纸条，按图示方式把这一纸备先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型八 利用平行线解决实际应用】 1．如图，有A，B，C三个地点，且，从地测地的方位角是北偏西，那么从地测得地的方位角是（   ） A． 南偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．北偏东 2．探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，那么下列结论错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 4．如图①是一款可坐可躺的婴儿推车，图②是其简化示意图，其中扶手平行于座板，前轮支撑杆平行于推杆，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，一个发电风车矗立在斜坡上，风车顺时针旋转，扇叶旋转至处．已知风车与斜坡的夹角，风车扇叶与立柱夹角．当时，扇叶至少旋转（   ） A． B． C． D． 【题型九 利用平行线解决拐点问题】 1．2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．“抖空竹”可以让人快乐，数学也可以让人快乐，如图①是依宸同学“抖空竹”的一个瞬间，我们把图①抽象成数学问题：如图②，已知，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 4．随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，于点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型十 平行线与跨学科问题】 1．如图，两块平面镜的夹角，两条平行光线和分别射到两块平面镜上，反射光线与的反向延长线的夹角为．已知，，则和的关系是（    ）． A． B． C． D． 2．如图是某物体在斜面上的受力分析，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，重力的方向竖直向下，若重力与斜面的夹角为，则的度数为（　　） A．65° B．115° C．125° D．155° 3．兴趣小组利用激光和平面镜进行平行光的反射实验．如图，一组平行光线a，b经过平面镜反射后得到一组互相平行的反射光线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在科学《光的反射》活动课中，老师将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面延长线与地面的夹角，激光笔发出的光束射到平面镜后，形成反射光束． 由科学原理可知：，若反射光束与天花板的夹角，且，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 5．如图，科学实践小组在研究“光的折射”现象时，发现烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．若，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【题型十一 根据平行线的性质探究角的关系】 1．如图，,，那么图中角x，y，z的关系是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 3．如图，若，则、、之间关系是（    ）    A． B． C． D． 【题型十二 平行线的判定】 1． 如图，下列条件中：①，②，③，④，能判断的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个 2．如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②；③；④． 其中能判断的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定直线的有（   ） A．③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．②④ 5.如图，直线，与相交于G，H，下列条件：①；②；③；④，能判定的是（   ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【题型十三 平行线的形式与判定综合】 1．完成下面的证明． 如图，已知，，，求证：． 证明：∵，（ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）． 2．如图，点D，B分别在上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 3．如图，已知，，垂足分别为点，，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 4．如图，，，．求的度数． 5．如图，，． (1)判定与的位置关系，并说明理由； (2)若是的平分线，，求的度数． 【题型十四 利用平移的性质求角度，边长，周长和面积问题】 1．如图，沿着由点到点的方向平移得到，已知，，那么平移的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．如图的边的长为将向上平移得到，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，，已知，，，，则的面积为（   ） A．24 B．26 C．32 D．48 4．如图，将周长为7的沿方向平移1个单位得到，则四边形的周长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【题型十五 利用平移的性质解决实际问题】 1．如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥(桥墩忽略不计)．已知湖泊长米，宽米，桥面的宽度为米．公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水面投放条金鱼．求： (1)这座桥的面积是多少？ (2)管理员准备投放多少条金鱼？ 2．某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（从→→→），升旗台的台阶和地毯的宽都为米，台阶侧面如图所示． (1)至少需要多少米的地毯？ (2)若这种地毯的批发价为每平方米元，则买地毯至少需要多少元？ 3．白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相交线与平行线的重难点题型汇编（十五大题型） 【题型一对顶角及其性质】...............................................................1 【题型二 垂线段的性质】................................................................3 【题型三 点到直线的距离】..............................................................5 【题型四 同位角，内错角和同旁内角】....................................................6 【题型五 利用平行线的性质求角度】......................................................8 【题型六 利用平行线解决三角板问题】...................................................11 【题型七 利用平行线的性质解决折叠问题】...............................................15 【题型八 利用平行线解决实际应用】.....................................................18 【题型九 利用平行线解决拐点问题】.....................................................22 【题型十 平行线与跨学科问题】.........................................................26 【题型十一 根据平行线的性质探究角的关系】.............................................29 【题型十二 平行线的判定】............................................................32 【题型十三 平行线的性质与判定综合】.................................................35 【题型十四 利用平移的性质求角度，边长，周长和面积问题】............................38 【题型十五 利用平移的性质解决实际问题】.............................................41 【题型一对顶角及其性质】 1．如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（   ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∴依据是对顶角相等． 故选：B． 2．如图，直线相交于点O，射线平分，若，求的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； 根据角平分线的定义求出，再由对顶角相等即可解答． 【详解】解：因为平分，， 所以， 所以． 故选：C． 3．如图，直线、相交于点，，垂足为，．则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂线和对顶角，根据垂直定义可得，再根据角的和差关系可得，再根据对顶角相等可得结论．解题的关键是掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口增加时，（    ） A．不变 B．增加 C．减少 D．增加 【答案】B 【分析】本题考查对顶角，根据对顶角相等，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴当增加时，也增加； 故选B． 【题型二 垂线段的性质】 1．体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩的依据是（    ） A．点到直线的距离相等 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短这一几何性质在实际测量中的应用，需要分析跳远成绩测量的依据，从选项中选出正确的几何原理； 本题考查了垂线段最短的性质，掌握垂线段最短这一性质，以及其在实际测量中的应用是解题的关键． 【详解】解：跳远成绩是测量运动员落地点到起跳线的垂直距离， ∵从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短， ∴测量跳远成绩的依据是垂线段最短． 故选：C． 2．我们要学会用数学的眼光观察现实世界，下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短等知识．熟练掌握两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短是解题． 根据线段的性质，直线的性质和垂线段最短分别判断即可。 【详解】解：A、弯曲河道改直为两点之间，线段最短，故不符合题意； B、 木板上弹墨线为两点确定一条直线，故不符合题意； C、测量跳远成绩为垂线段最短，故符合题意； D、两钉子固定木条两点确定一条直线，故不符合题意． 故选：C． 3．如图，是射线外的一点，，垂足为，，是射线上一个动点，则线段的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂线段的性质，根据直线外一点和直线上点的连线中，垂线段最短的性质，可得答案． 【详解】解：由题意知，为点P到的垂线段， ， 线段的长度不可能是3， 故选A． 4．如图是李明同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段BN的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段最短．利用垂线段最短求解． 【详解】解：运动员跳远成绩的依据是垂线段最短， 故选：D． 【题型三 点到直线的距离】 1．如图，下列线段的长度与点C到AB所在直线的距离相等的是线段（   ） A．AE B．BE C．BD D．CF 【答案】D 【分析】本题考查点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度是解题的关键． 先明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线所作垂线段的长度，再找到点到的垂线段，对比选项中线段的长度是否与该垂线段相等． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，点到所在直线的距离，是从向所作垂线段的长度， 观察图形，，因此的长度就是点到的距离． 故选：D． 2．设A，B，C是直线l上的点，P是直线l外一点，，，，则点P到直线L的距离（    ） A．等于 B．等于 C．不大于 D．等于 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短的性质．根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”可知垂线段的长度不能超过的长． 【详解】解：根据垂线段最短的性质可知点P到直线的距离不能超过的长． 故选：C． 3．如图，点A，D与点B，C，E分别在直线a，b上，则图中能表示点到直线的距离的线段共有（   ） A．4条 B．7条 C．8条 D．12条 【答案】C 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，正确把握定义是解题关键．点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．直接利用点到直线的距离的定义分析得出答案． 【详解】解：线段的长度是点A到的距离， 线段的长度是点A到的距离， 线段的长度是点E到的距离， 线段的长度是点E到的距离， 线段的长度是点C到的距离， 线段的长度是点E到的距离， 线段的长度是点C到的距离， 线段的长度是点D到的距离， 故图中能表示点到直线距离的线段共有8条． 故选：C． 【题型四 同位角，内错角和同旁内角】 1．下列图形中，与的位置关系属于同旁内角的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握以上知识点是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【详解】解：A、与是同位角，不是同旁内角，故本选项不符合题意； B、与是内错角，不是同旁内角，故本选项不符合题意； C、与是同旁内角，故本选项符合题意； D、与不是同旁内角，故本选项不符合题意； 故选C． 2．如图，下面说法错误的是（   ） A．和是对顶角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 【答案】B 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角的定义，对顶角的定义，由同位角、内错角、同旁内角的定义，对顶角的概念，即可判断，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角的定义，对顶角的概念． 【详解】解：A、和是对顶角，说法正确，故选项不符合题意； B、和不是同位角，故选项符合题意； C、和是同旁内角，说法正确，故选项不符合题意； D、和是内错角说法正确，故选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，下列说法正确的是（    ）    A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义逐个判断即可． 【详解】解：、和不是同位角，故本选项不符合题意； B、和不是内错角，故本选项不符合题意； C、和是内错角，不是同位角，故本选项不符合题意； D、和是同旁内角，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义等知识点，能正确找出同位角、内错角、同旁内角是解此题的关键． 【题型五 利用平行线的性质求角度】 1．如图，已知点C在上，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得，同理求出的度数，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C 2．如图，平分，过D作交于点E，若，则（　　） A． B．1 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质及角平分线的定义，熟知角平分线的定义及平行线的性质是解题的关键．根据角平分线的定义及平行线的性质得到即可解决问题． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 故选：. 3．如图，，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补解答即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 4．如图，直线，直线分别与交于点E，F，平分，交于点G，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的意义等知识；由平行线的性质得，由平分得，则由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 5．如图，直线，点C在直线上，．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质得到，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选B． 6．如图，直线 ，将一个含角的三角板如图摆放，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7．如图，一束太阳光线照射直角三角板后投射在地面上得到线段，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．设中间光线交底面于点，由平行线的性质得，再求出，最后由即可得出结论． 【详解】解：如图，设中间光线交底面于点， ，， ， ， ， 一束太阳光线照射直角三角板， ， 故选：B． 【题型六 利用平行线解决三角板问题】 1．如图所示，，将一个含有角的直角三角板如图放置，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、补角的性质以及平行线的性质，掌握相关知识点是解题的关键．通过作辅助线，结合三角形内角和定理、补角的性质可求得的度数，再利用平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：由题意可知，为直角三角形，， 如图所示，延长交直线于点， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 2．将一副直角三角板按如图放置（其中，使含角的三角板的较长直角边与等腰直角三角板的斜边平行，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，根据平行线的性质和特殊直角三角形的性质以及三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：如图：根据特殊直角三角形的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．一副三角板如图所示摆放，，，，则的度数为 . 【答案】19 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由已知得，所以，根据平行线的性质，可得，即可得答案． 【详解】解：由已知得，，， ， ， ， ． 故答案为：19． 4．如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过 秒边与三角板的一条直角边（边，）平行． 【答案】或或或 【分析】延长交于P点，根据平行线的性质可得，然后分四种情况解答即可． 【详解】解：如图，延长交于P点， ∵，， ， ， ， ①如图， 当时，， 此时D旋转的度数为，； ②如图 当时，， ， 此时D旋转的度数为，； ③如图 当时，， ， 此时D旋转的度数为，； ④如图 当时，， ， 此时D旋转的度数为，； 综上所述：经过15或60或105或150秒边与三角板的一条直角边（边，）平行． 故答案为：15或60或105或150 【题型七 利用平行线的性质解决折叠问题】 1．如图是一条对边互相平行的礼品包装丝带，若按图所示折叠，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，将包装丝带展开，可知，，再由平行线的性质和三角形外角的性质可求得，即可求出答案． 【详解】解：如图，将包装丝带展开， 则，， ， ， ， ， ， 又， ， 故选：C． 2．如图1，将一条对边互相平行的围巾折叠，并将其抽象成相应的数学模型如图2， ，折痕分别为，，若， ，则等于(　　)    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质得出，，根据已知条件得出，进而得出 【详解】解：如图所示，    根据折叠可得，， 设 ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 即 又∵，即 解得：, ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 3．如图，把一张对边互相平行的纸条沿折叠，若∠EFB＝32°，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有(   )    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】翻折会出现角平分线，通过平行线的性质直接求解即可． 【详解】①∵， ∴，故本小题正确； ②∵， ∴， 又由题意得 ∴，故本小题正确； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故本小题正确； ④∵， ∴， ∵， ∴，故本小题正确． 故选：D． 【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键是两直线平行内错角相等，同旁内角互补． 4．如图1是的一张纸条，按图示方式把这一纸备先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各角的关系可求出的度数，由，利用两直线平行，同旁内角互补可求出的度数． 【详解】解：根据图2可知折叠了1次，即，， 根据图可知折叠了2次还差个， ． ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质以及角的计算，通过角的计算，求出的度数是解题的关键． 【题型八 利用平行线解决实际应用】 1．如图，有A，B，C三个地点，且，从地测地的方位角是北偏西，那么从地测得地的方位角是（   ） A．南偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．北偏东 【答案】D 【分析】本题考查与方向角有关的计算，平行线的性质，根据题意，结合角的和差关系求出的度数，平行线的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意，， ∵， ∴， ∴从地测得地的方位角为北偏东； 故选D． 2．探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由题意可知，，根据平行线的性质可得，，由此即可求解出的度数． 【详解】解：由题意可知：，， 而，， ， ， ． 故选：D． 3．如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，那么下列结论错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．根据平行线的判定和性质逐一分析即可解答． 【详解】解：A、若，则，结论正确，本选项不符合题意； B、若，则，结论正确，本选项不符合题意； C、若， ∴， ∵， ∴， ∴，原结论错误，本选项符合题意； D、若，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，结论正确，本选项不符合题意． 故选：C． 4．如图①是一款可坐可躺的婴儿推车，图②是其简化示意图，其中扶手平行于座板，前轮支撑杆平行于推杆，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查利用平行线的性质求角的度数，利用两直线平行同位角相等求出，进而求出，再利用求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出，． 由平行线的性质推出，，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ， ∵， ， ． 故选：D． 6．如图，一个发电风车矗立在斜坡上，风车顺时针旋转，扇叶旋转至处．已知风车与斜坡的夹角，风车扇叶与立柱夹角．当时，扇叶至少旋转（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质求出，再根据人，求出最小的旋转角即可，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴扇叶至少旋转， 故选：． 【题型九 利用平行线解决拐点问题】 1．2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 2．“抖空竹”可以让人快乐，数学也可以让人快乐，如图①是依宸同学“抖空竹”的一个瞬间，我们把图①抽象成数学问题：如图②，已知，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质求角度的方法是解题的关键．作，可得，所以，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作， ， ， ，， ， ， 故选：B． 3．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过M作，得到，推出，，求出，即可得到的度数． 本题考查平行线的性质，关键是过M作，得到，由平行线的性质来解决问题． 【详解】解：过M作， ， ， ，， ， ， 故选：C． 4．随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过E作，得到，推出，即可求出的度数． 【详解】解：过E作， ∵， ∴， ∴，， ， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5．如图，已知，于点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，结合图形添加平行线的辅助线，利用平行线的性质求角度是解题的关键．过点作，过点作，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【题型十 平行线与跨学科问题】 1．如图，两块平面镜的夹角，两条平行光线和分别射到两块平面镜上，反射光线与的反向延长线的夹角为．已知，，则和的关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，设交点为点P，过P作，得到，推出，，得到，同理：，结合已知即可得出结论． 【详解】解：设交点为点P，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 同理：，即， ∴． 故选：A． 2．如图是某物体在斜面上的受力分析，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，重力的方向竖直向下，若重力与斜面的夹角为，则的度数为（　　） A．65° B．115° C．125° D．155° 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的性质和邻补角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先求得重力与斜面的夹角的邻补角的度数，即，再根据平行线的性质即可求解； 【详解】解：如图： 有由题意可得：， ∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴， 故选：B； 3．兴趣小组利用激光和平面镜进行平行光的反射实验．如图，一组平行光线a，b经过平面镜反射后得到一组互相平行的反射光线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，对顶角，根据题意可得：，，然后利用三角形内角和定进行计算，再根据对顶角相等，即可解答． 【详解】解：如图： ∵一组平行光线a，b经过平面镜反射后得到一组互相平行的反射光线， ∴，， ∴ ∴， 故选：B． 4．如图，在科学《光的反射》活动课中，老师将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面延长线与地面的夹角，激光笔发出的光束射到平面镜后，形成反射光束． 由科学原理可知：，若反射光束与天花板的夹角，且，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．如图：过点E作，则，设，根据平行线的性质得，由角的和差得，然后联立求解即可． 【详解】解：如图：过点E作，则， ∴， 设， ∴， ∴，解得：， ∴． 故答案为：B． 5．如图，科学实践小组在研究“光的折射”现象时，发现烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．若，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，灵活应用平行线的性质成为解题的关键． 由平角的定义先求得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，     ∴． 故选：D． 【题型十一 根据平行线的性质探究角的关系】 1．如图，,，那么图中角x，y，z的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，三角形外角性质的应用，平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，熟记平行线的性质是解决本题的关键， 过C作，延长交于N，根据三角形外角性质求出，根据平行线性质得出，，代入求解即可． 【详解】解：如图所示，过C作，延长交于N， 则，即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 2．如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，过作，得，则，，由三角形外角的性质得，根据得，再代入计算可得结论． 【详解】解：过点作，过作， ∵， ∴ ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图，若，则、、之间关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，根据平行线的性质可得，，然后由整理后可得答案． 【详解】解：如图，作，    ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 即． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键． 【题型十二 平行线的判定】 1． 如图，下列条件中：①，②，③，④，能判断的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴，故①符合题意； ②∵， ∴，故②不符合题意； ③∵， ∴，故③符合题意； ④∵，， ∴， ∴，故④符合题意； 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选：C． 2．如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判定即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴，由同位角相等，两直线平行，能判定，该选项不合题意； 、，由内错角相等，两直线平行，能判定，该选项不合题意； 、，由同旁内角互补，两直线平行，能判定，该选项不合题意； 、，由对顶角相等，不能判定，该选项符合题意； 故选：． 3．如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②；③；④． 其中能判断的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴； ③∵， ∴； ④∵， ∴， ∴能判断的条件有①④，共2个 故选：B． 4.如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定直线的有（   ） A．③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：①：既不是同位角，也不是内错角，不能判断，故①错误； ②：同位角相等，两直线平行，能判定直线线，故②正确； ③：邻补角互补，不能判定直线线，故③错误； ④：内错角相等，两直线平行，能判定直线线，故④正确； ⑤：同旁内角互补，两直线平行，能判定直线线，故⑤正确． 综上，②④⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是熟练掌握平行线的判定定理． 5.如图，直线，与相交于G，H，下列条件：①；②；③；④，能判定的是（   ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据同位角相等，两直线平行可判断①正确；根据内错角相等，两直线平行可判断②正确；根据同旁内角互补，两直线平行可对④进行判断． 【详解】解：∵， ∴（根据同位角相等，两直线平行），所以①正确； ∵， ∴（根据内错角相等，两直线平行），所以②正确； ，只是对顶角相等，不能判断，所以③不正确； ∵， 而， ∴， ∴（根据同旁内角互补，两直线平行），所以④正确． 故选：B． 【题型十三 平行线的形式与判定综合】 1．完成下面的证明． 如图，已知，，，求证：． 证明：∵，（ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）． 【答案】已知；；垂直于同一直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等；； 等量代换；，，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】根据平行线的判定和性质，等量代换思想解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等量代换，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴（垂直于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：已知；；垂直于同一直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等；； 等量代换；，，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 2．如图，点D，B分别在上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，关键是平行线判定定理的应用． （1）对顶角相等，得到，进而得到，即可得证； （2），得到，进而得到，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图， ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 3．如图，已知，，垂足分别为点，，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1) ，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，垂直的定义； （1）根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行由，，得到，根据平行线的性质得，由于，则，然后根据内错角相等，两直线平行可判断； （2）根据垂直的定义、平角的定义求出，据此求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 4．如图，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定等知识．根据得到，进而证明，得到，根据平行线性质即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．如图，，． (1)判定与的位置关系，并说明理由； (2)若是的平分线，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，结合已知证明即可； （2）根据平行线的性质，结合角的平分线解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：，理由如下： ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． （2）解：∵，， ∴； ∵是的平分线， ∴； ∵， ∴． 【题型十四 利用平移的性质求角度，边长，周长和面积问题】 1．如图，沿着由点到点的方向平移得到，已知，，那么平移的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平移，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得平移的距离为的长，再根据即可得． 【详解】解：， ， 即平移的距离为2， 故选：A． 2．如图的边的长为将向上平移得到，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形平移的性质以及面积的计算，解题的关键是利用平移后图形面积不变的性质，通过面积的等量代换求出阴影部分的面积． 根据平移的性质可知与面积相等；结合题目给出的阴影部分面积计算方法，通过等量代换得出阴影部分面积等于矩形的面积；再根据矩形面积公式计算即可． 【详解】∵向上平移 得到， ∴的面积的面积(平移不改变图形的面积)． 由题意可知，阴影部分的面积的面积矩形的面积的面积． ∴阴影部分的面积=矩形的面积． ∵，，且， ∴矩形的面积． 即阴影部分的面积为． 故选：A． 3．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，，已知，，，，则的面积为（   ） A．24 B．26 C．32 D．48 【答案】A 【分析】本题考查平移的性质，三角形的面积，熟练掌握利用平移的性质得出相关线段的长度是解题的关键． 利用平移得到，，即可得，再利用，求出，再求出，即可求解． 【详解】解：由平移得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 4．如图，将周长为7的沿方向平移1个单位得到，则四边形的周长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的基本性质，平移的基本性质为：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行（或重合）且相等，对应角相等，熟练掌握平移的基本性质是解题的关键． 由平移的基本性质可得，，再根据四边形的周长为进行计算即可得到答案． 【详解】解：将周长为7的沿方向平移1个单位得到， ，，，， ， 的周长为7， ， 四边形的周长为： ． 故选：B． 【题型十五 利用平移的性质解决实际问题】 1．如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥(桥墩忽略不计)．已知湖泊长米，宽米，桥面的宽度为米．公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水面投放条金鱼．求： (1)这座桥的面积是多少？ (2)管理员准备投放多少条金鱼？ 【答案】(1)平方米 (2)条 【分析】本题考查有理数的混合运算的实际应用，平移的性质，正确计算是解题的关键． （1）观景桥经过平移，根据“长方形面积=长×宽”，桥的面积是用长方形湖泊的面积减去长是米，宽是米的长方形面积，即可解答； （2）用湖泊的面积乘每平方米投放金鱼的条数即可； 【详解】（1）解： （平方米）， ∴这座桥的面积是平方米； （2）（条）， ∴管理员准备投放条金鱼． 2．某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（从→→→），升旗台的台阶和地毯的宽都为米，台阶侧面如图所示． (1)至少需要多少米的地毯？ (2)若这种地毯的批发价为每平方米元，则买地毯至少需要多少元？ 【答案】(1)； (2)元． 【分析】本题考查了平移的性质以及有理数的四则运算的实际应用： （1）利用平移构成一个矩形即可求解； （2）先计算地毯面积，再算价格即可． 【详解】（1）解：如图，通过平移线段，把楼梯的横竖 向上、向左平移，构成一个长、宽分别为的长方形， 地毯至少需要 （2）地毯的面积为， 购买地毯至少需要花费（元） 3．白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形的平移变换在面积与长度计算中的应用，熟练掌握平移的性质（平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，能将不规则图形转化为规则图形 ）是解题的关键． （1）通过平移的思想，把小路平移后，草地可拼成一个新的长方形，利用长方形面积公式计算． （2）同样用平移，将两条小路平移到边缘，得到新长方形，再算面积． （3）把横向和纵向的小路长度分别分析，横向长度是长方形的长，纵向长度通过计算得出，再求和． 【详解】（1）解：把平行四边形小路平移，使草地部分拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 , ∴草地的面积为； （2）解：将两条小路分别平移到长方形空地的边缘，此时草地拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 ∴草地的面积为； （3）解：横向路线长度为长方形的长；纵向路线长度，把纵向部分平移后，相当于个 ． 路线总长 ∴所走的路线（图中虚线）长为 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $