专题1.4 图形的平移（高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级下册

本讲义聚焦图形平移核心知识点，从定义（平面内图形整体沿某方向移动一定距离，三要素为原位置、方向、距离）出发，梳理性质（全等、对应点连线平行或共线且相等、对应线段平行或共线且相等），到作图步骤（确定关键点-平移-连接），再到应用（生活现象、计算、综合题），构建从概念到技能的完整学习支架。 资料特色在于结合生活实例（如电梯平移、冰墩墩图案）培养几何直观，分题型训练（求面积、角度等）提升推理意识，综合应用（与平行线结合）强化应用意识。课中典例变式助突破重难点，课后练习题覆盖不同难度，助力查漏补缺。

专题1.4 图形的平移 教学目标 1.理解图形平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，掌握平移的两个核心要素：平移方向和平移距离。 2.掌握图形平移的三大基本性质： ① 平移前后的图形全等（形状、大小完全相同，对应角相等，对应线段相等）； ② 对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等； ③ 对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。 3.能根据平移的方向和距离，准确画出一个简单平面图形（如三角形、四边形）平移后的图形，掌握 “找关键点→平移关键点→连接对应点” 的作图步骤。 4.能运用平移的性质解决简单的几何问题（如角度计算、线段长度计算、图形面积求解）。 教学重难点 1.重点 （1）图形平移的定义（强调 “平面内”“沿某个方向”“一定距离” 三个条件）与两大核心要素（平移方向、平移距离）。 （2）图形平移的三大基本性质（全等、对应点连线平行且相等、对应线段平行且相等）。 （3）简单图形的平移作图（核心步骤：确定关键点→平移关键点→连接对应点）。 2.难点 （1）平移性质的深刻理解与灵活应用： ① 学生易忽略 “对应点所连线段平行（或共线）且相等” 中的 “平行（或共线）” 条件，仅记住 “相等”； ② 对 “平移前后图形全等” 的本质理解不深，无法将其与对应角、对应线段的关系结合使用。 （2）复杂图形的平移作图： ① 当图形的关键点较多，或平移方向不是水平 / 竖直方向（如斜向平移）时，学生难以准确确定关键点的平移方向和距离； ② 作图时易遗漏部分关键点，导致平移后的图形与原图形不对应。 （3）平移性质与平行线、三角形等知识的综合应用：在综合题中，学生无法快速识别图形中的平移关系，难以将平移性质与平行线的性质、判定结合解决问题。 （4）平移概念的本质理解：学生易将 “平移” 与 “平行移动” 混淆，忽略平移是 “图形的整体运动”，错误地认为图形的一部分移动也属于平移。 知识点 平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 【即学即练】 1．下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形”平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的概念与性质，根据平移的概念即可判断． 【详解】解：选项B中的“比”字形状一样，因此可以看作是由一个“基本图形”平移得到； 故选：B． 2.如图，沿方向向右平移得到，已知，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，根据沿方向向右平移得到，得，再结合，即可作答． 【详解】解：∵沿方向向右平移得到， ∴， ∵， ∴， 故选：D 3．如图，某住宅小区内有一块长方形空地，想在长方形空地内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为，则两条小路的总面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了生活中的平移现象，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有绿化面积之和就变为了平方米，进而即可求出答案． 【详解】解：利用平移可得，两条小路的总面积是： ． 故选：A． 题型01生活中平移的现象 【典例1】下列现象中属于平移的是（   ） A．升降电梯从一楼升到五楼 B．卫星绕地球运动 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 【答案】A 【分析】本题考查了平移的定义，理解平移的定义：物体在运动过程中，所有点移动相同距离和方向，形状和大小不变是解题的关键． 根据平移的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：∵平移的定义是物体在运动过程中，所有点移动相同距离和方向，形状和大小不变. 选项A：升降电梯从一楼升到五楼，是沿直线移动，电梯本身形状不变，符合平移； 选项B：卫星绕地球运动，是圆周运动，方向不断变化，不符合平移； 选项C：树叶从树上随风飘落，运动轨迹不规则，且常有旋转，不符合平移； 选项D：纸张沿着中线对折，是对称折叠，形状改变，不符合平移. ∴属于平移的是A， 故选：A． 【变式1】下列现象：温度计中，液柱的变化；电梯上下运动；钟摆的摆动；小方块在水平地面滑动，属于平移的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平移的定义与性质，熟记平移不改变图形形状与大小是解决问题的关键．根据平移的定义与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：温度计中，液柱的变化：液柱热胀冷缩，长度改变，点之间的相对位置变化，不是平移； 电梯上下运动：电梯整体移动，所有点移动相同距离，是平移； 钟摆的摆动：钟摆沿弧线运动，有旋转，不是平移； 小方块在水平地面滑动：小方块整体滑动，所有点移动相同距离（假设无旋转），是平移． 属于平移的是和， 故选：D． 【变式2】如图所示是北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的五幅图案，②③④⑤哪一个图案可以通过平移图案①得到？（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据平移变换只改变图形位置，不改变大小和方向进行求解即可． 【详解】解：∵平移变换只改变位置，不改变大小和方向， ∴只有图③是可以经过平移得到的， 故选：B． 【变式3】下列车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的定义：将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．根据平移的定义判断即可． 【详解】解：A．不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； B．不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； C．可由圆环沿水平直线方向移动得到，符合题意； D．不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； 故选：C． 题型02 利用平移的性质求面积 【典例2】将向右平移个单位长度得到，，，则阴影四边形的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平移的性质可知，，，从而得到，由梯形的面积公式求出结果即可． 本题考查三角形的面积、平移的性质，梯形的面积；掌握平移的性质和梯形的面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：，， 将向右平移个单位长度得到， ，， ， ，， ， ， 阴影四边形的面积是． 故选：． 【变式1】如图，将三角形沿着方向平移得到三角形，且，若三角形的面积是，则四边形的面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，得到四边形为平行四边形，作，根据三角形的面积公式，平行四边形的面积公式以及，进行求解即可． 【详解】解：∵平移， ∴， ∴四边形为平行四边形， 作， ∴， ∴四边形的面积为； 故选D． 【变式2】如图，将直径为的半圆水平向左平移，则半圆所扫过的面积（阴影部分）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平移的性质，根据平移后得到半圆所扫过的面积（阴影部分）恰好边长为的正方形进行解答即可． 【详解】解：∵平移后阴影部分的面积恰好是边长为的正方形， ∴． 故选：B． 【变式3】如图，将直角梯形平移得直角梯形，若，，，则图中阴影部分的面积（   ） A．30 B．36 C．60 D．72 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质、平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得，，，，再根据平移的性质可得，从而可得四边形和四边形都是直角梯形，然后根据图中阴影部分的面积等于直角梯形的面积求解即可得． 【详解】解：由图可知，在直角梯形中，， 由平移的性质可知，，，，， ∴， ∴四边形和四边形都是直角梯形， ∵， ∴， ∵， ∴图中阴影部分的面积为 ， 故选：B． 题型03 利用平移的性质求长度 【典例3】如图，将向右平移6个单位长度得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若则的长度是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质求出即可解决问题． 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， 故选：A． 【变式1】将长度为的线段向上平移后，所得线段的长度是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查平移，根据平移的性质，平移不改变图形的大小和形状进行判断即可．理解平移的定义，掌握平移的性质是正确解答的前提． 【详解】解：将长度为的线段向上平移后，其线段的长度不变，还是， 故选：A． 【变式2】如图，是由通过平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上．若．则的长度是（　　） A．2 B．4 C．5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了由平移的性质求解，根据平移可得，根据即可求解． 【详解】解：是由通过平移得到， ， ， ， ． 故选：B． 【变式2】某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（    ） A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长 C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可知三个图形都转化为一个长为a，宽为b的长方形，据此可得答案． 【详解】解：利用平移，可将甲、乙、丙三个图形都转化为一个长为a，宽为b的长方形， 所以三个图形所用的铁丝长度一样． 故选：D． 题型04 利用平移的性质求周长 【典例4】如图，向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平移的性质，掌握相关知识是解题的关键．根据平移的性质得到，，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：向右平移得到， ，， 的周长是， ， 四边形的周长． 故选：C． 【变式1】如图，面积为6的沿方向平移至 的位置，平移的距离是边长度的2倍，则四边形的面积是（    ） A．30 B．24 C．18 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了平移图形与原图形的关系，得出四边形面积是面积的3倍是解题的关键，然后根据已知计算即可．根据平移的性质，可以知道四边形面积是面积的3倍，依次计算即可． 【详解】解：平移的距离是边长度的两倍， ， 由平移知：四边形是平行四边形， 四边形的底边是底边的两倍，高与的高相等， 四边形面积是面积的4倍， 四边形面积是面积的3倍， ． 故选：C． 【变式2】如图所示，将周长为8的沿边向右平移2个单位长度，得到，则四边形的周长为（   ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移前后边长不变是解决本题的关键． 可根据平移的性质得到对应线段的关系，即，，进而求出四边形的周长． 【详解】解：沿方向平移个单位长度得到， ，， 四边形的周长， 的周长， 四边形的周长的周长 ． 故选：A． 【变式3】下列图形中周长最长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，利用平移的性质求解是解决本题的关键． 利用平移的性质逐一计算长方形的周长即可． 【详解】解：A选项，如图，周长为， B选项，如图，周长为， C选项，如图，周长为， D选项，如图，周长为， ∴周长最长的是A选项． 故选：A ． 【变式4】如图所示，将周长为的直角三角形沿方向平移，得到直角三角形，连接．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了平移的性质．根据平移的性质可得，，再进一步利用周长公式计算即可. 【详解】解：∵将周长为的直角三角形沿方向平移，得到直角三角形，， ∴，，， ∴四边形的周长 ． 故选A． 题型05 利用平移的性质求角度 【典例5】如图，平移后得到，已知，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，掌握平移不改变角的大小是解题的关键． 直接利用平移的性质求解即可． 【详解】解：∵平移后得到，， ∴． 故选C． 【变式1】如图，将沿方向平移到的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，连接．若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，平行线的性质，根据平移的性质，得到，根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵将沿方向平移到， ∴， ∴， 故选B． 【变式2】如图，沿边平移得到，点、、的对应点分别是点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质，熟练掌握平移前后对应边、对应角对应相等是解题关键．根据平移性质解答即可得答案． 【详解】解：∵沿边平移得到，点的对应点分别是点，若， ∴． 故选：D． 【变式3】如图，将射线沿射线平移得到射线，将射线沿射线平移得到射线．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，根据对应线段平行（或共线）且相等，可得，，进而根据两直线平行同位角相等可得，，再由平角定义即可求解． 【详解】解：由平移可得：，， ∴，， ∴， 故选C． 题型06 利用平移解决实际问题 【典例6】如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移现象．将三块图形平移组合成一个完整的长方形是解决问题的关键． 从图中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后求出面积即可． 【详解】解：由图片可看出，剩余部分的草坪经过平移，正好可以拼成一个长方形，且 这个长方形的长为（米）， 这个长方形的宽为（米）， 所以草坪面积（平方米）， 故选：B 【变式1】如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，其余部分为绿地，小路的左边线向右平移就是它的右边线，这块草地的绿地面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得：这块草地的绿地面积是长为，宽为的长方形，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴， ∴这块草地的绿地面积是长为，宽为的长方形， 故， ∴这块草地的绿地面积是， 故选：A． 【变式2】如图是一个5级台阶侧面示意图，在台阶上铺地毯至少需（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移在实际问题中的应用，解题的关键是理解台阶上铺地毯的长度与台阶水平方向总长度和垂直方向总长度的关系． 明确台阶的水平部分总长度等于底边的长度，垂直部分总长度等于高的长度；地毯的长度为水平部分总长度与垂直部分总长度之和，代入数值计算即可． 【详解】由题意可知，台阶的水平底边即所有台阶水平部分的总长度为台阶高即所有台阶垂直部分的总长度为． 在台阶上铺地毯，地毯的长度至少需要覆盖所有水平部分和垂直部分，因此地毯长度水平部分总长度垂直部分总长度． 故选：C． 【变式3】如图，雪湖公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（　　）． A．24 B．36 C．56 D．48 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质． 用总面积减去石子路面积即可． 【详解】解：种植鲜花的面积为 故选：D 题型07 平移作图 【典例7】如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，三角形是由三角形向右平移5个单位、再向上平移4个单位之后得到的图形，点分别与点A、B、C对应． (1)点的坐标为__________； (2)作出三角形平移之后的三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查图形的平移，熟练掌握图形的平移是解题的关键． （1）根据图形的平移方式即可求解； （2）根据图形的平移方式直接进行构图即可． 【详解】（1）解：∵三角形是由三角形向右平移5个单位、再向上平移4个单位之后得到的图形， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）解：由题意可得，如下图所示： 【变式1】在网格中如图所示，请根据下列提示作图． (1)向上平移3个单位长度得到； (2)向右平移4个单位长度得到． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移作图． （1）根据要求作图即可； （2）根据要求作图即可． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 【变式2】在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．现将先向下平移个单位长度，得到；再向右平移个单位长度，得到． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)若一次性平移到，试求出平移过程中，线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)线段扫过的面积为 【分析】本题主要考查作图——平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （）根据将先向下平移个单位长度，得到；再向右平移个单位长度，得到即可画图； （）根据长方形面积减去四个直角三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，为所求； （2）解：如图， ∴线段扫过的面积为 ． 【变式3】如图，在方格纸中，的三个顶点和点M都在小方格的顶点上．按要求作图： (1)过点M作直线的平行线； (2)将平移至，使点M落在平移后的三角形内部（不含边界）． (3)请描述（2）中，到的平移过程． 【答案】(1) (2) (3)先向右平移5个单位，再向下平移1个单位 【分析】本题考查了平行线的作图、图形的平移作图及平移过程的描述，涉及网格中几何图形的操作．解题的关键是利用网格特点确定直线方向和平移距离，结合图形位置关系完成作图和描述． （1）根据网格中直线的倾斜趋势，过点 M 作与 方向一致的直线即为平行线； （2）通过网格确定平移方向和距离，使平移后的包含点M在内部； （3）根据原三角形与平移后三角形的位置变化，描述平移的方向和格数． 【详解】（1）解：所作平行线l如图所示． （2）解：平移得到的如图所示． （3）解： 先向右平移 5 个单位,再向下平移一个单位，得到． 1．如图所示的是某公司徽标图案．在下列选项中，能由此徽标通过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质，掌握平移后图形的形状、大小、方向均不改变，仅位置变化是解题的关键． 本题根据平移的性质，逐个判断选项中的图形是否与原徽标保持一致的形状、大小和方向． 【详解】解： A、图形方向与原徽标不同，不符合平移的性质，不符合题意； B、图形方向与原徽标不同，不符合平移的性质，不符合题意； C、图形方向与原徽标不同，不符合平移的性质，不符合题意； D、图形的形状、大小、方向均与原徽标一致，仅位置改变，符合平移的性质，符合题意． 故选：D． 2．如图，将沿着射线平移到．若，则平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点．任何一对对应点所连线段的长度都等于平移的距离．观察图象，发现平移前后，、对应，、对应，根据平移的性质，得平移的距离，进而可得答案． 【详解】解：由题意平移的距离为， 故选：B． 3．如图，将沿方向平移 得到，已知的周长为 ，则四边形的周长为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得出是解题关键．根据平移的性质得出，，进而得出答案． 【详解】解：是由沿方向平移得到的，的周长为， ，，则四边形的周长为．     故选：A． 4．几何直观  如图所示，，将直角三角形沿着射线的方向平移，得三角形，已知，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是平移的性质，解题关键是由平移性质得到，，． 根据平移性质得到，，，再由即可得解． 【详解】解：根据平移性质可知：，，， ， ， ， ， ． 故选：． 5．如图，沿所在直线向右平移得到，则下列结论中，不一定正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，结合图形逐项判断即可． 【详解】解：∵将沿直角边所在的直线向右平移得到， ∴，，，， ∴，则， 故选项A、B、C正确，不符合题意； 现有条件无法得到，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 6．如图，将沿直线向右平移得到，连接，若的周长为，四边形的周长为，则平移的距离为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平移的性质可得平移的距离为或的长度，且，，根据周长公式推出，进而求出，即可得到答案． 【详解】根据题意，将周长为的沿边向右平移得到， ∴； ∵四边形的周长， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，得到，，是解题的关键． 7．如图，直线，顶点在直线上，边在直线上，把沿方向平移的一半得到（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…，请问在第个图形中等边三角形的个数是（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可得，根据相平行线的性质可得，，根据等边三角形的判定可得阴影的三角形是等边三角形，又观察图可得，第个图形中大等边三角形有个，小等边三角形有个，据此求出第个图形中等边三角形的个数． 【详解】解：如图：    ∵是等边三角形， ∴， 由平移的性质得， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， 同理阴影的三角形都是等边三角形． 观察图可得，第个图形中大等边三角形有个，小等边三角形有个， 第个图形中大等边三角形有个，小等边三角形有个， 第个图形中大等边三角形有个，小等边三角形有个， … 依次可得第个图形中大等边三角形有个，小等边三角形有个． 故第个图形中等边三角形的个数是：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平移的性质，解题的关键是根据图找出规律． 8．如图，将沿方向平移得到（点A、B、C的对应点分别是点、、），如果，那么的度数为 ． 【答案】80 【分析】本题考查了平移的性质，直接根据平移的性质求解，即可解题． 【详解】解： ， 结合平移性质可知，； 故答案为：80． 9．在一块长，宽的草坪上修筑宽的小路（如图），则草地的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，生活中的平移现象，利用矩形的面积公式得出是解题关键． 根据平移，可把路移到右边和上面，再根据矩形的面积公式，可得答案． 【详解】解：把路移到右边和上面， 路的宽度是， 草地可以看成长是，宽是， 故草地的面积是． 故答案为：． 10．如图，将向左平移得到，连接，如果的周长是，四边形的周长是，那么平移的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移前后对应线段相等是解题关键． 根据平移的性质结合已知条件求解即可． 【详解】解：∵将向左平移得到， ∴，， 则， ∵的周长是， ∴的周长是， 即cm， ∵四边形的周长， ∴， 即平移的距离是； 故答案为：． 11．如图，在台阶面上（阴影部分）铺上地毯，至少需要 的地毯． 【答案】 【分析】本题考查的是平移及求长方形的面积，根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个长方形，再求得其面积即可． 【详解】解：把台面上的地毯展开，由平移得： 则长方形的长米，宽米， ∴面积平方米， 故答案为：． 12．某小区准备开发一块长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线． ①若长方形的长为，宽为，则这条小路的面积为 ； ②若原长方形的长为，宽为，草坪面积为 ，当，时，草坪面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移性质的应用，列代数式，代数式求值，理解题意，草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，是解题的关键． ①草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，计算面积即可； ②同①计算面积，再将，代入代数式计算即可． 【详解】①解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变， ∴草坪的面积， ②解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变， ∴草坪的面积； 当，时，． 故答案为：，，． 13．如图，把直角梯形沿方向平移到梯形的位置，若，，，，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角梯形，平移的性质． 根据平移的变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得梯形的面积等于梯形的面积，，从而得到阴影部分的面积等于梯形的面积，再求出的长，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：由平移的性质得：梯形的面积梯形的面积，， ∴阴影部分的面积梯形的面积， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积， 答：阴影部分面积是 故答案为：． 14．如下图，将三角形沿直线l向右平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段平行、平移距离对应线段的长度是解题的关键． （1）利用平移的性质得到对应线段平行，结合已知角的度数，通过邻补角的关系计算的度数； （2）根据平移距离确定对应线段的长度，结合的长度，通过线段和计算的长． 【详解】（1）解：由平移的性质知，， ∴， ∴． （2）解：由平移的性质知，． ∵， ∴． 15．如图，将平移后得到，其中点C的对应点是点， (1)请将点、点在图中标出来， (2)画出； (3)若边与网格线的交点为M，请标出点M的对应点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查坐标与图形的变化--平移，作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形． （1）根据平移的性质画出点、点即可； （2）连接点、点、点即可； （3）根据平移的性质画出点即可； 【详解】（1）如图所示，点、点即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，点即为所求． 16．光明中学现有一块长方形的草地，长为，宽为．现要在草地上规划一条小路，小路右侧边均为左侧边向右平移得到，现需要用鹅卵石给小路铺地面，鹅卵石铺地面的费用大约为150元/平方米． (1)若设计公司设计了以下三种方案（中间阴影部分为小路），如果仅从经济角度考虑，运用数学知识，你将如何选择方案？请写出你的理由并算出你所选小路的预算费用； (2)小颖想知道设计图2中和是否真正平行，她度量出，，，她就得出了，你认为她的思考正确吗？为什么？ (3)如图3，猜想之间有什么关系，请直接写出你的结论． 【答案】(1)方案任选一种，小路的预算费用约为6000元，理由见解析 (2)小颖的思考正确．理由见解析 (3) 【分析】本题考查了长方形的性质，平行线的判定及性质的实际应用． （1）由题意可知，小路的宽固定为，宽上的高都为，所以小路的面积是固定的，所以三种方案的费用是一样的，根据预算费用面积每平米的费用计算即可； （2）过点C作，根据两直线平行，内错角相等得，进而得，再得，再由内错角相等得两直线平行即可； （3）过点C作，过点D作，过点E作，根据平行线的判定及性质可得结论． 【详解】（1）解：三种方案的预算费用都是6000元，故任选一种即可，理由如下： 由题意可知，小路的宽固定为，宽上的高都为， ∴小路的面积为：， ∴小路的预算费用为：（元）， 即三种方案，小路的预算费用都约为6000元； （2）解：小颖的思考正确，理由如下： 如图，过点C作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点C作，过点D作，过点E作， ∴，，， ∵草地为长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 图形的平移 教学目标 1.理解图形平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，掌握平移的两个核心要素：平移方向和平移距离。 2.掌握图形平移的三大基本性质： ① 平移前后的图形全等（形状、大小完全相同，对应角相等，对应线段相等）； ② 对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等； ③ 对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。 3.能根据平移的方向和距离，准确画出一个简单平面图形（如三角形、四边形）平移后的图形，掌握 “找关键点→平移关键点→连接对应点” 的作图步骤。 4.能运用平移的性质解决简单的几何问题（如角度计算、线段长度计算、图形面积求解）。 教学重难点 1.重点 （1）图形平移的定义（强调 “平面内”“沿某个方向”“一定距离” 三个条件）与两大核心要素（平移方向、平移距离）。 （2）图形平移的三大基本性质（全等、对应点连线平行且相等、对应线段平行且相等）。 （3）简单图形的平移作图（核心步骤：确定关键点→平移关键点→连接对应点）。 2.难点 （1）平移性质的深刻理解与灵活应用： ① 学生易忽略 “对应点所连线段平行（或共线）且相等” 中的 “平行（或共线）” 条件，仅记住 “相等”； ② 对 “平移前后图形全等” 的本质理解不深，无法将其与对应角、对应线段的关系结合使用。 （2）复杂图形的平移作图： ① 当图形的关键点较多，或平移方向不是水平 / 竖直方向（如斜向平移）时，学生难以准确确定关键点的平移方向和距离； ② 作图时易遗漏部分关键点，导致平移后的图形与原图形不对应。 （3）平移性质与平行线、三角形等知识的综合应用：在综合题中，学生无法快速识别图形中的平移关系，难以将平移性质与平行线的性质、判定结合解决问题。 （4）平移概念的本质理解：学生易将 “平移” 与 “平行移动” 混淆，忽略平移是 “图形的整体运动”，错误地认为图形的一部分移动也属于平移。 知识点 平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 【即学即练】 1．下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形”平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2.如图，沿方向向右平移得到，已知，则的长度是（   ） A． B． C． D． 3．如图，某住宅小区内有一块长方形空地，想在长方形空地内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为，则两条小路的总面积是（   ） A． B． C． D． 题型01生活中平移的现象 【典例1】下列现象中属于平移的是（   ） A．升降电梯从一楼升到五楼 B．卫星绕地球运动 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 【变式1】下列现象：温度计中，液柱的变化；电梯上下运动；钟摆的摆动；小方块在水平地面滑动，属于平移的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】如图所示是北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的五幅图案，②③④⑤哪一个图案可以通过平移图案①得到？（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 题型02 利用平移的性质求面积 【典例2】将向右平移个单位长度得到，，，则阴影四边形的面积是（ ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将三角形沿着方向平移得到三角形，且，若三角形的面积是，则四边形的面积是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】如图，将直径为的半圆水平向左平移，则半圆所扫过的面积（阴影部分）为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，将直角梯形平移得直角梯形，若，，，则图中阴影部分的面积（   ） A．30 B．36 C．60 D．72 题型03 利用平移的性质求长度 【典例3】如图，将向右平移6个单位长度得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若则的长度是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式1】将长度为的线段向上平移后，所得线段的长度是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】如图，是由通过平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上．若．则的长度是（　　） A．2 B．4 C．5 D．3 【变式2】某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（    ） A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长 C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长 题型04 利用平移的性质求周长 【典例4】如图，向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，面积为6的沿方向平移至 的位置，平移的距离是边长度的2倍，则四边形的面积是（    ） A．30 B．24 C．18 D．12 【变式2】如图所示，将周长为8的沿边向右平移2个单位长度，得到，则四边形的周长为（   ） A．12 B．16 C．18 D．20 【变式3】下列图形中周长最长的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】如图所示，将周长为的直角三角形沿方向平移，得到直角三角形，连接．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 题型05 利用平移的性质求角度 【典例5】如图，平移后得到，已知，则 （    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将沿方向平移到的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，连接．若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】如图，沿边平移得到，点、、的对应点分别是点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，将射线沿射线平移得到射线，将射线沿射线平移得到射线．若，则（   ） A． B． C． D． 题型06 利用平移解决实际问题 【典例6】如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 【变式1】如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，其余部分为绿地，小路的左边线向右平移就是它的右边线，这块草地的绿地面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图是一个5级台阶侧面示意图，在台阶上铺地毯至少需（　） A． B． C． D． 【变式3】如图，雪湖公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（　　）． A．24 B．36 C．56 D．48 题型07 平移作图 【典例7】如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，三角形是由三角形向右平移5个单位、再向上平移4个单位之后得到的图形，点分别与点A、B、C对应． (1)点的坐标为__________； (2)作出三角形平移之后的三角形． 【变式1】在网格中如图所示，请根据下列提示作图． (1)向上平移3个单位长度得到； (2)向右平移4个单位长度得到． 【变式2】在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．现将先向下平移个单位长度，得到；再向右平移个单位长度，得到． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)若一次性平移到，试求出平移过程中，线段扫过的面积． 【变式3】如图，在方格纸中，的三个顶点和点M都在小方格的顶点上．按要求作图： (1)过点M作直线的平行线； (2)将平移至，使点M落在平移后的三角形内部（不含边界）． (3)请描述（2）中，到的平移过程． 1．如图所示的是某公司徽标图案．在下列选项中，能由此徽标通过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将沿着射线平移到．若，则平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，将沿方向平移 得到，已知的周长为 ，则四边形的周长为(   ) A． B． C． D． 4．几何直观  如图所示，，将直角三角形沿着射线的方向平移，得三角形，已知，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，沿所在直线向右平移得到，则下列结论中，不一定正确的是（   ） A．B． C． D． 6．如图，将沿直线向右平移得到，连接，若的周长为，四边形的周长为，则平移的距离为（    ）      A． B． C． D． 7．如图，直线，顶点在直线上，边在直线上，把沿方向平移的一半得到（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…，请问在第个图形中等边三角形的个数是（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 8．如图，将沿方向平移得到（点A、B、C的对应点分别是点、、），如果，那么的度数为 ． 9．在一块长，宽的草坪上修筑宽的小路（如图），则草地的面积是 ． 10．如图，将向左平移得到，连接，如果的周长是，四边形的周长是，那么平移的距离是 ． 11．如图，在台阶面上（阴影部分）铺上地毯，至少需要 的地毯． 12．某小区准备开发一块长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线． ①若长方形的长为，宽为，则这条小路的面积为 ； ②若原长方形的长为，宽为，草坪面积为 ，当，时，草坪面积为 ． 13．如图，把直角梯形沿方向平移到梯形的位置，若，，，，则阴影部分的面积是 ． 14．如下图，将三角形沿直线l向右平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 15．如图，将平移后得到，其中点C的对应点是点， (1)请将点、点在图中标出来， (2)画出； (3)若边与网格线的交点为M，请标出点M的对应点． 16．光明中学现有一块长方形的草地，长为，宽为．现要在草地上规划一条小路，小路右侧边均为左侧边向右平移得到，现需要用鹅卵石给小路铺地面，鹅卵石铺地面的费用大约为150元/平方米． (1)若设计公司设计了以下三种方案（中间阴影部分为小路），如果仅从经济角度考虑，运用数学知识，你将如何选择方案？请写出你的理由并算出你所选小路的预算费用； (2)小颖想知道设计图2中和是否真正平行，她度量出，，，她就得出了，你认为她的思考正确吗？为什么？ (3)如图3，猜想之间有什么关系，请直接写出你的结论． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $